O exemplo dos queijos: quanto cabe em cada caixa?

Na aula do dia seguinte, dia 17 de abril, a professora solicita que eles resolvam problemas envolvendo a interpretação dos enunciados para a mobilização da operação de multiplicação. O primeiro problema era o seguinte.

1. Meus primos compraram três caixas de queijo. Ao abri-las contamos 24 queijos no total. Quantos queijos há em cada caixa? Complete a tabela.

Caixas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Quantos queijos? 8 16 24 32

Ao explicar o exercício, a professora fala que os alunos devem olhar para as informações da tabela que acompanha o exercício.

Excerto 27

Professora: Eu estou dando o dado. Rosângela: Como assim “dado”?

Professora: Dei a tabela preenchida, como vocês vão completar o resto? Rosângela: Ah... [Mas parece não entender]

Rosângela entende que deve fazer a multiplicação conforme a tabela da aula anterior, multiplicando os números da primeira linha por algum outro número, mas não identifica qual. Ela consulta a folha de tabuada que tem colada no caderno, mas não observa o “padrão” que os resultados da tabela do exercício seguem. Rosângela não leva em consideração o número 8, quantidade de queijos em uma caixa. Ela intui que o exercício envolve a operação de multiplicação e opta por fazer as bolinhas, “mas eu vou fazer as bolinhas”, como haviam feito na aula anterior, contudo, não sabe quantos grupos e nem quantas bolinhas deve desenhar em cada grupo. Juntamente com esse problema, alguns cálculos no formato do algoritmo são escritos no quadro, e Antônio opta por resolvê-los primeiro, justificando que o problema “é mais difícil, vou deixar para depois”.

Diante das manifestações de incompreensão do problema, a professora decide apresentar a interpretação do problema e o que deve ser identificado no enunciado para resolvê-lo.

Excerto 28

Professora: Olha a dica: “Meus primos compraram três caixas de queijo. Ao abri-las contamos 24 queijos no total. Quantos queijos há em cada caixa?” Se em três caixas tem vinte e quatro que é o que diz aqui, em duas tem dezesseis e em uma tem oito. Eu te dei essas dicas, né? [mostrando os valores que estão informados na tabela] Quantos vai ter em cinco caixas?

Antônio: Aah daí dá... eu fui completando o resto. [No momento da explicação, Antônio havia realizado a atividade]

Clara: Quarenta e cinco.

Professora: Se em uma tem oito, em cinco... vai ser oito mais oito mais oito... ou oito vezes cinco.

[Silêncio]

Professora: O que vocês não tinham entendido?

Rosângela: Agora eu entendi, professora. Eu pensei que tinha que pegar uma vezes o dois, duas vezes o cinco... que nem aquela tabela que a gente fazia.

Professora: Mas daí como é que tu está multiplicando? [Rosângela não responde] Ao iniciar a explicação, a professora salienta que devem olhar a dica, referindo-se à tabela que acompanha o enunciado. No momento dessa exposição, Antônio já havia completado o exercício, e percebeu que os valores seguem um padrão e, para obter os resultados foi

“completando o resto”. Ele explica que os valores estão “aumentando certinho”, logo, para obter os resultados somou o número 8 a cada um dos valores anteriores.

Observo que, para a professora, esse problema deveria ser fácil de ser interpretado e resolvido pelos alunos. Várias vezes fala que o enunciado contém todas as informações necessárias para a resolução. Após a explicação, ela pergunta: “o que vocês não tinham entendido?”, talvez numa tentativa de mostrar a eles que não há necessidade de efetuar cálculos para completar a tabela. Percebemos que no enunciado desse problema não há informação de que cada caixa contém a mesma quantidade de queijos, essa interpretação está implícita e só pode ser percebida com o auxílio da tabela. A expectativa da professora é que os alunos relacionem a tabela com as informações do enunciado, percebendo o padrão de crescimento dos números. Ao perceber que os alunos não relacionam os números a serem completados com a operação de multiplicação, utiliza desenhos para ilustrar.

Excerto 29

Antônio: Numa caixa cabe oito.

Professora: Ó, pelo enunciado: se três caixas têm vinte e quatro queijos, aqui ó, caixas e quantos queijos [mostrando as correspondências na tabela]. Ele achou que em três caixas tinha vinte e quatro.

Antônio: Cada caixa tem que ter uma quantia né? Professora: Em duas caixas quantos tem?

Antônio: Dezesseis. Professora: Em uma? Antônio: Oito.

Professora: Oito. Então em uma caixa tem oito queijinhos. [Faz um desenho de uma caixa com oito círculos dentro para representar os queijos]. Em duas caixas tem dezesseis porque tem o dobro. Mais oito dá vinte e quatro, mais oito dá trinta e dois. Como se tu tivesse fazendo a tabuada.

Antônio percebe que deve haver uma quantidade fixa em cada uma das caixas. Isso não está escrito no enunciado, mas é sugerido pela tabela. Ele afirma que “em uma caixa cabe oito”, então esse número deve ser considerado para o total de queijos de acordo com a quantidade de caixas informadas. Antônio mostra que está habituado à matemática escolar e aos seus enunciados implícitos, como a ideia de que todos os queijos devem ter o mesmo peso ou de que a divisão deve ser feita em partes iguais.

A professora retoma a ideia da multiplicação como soma sucessiva de quantidades iguais utilizando o desenho da caixa com 8 unidades e associa com a construção da tabuada, somando 8 ao número da coluna anterior. O problema também pode ser resolvido por meio da operação de divisão, mas essas ideias ainda não haviam sido abordadas em aula. Mas, olhando apenas

para a tabela é possível completá-la e, para isso, a professora sugere que eles utilizem a ideia da multiplicação.

Excerto 30

Professora: Se em uma caixa tem oito, cada caixa tem oito queijos, então em cinco caixas vão ter oito vezes cinco, em seis caixas vai ter oito vezes seis. Porquê? São quantos queijos que tem? É sempre o oito, como se estivesse fazendo a tabuada do oito.

Posteriormente, outros problemas envolvendo quantidades fixas em caixas ou em grupos são trabalhados com os alunos. A professora enfatiza a necessidade da interpretação do enunciado para identificar a quantidade de itens por caixa e a quantidade de caixas, orientando que a operação de multiplicação está envolvida nesses casos.