“A curiosidade constante pela resolução de novos problemas é atributo seguro do homem altamente inteligente.”
Dr. José Reis1
Admite esse problema uma segunda solução, que seria a seguinte: O primeiro sócio receberá: 1 vaso cheio, 5 meio cheios e 1 vazio. O segundo sócio receberá: 3 vasos cheios, 1 meio cheio e 3 vazios.
Ao terceiro sócio caberia a mesma cota que foi concedida ao segundo, isto é, 3 vasos cheios, 1 meio cheio e 3 vazios.
Trata-se de um problema que pode ser resolvido aritmeticamente. Cf. E. Fourrey, Récréations arithmétiques, Paris, 1949, pág. 160.
No livro do Dr. Jules Regnault, Les calculateurs prodiges (Paris, 1952, pág. 421), encontramos um problema semelhante:
“Dividir 24 vasos por três pessoas, sendo 5 cheios, 8 vazios e 11 meio cheios”.
A resolução não oferece dificuldade.
Sob o título Un partage difficile (Uma partilha difícil), encontramos em Claude-Marcel Laurent, Problèmes amusants, Paris, 1948, pág. 42, o seguinte problema:
“Um mercador tem um vaso com 24 litros de vinho. Quer repartir esse vinho por 3 sócios, em 3 partes iguais, com 8 litros cada uma. O mercador só dispõe de 3 vasilhas vazias, cujas capacidades são respectivamente: 13 litros, 11 litros e 5 litros. Usando essas 3 vasilhas, como poderá ele dividir o vinho em 3 porções de 8 litros cada uma?”
Trata-se de um problema de outro gênero, mas muito fácil. A solução é obtida em nove tempos.
O Número π
“Muitos e muitos poetas, na Antigüidade, exaltaram o número. Pois o número é essência divina.” 1
M. A. Aubry O número π, que é um dos mais famosos em todos os quadrantes da matemática, já era conhecido, e a constância de seu valor já tinha sido percebida pelos geômetras da Antigüidade.
Tudo nos leva a afirmar, conforme podemos inferir de duas citações bíblicas, bem claras, que os judeus primitivos atribuíram ao número π um valor
inteiro igual a 3. No Livro dos Reis podemos ler, realmente, esta curiosa indicação:
“Fez também o mar de fundição redondo de dez côvados de uma borda à outra borda e de cinco de alto; um fio de trinta côvados era a medida de sua circunferência”.
Esse mar de fundição, esclarece o exegeta, não passava, afinal, de pequeno poço (de acordo com o costume egípcio) onde os padres se banhavam. Tendo o tal poço redondo 30 côvados de roda, o seu diâmetro (medido de uma borda à outra) era de 10 côvados. A conclusão é bem clara. A relação entre a circunferência (30) e o diâmetro (10) é exatamente 3. É esse o valor de π, revelado pela Bíblia2.
No Papiro Rhind, que é um dos documentos mais antigos da história da matemática, encontramos um curioso processo de cálculo da circunferência C, quando conhecemos o diâmetro D dessa circunferência. Das indicações expressas no papiro, inferimos que os geômetras egípcios, 4000 a.C, atribuíam ao número π um valor equivalente ao quadrado da fração
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que daria, em número decimal, 3,1605 - valor no qual π apresenta um erro que não chega a 2 centésimos de unidade. Arquimedes, já no século III a.C, provou que o número famoso deveria estar compreendido entre as frações:
1 3 7 e 10 3 71
Bháskara, geômetra indiano, admitia para o número π um valor expresso pelo número 317
120 , que equivalia ao número 3,1416.
1 Os versos de Aubry, aqui citados, figuram, com destaque, no frontispício do livro de Victor Thebault, Les récréations mathématiques, Paris, 1952.
2 Seguimos fielmente a tradução católica do padre Antônio Pereira de Figueiredo, com as anotações do revmo. Santos Varinha.
Ao matemático holandês Adrian Anthonisz, apelidado Metius1 (1527-
1607), os historiadores atribuem o valor 355
113 para o número π, que foi de largo
emprego durante os séculos XVI e XVII.
O alemão Johann Heinrich Lambert (1728-1777) teve a paciência de obter para o valor de π uma fração ordinária cujo numerador tinha dezesseis algarismos e o denominador, quinze. Cf. Scripta mathematica, 1944, vol. X, pág. 148.
Para a fixação de um valor aproximado de π (em número decimal), por meio de um artifício mnemônico, há várias frases.
O matemático francês Maurice Decerf, grande pesquisador de curiosidades, escreveu um pequeno poema, no qual cada palavra, pelo número de letras que encerra, corresponde a um algarismo do número π (em decimal).
Vamos indicar os dois primeiros versos desse poema:
“Que faime à faire connaitre un nombre utile aux sages Glorieux Archimède artiste ingénieux”.
Poderá o leitor contar, a partir do “que” inicial, o número de letras de cada palavra e obterá (para cada palavra) um algarismo da parte de ir:
3,14 159 265 358 979.
O curioso poema de Decerf, aproveitado na íntegra, dará o valor de π com 126 casas decimais. Mas nessas 126 primeiras casas decimais de π aparecem onze zeros. Cada zero o engenhoso poeta representou por meio de uma palavra de dez letras.
Há, ainda, para o valor de π, frases mnemônicas em espanhol, em alemão
e em inglês. Veja Matemática divertida e delirante (Ed. Saraiva), pág. 88. A frase em português mais simples e interessante é a seguinte: “Sou o medo e temor constante do menino vadio”.
Atualmente, graças aos computadores eletrônicos, o valor de π é
conhecido com mais de 8 milhões de casas decimais (Scientific American, fevereiro de 1983, pág. 61).
Não pertence o número π ao conjunto dos números racionais. Figura entre
os números que os analistas denominam números transcendentes2.
Eis uma série famosa, devida a Leibniz, que é igual a um quarto de π:
1 1 1 1 1
1
3 5 7 9 11
− + − + − +K
O número de termos, nessa série, é infinito, e os termos são alternadamente positivos e negativos3.
1 Esse matemático, sendo natural da cidade de Metz, tomou como pseudônimo Adrian Metius.
2 Não podemos esclarecer, neste livro, o conceito de número transcendente. Aos interessados, indicamos Problemas famosos e curiosos da matemática.
3 Veja as interessantes observações de Leon Brünschireg, Las etapas de la filosofia matemática, Buenos Aires, 1945, pág. 564. Destaquemos ainda um estudo do professor Luís Gonzaga de Sousa Lapa, subordinado ao título: Aplicação da fórmula de Euler e da série de Leibniz ao estudo do número pi, Teresina, 1945.
Para um estudo menos incompleto, convém ler Problemas famosos e curiosos da matemática, Ed. Saraiva, São Paulo.
Os leitores encontrarão, no livro Matemática divertida e delirante, Ed. Saraiva, São Paulo, 1962, pág. 83, muitas curiosidades e anedotas sobre o número π.
Nota - Do livro Les mathématiques et l’imagination (Ed. Payot, Paris, 1950, pág. 59), dos matemáticos Edward Kasner e James Newman, copiamos o seguinte trecho:
“Com o recurso das séries convergentes, Abraham Sharp, em 1669, calculou π com 71 decimais. Dase, calculista rápido como um relâmpago, orientado por Gauss, calculou, em 1824, o número π com 200 decimais. Em 1854 o alemão Richter achou 500 decimais para o número π e Shanks, algebrista inglês, implantou-se na
imortalidade dos geômetras determinando o número π com 707
casas decimais”.
Em nota incluída em seu livro, o matemático francês, F. Le Lionnais vem mutilar e obscurecer impiedosamente a glória do calculista Shanks. Escreveu Le Lionnais:
“Verificou-se, mais tarde, que o cálculo de Shanks, a partir da 528a casa, está errado”.