O produto semi-directo, o produto em coroa e o produto de MalcevMalcev

Para conseguirmos os próximos resultados, serão necessárias algumas defini¸cões, nomea-damente a do produto semi-directo, a do produto em coroa e a do produto de Malcev.

Sejam M e N monóides ordenados. O produto em M será escrito de forma aditiva, mas tal não quer dizer que este é comutativo, apenas serve para clarificar a nota¸cão, e como tal denotamos a sua identidade por 0. Uma açcão esquerda de N em M é uma aplica¸cão (n, m)7→n·mdeN×M paraM tal que, para quaisquerm, m₁, m₂∈M en, n₁, n₂ ∈N, temos as seguintes propriedades:

(1) (n₁n₂)·m=n₁(n₂·m);

(2) n·(m1+m2) =n·m1+n·m2; (3) 1·m=m;

(4) Se m6m⁰, ent˜ao n·m6n·m⁰; (5) se n6n⁰, ent˜aon·m6n⁰·m.

Dizemos que a açcão é unitária se satisfizer a condi¸cão seguinte, para qualquern∈N: (6) n·0 = 0

Consideremos uma açcão esquerda unitária deN emM. Definimos oproduto semi-directo (com respeito a esta açcão) deM eN, representado porM∗N, como sendo o monóide ordenado definido emM ×N pela multiplica¸cão

(m, n)(m⁰, n⁰) = (m+n·m⁰, nn⁰) e pela ordem de produto, dada por

(m, n)6(m⁰, n⁰) se e s´o se m6m⁰ en6n⁰.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Dadas duas MO-variedadesVe W, definimos oproduto semi-directo V∗Wcomo sendo a MO-variedade gerada por todos os produtos semi-directos da forma M ∗N, onde M ∈ V e N ∈W.

Sejam agoraP um conjunto parcialmente ordenado e (M,6) um monóide ordenado. Uma açcão direita de M em P é uma aplica¸cão P ×M → P, denotada (p, m) 7→p·m, que satisfaz as seguintes condi¸cões, para quaisquerm, n∈M e p, q∈P:

(1) Se p6q, ent˜ao p·m6q·m;

(2) Se m6n, ent˜ao p·m6p·n;

(3) p·(mn) = (p·m)·n;

(4) p·1 =p.

A condi¸cão (3) mostra-nos que podemos escreverp·mn, em vez de escrevermos (p·m)·n ou p·(mn), sem ambiguidade. Será esta a nota¸cão utilizada.

Note-se que esta defini¸cão é semelhante à defini¸cão de açcão esquerda. No entanto, nesta defini¸cão não estamos a trabalhar com dois monóides ordenados e sim com um monóide ordenado e um conjunto parcialmente ordenado, o que simplifica um pouco.

Dizemos que uma açcão direita deM emP éfiel se, dadosm, n∈M, temos a implica¸cão (∀p∈P, p·m6p·n)⇒m6n

Um monóide ordenado de transforma¸cões (P, M) é um monóide M equipado com uma açcão fiel deM num conjunto parcialmente ordenadoP. Em particular, cada monóide ordenado M define um monóide ordenado de transforma¸cões (M, M), dado pela açcão fielq·m=qm.

Sejam (P, M) um monóide ordenado de transforma¸cões e M⁰ um monóide ordenado.

Dizemos que um subconjunto L de M⁰ ´e reconhecido por (P, M) se existirem um morfismo de mon´oides ordenados ϕ:M⁰ →M, um elemento p0 ∈P e um ideal de ordem F de P tais que L={m∈M⁰ :p₀·(mϕ)∈F}.

Seja agora (Q, N) outro monóide ordenado de transforma¸cões. Dizemos que (P, M)divide (Q, N) se existir uma fun¸cão parcial sobrejectiva π : Q → P que preserva a ordem e, para qualquer m ∈ M, existir um elemento n ∈ N tal que, para cada q ∈ Dom(π), temos que (q·n)∈Dom(π) e (qπ)·m= (q·n)π.

Temos assim o seguinte resultado.

Proposi¸cão 4.8. Seja A um alfabeto e sejam (P, M),(Q, N) monóides ordenados de trans-forma¸cões. Se uma linguagem L⊆A^∗ é reconhecida por (P, M) e (P, M) divide (Q, N), então (Q, N) também reconheceL.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos queL⊆A^∗ ´e reconhecida por (P, M) e que (P, M) divide (Q, N).

Então, existem um morfismo de monóides ordenados ϕ:A^∗ → M, um elemento p₀ ∈ P e um ideal de ordemF deP tais queL={u∈A^∗:p0·(uϕ)∈F}. Para além disso, temos ainda que existe uma fun¸cão parcial sobrejectivaπ :Q→P que preserva a ordem e, para qualquerm∈M, existe um elementon∈N tal que, para cadaq ∈Dom(π), (q·n)∈Dom(π) e (qπ)·m= (q·n)π.

Queremos agora provar queLé reconhecida por (Q, N), isto é, que existem um morfismo de monóides ordenados ψ : A^∗ → N, um elemento q0 ∈ Q e um ideal de ordem F⁰ de Q tais

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

que L ={u ∈A^∗ :q₀·(uψ) ∈F⁰}. Dado que π :Q→ P é sobrejectiva, temos que existe pelo menos um elemento q ∈ Dom(π) tal que qπ = p₀. Escolhamos então um desses elementos, e chamemos-lhe q0. Por defini¸cão, temos que para cada m ∈ M existe pelo menos um n ∈ N tal que, para qualquer q ∈ Dom(π), (q·n) ∈ Dom(π) e (qπ)·m = (q·n)π. Tomemos então u ∈A^∗, e escolhemos uψ como sendo um elemento n∈N tal que, para qualquer q ∈Dom(π), (q·n)∈Dom(π) e (qπ)·(uϕ) = (q·n)π. Definimos agoraF⁰ como sendo o menor ideal de ordem de Q que contém F π⁻¹.

Resta agora provar que ψ é um morfismo de monóides ordenados e que L = {u ∈ A^∗ : q0·(uψ) ∈ F⁰}. Sejam então u, v ∈ A^∗. Temos que provar que, para qualquer q ∈ Dom(π), (qπ) ·(uv)ϕ = (q ·(uψ)(vψ))π. Como ϕ é um morfismo de monóides ordenados, temos que (qπ)·(uv)ϕ= (qπ)·(uϕ)(vϕ) = ((qπ)·(uϕ))·(vϕ) = ((q·(uψ))π)·(vϕ) = ((q·(uψ))·(vψ))π = (q·(uψ)(vψ))π. Logo, (uv)ψ= (uψ)(vψ). Como a ordem emA^∗é a igualdade, vemos claramente que preserva a ordem. Para além disso, vemos ainda que 1ψ= 1_N, pois para todoq ∈Dom(π) temos (qπ)·(1ϕ) = (qπ)·1M =qπ= (q·1N)π.

Provemos agora que L = {u ∈ A^∗ : q₀ ·(uψ) ∈ F⁰}. Seja u ∈ L. Então, temos que p0·(uϕ)∈F. Masp0 =q0π, logo, (q0π)·(uϕ)∈F. Pela forma comoψfoi definido, temos então que (q₀·(uψ))π ∈F π⁻¹ ⊆F⁰. Portanto, temos que L ⊆ {u ∈A^∗ :q₀·(uψ) ∈F⁰}. Provemos agora a outra inclusão. Sejau∈A^∗ tal queq0·(uψ)∈F⁰. Temos então que (q0·(uψ))π ∈F⁰π, ou seja, que (q0π)·(uϕ) ∈ F⁰π, e portanto p0·(uϕ) ∈ F⁰π. Pela forma como F⁰ foi definido, e como π preserva a ordem, temos que F⁰π é um ideal de ordem deP, e como tal tem que ser exactamente F, donde temos que L⊇ {u∈A^∗ :q0·(uψ) ∈F⁰}, o que nos prova a igualdade e conclui a nossa demonstra¸cão.

Podemos então definir o produto em coroa. Sejam X = (P, M) e Y = (Q, N) dois monóides ordenados de transforma¸cões. Para facilitar a nota¸cão, e tal como já foi feito na defini¸cão do produto semi-directo, vamos representar o monóideM e a sua açcão em P aditiva-mente, e o monóideN e a sua açcão emQ multiplicativamente.

Definimos W como o conjunto de todos os pares (f, n), onde f :Q→ M é uma fun¸cão que preserva a ordem e n ∈ N. Definimos em W uma ordem por (f, n) 6 (f⁰, n⁰) se e só se n6n⁰ e, para qualquer q ∈Q,qf 6qf⁰, e um produto por

(f, n)(f⁰, n⁰) = (g, nn⁰) ondeg ´e definido por, para cadaq ∈Q,

qg=qf + (q·n)f⁰.

Notamos que W é de facto um monóide ordenado. Sejam (f₁, n₁),(f₂, n₂),(f₃, n₃) ∈W e suponhamos que (f1, n1)6(f2, n2), isto é, quen1 6n2 e que, para qualquerq∈Q,qf1 6qf2. Então, (f₁, n₁)(f₃, n₃) = (g, n₁n₃), e (f₂, n₂)(f₃, n₃) = (g⁰, n₂n₃), onde g e g⁰ são definidos como acima. Como (f1, n1) 6 (f2, n2) e N é um monóide ordenado, temos que n1n3 6 n2n3. Basta então provar que, para qualquer q ∈ Q, qg 6 qg⁰. Seja então q ∈ Q. Temos que qg=qf₁+ (q·n₁)f₃, e queqg⁰ =qf₂+ (q·n₂)f₃. Como (f₁, n₁)6(f₂, n₂), temos queqf₁ 6qf₂. Para além disso, comon1 6n2, temos queq·n16q·n2, e comof3 preserva a ordem, temos que (q·n₁)f₃6(q·n₂)f₃. Logo,qg=qf₁+ (q·n₁)f₃ 6qf₂+ (q·n₁)f₃ 6qf₂+ (q·n₂)f₃ =qg⁰, donde se conclui que (f₁, n₁)(f₃, n₃) 6 (f₂, n₂)(f₃, n₃). A prova da outra desigualdade é análoga, e podemos concluir que W é um monóide ordenado.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Definimos uma ordem parcial em P×Q, definida por (p, q)6(p⁰, q⁰) se e só sep6p⁰ e q 6q⁰, e uma açcão direita deW emP×Q, dada por

(p, q)·(f, n) = (p+qf, q·n)

Vamos verificar que deste modo temos, de facto, uma açcão fiel. Suponhamos que (p, q)6 (p⁰, q⁰) ∈P ×Q. Seja (f, n) ∈ W. Então, temos que qf 6q⁰f, dado que f preserva a ordem.

Assim,

(p, q)·(f, n) = (p+qf, q·n)6(p⁰+qf, q⁰·n)6(p⁰+q⁰f, q⁰·n) = (p⁰, q⁰)·(f, n) Agora, suponhamos que (f, n)6(f⁰, n⁰)∈W. Ent˜ao,

(p, q)·(f, n) = (p+qf, q·n)6(p+qf⁰, q·n⁰) = (p, q)·(f⁰, n⁰)

Se (f, n),(f⁰, n⁰) ∈ W, temos que ((p, q)·(f, n))·(f⁰, n⁰) = (p +qf, q ·n) ·(f⁰, n⁰) = (p+qf+ (q·n)f⁰,(q·n)·n⁰) = (p+qf+ (q·n)f⁰, q·(nn⁰)) = (p, q)·((f, n)(f⁰, n⁰)).

Finalmente, é poss´ıvel ver que a identidade deW é exactamente (1Q→M,1_N), onde defini-mos a fun¸cão 1Q→M como sendo a fun¸cão definida porq1Q→M = 0M, para qualquerq∈Q. Po-demos verificar que, para qualquer (f, n) ∈W, (f, n)(1Q→M,1_N) = (1Q→M,1_N)(f, n) = (f, n), pois (f, n)(1Q→M,1N) = (g,1Nn) = (g, n). Pela defini¸cão de g, temos que, para qualquer q ∈ Q, qg = qf + (q ·n)(1Q→M,1_N) = qf + 0_M = qf, donde temos que g = f. A de-monstra¸cão da outra igualdade é análoga. Seja então (p, q) ∈ P × Q. Temos agora que (p, q)·(1Q→M,1N) = (p+q1Q→M, q·1N) = (p+ 0M, q) = (p, q), donde temos que esta aplica¸cão

e uma ac¸c˜ao.

Vejamos agora que esta açcão é fiel. Suponhamos que (p, q)·(f, n)6(p, q)·(f⁰, n⁰), para quaisquer (p, q)∈P×Q. Então,q·n6q·n⁰, para qualquerq ∈Q, e portanton6n⁰, dado que a açcão de N em Q é fiel. Vemos também que p+qf 6p+qf⁰ para quaisquer p∈ P, q ∈Q, donde conclu´ımos que qf 6 qf⁰, para qualquer q ∈ Q, dado que a açcão de M em P é fiel.

Assim, vemos quef 6f⁰, o que nos prova que a açcão é fiel.

Oproduto em coroa deX eY, denotadoX◦Y, é o monóide ordenado de transforma¸cões (P×Q, W).

Dados dois monóides ordenados M e N, consideremos o produto em coroa (M, M)◦ (N, N) = (M×N, W). O monóide ordenado W é chamado oproduto em coroa de M e N, e é denotado por M◦N. Podemos reparar que o produto em coroa destes dois monóides ordenados pode ser escrito como o produto semi-directoOP(N, M)∗N, onde OP(N, M) é o monóide das transforma¸cões N → M que preservam a ordem. Definindo a açcão esquerda (n, f)7→ n·f de N emOP(N, M), com a propriedaden⁰·(n·f) = (n⁰n)·f, para quaisquern, n⁰ ∈N, temos que o produto semidirecto dado por esta açcão é isomorfo aM◦N.

Para dois monóides ordenados (M,6) e (N,6), um morfismo relacional de M em N é uma rela¸cão τ : (M,6)→(N,6) tal que

(1) (mτ)(m⁰τ)⊆(mm⁰)τ, para quaisquerm, m⁰ ∈M;

(2) mτ ´e n˜ao-vazio, para qualquerm∈M;

(3) 1∈1τ.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Observamos que o morfismo relacional τ :M →N ´e um subconjunto deM×N e que (x, y)∈τ ⇔y∈xτ

Sejam α : τ → M e β : τ → N as projec¸c˜oes na primeira e segunda coordenadas, respectiva-mente.

Vemos então queτ é um morfismo relacional se e só se τ for um submonóide de M×N e α for sobrejectiva. Podemos então ver que τ = α⁻¹β. Então, qualquer morfismo relacional pode ser escrito como a composi¸cão do inverso de um morfismo sobrejectivo com um morfismo.

A factoriza¸cão τ =α⁻¹β é chamada afactoriza¸cão canónica de τ.

Verificamos que, se ϕ:M →N for um morfismo sobrejectivo, então ϕ⁻¹ é um morfismo relacional. Sejam n, n⁰ ∈ N. Então, temos que existem m ∈ nϕ⁻¹ e m⁰ ∈ n⁰ϕ⁻¹. Provando que mm⁰ ∈ (nn⁰)ϕ⁻¹, provamos a propriedade (1). Mas, como ϕ é um morfismo, temos que (mm⁰)ϕ = (mϕ)(m⁰ϕ) = nn⁰, e portanto mm⁰ ∈ (nn⁰)ϕ⁻¹. Como ϕ é sobrejectivo, temos que nϕ⁻¹ é não-vazio, para qualquer n ∈N, o que nos prova a propriedade (2), e como é um morfismo de monóides ordenados, temos que 1_Mϕ= 1_N, donde conclu´ımos que 1_M ∈1_Nϕ⁻¹, o que nos prova a propriedade (3).

Verificamos também que a composi¸cão de dois morfismos relacionais também é um mor-fismo relacional. Sejam τ1 : M → M⁰ e τ2 : M⁰ → N dois morfismos relacionais, e sejam m, m⁰ ∈ M. Então, temos que (mτ₁τ₂)(m⁰τ₁τ₂) ⊆ ((mτ₁)(m⁰τ₁))τ₂ ⊆ (mm⁰)τ₁τ₂, o que nos prova a propriedade (1). Temos também que m(τ₁τ₂) = (mτ₁)τ₂, e como τ₁ é um morfismo relacional,mτ1 é não-vazio. Comoτ2 é um morfismo relacional, temos que (mτ1)τ2é não-vazio, o que nos prova a propriedade (2). Finalmente, temos que 1_M(τ₁τ₂) = (1_Mτ₁)τ₂. Como τ₁ é um morfismo relacional, temos que 1⁰_M ∈ 1Mτ1, e portanto que 1N ∈ (1Mτ1)τ2, pois τ2 é um morfismo relacional.

Dizemos que um morfismo relacional τ : (M,6)→ (N,6) é uma divisão se, para quais-querm₁, m₂ ∈M,n₁ ∈m₁τ en₂ ∈m₂τ,n₁ 6n₂⇒m₁6m₂. Isto implica queτ é umarela¸cão injectiva, isto é, se m1τ ∩m2τ 6=∅, entãom1 =m2. A denomina¸cão “divisão” é explicada pelo resultado seguinte.

Proposi¸cão 4.9. Sejam M e N dois monóides ordenados. Então,M divideN se e só se existir uma divisão de M emN.

Demonstra¸cão. Suponhamos que M é um quociente ordenado de um submonóide ordenadoN⁰ de N. Seja α : N⁰ → M um morfismo sobrejectivo de monóides ordenados. Então, a rela¸cão α⁻¹ é um morfismo relacional deM emN. Sejamm1, m2 ∈M,n1 ∈m1α⁻¹ en2∈m2α⁻¹ tais quen16n2. Então,m1 =n1α6n2α =m2, poisαpreserva a ordem. Logo,α⁻¹é uma divisão.

Reciprocamente, seja τ : M → N uma divisão, e consideremos a rela¸cão τ como um subconjunto de M ×N. Sejam α :τ → M e β :τ → N as projeçcões na primeira e segunda coordenada, respectivamente. Então, temos que αé sobrejectiva, e como talM é um quociente de τ. Vejamos queτ é isomorfo a um submonóide ordenado de N. Sejam (m₁, n₁),(m₂, n₂)∈τ e suponhamos que (m₁, n₁)β 6 (m₂, n₂)β, isto é, que n₁ 6 n₂. Então, temos que n₁ ∈ m₁τ e n2 ∈ m2τ, pela defini¸cão de τ, e como τ é uma divisão, temos que m1 6 m2. Portanto, (m₁, n₁)6(m₂, n₂), o que prova a nossa afirma¸cão. Temos então queM divide N.

Com esta proposi¸c˜ao conseguimos provar um resultado sobre produtos em coroa.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Proposi¸cão 4.10. SejamM₁,N₁,M₂ e N₂ monóides. Temos que, se M₁ e N₁ dividiremM₂ e N₂, respectivamente, então M₁◦N₁ divide M₂◦N₂.

Demonstra¸cão. Pela Proposi¸cão 4.9, temos que existem divisõesϕ₁:M₁ →M₂ eϕ₂ :N₁ →N₂. Definimos então a rela¸cão ϕ:M1◦N1→M2◦N2, dada por

(f, n)ϕ={(g, k) :k∈nϕ₂ e ∀x∈N₁, y ∈xϕ₂,(yg∈(xf)ϕ₁)}.

Provando que ϕ´e uma divis˜ao, obtemos o resultado.

Provemos primeiro queϕ´e um morfismo relacional. Sejam ent˜ao (f, n),(f⁰, n⁰)∈M1◦N₁, (g, k)∈(f, n)ϕ e (g⁰, k⁰)∈(f⁰, n⁰)ϕ. Temos que

(1) k∈nϕe ∀x∈N₁, y∈xϕ₂,(yg ∈(xf)ϕ₁);

(2) k⁰ ∈n⁰ϕ2 e ∀x∈N1, y ∈xϕ2,(yg⁰ ∈(xf⁰)ϕ1).

Para isso, temos que mostrar que (g, k)(g⁰, k⁰) ∈ ((f, n)(f⁰, n⁰))ϕ. Por defini¸cão, temos que (g, k)(g⁰, k⁰) = (h⁰, kk⁰), ondeh⁰ é definida porbh⁰=bg+ (b·k)g⁰, para cadab∈N₂. Temos ainda que (f, n)(f⁰, n⁰) = (h, nn⁰), onde hé definida por ah=af+ (a·n)f⁰, para cada a∈N1. Logo,

((f, n),(f⁰, n⁰))ϕ= (h, nn⁰)ϕ={(g, k) :k∈(nn⁰)ϕ₂ e ∀x∈N₁, y∈xϕ₂,(yg ∈(xh)ϕ₁)}.

Temos quek∈nϕ2 e quek⁰ ∈n⁰ϕ2, logokk⁰∈(nϕ2)(n⁰ϕ2)⊆(nn⁰)ϕ2. Sejamx∈N1ey∈xϕ2. Temos ent˜ao que yh⁰ = yg + (y·k)g⁰. Por (1), temos que yg ∈ (xf)ϕ₁. Temos ainda que y·k∈(xϕ2)(nϕ2)⊆(x·n)ϕ2. Logo, por (2), temos que (y·k)g⁰∈((x·n)f)ϕ1. Logo, temos que yh⁰ ∈(xf)ϕ1+ ((x·n)f)ϕ1 ⊆(xf+ (x·n)f)ϕ1 = (xh)ϕ1. Logo, (g, k)(g⁰, k⁰)∈((f, n)(f⁰, n⁰))ϕ.

Mostremos agora que (f, n)ϕé não-vazio. Dado queϕ2 é um morfismo relacional, temos que existe k∈nϕ₂. Dadox∈N₁, temos que (xf)ϕ₁ é não-vazio, e escolhamos um elemento de (xf)ϕ1, que denominamos por xα. Fixemos um elemento z ∈M2 Defina-se então uma fun¸cão g :N₂ → M₂ do seguinte modo. Para y ∈ N₂, existe no máximo um x ∈ N₁ tal que y ∈ xϕ₂, poisϕ₂ é uma divisão. Se existirx, definimos então yg=xα. Caso contrário, definimos yg=z.

Basta então ver que g está bem definida. Suponhamos que yg = x1α e que yg =x2α. Então, temos quey∈x₁ϕ₂ e quey∈x₂ϕ₂. Mas comoϕ₂é uma divisão, temos que x₁ =x₂, e portanto x1α =x2α. Logo, g está bem definida, donde temos que (g, k) ∈ (f, n)ϕ, o que nos prova que este conjunto é não-vazio.

Para terminar a prova que ϕ ´e um morfismo relacional, basta mostrar que 1M2◦N2 ∈ (1_M₁◦M₂)ϕ. Tal como foi visto anteriormente, temos que 1_M₁◦N₁ = (1_N₁→M₁,1_N₁), onde 1_N₁→M₁

e definida por a1N1→M1 = 0M1. Analogamente, 1M2◦N2 = (1N2→M2,1N2). Como ϕ2 é um morfismo relacional, temos que 1_N₂ ∈1_N₁ϕ₂. Basta então mostrar que, para quaisquerx∈N₁, y ∈xϕ₂, temos que y1_N₂→M₂ ∈(x1_N₁→M₁)ϕ₁. Temos então que y1_N₂→M₂ = 0_M₂ ex1_N₁→M₁ = 0M1, e comoϕ1é um morfismo relacional, temos que 0M2 ∈(0M1)ϕ1, e portanto, para quaisquer x∈N₁,y∈xϕ₂, temos quey1_N₂→M2 ∈(x1_N₁→M1)ϕ₁.

Provemos agora que ϕ é injectiva. Suponhamos que (f, n),(f⁰, n⁰) ∈ M₁ ◦N₁, e que (g, k) ∈ (f, n)ϕ∩(f⁰, n⁰)ϕ. Então, k ∈ nϕ₂ ∩n⁰ϕ₂. Mas ϕ₂ é uma divisão, donde temos que n=n⁰, e portantoϕé uma divisão. Então, temos queM1◦N1 divide M2◦N2.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

O resultado anterior tamb´em pode ser demonstrado para mon´oides ordenados, de uma forma diferente, como visto em [15].

Podemos ainda ver que este resultado não é incompat´ıvel com a defini¸cão de divisão de monóides ordenados de transforma¸cões, isto é, um monóide ordenado de transforma¸cões (M, M) divide um monóide ordenado de transforma¸cões (N, N) se e só se existir uma divisão de M em N.

Seja V uma MO-variedade, e sejam M um mon´oide ordenado e G um grupo ordenado.

Um morfismo relacional τ :M →G´e chamado umV-morfismo relacional se 1τ⁻¹ ={m∈M : 1∈mτ}pertencer aV.

Proposi¸c˜ao 4.11.SejamVuma MO-variedade eWuma MO-variedade constitu´ıda por grupos.

Então, a classeVMW, definida como a classe de todos os monóides ordenadosM tais que existe umV-morfismo relacional deM num monóide deW, é uma MO-variedade.

Demonstra¸c˜ao. SejamM1, M2∈VMW. Ent˜ao, existemV-morfismos relacionaisτ1 :M1 →G1

e τ2 :M2 → G2, ondeG1, G2 ∈W. Temos também que G1×G2 ∈W. Provemos então que τ :M₁×M₂ → G₁×G₂, dado por (m₁, m₂)τ = m₁τ₁ ×m₂τ₂ é um V-morfismo relacional de M1×M2 emG1×G2.

Sejam (m1, m2),(m⁰₁, m⁰₂)∈M1×M2. Então, ((m1, m2)τ)((m⁰₁, m⁰₂)τ) = (m1τ1×m2τ2) (m⁰₁τ₁ ×m⁰₂τ₂) = ((m₁τ₁)(m⁰₁τ₁)) ×((m₂τ₂)(m⁰₂τ₂)) ⊆ (m₁m⁰₁)τ₁ × (m₂m⁰₂)τ₂ = ((m₁, m₂) (m⁰₁, m⁰₂))τ. Para além disso, temos que (m₁, m₂)τ é claramente não-vazio, pois é igual a m1τ1 ×m2τ2, que é não-vazio, por defini¸cão, e que 1G1×G2 = (1G1,1G2) ∈ 1M1τ1 ×1M2τ2 = 1_M₁×M2τ. Portanto, τ é um morfismo relacional.

Basta agora provar que 1_G₁×G2τ⁻¹ pertence a V. Então, temos que 1_G₁×G2τ⁻¹ = (1G1,1G2)τ⁻¹ = 1G1τ₁⁻¹×1G2τ₂⁻¹. Comoτ1 eτ2 sãoV-morfismos relacionais, temos que 1G1τ₁⁻¹ e 1G2τ₂⁻¹ pertencem a V. Logo, 1G1×G2τ⁻¹ também pertence a V, o que prova que τ é um V-morfismo relacional. Assim, M₁×M₂∈VMW.

Para qualquer submonóide ordenadoM₁⁰ deM₁, provemos que a restri¸cãoτ₁⁰ deτ₁ aM₁⁰ é umV-morfismo relacional deM₁⁰ emG1. Claramente,τ₁⁰ é um morfismo relacional, poisτ1 é um morfismo relacional. Basta então ver que 1_G₁τ₁⁰⁻¹ pertence aV. Temos 1_G₁τ₁⁰⁻¹= 1_G₁τ₁⁻¹∩M₁⁰, pelo que 1_G₁τ₁⁰⁻¹é um submonóide de 1_G₁τ₁⁻¹. Como 1_G₁τ₁⁻¹∈V, temos também que 1_G₁τ₁⁰⁻¹ ∈ V, o que prova queτ₁⁰ é um V-morfismo relacional, e, consequentemente, queM₁⁰ ∈VMW.

Seja agoraM um quociente ordenado deM1. Então, existe um morfismo sobrejectivo de monóides ordenados ϕ:M₁ → M. Seja ainda τ₁ =α⁻¹β a factoriza¸cão canónica de τ₁. Dado que α e ϕ são sobrejectivas, temos que a composi¸cão αϕ : τ₁ → M é sobrejectiva, e portanto podemos tomar a rela¸cão τ = (αϕ)⁻¹β : M → G1, que é um morfismo relacional. Então, 1_G₁τ⁻¹ = 1_G₁((αϕ)⁻¹β)⁻¹ = 1_G₁(ϕ⁻¹α⁻¹β)⁻¹ = 1_G₁(ϕ⁻¹τ₁)⁻¹ = (1_G₁τ₁⁻¹)ϕ. Como τ₁ é um V-morfismo relacional, temos que 1G1τ₁⁻¹ ∈V, e comoVé fechado para quocientes, temos que (1_G₁τ₁⁻¹)ϕ∈V. Logo, τ é um V-morfismo relacional, e por issoM ∈VMW.

Portanto, VMW é fechada para produtos directos finitários, submonóides ordenados e quocientes ordenados, o que nos prova que esta classe é de facto uma MO-variedade.

Chamamos `a MO-variedadeVMW oproduto de Malcev de V e W.

As defini¸cões de produto semi-directo, produto em coroa e produto de Malcev foram dadas para monóides ordenados, mas também podem ser dadas para monóides, retirando das

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

defini¸cões as partes referentes a ordens parciais. Como tal, os resultados seguintes que envolvem estes três produtos podem ser enunciados para monóides. Estas defini¸cões e os consequentes resultados são úteis para provar o Teorema 4.29.

Definimos agora os mon´oides ordenados U₁⁺,U₁⁻ e U1 como sendo o mon´oide ordenado {0,1}, com o produto habitual nos inteiros e com a ordem 061, no caso deU₁⁺, 160, no caso de U₁⁻, e com a igualdade, no caso deU1.

Proposi¸c˜ao 4.12. Sejam Ve W MO-variedades. O produto semi-directoV∗W´e a classe de todos os divisores de

(1) Mon´oides da formaM ∗N, com M ∈Ve N ∈W;

(2) Mon´oides de produtos em coroa da forma (P, M)◦(Q, N), com M ∈V e N ∈W;

(3) Produtos em coroa da forma M◦N, comM ∈V e N ∈W.

Demonstra¸cão. Para facilitar esta demonstra¸cão, vamos tomar três classes de monóides finitos ordenados a que iremos chamar U1, U2 e U3, que serão as classes dos divisores de (1), (2) e (3), respectivamente. Provando que U₃ ⊆ U₂ ⊆ U₁ ⊆ U₃, e que U₁ = V∗W, obtemos o resultado.

U₃ ⊆U₂: Dado que qualquer monóide da forma (3) pode ser escrito como um monóide da forma (2), temos que qualquer monóide que divide um monóide da forma (3) divide um monóide da forma (2), o que nos prova a inclusão.

U₂ ⊆ U₁: Sejam então (P, M) e (Q, N) monóides ordenados de transforma¸cões, com M ∈ V e N ∈W. Como já foi visto anteriormente, temos que o monóide ordenado associado ao produto em coroa éOP(Q, M)∗N, com a açcão esquerda (q, f)7→q·f e com a propriedade q⁰·(q·f) = (q⁰q)·f, para quaisquer q, q⁰ ∈Q. Verificando que OP(Q, M)∈V, podemos obter o resultado. Seja então M^Q o monóide ordenado das aplica¸cões parciais de Q em M, com a ordem habitual definida por

f 6g se Dom(f)⊆Dom(g) e, para qualquer q∈Q,qf 6qg, e o produto definido por

q(f g) = (qf)(qg), para qualquerq ∈Q.

Podemos ver que é poss´ıvel definir um morfismo sobrejectivo de monóides ordenados entre M × · · · ×M (|Q| vezes) e M^Q, o que nos prova que M^Q ∈ V. É também poss´ıvel ver que OP(Q, M) é um submonóide ordenado deM^Qcom a mesma ordem e o mesmo produto definido emM^Q, o que nos prova queOP(Q, M)∈V. Como tal, temos queOP(Q, M)∗N ∈V∗W, o que nos prova a segunda inclusão.

U₁ ⊆ U₃: Tomemos então monóides ordenados M ∈ V e N ∈ W. Dado um produto semi-directo M ∗N, podemos definir, para cada m ∈ M, a aplica¸cão fm :N → M, dada por n7→nm. Então, temos que a aplica¸cão deM∗N emOP(N, M)∗N, que a cada par (m, n) nos associa o par (f_m, n), é um morfismo injectivo de monóides ordenados de M ∗N no monóide ordenado associado ao produto em coroa (M, M)◦(N, N). Podemos ver que 1fm = 1m=m e que, para quaisquerm₁, m₂ ∈M,n₁, n₂ ∈N, temos que

(fm1, n1)(fm2, n2) = (fm1+n1fm2, n1n2) = (fm1+n1m2, n1n2),

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o que nos prova que esta aplica¸cão é um morfismo de monóides. Vemos também que, se (m₁, n₁) 6 (m₂, n₂), então m₁ 6 m₂ e n₁ 6 n₂, e como tal nf_m₁ = nm₁ 6 nm₂ = nf_m₂, para qualquer n∈N, o que nos prova que é um morfismo de monóides ordenados. Pela forma como f_m foi definida, temos claramente que este morfismo é injectivo, o que nos prova a última inclusão.

Finalmente, provemos a igualdade U1 = V ∗ W. Dado que V ∗ W é gerada pelos monóides da forma M ∗ N, com M ∈ V e N ∈ W, temos que é fechada para divisores, o que nos prova uma das inclusões. Para provar a outra inclusão, basta provar que o pro-duto semi-directo é fechado para o produto directo. Sejam então M1, M2 ∈ V e N1, N2 ∈ W. Provando que (M₁ ∗N₁)×(M₂ ∗N₂) ∈ V ∗W, obtemos o resultado. Podemos então definir uma aplica¸cão ϕ de (M₁ ×M₂) ∗ (N₁ ×N₂) em (M₁ ∗ N₁) ×(M₂ ∗ N₂), dada por ((m, m⁰),(n, n⁰))ϕ= ((m, n),(m⁰, n⁰)). Notamos que (M1×M₂)∗(N₁×N₂)∈V∗W, poisVeW são MO-variedades, e por isso fechadas para o produto directo. Provando que é um morfismo sobrejectivo de monóides ordenados, obtemos o resultado. Sejam então (m1, m⁰₁),(m2, m⁰₂) ∈ M1 ×M2 e (n1, n⁰₁),(n2, n⁰₂) ∈ N1 ×N2. Então, ((m1, m⁰₁),(n1, n⁰₁))ϕ((m2, m⁰₂),(n2, n⁰₂))ϕ = ((m₁, n₁),(m⁰₁, n⁰₁))((m₂, n₂),(m⁰₂, n⁰₂)) = ((m₁, n₁)(m₂, n₂),(m⁰₁, n⁰₁)(m⁰₂, n⁰₂)) = ((m₁+n₁·m₂, n1n2),(m⁰₁ +n⁰₁ ·m⁰₂, n⁰₁n⁰₂)). Temos ainda que (((m1, m⁰₁),(n1, n⁰₁))((m2, m⁰₂),(n2, n⁰₂)))ϕ = (((m₁, m⁰₁)+(n₁, n₂)·(m₂, m⁰₂)),(n₁, n⁰₁)(n₂, n⁰₂))ϕ= ((m₁+n₁·m₂, m⁰₁+n₂·m⁰₂),(n₁n₂, n⁰₁n⁰₂))ϕ= ((m₁ +n₁ ·m₂, n₁n₂),(m⁰₁ +n⁰₁ ·m⁰₂, n⁰₁n⁰₂)). Dado que a ordem no produto semi-directo e no produto directo é exactamente a mesma, vemos facilmente que ϕ preserva a ordem. Para além disso, ϕé claramente sobrejectivo. Portanto, temos queϕé um morfismo sobrejectivo de monóides ordenados, o que nos prova que (M₁∗N₁)×(M₂ ∗N₂) ∈ V∗W, e assim conclui a demonstra¸cão.

Proposi¸c˜ao 4.13. SejaVuma MO-variedade eGa MO-variedade dos grupos. Ent˜ao,V∗G⊆ VMG.

Demonstra¸cão. Seja N um produto semi-directo M ∗G de algum monóide ordenado M ∈ V por algum grupo G. Seja π:N →G o morfismo de monóides ordenados dado por (m, g)π=g.

Ent˜ao, 1π⁻¹'M ∈V, donde conclu´ımos queN ∈VMG. Logo,V∗G⊆VMG.

Em I_X, podemos definir uma ordem, dada por f 6g se e s´o se Dom(f) ⊆ Dom(g) e a restri¸c˜ao de g a Dom(f) for exactamentef.

Dado que qualquer morfismo de monóides inversos preserva a ordem, o Teorema 1.7 mostra-nos que qualquer monóide ordenado M é isomorfo a um submonóide ordenado de (I_M,6).

SejaQum conjunto finito. Podemos então definir (2^Q,6) como sendo o monóide ordenado cujos elementos são os subconjuntos de Q, o produto é a interseçcão e a ordem é a inclusão.

Note-se que (2^Q,6) ´e um mon´oide idempotente e comutativo, e que (2^Q,6)∈J⁺₁. Vemos ainda que (2^Q,>)∈J⁻₁ e que 2^Q∈J₁.

Definimos agora uma açcão esquerda unitária deG_Q, o grupo simétrico deQ, em (2^Q,6), tomando, para quaisquer σ ∈ G_Q e P ⊆ Q, σ ·P = P σ⁻¹. Esta açcão define um produto semi-directo, e obtemos o resultado seguinte.

Proposi¸cão 4.14. O monóide ordenado (I_Q,6) é um quociente ordenado do monóide ordenado (2^Q,6)∗(G_Q,=).

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Demonstra¸c˜ao. Sejam P ⊆Q eσ ∈ G_Q. Definimosσ_P como sendo a restri¸c˜ao de σ a P.

Então, definimos uma fun¸cão sobrejectiva Θ : (2^Q,6)∗(G_Q,=) → (I_Q,6), dada por (P, σ)Θ = σ_P. Sejam (P, σ) e (P⁰, σ⁰) elementos de 2^Q× G_Q. Então, o dom´ınio de σ_Pσ⁰_P0 é P∩P⁰σ⁻¹, e portanto ((P, σ)(P⁰, σ⁰))Θ = (P, σ)Θ(P⁰, σ⁰)Θ. Temos então que Θ é um morfismo de monóides.

Para provar que (I_Q,6) é um quociente ordenado de (2^Q,6)∗ (G_Q,=), é necessário verificar que este morfismo preserva a ordem, isto é, se (P, σ) 6(P⁰, σ⁰) em (2^Q,6)∗(G_Q,=), temos queσP 6σ_P⁰ 0 em (I_Q,6). Suponhamos que (P, σ)6(P⁰, σ⁰). Então, pela ordem definida em 2^Q e emG_Q, temos que P ⊆P⁰ e queσ=σ⁰. Temos então queσ_P 6σ_P⁰ =σ⁰_P0 emI_Q, dado que dom(σP) =P ⊆P⁰ =dom(σP⁰) e temos que a restri¸cão de σP⁰ a P é exactamenteσP.

Portanto, conclu´ımos que (I_Q,6) ´e um quociente ordenado de (2^Q,6)∗(G_Q,=).

No documento Autómatos reversíveis: um estudo algébrico e topológico (páginas 37-46)