Transplantac¸˜ao - Pontos fixos e os contra-exemplos de Jiang

Agora transplantaremos a nossa aplicac¸˜ao modelo de P para outras superf´ıcies.

Proposic¸˜ao 4.6. Seja M uma superf´ıcie compacta e conexa. Suponha P mergulhado como um

subpoliedro de M e a inclus˜ao induzindo um monomorfismo iπ:π1(P) → π1(M). Seja φ : S1→ P

a aplicação definida no in´ıcio da seção 4.1. Seja f : M_{→ M, definida por f = i ◦ φ ◦ ψ , onde}

ψ : M → S1_{. Então toda aplicação homotópica a f tem um ponto fixo.}

Demonstrac¸˜ao: Seja _{ht}t∈I : f ≃ g : M → M uma homotopia. Mostraremos que g tem um

ponto fixo.

4.2 Transplantac¸˜ao 45

substituimos M por Mc:_{= M ∪}_{∂ M}(∂ M_{× I), e {h}t}t∈I por{hct}t∈I := {ic◦ ht◦ rc}t∈I, onde ic :

M_{→ M}c é a inclusão, rc: Mc_{→ M é a retração. Logo, f}c:= hc₀= ic_{◦ f ◦r}c= (ic_{◦i)◦φ ◦(ψ ◦r}c). Considerando ic_{◦ i : P → M}c como a inclusão de P em Mc, temos que fc ainda está sob as hipóteses da proposição.

Note que gc:= hc

1tem ponto fixo se, e somente se, g tem ponto fixo. De fato, se x∈ Fix(gc)

ent˜ao x= ic(h1(rc(x))) = ic(g(rc(x))) = g(rc(x)). Temos que g(rc(x)) ∈ M e assim x ∈ M, mas

rc: Mc_{→ M é a retração, portanto r}c_|M = IdM, logo rc(x) = x, disto segue que x = g(x).

Rec´ıprocamente, se x_{∈ Fix(g) temos x ∈ M e assim r}c(x) = x. Logo, gc(x) = ic(h1(rc(x))) =

ic(g(x)) = ic_{(x) = x.}

Ent˜ao, seS_t_∈Iht(M) n˜ao estiver contido em M◦consideramos Mc. Nesse casoSt∈Ihtc(Mc)

est´a sempre contido no interior de Mc.

Sejam eMespaço de recobrimento de M e p : eM_{→ M a aplicação de recobrimento associada,}

tal que iπ(π1(P)) = pπ(π1( eM)) (tomamos um ponto de P como ponto base de ambos P e M).

Ent˜ao, de acordo com o teorema 1.8, a inclus˜ao i : P_{→ M pode ser levantado para um mergulho}

i′: P_{→ e}Mque induz um isomorfismo de grupos fundamentais. Portanto i′_|P◦: P◦→ fM◦tamb´em

induz isomorfismo entre grupos fundamentais. Do conhecido teorema de classificação de superf´ıcies, com grupos fundamentais finitamente gerados, temos fM◦ é homeomorfo a P◦. Segue que para todo subconjunto compacto K_{⊂ f}M◦, existe uma fam´ılia de mergulhos_{{ j}t: P→ eM◦}t∈I,

tal que j0= i ′ , j1(P) ⊃ K e i ′ (P) ⊂ jt(P), para todo t ∈ I. e M p P i′ ?? i //_M

Tome f′= i′_{◦ φ ◦ ψ : M → e}Me ef = f′_{◦ p : e}M_{→ e}M. Temos, para todo x_{∈ M, p ◦ f}′(x) = (p ◦i′◦φ ◦ψ)(x), como i′ é um levantamento de i temos p_◦i′_{= i, assim p ◦ f}′_{(x) = (i ◦φ ◦ψ)(x),} ou seja, p_{◦ f}′_{= i ◦ φ ◦ ψ = f . Além disso, temos p ◦ ef= p ◦ f}′_{◦ p = (i ◦ φ ◦ ψ) ◦ p = f ◦ p, isto} é, ef é um levantamento de f .

e M p ef //_M_e p M f′ ~?? ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ψ f //_M S1 φ //P i OO

Pela propriedade de levantamento de homotopia, teorema 1.9, a homotopia_{ht}t_∈I : f ≃ g : M_{→ M pode ser levantada para uma homotopia {h}′_t_}t∈I : f′≃ g′ : eM→ eM, isto ´e, p◦ h′t = ht,

para todo t _{∈ I. Ent˜ao e}H:_{= {e}ht_}t_∈I, com eh= ht′◦ p, ´e um levantamento de H := {ht}t_∈I, pois p_{◦ e}ht= p ◦ h

′

t◦ p = ht◦ p.

TemosS_t_∈Ihte( eM) =S_t_∈Ih_t′(M). De fato, se eht(x_e_{) ∈}S_t_∈Ihte( eM), ent˜ao eht(_ex) = h′t(p(xe)),

portanto eht(ex) ∈St_∈Ih

′

t(M). Por outro lado, seja h

′

t(x) ∈St_∈Ih

′

t(M), como p ´e sobrejetora

existex_e_{∈ e}Mtal que p(_ex) = x. Logo temos h′t(x) = h′t(p(xe)) = (h′t◦ p)(ex) = eht(xe) ∈St∈Ieht( eM).

Como H′ _{= {h}′t}t∈I ´e cont´ınua e M ´e compacto, segue que St_∈Ieh( eM) = St_∈Ih

′

t(M) =

H′_{(M × I) ´e compacto, al´em disso temos}S_t_∈Ieh( eM_{) ⊂ e}M◦.

De acordo com os par´agrafos anteriores, podemos garantir a existˆencia de uma fam´ılia cont´ınua de mergulhos _{{ j}t : P→ eM◦}t_∈I tal que, j0= i

′

, j1(P) ⊃St∈Ieht( eM), e i′(P) ⊂ jt(P),

para todo t_{∈ I.}

Considere a homotopia_{kt : P→ P}t_∈I definida por kt(x) =    j_2t−1_{◦ ef◦ j}2t(x), para x∈ P, 0 ≤ t ≤ 1/2, j₁−1_◦eh2t−1◦ j1(x), para x∈ P, 1/2 ≤ t ≤ 1.

Segue das propriedades de_{{ j}t}t∈I que a aplicação acima está bem definida .

Observamos que,

k0= i

′₋₁

◦ ef◦ i′ = i′−1_{◦ (i}′_{◦ φ ◦ ψ ◦ p) ◦ i}′ _{= φ ◦ (ψ ◦ i) = (φ ◦ ψ) ◦ i.}

Da proposição 4.2 segue que k1: P→ P tem um ponto fixo x. Logo j1(x) é um ponto fixo

de g_e, pois x= k1(x) = j1−1(eh1◦ j1(x)) = j1−1(ge◦ j1(x)), portantoge( j1(x)) = j1(x), ou seja,

j1(x) ∈ Fix(eg)

4.2 Transplantac¸˜ao 47 g_{(p ◦ j}1(x)) = = g ◦ p( j1(x)) = p ◦ eg( j1(x)) = p(g_e( j1(x)) = p( j1(x))

ou seja, p( j1(x)) ´e um ponto fixo de g.

Corol´ario 4.7. Seja M uma superf´ıcie compacta e conexa. Suponha que o disco com dois furos

P possa ser mergulhado como um subpoliedro de M, tal que a inclus˜ao i : P_{→ M induz um}

monomorfismo iπ :π1(P) → π1(M), e alguma componente do bordo de P seja um retrato de M.

Então existe uma aplicação f : M_{→ M tal que N( f ) = 0 < MF[ f ].}

Demonstrac¸˜ao: Suponha a que a componente S1, ver figura 4.1, do bordo de P seja um retrato

de M, considere a retrac¸˜ao r : M _{→ S}1. Sejam h : S1→ S1 um homeomorfismo preservando

orientação e φ : S1 _{→ P a aplicação que aparece na seção 4.1. Mostraremos que a aplicação}

f :_{= i ◦ φ ◦ h ◦ r tem a propriedade desejada.}

Da proposição 4.6 segue MF_{[ f ] > 0 (considerando ψ = h ◦ r : M → P ). Por outro lado, pela} comutatividade do número de Nielsen temos N_{( f ) = N(i ◦ φ ◦ h ◦ r) = N(h ◦ r ◦ i ◦ φ).}

E f´acil ver que o grau de h_{◦ (r ◦ i) ◦ φ : S}1_{→ S}1 ´e 1. De fato, temos que_{(h ◦ r ◦ i ◦ φ)}1∗=

(h)1∗◦ (r ◦ i)1∗◦ (φ)1∗: H1(S1, Z) → H1(S1, Z), como H1(S1, Z) ´e isomorfo a Z, considerando

que esse isomorfismo fac¸a corresponder o gerador de H1(S1, Z) (que ´e a classe em H1(S1, Z)

representada pelo laço denotado porα que dá uma volta na S1_{no sentido horário) com o número}

1 que ´e gerador de Z. Logo, podemos considerar(h1)∗◦ (r ◦ i)1∗◦ (φ)1∗: Z→ Z.

Os laçosρ1eρ2são homotópicos ao laçoα, portanto em H1(S1, Z) esses três laços repre-

sentam a mesma classe. Pela definição da aplicaçãoφ temos que φ (α) = ρ12ρ2ρ1−1ρ2−1, logo

(φ1)∗(1) = 2 + 1 − 1 − 1 = 1.

Por outro lado, a aplicação r_{◦ i : S}1→ S1 é igual a aplicação identidade Id : S1→ S1, pois r

é uma retração de M em S1. Comoα e S1são homotópicos (nesse caso estamos considerando

S1como um lac¸o), segue que em H1(S1, Z) as classes representadas por α e S1s˜ao iguais, assim

(r ◦ i)(S1) = S1 implica (r ◦ i)1∗(1) = 1. Note ainda que h1∗ é igual a aplicação identidade

Logo(h)1∗◦ (r ◦ i)1∗◦ (φ)1∗(1) = 1, portanto o traço dessa aplicação é igual a 1, além disso

podemos concluir que o grau de h_{◦ (r ◦ i) ◦ φ ´e igual a 1 . Por outro lado, (h)}0∗◦ (r ◦ i)0∗◦ (φ)0∗

é igual a aplicação identidade, portanto seu traço é igual a 1, além disso para todo n_{≥ 2 sabemos} que(h)n_∗◦ (r ◦ i)n_∗◦ (φ)n_∗ é a função constante nula, logo o seu traço é zero.

Das considerações acima segue que o número de Lefchetz L_{(h ◦ (r ◦ i) ◦ φ) = 1 − 1 = 0.} Mas do teorema 1.44 temos que 0_{= L(h ◦ (r ◦ i) ◦ φ) = 1 − n , onde n é a grau geométrico} de h_{◦ (r ◦ i) ◦ φ, isso nos diz que n = 1. Da proposição 1.45 temos que N(h ◦ (r ◦ i) ◦ φ) =}

MF_{[h ◦ (r ◦ i) ◦ φ] = |1 − n| = 0.}

Lema 4.8. Seja M uma superf´ıcie compacta e conexa com caracter´ıstica de Euler χ(M) < 0.

Então o disco com dois furos P pode ser mergulhado como um subpoliedro de M tal que a inclusão induz um monomorfismo entre π1(P) e π1(M), e a componente S1do bordo de P é um

retrato de M.

Demonstração: (demonstração do Teorema 4.1)

A demonstração do teorema 4.1 segue imediatamente do lema 4.8 e do corolário 4.7. Se X é um poliedro conexo e compacto, sem pontos de corte local, e com caracter´ıstica de Euler negativa não negativa, então N_{( f ) = MF[ f ] para toda aplicação f : X → X. Esse fato e o} teorama 4.1 são suficientes para demonstrar o seguinte resultado,

Teorema 4.9. Seja X uma superf´ıcie compacta e conexa. Ent˜ao N( f ) = MF[ f ], para toda

aplicac¸˜ao f : X _{→ X se, e somente se, a superf´ıcie X tem caracter´ıstica de Euler χ(X) ≥ 0.}

Demonstração: Suponha que N_{( f ) = MF[ f ] para toda f : X → X. Se χ(X) fosse negativa} seguiria, do teorema 4.1, a existência de uma aplicação f : X_{→ X tal que N( f ) = 0 < MF[ f ], o} que contradiz a nossa suposição inicial. Logo X não pode ser uma superf´ıcie com caracter´ıstica de Euler negativa.

Rec´ıprocamente, suponhamos que _{χ(X) ≥ 0. Al´em disso, sabemos que X n˜ao tem pontos}

de corte local, segue ent˜ao que N( f ) = MF[ f ].

Nota: O método de tranformar os problemas de pontos fixos em equações no grupo de tranças, que usamos com sucesso no cap´ıtulo 3 e na seção 4.2, funciona bem para superf´ıcies, mas a forma da equação resultante difere de superf´ıcie para superf´ıcie, e as dificuldades algébricas

4.2 Transplantac¸˜ao 49

envolvidas variam consideravelmente. Por exemplo quando a superf´ıcie é o toro pinçado T, a equação no grupo de trançasπ1(T × T \ ∆) toma a forma

[γ1υ1, γ2υ2] = u0σ0u−1₀ (4.2)

onde [, ] denota comutador, σ0, γ1, γ2 são coeficientes determinados pela aplicação dada, en-

quanto u0, υ1, υ2não são conhecidos. A aplicação dada pode ser deformada para uma aplicação

livre de pontos fixos se, e somente se, a equação 4.2 tem solução u0, υ1, υ2no subgrupo normal

ker(p_1π_{) ∩ ker(p}_2π), onde p_1π, p_2π:π1(T × T \ ∆) → π1(T ) s˜ao os homomorfismos induzidos

pelas projec¸˜oes p1 e p2, respectivamente. O par desconhecido υ1, υ2 no comutador torna a

Cap´ıtulo

5 Equações com tranças

Nos cap´ıtulos 3 e 4 a Teoria de Tranças exerceu papel chave na construção de contra - exemplos, mostrando que o número de Nielsen não é realizável, em geral, no caso de auto - aplicações definidas em variedades.

Nesse cap´ıtulo, relacionamos equações com “tranças” e os pontos fixos de uma auto - aplicação definida em uma superf´ıcie compacta. Nosso objetivo ao abordar esse resultado é evidenciar a importância da Teoria de Tranças como ferramenta na resolução de problemas da Teoria de Pontos Fixos como, por exemplo, determinar MF[ f ], onde M é uma superf´ıcie com- pacta e conexa, e f : M_{→ M uma aplicação com um conjunto de pontos fixos finito satisfazendo}

Fix_{( f ) ⊂ M}◦_{= M \ ∂ M (esse resultado aparece em [13], p´agina 134).}

5.1 Equações com tranças

Sejam M uma superf´ıcie compacta e conexa, com _{{0} = π}2(M), e x1, x2 pontos distintos em

M◦_{= M \ ∂ M, recordemos que o grupo π}1(M × M \ ∆,(x1, x2)) ´e o grupo de tranc¸as de M, onde

∆ = {(x,x) | x ∈ M}. Sejam i : M × M \ ∆ → M × M a inclusão, pk:(y1, y2) 7→ ykas projeções, i1: y7→ (y,x2) e i2: y7→ (x1, y) as inclusões dos fatores.

Seja U _{⊂ M uma carta orient´avel homeomorfa ao R}2contendo x1, x2. Em U\ {x1} existe

um laço b, com ponto base x2, que dá uma volta em x1no sentido positivo da orientação de U .

A i2-imagem do laço b em M× M \ ∆ representa uma trança B no grupo de tranças de M.

Suponha_{∂ M com n componentes, onde n ≥ 0. Escolhendo de forma arbitrária pontos base} e orientações, denotaremos por S1, S2, ... , Sn as componentes de∂ M. Seja D um disco em U

5.1 Equações com tranças 51

orientac¸˜ao de U .

Seja f : M_{→ M uma aplicac¸˜ao com f (x}1) = x2, tal que Fix( f ) seja finito e esteja contido

em M◦_{= M \ ∂ M. Para i = 1, ... ,n, seja a}ium caminho em M\ Fix( f ) ligando x1ao ponto base

de Si.

Vamos considerar f : M_{→ M × M aplicação definida por f (x) = (x, f (x)). Denotando por} ωi o laço aiSia−1_i em M, temos que o laço f◦ ωi⊂ M × M \ ∆ representa uma trança σi em

π1(M × M \ ∆,(x1, x2)), pois Fix( f ) ⊂ M◦e ai∩ Fix( f ) = /0.

Figura 5.1: A superf´ıcie M

Teorema 5.1. Seja f : M_{→ M como antes. Seja k ≥ 0, i}1, i2, ..., ik∈ Z. Então as seguintes duas condições são equivalentes:

(I) Existe uma aplicac¸˜ao g_{≃ f : M → M, com k pontos fixos de ´ındices i}1, i2, ..., ik respecti- vamente.

(II) Existe um homomorfismo

φ : π1(M \ D◦, x1) → π1(M × M \ ∆,(x1, x2))

e elementos

ui∈ ker(iπ :π1(M × M \ ∆) → π1(M × M)), i = 1,2,...,n,

tal que o diagrama π1(M \ D◦) φ // iπ π1(M × M \ ∆) iπ π1(M) f_π //π1(M × M) comuta, e φ ([ωi]) = uiσiu−1i , para i= 1, 2, ..., n, φ ([T ]) = v1Bi1v−1₁ ... vkBikv−1_k .

Demonstrac¸˜ao: Suponhamos que exista g_{≃ f : M → M, com k pontos fixos de ´ındices i}1, i2, ..., ik

respectivamente.

Podemos assumir que g_{≃ f , relativamente a ∂ M ∪ {x}1}. Se g n˜ao for homot´opica a f ,

relativamente a _{∂ M ∪ {x}1}, procedemos da seguinte maneira : Como g ≃ f e ambas n˜ao tˆem

pontos fixos em_{∂ M ∪ {x}1}, então, do Lema 3.1 cap´ıtulo 3, segue a existência de uma aplicação

hhomot´opica a f , relativamente a_{∂ M ∪ {x}1}, com Fix(h) = Fix(g). Assim, consideramos h no

lugar de g.

Podemos assumir tamb´em que Fix_{(g) ⊂ D}◦_{= D \ ∂ D.}

Sejaφ = g_π :π1(M \ D◦) → π1(M × M \ ∆). Como g ≃ f , relativamente a ∂ M ∪ {x1}, ent˜ao

g_{≃ f e portanto g}_π = fπ, assim o diagrama em (II) comuta. Al´em disso,φ [ωi] ´e representado

pelo lac¸o g_{◦ ω}i, com

g_{◦ ω}i= g ◦ aiSia−1_i = (g ◦ ai)(g ◦ Si)(g ◦ ai)−1 ∗= (g ◦ ai)( f ◦ Si)(g ◦ ai)−1

A igualdade_{∗ ocorre pois g ≃ f , relativamente a ∂ M ∪{x}1}, ou seja, g|_{∂ M∪{x}₁_}= f |_{∂ M∪{x}₁_},

portanto g_|_{∂ M∪{x}₁_}= f_|_{∂ M∪{x}₁_}e como Si⊂ ∂ M ∪ {x1}, ent˜ao g ◦ Si= f ◦ Si.

∴g◦ ω_i≃ (g ◦ a_i)( f ◦ a_i)−1( f ◦ ω_i)( f◦ a_i)(g ◦ a_i)−1. Logo,φ [ωi] = uiσiu−1_i , com

5.1 Equações com tranças 53

Como g_{≃ f , ent˜ao g}_π([ai]) fπ([ai]−1) ´e o elemento neutro do grupo π1(M × M). Portanto

ui_{∈ Ker(i}π).

Figura 5.2: A carta orient´avel U

Vamos denotar por y1, y2, ..., yk os pontos fixos de g. Para cada j = 1, 2, 3, ..., k, tomamos Dj disco centrado em yj pequeno o suficiente para que tenhamos Dj∩ Di = /0, sempre que i_{6= j. Desenhamos arcos b}j ligando x1 a ∂ Dj, e seja Tj o lac¸o obtido ao orientarmos ∂ Dj,

como descrito na figura 5.2. Então _{φ [T ] é representado por ∏ g ◦ (b}jTjb−1_j ), pois os laços T e

∏(bjTjbj−1) s˜ao homot´opicos.

Para cada j tome um caminho cj em U×U \ ∆ unindo os pontos finais de g ◦ bj, de modo

que p1◦ cj= bj. Seja vj= [(g◦ bj)c−1j ] ∈ π1(M × M \ ∆). Ent˜ao,

[g ◦ (bjTjbj−1)] =

= [(g_{◦ (b}j)c−1_j cj(g ◦ (Tj))c−1_j cjg◦ (bj−1)]

= [g ◦ (bj)c−1_j ][cj(g ◦ (Tj))c−1_j ][cjg◦ (bj−1)]

= vj[cj(g◦ (Tj))c−1_j ]vj−1

e p_1π(vj) = 1. Agora [cj(g◦Tj)cj−1] ∈ π1(U ×U \∆) = π1(R2×R2\∆), o grupo infinito c´ıclico

gerado por B. Desde que o ´ındice do ponto yj ´e ij, temos[cj(g ◦ Tj)cj−1] = Bij. Portanto segue

a f´ormula paraφ [T ].

Reciprocamente, suponhamos válida a condição (II), construiremos a aplicação g em várias etapas. Inicialmente tomamos um colar C sobre ∂ M pequeno o suficiente de tal forma a não conter pontos fixos da aplicação f .

seja, existe uma aplicação r : M_{→ M}c denominada retração que satisfaz i◦ r ≃ Id : M → M e r_{◦ i = Id : M}c→ Mc, onde i : Mc→ M é a inclusão. Substituindo f por r ◦ f ◦ i, se necessário,

podemos assumir que f é uma aplicação de Mcem Mc.

Constru´ımos os ai,sse cruzando transversalmente, interceptando C de forma ortogonal, to-

cando D somente em x1e evitando x2. Seja A a uni˜ao dos caminhos ai∩ Mc, i= 1, ..., k.

Inicialmente definiremos g sobre C_{∪ A ∪ D. Seja g = f em C ∪ {x}1}, estendemos g sobre

cada ai, sem pontos fixos, com valor x2 exceto em uma pequena vizinhanc¸a V do colar C, para

evitar problemas com os cruzamentos de A. Em ai∩V definimos g de modo que (g◦ai)( f ◦ai)−1

seja contrátil em M_{× M, ou seja, é um laço que representa um elemento u}i∈ Ker(iπ). Assim

temos, g_{≃ f : C ∪ A → M, relativamente a C ∪ {x}1}.

Para j= 1, 2, ..., k, tomamos Dje bjcomo na figura 5.2. Definimos g sobre cada bjde modo

que g_{◦ b}j⊂ M \ D, e observamos que (g ◦ bj)(i ◦ bj)−1 representa um elemento vj∈ Ker(p1π).

Em cada Dja aplicação está definida somente em um ponto sobre∂ Dj, com valor x2, vamos

definir agora g sobre os outros pontos de ∂ Dj. Queremos que yj seja um ponto fixo de g com

´ındice ij, ent˜ao vamos considerar um disco L , com x2∈ ∂ L e D ⊂ L◦= L \ ∂ L, quando o ponto

xpercorrer∂ Dj, considerando a mesma orientac¸˜ao de U , definimos g(x) de tal forma que g(x)

dê ij+ 1 voltas em ∂ L, no sentido positivo da orientação de U.

Seja x pertencente ao interior de Dj, vamos denotar por rx o raio do disco Dj que cont´em

o ponto x, e x= rx∩ ∂ Dj. Podemos considerar rx = {(1 − t)yj+ tx | t ∈ [0,1]}, assim existe tx∈ [0,1] tal que x = (1 − tx)yj+ txx, e assim definimos g(x) = (1 − tx)yj+ txg(x). Logo g est´a

definida em Dj, com yjcomo ponto fixo de ´ındice ij.

Podemos tamb´em definir g sobre D_{\ {D}j, bj| j = 1,2,...,k}, sem acrescentar novos pontos

fixos.

Assim definimos g : C_{∪A∪D → M. Podemos estender a homotopia g ≃ f : C ∪A → M para}

uma homotopia g_{≃ f : C ∪ A ∪ D → M, pois D ´e contr´atil.}

Observamos que a construção da aplicação g garante g_π([ωi]) = φ ([ωi]) e gπ([T ]) = φ ([T ]).

5.1 Equações com tranças 55 π1(C ∪ A ∪ ∂ D) g_π // iπ π1(M × M \ ∆) iπ π1(M \ D◦) _φ //π1(M × M \ ∆)

Pela teoria de obstrução ( [6], Proposição. 11_{.1), g|}C∪A∪D pode ser estendida para uma

aplicac¸˜ao h : M_{\ D}◦_{→ M × M \ ∆, com h}π = φ . Combinando h : M \ D◦→ M × M \ ∆ com a

aplicac¸˜ao g_|D: D→ M × M obtemos h : M → M × M.

Comparando o diagrama comutativo

π1(M \ D◦) φ // iπ π1(M × M \ ∆) iπ π1(M) _h π //_π₁_{(M × M)}

com a condic¸˜ao (II), vemos que hπ = fπ : π1(M) → π1(M × M), pois as flechas verticais

são sobrejetoras . Novamente aplicando a teoria de obstrução ( [6], Proposição 17.1, com a hipóteseπ2(M) = {0}, que nos garante π2(M × M) = π2(M) ⊕ π2(M) = {0}), podemos esten-

der a homotopia g_{≃ f : C ∪ A ∪ D → M × M, relativamente a C ∪ {x}1}, para uma homotopia

h_{≃ f : M → M × M, relativamente a C ∪ {x}1}. Podemos ainda assumir que essa homotopia

envia Mcem Mc× M.

A aplicação p1 é cont´ınua, e como h ≃ f , então p1◦ h ≃ inclusão = i : Mc\ D◦ → Mc,

relativamente a_{∂ M ∪ A ∪ ∂ D. Denotando por {h}t}t∈I a homotopia entre p1◦ h e i, temos h0=

p1◦ h, e h1= i. Como Mc⊂ M◦, então a projeção p1: Mc× M → Mc é uma fibração e portanto

tem a propriedade de levantamento de homotopia. Logo a homotopia p1◦ h ≃ i levanta para

uma homotopia h_{≃ h}′: Mc\ D◦→ Mc× M \ ∆, relativamente a ∂ Mc∪ A ∪ ∂ D. A aplicac¸˜ao h

′

é o gráfico de uma aplicação g′ : Mc\ D◦→ M, sem pontos fixos, pois p1◦ h′= i. Além disso,

g′= h = g em ∂ M_◦_{∪ A ∪ ∂ D. Então g}′ estende a aplicação g anterior para uma nova g : M_{→ M,} com apenas k pontos fixos y1, y2, ..., yk.

A homotopia h_{≃ h}′ se estende para uma homotopia h_{≃ g : M → M × M, relativamente a}

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