O Contra exemplo - Pontos fixos e os contra-exemplos de Jiang

Defina a homotopia H´´ : M_{× I → M por : H´´(x,t) = H´(x,λ (x)t).}

Obviamente H´´ ´e cont´ınua, com H´´_{(x, 0) = f (x) para todo x ∈ M, al´em disso H´´(x,t) =}

f_{(x), ∀ x ∈ ∂ M ∪ {x}_◦_{} e ∀ t ∈ I. Assim, h : M → M definida por h(x) = H´´(x,1) é a aplicação}

que procur´avamos.

3.2 O Contra exemplo

Considere o disco com dois furos P. Seja P_◦ o retrato por deformação de P, que é a união pelo ponto x2 dos laços b1b2 e b3b4, veja figura 2.1. Considere r : P→ P◦ a retração com r(x1) =

x2 e i : P◦ → P a inclusão. Seja f◦ : P◦→ P◦ uma aplicação tal que f◦(b1) = b−1₂ , f◦(b2) =

b−1₁ , f_◦(b3) = b₂−1b−1₁ b3, f◦(b4) = b4b3b4, Fix( f◦)={x2, y1, y2} e f = i ◦ f◦◦ r : P → P.

Teorema 3.2. A aplicação f : P_{→ P constru´ıda anteriormente é tal que N( f ) = 0, entretanto}

MF_{[ f ] 6= 0.}

Demonstrac¸˜ao: Inicialmente vamos mostrar que N( f ) = 0.

Observamos que Fix( f ) = Fix( f_◦_{). De fato, se x ∈ Fix( f ) temos i ◦ f}_◦_{◦ r(x) = x, como}

f_◦_{(r(x)) ∈ P}_◦ ent˜ao x _{∈ P}_◦ e portanto r_{(x) = x, pois r ◦ i = Id}P_◦. Assim, temos

x= i( f_◦(r(x))) = i( f_◦(x)) o que implica f_◦_{(x) = x, ou seja, x ∈ Fix( f}_◦_{). Logo Fix( f ) ⊆ Fix( f}_◦). Por outro lado, Fix( f_◦_{) = {y}1, y2, x2} ⊂ P◦, e como x2, y1, y2∈ P◦ent˜ao r(x2) = x2, r(y1) = y1

e r(y2) = y2. Logo f(x2) = i( f◦(x2)) = i(x2) = x2, f(y1) = i( f◦(y1)) = i(y1) = y1 e f(y2) =

i( f_◦(y2)) = i(y2) = y2, portanto Fix( f◦) ⊆ Fix( f ).

Temos que P_◦ é um retrato por deformação de P, ou seja, a retração r : P_{→ P}_◦ satisfaz

r_{◦ i = Id : P}_◦_{→ P}_◦ e i_{◦ r ≃ Id : P → P. Segue diretamente da definição a comutatividade do} número de Lefchetz, assim temos L_{( f ) = L(i ◦ f}_◦_{◦ r) = L( f}_◦_{◦ r ◦ i) = L( f}_◦).

Consideremos a figura oito, que nada mais é do que a justaposição dos laços α e β com ponto base x2, onde α é o laço que dá uma volta, no sentido horário, na S1eβ é o laço que dá

uma volta, no sentido hor´ario, na S2. Denotaremos a figura oito porα ∗ β .

O disco com dois furos, P, e o seu retrato por deformação, P_◦, têm mesmo tipo de homotopia que_{α ∗ β , assim temos H}1(P) ∼= H1(P◦) ∼= H1(α ∗ β ) ∼= Z× Z.

O homomorfismo induzido, no n´ıvel zero, ( f_◦)_0∗ = IdH0(α∗β ) ´e tal que trac¸o(( f◦)0∗) = 1.

−1(1,0) = −1(1,0) + 0(0,1) e ( f◦)_1∗(0, 1) = −1(1,0) + 2(0,1). Logo, a representac¸˜ao matri-

cial de( f_◦)_1∗ na base_{{(1,0),(0,1)} ´e da forma,} [( f_◦)_1∗] =   −1 −1 0 2  

Assim, temos que trac¸o(( f_◦)_1∗_{) = 2 − 1 = 1. Como ( f}_◦)_n∗_{= 0 para todo n 6= 0 e 1, segue} que ind( f_◦, P_◦) = L( f_◦) = Σq∈Z(−1)qtrac¸o( f◦)_q∗= 1 + (−1)1 = 0. Logo,

ind( f , P) = L( f ) = L( f_◦) = 0.

Os pontos y1, y2 e x2tˆem indices 1, −1 e 0, respectivamente. De fato, vamos considerar as

restric¸˜oes f_|α : S1→ S1e f|β : S1→ S1. Quando o ponto z percorre o dom´ınio S1o ponto f(z)

percorre S1no sentido contr´ario, portanto ind(y1) = 1. Por outro lado, f (z) ´e mais “lento” que z

at´e eles se encontrarem em y2, a partir desse encontro f(z) ultrapassa z, logo ind(y2) = −1.

Vamos considerar agora U1∋ y1, U2∋ y2e U3∋ x2, abertos em P tais que f◦n˜ao tem pontos

fixos em P_\U1∪U2∪U3, assim 0= L( f ) = ind( f , P) = ind( f ,U1) + ind( f ,U2) + ind( f ,U3) =

ind(y1) + ind(y2) + ind(x2) = 1 −1+ind(x2), portanto ind(x2) = 0. Mas y1e y2est˜ao na mesma

classe de pontos fixos, pois o caminho c= b−1₁ b3 ´e homot´opico ao caminho f(c) = f◦(c) =

b2b−1₂ b−1₁ b3, coincidindo nos pontos y1e y2. Assim, f n˜ao tem classe de pontos fixos essencial,

portanto N( f ) = 0.

Agora, vamos mostrar que a aplicação f não pode ser homotópica a uma aplicação livre de pontos fixos.

Para facilitar o cálculo das tranças, deformamos levemente a aplicação f_◦: P_◦_{→ P}_◦em uma vizinhança de x2, e daqui em diante assumiremos que a aplicação f = i◦ f◦◦r envia toda a região

do trap´ezio, veja fiura 2.1 , no ponto x2.

Suponha, por contradição, f e g homotópicas com g : P_{→ P livre de pontos fixos. De} acordo com o lema 3.1, existe uma aplicação h : P_{→ P com f e h homotópicas, relativamente a} ∂ P ∪ {x1}, e Fix(h) = Fix(g) = /0, ou seja, h é livre de pontos fixos. Defina f ,h : P → P × P por

f : x_{→ (x, f (x)) e h : x → (x,h(x)).}

Sejaωi= aiSia−1_i o lac¸o com ponto base x1(ilustrado na figura 2.1), i= 0, 1, 2. Observamos

3.2 O Contra exemplo 33

x2∈ a/ i, i = 0, 1, 2 segue que f (x) 6= x, ∀x ∈ ai, i = 0, 1, 2. Al´em disso, f (x) 6= x em Si, i = 0, 1, 2

pois f é livre de pontos fixos em_{∂ P ∪ {x}1} ⊃ Si, i = 0, 1, 2. Portanto σi= f◦ ωi é um laço em P_{× P \ ∆, i = 0,1,2, ou seja , σ}irepresenta uma trança, i= 0, 1, 2. Sendo h livre de pontos fixos,

ou seja, h_{(x) 6= x,∀x ∈ P temos que τ}i= h ◦ ωitamb´em representa uma tranc¸a, i= 0, 1, 2.

As aplicações f e h coincidem em∂ ai⊂ ∂ P ∪ {x1} e como h é livre de pontos fixos segue

que f_{◦ a}ie h◦ ai são caminhos em P× P \ ∆, i = 0,1,2 , além disso, esses dois caminhos têm

os mesmos pontos final e inicial, portanto(h_{◦ a}i)( f ◦ ai)−1 ´e um lac¸o em P× P \ ∆, i = 0,1,2.

Vamos denotar por ui a tranc¸a emπ1(P × P \ ∆), representada pelo lac¸o (h ◦ ai)( f ◦ ai)−1, i=

0, 1, 2.

Como o laço ω1ω2ω0−1 é contrátil em P, segue que existe uma fam´ılia cont´ınua{ct}t∈I de

lac¸os em P, com c0 = ω1ω2ω₀−1 e c1 = lac¸o constante com ponto base x1. Sendo h livre de

pontos fixos, a fam´ılia de lac¸os_{{h ◦ c}t}t∈I est´a contida em P× P \ ∆ , com h ◦ c0= (h ◦ ω1)(h◦

ω2)(h◦ ω0)−1 representando τ1τ2τ₀−1, e h◦ c1 representando a trança trivial. A aplicação h é

cont´ınua e c0 é homotópico a c1, logo h◦ c0 é homotópico a h◦ c1, isto é,τ1τ2τ0−1 é homotópico

a trança trivial, assimτ1τ2 é homotópico aτ0. Além disso,τi= uiσiu−1_i , para i= 0, 1, 2, de fato: uiσiu−1_i =

= (h_{◦ a}i)( f ◦ ai)−1( f ◦ aiSiai−1)( f ◦ ai)(h ◦ ai)−1

= (h ◦ ai)( f ◦ ai)−1( f ◦ ai)( f ◦ Si)( f ◦ ai)−1( f ◦ ai)(h ◦ ai)−1

= (h_{◦ a}i)( f ◦ Si)(h ◦ ai)−1.

f = h em ∂ P, portanto h_{◦ S}i= f ◦ Si, e assim para i= 0, 1, 2 temos :

uiσiu−1_i = (h◦ ai)(h ◦ Si)(h ◦ ai)−1= h ◦ aiSia−1_i = τi Logo, emπ1(P × P \ ∆,(x1, x2)) temos, u1σ1u−1₁ | {z } τ1 u2σ2u−1₂ | {z } τ2 = u0σ0u−1₀ | {z } τ0 . (3.1)

As tranc¸asσ0,σ1,σ2podem ser computadas de forma explicita:

σ1= ρ11(ρ₂₁−1B), (3.3)

σ2= ρ12(B−1ρ₂₁−1ρ22B−1ρ22). (3.4)

Com as figuras 3.1, 3.2 e 3.3 verificamos a validade das relac¸˜oes 3.2, 3.3 e 3.4, respectivamente:

Figura 3.1: Relac¸˜ao 3.2

Figura 3.2: Relac¸˜ao 3.3

3.2 O Contra exemplo 35

Seja G= Z2∗ Z gerado por dois elementos α e β , com uma única relação α2= 1 ( Z2∗ Z

= _{{α,β };{α}2_{= 1}} ondeα ´e gerador de Z2 eβ ´e gerador de Z) . Defina o homomorfismo

θ : π1(P × P \ ∆) → G por θ (ρ11) = α, θ (ρ21) = β−1, θ (B) = β−1α, θ (ρ12) = θ (ρ22) = 1.

Todas as seis relações na Proposição 2.3 se mantém sob a ação deθ , de fato, por exemplo

θ (ρ21−1ρ11ρ21) = = θ (ρ21−1)θ (ρ11)θ (ρ21) = β αβ−1 = αα−1β αβ−1αα−1 = θ (ρ11)θ (B−1)θ (ρ11)θ (B)θ (ρ11−1) = θ (ρ11B−1ρ11Bρ11−1)

ou seja, a primeira relação se mantém sob a ação deθ . De modo análogo se verifica que sob a ação deθ as demais relações se mantém. Logo θ está bem definido.

Temos que,

θ (σ0) = θ (ρ11)θ (ρ12)θ (B−1)θ (ρ21−2)θ (ρ222) = β3,

θ (σ1) = θ (ρ11)θ (ρ21−1)θ (B) = 1,

θ (σ2) = θ (ρ12)θ (B−1)θ (ρ21−1)θ (ρ22)θ (B−1)θ (ρ22) = αβ2αβ

Aplicandoθ a equac¸˜ao 3.1 temos,

θ (u1)θ (σ1)θ (u1)−1θ (u2)θ (σ2)θ (u2)−1= θ (u0)θ (σ0)θ (u0)−1.

Comoθ (σ1) = 1 segue que,

(θ (u0)−1θ (u1))θ (σ2)(θ (u1)−1θ (u0)) = θ (σ0).

Portanto, a equação 3.1 nos mostra queθ (σ2) e θ (σ0) são conjugados em G.

Por outro lado,θ (σ0) = β3eθ (σ2) = αβ2αβ apresentam diferentes formas c´ıclicas reduzi-

das (note que θ (σ0) e θ (σ2) já estão nas suas formas c´ıclicas reduzidas), portanto não podem

O contra - exemplo anterior pode ser generalizado para discos com mais furos. Como o disco com dois furos tem bordo, uma questão naturalmente surge : Auto - aplicações definidas

em variedades sem bordo têm número de Nielsen realizável ? No próximo cap´ıtulo esssa questão

Cap´ıtulo

4 Superf´ıcies com caracter´ıstica de Euler

negativa

O objetivo do presente cap´ıtulo ´e generalizar o resultado obtido no cap´ıtulo 2 e demonstrar o seguinte Teorema:

Teorema 4.1. Seja M uma superf´ıcie compacta e conexa com caracter´ıstica de Euler χ(M) < 0.

Então existe uma aplicação f : M_{→ M tal que N( f ) = 0 < MF[ f ].}

A prova do Teorema 4.1 será feita por construção. Inicialmente uma auto - aplicação definida no disco com dois furos será constru´ıda, a essa auto - aplicação daremos o nome de

aplicação modelo e então transplantaremos para outras superf´ıcies. Novamente tranças serão

usadas como ferramenta importante.

4.1 A aplicac¸˜ao modelo

O grupo de tranc¸as de M ´e o grupo fundamental π1(M × M \ ∆) com ponto base (x1, x2) ∈

M◦_{× M}◦_{\ ∆. Seja p}k :(y1, y2) 7→ yk, k= 1, 2, projec¸˜oes definidas em π1(M × M \ ∆), e sejam

i1: y17→ (y1, x2) e i2: y27→ (x1, y2) as inclus˜oes dos primeiro e segundo fatores, respectivamente.

Seja P o disco com dois furos. Considere os laços S1, S2, e S0, com pontos base e orientações

mostradas na figura 4.1 . Em P definiremos algumas tranc¸as especiais:

Sejamρ11,ρ12e B representando, respectivamente as i1-imagens dos lac¸os a1S1a−11 , a2S2a−12

e b. Sejamρ21 eρ22 representando as i2-dos lac¸osρ1eρ2.

Agora introduziremos dois homomorfismosθ , θ´_:_π

1(P × P \ ∆) → F2, onde F2 ´e um grupo

Figura 4.1: O disco com dois furos θ : ρ117→ α−1β θ´:ρ117→ α−1 ρ127→ 1 ρ12 7→ αβ−1 ρ217→ α ρ21 7→ β−1α ρ227→ 1 ρ22 7→ α−1 B_{7→ β} B_{7→ β}−1.

Sobre a ação dos homomorfismosθ e θ´ as identidades na proposição 2.3 se preservam e, portanto, os homomorfismos estão bem definidos. Observamos queθ´_{= θ}_{◦ τ, onde τ : ρ}

11 7→

ρ₂₁−1, ρ127→ ρ21ρ22B−1,ρ21 7→ ρ₁₁−1, ρ22 7→ ρ11ρ12B−1, B7→ B−1, é uma involução definida em

π1(P × P \ ∆), a qual é induzida por uma involução definida em P enviando S0, S1, e x1 em S2,

S−1₁ , e x2, respectivamente.

Em P, seja P_◦a união pelo ponto x2dos laçosρ1eρ2. Sejaφ : (S1, 1) → (P,x2) uma aplicação

igual aρ2

1ρ2ρ1−1ρ2−1quando considerada como um lac¸o. Claramenteφ (S1) ⊂ P◦.

Proposição 4.2. Para toda aplicação ψ : P_{→ S}1temos MF_{[φ ◦ ψ] > 0.}

Inicialmente, examinaremos a classificação homotópica das aplicações P_{→ S}1. Seja d :

P_{→ P}_◦a retração que envia a região do trapézio, ver figura 4.1, sobre o ponto x2. Para cada par

de inteiros_{(m, n) ∈ Z × Z, defina η}m,n:(P◦, x2) → (S1, 1), uma aplicac¸˜ao tal que ηm,n◦ ρ1= im

4.1 A aplicac¸˜ao modelo 39

Lema 4.3. Para toda aplicação ψ : P_{→ S}1 existe um único par _{(m, n) ∈ Z × Z, tal que ψ é} homotópica a ηm,n◦ d : P → S1.

Demonstração: O grupo π1(P◦) é não trivial, mas πn(P◦) é trivial, para todo n ≥ 2. Logo as

classes de homotopia de aplicações de P_◦ em S1 são determinadas pelos homomorfismos de π1(P◦) em π1(S1) ∼= Z.

O grupoπ1(P◦) ´e um grupo livre em dois geradores, o qual denotaremos porhα,β i, onde α

eβ s˜ao os geradores.

Seja_{ψ : P → S}1, temos_{ψ ≃ ψ ◦d e ψ ◦d = ψ|}P_◦◦ d, portanto ψ ≃ ψ|P_◦◦ d. Como π1(P◦) =

hα,β i e π1(S1) ∼= Z, ent˜ao podemos considerar (ψ|P_◦)π :hα,β i → Z e assim existem ´unicos m,

n_{∈ Z tais que (ψ|}P_◦)π(α) = m e (ψ|P_◦)π(β ) = n.

Observamos que_(ψ|P_◦)π = (ηm,n)π, assim temosψ|P_◦≃ ηm,n. Logoψ ≃ ψ|P_◦◦d ≃ ηm,n◦d,

com m, n_{∈ Z ´unicos.}

Demonstração:(da proposição) Pelo lema 4.3 temos queψ é homotopica a ηm,n◦d para algum

par_{(m, n) ∈ Z × Z, então f := φ ◦ η}m,n◦ d é homotópica a φ ◦ ψ, portanto MF[φ ◦ ψ] = MF[ f ].

Assim, é suficiente provar que f := φ_{◦ η}m,n◦ d : P → P não pode ser homotópico a aplicações

livre de pontos fixos.

Suponha que f é homotópica a uma aplicação g livre de pontos fixos, segue do lema 3.1 que existe uma aplicação h homotópica a f , relativamente a_{∂ P ∪ {x}1}, com h livre de pontos fixos

(como a aplicac¸˜ao g).

Vamos denotar ωi = aiSia−1_i , i= 0, 1, 2. Observe que a menos de homotopia podemos

considerarωi= aiSia−1_i como sendo um lac¸o que d´a uma volta em Si, i= 0, 1, 2.

Definimos f : x_{7−→ (x, f (x)) e h : x 7−→ (x,h(x)). Vamos mostrar que f ◦ ω}ie h◦ ωirepre-

sentam tranc¸as emπ1(P × P \ ∆), para i = 0,1,2 :

Seja x_{∈ a}i ⊂ trapézio, logo d(x) = x2, pois a retração d leva todos os pontos que estão

no trapézio em x2, portanto f(x) = φ (ηm,n(d(x))) = φ (ηm,n(x2)) = φ (1) = x2, como x2∈ a/ i, i= 0, 1, 2, segue que f não tem pontos fixos em ai, i= 0, 1, 2. Por outro lado, f = h em ∂ P = S0∪S1∪S2o que implica f livre de pontos fixos em Si, i= 0, 1, 2 (pois h é livre de pontos fixos),

portantoσi= f ◦ ωirepresenta uma tranc¸a emπ1(P × P \ ∆), i = 0,1,2.

Segue, trivialmente, queτi= h◦ ωirepresenta uma tranc¸a emπ1(P × P \ ∆), i = 0,1,2, pois

Observamos que f = h em ∂ ai ⊂ ∂ P ∪ {x1}, portanto f ◦ ai , h◦ ai ⊂ P × P \ ∆ tˆem os

mesmos pontos inicial e final , logo ui= (h◦ai)( f ◦ai)−1representa um tranc¸a emπ1(P×P\∆),

i= 0, 1, 2.

Temos que o laçoω1ω2ω0−1 é contrátil em P, ou seja,ω1ω2ω0−1é homotópico ao laço trivial.

Logo, existe uma fam´ılia de aplicações cont´ınuas_{ct}t∈I (na verdade uma fam´ılia de laços em

P), tal que c0= ω1ω2ω0−1 e c1= x1(neste caso x1est´a denotando o lac¸o trivial em P). Sendo h

livre de pontos fixos, então_{h◦ct}t∈I é uma fam´ılia de laços em P×P\∆, com h◦c0homotópico

a h_{◦ c}1= lac¸o trivial. Logo, h ◦ c0= (h ◦ ω_{| {z }}1 τ1 )(h ◦ ω_{| {z }}2 τ2 )(h ◦ ω_{| {z }}0 τ₀−1 )−1, ou seja,τ1τ2= τ0.

Nota: A igualdade dos laços acima significa que eles são homotópicos. Observação 4.4. : τi= uiσiu−1_i , i= 0, 1, 2. De fato, para i= 0, 1, 2, uiσiu−1_i = = (h ◦ ai)( f ◦ ai)−1( f ◦ aiSia−1i )( f ◦ ai)(h ◦ ai)−1 = (h ◦ ai)( f ◦ ai)−1( f ◦ ai)( f ◦ Si)( f ◦ ai)−1( f ◦ ai)(h ◦ ai)−1 = (h_{◦ a}i)( f ◦ Si)(h ◦ ai)−1 ∗ = (h ◦ ai)(h ◦ Si)(h ◦ ai)−1 = h_{◦ a}iSia−1i = τi.

A igualdade * ocorre pois h_{(x) = f (x), para x ∈ S}i⊂ ∂ P. Assim temos,

u1σ1u−1₁ | {z } τ1 u2σ2u−1₂ | {z } τ2 = u0σ0u−1₀ | {z } τ0 . (4.1)

Para concluir a demostração da proposição vamos mostrar que a equação 4.1 não tem solução para u0, u1, u2∈ π1(P × P \ ∆).

O Lema abaixo fornecerá ferramentas para os cálculos das tranças σi= f ◦ aiSia−1i , i=

0, 1, 2.

4.1 A aplicac¸˜ao modelo 41

f_◦_{◦ ρ}1 = φ1(ρ1, ρ2, )

f_◦_{◦ ρ}2 = φ2(ρ1, ρ2),

onde φ1 e φ2 s˜ao palavras formadas com os s´ımbolos ρ1 e ρ2. Seja d : P→ P◦ como antes,

i: P_◦_{→ P a inclusão e f = i◦ f}_◦_{◦d : P → P. Constru´ımos tranças σ}0, σ1, σ2a partir da aplicação

f como antes. Ent˜ao,

(a) σ0= (ρ11ρ12B−1)φ1(ρ21, ρ22)φ2(ρ21, ρ22),

(b) σ1= ρ11φ1(B−1ρ21, ρ22),

(c) σ2= ρ12φ2(B−1ρ21B, B−1ρ22).

Demonstração: Inicialmente construiremos as tranças σ0, σ1, σ2, recordamos que a retração

leva todos os pontos na regi˜ao do trap´ezio, ver figura 4.1, no ponto x2 , logo d(a1S1a−1₁ ) =

d(S1) = S1 pois S⊂ P◦ e d|P_◦ = IdP_◦. Assim, d(a1S1a−1₁ ) = ρ1 (nesse caso a igualdade sig-

nifica que d(a1S1a−1₁ ) e ρ1s˜ao homot´opicos). Analogamente temos d(a2S2a−1₂ ) = ρ2. Por fim,

sabendo que a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ (a0S0a−1₀ )−1 ´e contr´atil segue que a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ = a0S0a−1₀ ,

portanto d(a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ ) = d(a0S0a0−1).

Assim temos, σ1= (a1S1a₁−1, f (a1S1a−1₁ )) = (a1S1a−1₁ , i ◦ f◦◦ d(a1S1a−1₁ )) = (a1S1a−1₁ , i ◦ f◦(ρ1)) = (a1S1a−1₁ , φ1(ρ1, ρ2)); σ2= (a2S2a₂−1, f (a2S2a−1₂ )) = (a2S2a−1₂ , i ◦ f◦◦ d(a2S2a−1₂ )) = (a2S2a−1₂ , i ◦ f◦(ρ2)) = (a2S2a−1₂ , φ2(ρ1, ρ2)); σ0= (a0S0a₀−1, f (a0S0a−1₀ )) = (a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ , f (a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ )) = (a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ , i ◦ f◦◦ d(a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ )) = (a1S1a−1₁ a2S2a−1₂ , i ◦ f◦(ρ1ρ2)) = (a1S1a−1₁ a2S2a₂−1, φ1(ρ1, ρ2)φ2(ρ1, ρ2)).

Com as figuras a seguir verificamos a validade das relac¸˜oes(a), (b) e (c):

Figura 4.2: Relac¸˜ao (a)

Figura 4.3: Relac¸˜ao (b)

4.1 A aplicac¸˜ao modelo 43

Agora vamos mostrar que a equação 4.1 não tem solução emπ1(P × P \ ∆) :

Vamos fazer uso do Lema 4.5, nesse caso considerando i_{◦ f}_◦= φ_{◦ η}m,ncom ,

φ1(ρ1, ρ2) = (ρ12ρ2ρ1−1ρ2−1)

φ2(ρ1, ρ2) = (ρ12ρ2ρ1−1ρ2−1)

pois, a menos de homotopia podemos considerar ρ1eρ2 como sendo lac¸os que d˜ao uma volta

completa na S1, assim temos :

i_{◦ f}_◦_{◦ ρ}1= φ◦ ηm,n◦ ρ1= φ (ρ1m) = (ρ12ρ2ρ₁−1ρ₂−1)m i_{◦ f}_◦_{◦ ρ}2= φ◦ ηm,n◦ ρ2= φ (ρ2n) = (ρ12ρ2ρ₁−1ρ₂−1)n Do Lema 4.5 segue , σ0 = (ρ11ρ12B−1)(ρ₂₁2ρ22ρ₂₁−1ρ₂₂−1)m+n σ1 = ρ11((B−1ρ21)2ρ22ρ21−1Bρ22−1)m σ2 = ρ12B−1(ρ₂₁2ρ22B−1ρ₂₁−1Bρ₂₂−1)nB.

Agora, aplicando o homomorfismoθ : π1(P × P \ ∆) → F2obtemos,

θ (σ0) = αm+n−1

θ (σ1) = (β−1α)m−1

θ (σ2) = β−1(α2β−1α−1β )nβ

Consideremos o seguinte homomorfismo l : F2→ Z×Z, definido na base por l(α) = (1,0) e

l(β ) = (0, 1) (ao definir o homomorfismo l estamos abelianizando o grupo livre F2), em seguida

estendemos por linearidade. Agora aplicando l_{◦ θ em 4.1 obtemos,}

l_{◦ θ(u}1σ1u−1₁ u2σ2u−1₂ ) =

= l ◦ θ(u0σ0u−1₀ )

= l ◦ θ(u1)l ◦ θ (σ1)(l ◦ θ(u1))−1l◦ θ(u2)l ◦ θ (σ2)(l ◦ θ(u2))−1

assim temos l_{◦ θ(σ}1)l ◦ θ(σ2) = l ◦ θ(σ0) , o que implica

l(β )−m+1l(α)m−1l(β )−1l(α)2nl(β )−nl(β )nl(α)−nl(β ) = l(α)m+n−1, portanto l(β )−m+1= 1.

Logo m_{− 1 = 0, ou seja, m = 1 , segue ent˜ao que θ (σ}1) = 1.

Al´em disso, temos θ (σ2) e θ (σ0) conjugados em F2. Mas quando n6= 0, θ(σ2) e θ (σ0)

apresentam formas c´ıclicas reduzidas distintas (basta notar que as formas c´ıclicas reduzidas de θ (σ2) e θ (σ0) s˜ao αm+n−1e(α2β−1α−1β )n, respectivamente), assim n˜ao podem ser conjuga-

dos ( [17], p´agina 9). Por outro lado,

θ´(σ0) = (β−1αβ−1α−1β α)n+1

θ´_(σ

1) = 1

θ´(σ2) = (αβ−1)n+1.

Aplicandoθá equação 4.1 obtemos,θ´(σ2) = [θ´(u2)−1θ´(u0)]θ´(σ0)[θ´(u2)−1θ´(u0)]−1,

ou seja ,θ´_(σ

0) e θ´(σ2) s˜ao conjugados . Mas, θ´(σ0) e θ´(σ2) apresentam formas c´ıclicas re-

duzidas distintas se n_{6= −1 ( note que θ}´(σ0) e θ´(σ2) est˜ao nas suas formas c´ıclicas reduzidas)

⇒ θ´_(σ

0) e θ´(σ2) n˜ao podem ser conjugados se n 6= −1.

Logo, a equação 4.1 não tem solução emπ1(P × P \ ∆). Assim, completamos a prova da

Proposic¸˜ao.

No documento Pontos fixos e os contra-exemplos de Jiang (páginas 40-53)