CAP´ITULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ´OMATOS REVERS´IVEIS
start
I I
a a
b
a
b b
a
start
I I
a b
b a a
b
start 1
2 3
a b
b a
b
Figura 5.3: Constru¸c˜ao de um aut´omato revers´ıvel que reconhecehab−1a, ab, bai
Este teorema pode ainda ser enunciado de uma forma diferente, mais semelhante ao Teorema de Kleene.
Teorema 5.5. Os subconjuntos do grupo livre reconhecidos por um aut´omato revers´ıvel formam a menor classe F de subconjuntos tais que
(1) ∅ ∈ F e para qualquerg∈F G(A),{g} ∈ F;
(2) Se S1,S2∈ F, ent˜aoS1∪S2∈ F; (3) Se S∈ F e g∈F G(A), ent˜ao gS ∈ F; (4) Se S∈ F, ent˜ao hSi ∈ F.
Demonstra¸c˜ao. SejaS a classe de todos os subconjuntos do grupo livre que s˜ao reconhecidos por um aut´omato revers´ıvel. Pelo Teorema 5.4, S ´e tamb´em a classe de todos os subconjuntos de F G(A) que s˜ao uni˜oes de classes laterais esquerdas de subgrupos finitamente gerados do grupo livre.
Pela Proposi¸c˜ao 5.3, qualquer subgrupo finitamente gerado ´e racional, e portanto qualquer elemento de S ´e racional. Assim, S cont´em todos os conjuntos singulares e ´e fechada para a uni˜ao finita e para a opera¸c˜ao S→gS, para qualquer elementog∈F G(A).
Finalmente, se S ∈ S, tem-se que S ´e racional, e portanto hSi tamb´em o ´e. Pela Pro-posi¸c˜ao 3.3, hSi ´e finitamente gerado, e por isso pertence a S. Vemos ent˜ao que S satisfaz as propriedades (1)-(4), e conclu´ımos que F ⊆ S.
Reciprocamente, dado queF´e fechada para uni˜oes finitas e cont´em os conjuntos singula-res, tamb´em cont´em os conjuntos finitos, ou seja, por (4), os subgrupos finitamente gerados de F G(A). Finalmente, vemos tamb´em que cont´em todas as classes laterais esquerdas de subgrupos finitamente gerados, por (3), e a classeS, por (2). Ent˜ao,F =S.
CAP´ITULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ´OMATOS REVERS´IVEIS
Proposi¸c˜ao 5.6. Se L´e reconhecida por um aut´omato revers´ıvel, ent˜ao, (1) Os idempotentes de M(L) comutam;
(2) Para quaisquerx, u, y ∈A∗, sexu+y⊆L, ent˜ao xy∈L.
Demonstra¸c˜ao. (1): Sejam A = (Q, A, E, I, F) um aut´omato revers´ıvel que reconhece L, M o mon´oide de transi¸c˜ao deAeeum idempotente deM. Ent˜ao, para qualquerq∈Q,(q·e)·e=q·e, nos casos em que q ·e est´a definido. Dado que A ´e um aut´omato revers´ıvel, e ´e uma fun¸c˜ao parcial injectiva, e por isso temos que ou q·e=q ou queq·e n˜ao est´a definido. Ou seja, cada idempotente ´e uma sub-identidade em Q. Vem ent˜ao que os idempotentes comutam em M. Agora temos que o mon´oide sint´acticoM(L) divide M, e dado que a classe dos mon´oides com idempotentes que comutam ´e fechada para a divis˜ao, os idempotentes tamb´em tˆem que comutar em M(L).
(2): Sejamx, u, y ∈A∗ tais quexu+y⊆L. Dado queM ´e finito, existe um inteiron >0 tal que un ´e um idempotente em M, isto ´e, induz uma sub-identidade em Q. Agora, como xu+y ⊆ L, existem um estado inicial q e um estado final q0 tais que q·xuny = q0. Portanto, (q·x)·un est´a definido, e por isso tem que ser igual a (q·x). Logo,q·xy=q·xuny=q0, donde vem que a palavra xy ´e reconhecida porA, ou seja, xy∈L.
A condi¸c˜ao (2) desta proposi¸c˜ao ´e equivalente a uma afirma¸c˜ao mais alg´ebrica, descrita na proposi¸c˜ao seguinte.
Proposi¸c˜ao 5.7. Para qualquer linguagem racional L, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes (1) Para quaisquerx, u, y ∈A∗, sexu+y⊆L, ent˜ao xy∈L;
(2) Para quaisquers, t∈M(L) e para qualquer idempotente e∈M(L), seset∈P, ent˜ao st∈P.
Demonstra¸c˜ao. ⇒: Suponhamos que (1) ´e satisfeita. Sejam s, e, t∈M(L), com eidempotente.
Assumamos que set ∈ P. Ent˜ao, como η ´e sobrejectiva, existem palavras x, u, y ∈ A∗ tais que xη = s, uη = e e yη = t. Assim, para qualquer n > 0, (xuny)η = set ∈ P. Portanto, xu+y∈P η−1=L, e ent˜aoxy ∈L, por (1). Vem ent˜ao que st= (xy)η∈Lη=P.
⇐: Suponhamos agora que (2) ´e satisfeita, e sejam x, u, y palavras tais que xu+y ⊆L.
Ent˜ao, existe n > 0 tal que un = e´e um idempotente. Definindo xη = s e yη = t, obtemos set∈Lη =P, e portantost∈P, por (2). Logo,xy ∈L, pois (xy)η =st∈P.
Para encontrar uma caracteriza¸c˜ao precisa das linguagens pertencentes a C ´e necess´ario agora ver o rec´ıproco da Proposi¸c˜ao 5.6.
Para os seguintes resultados, ser´a utilizada a defini¸c˜ao deelemento regular num mon´oide, vista no Cap´ıtulo 1. Este resultado est´a provado em [1].
Proposi¸c˜ao 5.8. Sejam M um mon´oide no qual os idempotentes comutam, e η:A∗ →M um morfismo de mon´oides. Ent˜ao, existe um inteiro N >0 tal que qualquer palavraw∈A∗ admite uma factoriza¸c˜ao da forma w=u0v1u1...vkuk comu1, ..., uk−1 ∈A+, u0, uk∈A∗, v1, ..., vk∈A+ e
(1) v1η, ..., vkη s˜ao elementos regulares deM;
(2) Se bi−1 denota a ´ultima letra de ui−1 e ai a primeira letra de ui, (bi−1vi)η e (viai)η n˜ao s˜ao regulares;
CAP´ITULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ´OMATOS REVERS´IVEIS
(3) |u0...uk|6N.
Para o resultado seguinte, ser´a utilizada a defini¸c˜ao da rela¸c˜ao de Green R, descrita anteriormente.
Proposi¸c˜ao 5.9. SejaM um mon´oide no qual os idempotentes comutam. Ent˜ao
(1) Qualquer R-classe regular R cont´em um ´unico idempotente e, e para qualquer x ∈ R, ex=x;
(2) Para quaisqueru, v, s∈M, seuRvRuse us=vs, ent˜aou=v.
Demonstra¸c˜ao. Dado que R ´e regular, cont´em um idempotente e. Seja x ∈ R. Ent˜ao, eRx e portanto e =xy e x = ez, para alguns y, z ∈ M. Assim, ex =eez =ez =x. Em particular, se f for outro idempotente de R, tem-se que ef = f e que f e = e. Como por hip´otese os idempotentes comutam, segue quef =ef =f e=e.
Provemos agora a condi¸c˜ao (2). Dado que uRus e uRv, existem t, a ∈ M tais que u = ust e v = ua. Seja G o ideal minimal do semigrupo S = {x ∈ M : ux = u}. Dado que o ideal minimal de um semigrupo no qual os idempotentes comutam ´e um grupo cuja identidade ´e um idempotente, a que chamaremos f, temos ent˜ao que uf =u = ust= ustf e uf astf =uastf =vstf =ustf =u. Assim,stf, f astf ∈G, e dado queG´e um grupo, f a∈G, ou seja, uf a=u. Mas j´a temos queuf a=ua=v, e portantou=v.
Pode ser agora demonstrado o resultado final desta sec¸c˜ao.
Teorema 5.10. Uma linguagem racional L ´e reconhecida por um aut´omato revers´ıvel se e s´o se satisfaz as condi¸c˜oes
(1) Os idempotentes de M(L) comutam;
(2) Para quaisquers, t∈M(L) e para qualquer idempotente e∈M(L), seset∈P, ent˜ao st∈P.
Demonstra¸c˜ao. Pelas Proposi¸c˜oes 5.6 e 5.7, basta demonstrar que seLsatisfizer as condi¸c˜oes (1) e (2), ent˜aoL∈ C. Sejamro tamanho m´aximo de umaR-classe deM(L),N o inteiro dado pela Proposi¸c˜ao 5.8 e F o conjunto de todos os aut´omatos revers´ıveis da forma B= (Q, A, E, I, F), onde Qcont´em no m´aximo r(N + 1) estados e a linguagem reconhecida por B est´a contida em L.
F ´e um conjunto finito, pois s´o existe um n´umero finito de aut´omatos com no m´aximo r(N+ 1) estados. SejaAa uni˜ao disjunta de todos os aut´omatos deF. Ent˜ao,A´e um aut´omato revers´ıvel tal que L(A)⊆L. Para se provar queL(A) ´e mesmo igual aL, ´e necess´ario mostrar que, para cada palavra w∈L, existe um aut´omato revers´ıvelB emF tal quew∈L(B).
Sejam=wη, e denotemos porP(m) o menor subconjunto deM(L) que cont´emm e que satisfaz a condi¸c˜ao (2). Assim, dado que m∈P, tem-se que P(m)⊆P, e por isso a linguagem L(m) =P(m)η−1 est´a contida em L.
Assumamos primeiro quem´e um elemento regular deM(L). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 5.9, a R-classeR de m cont´em um ´unico idempotentee, e podemos afirmar
Lema 5.11. A linguagem L(m) ´e reconhecida pelo aut´omato revers´ıvel B= (R, A, E,{e},{m})
ondeE ={(x, a, x·aη) :x∈R, a∈A e x(aη)∈R}
CAP´ITULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ´OMATOS REVERS´IVEIS
Demonstra¸c˜ao. A Proposi¸c˜ao 5.9 mostra que B´e revers´ıvel. Podemos tamb´em ver que L(B) = Sη−1, ondeS={s∈M(L) :es=m}eL(m) =P(m)η−1. Assim, basta mostrar queS =P(m).
Primeiro,m∈S, pela Proposi¸c˜ao 5.9, e sesf t∈S para algunss, t∈M(L) e para algum idempotente f, ent˜aoesResfR(es)f = (esf)f. Segue ent˜ao quees=esf, pela Proposi¸c˜ao 5.9, donde temos que est=esf t=m est∈S. Assim,S satisfaz a condi¸c˜ao (2) do Teorema 5.10, e portanto temos queP(m)⊆S.
Reciprocamente, seja s ∈ S. Ent˜ao, es = m, e assim 1es = m ∈ P(m). Logo, pela condi¸c˜ao (2) do Teorema 5.10, s= 1s∈P(m), e portanto S⊆P(m). Ent˜ao, S=P(m).
Viramo-nos agora para o caso geral. Seja w = u0v1u1· · ·vkuk uma factoriza¸c˜ao de w dada pela Proposi¸c˜ao 5.8. Para q 6 i 6 k, sejam mi = viη e ei o idempotente (´unico) da R-classe de mi. O Lema 5.11 mostra-nos que a linguagem L(mi) ´e reconhecida pelo aut´omato Bi = (Ri, A,·, ei, mi).
Consideramos ainda o aut´omato minimalBda palavrau=u0u1···ukdefinido da seguinte forma. O conjunto dos estados ´e o conjunto dos factores esquerdos deue, para cada letraa∈A e para cada factor esquerdoxde u,x·a=xa, se xafor um factor esquerdo deu, caso contr´ario n˜ao est´a definido. Juntamos agora os aut´omatosB e Bi, de acordo com a seguinte figura
start u0 B1 u1 B2 . . . Bk uk
Figura 5.4: Constru¸c˜ao do aut´omato minimal da palavrau=u0u1· · ·uk
Assim, a Proposi¸c˜ao 5.8 implica que o aut´omato que resulta deste processo ´e revers´ıvel, reconhece a linguagemK =u0L(m1)u1· · ·uk−1L(mk)uk e cont´em no m´aximor(N+ 1) estados.
Afirmamos agora que K est´a contida em L(m), e portanto em L. De facto, para 0 6 i 6 k, si = uiη, e temos que m = s0m1s1· · ·mksk. Dado que K ⊆ Kηη−1, ´e suficiente provar que Kη =s0P(m1)s1· · ·P(mk)sk est´a contido em P(m).
Seja T o conjunto de todos os (t1, . . . , tk) ∈P(m1)× · · · ×P(mk) tal ques0t1· · ·sktk ∈ P(m). Ent˜ao, (m1, . . . , mk)∈T. Para al´em disso, se (t1, . . . , tk)∈T e seti =xifiyi para algum idempotente fi, ent˜ao (s0t1· · ·si−1xi)fi(yisi· · ·sktk) ∈ P(m), donde vem que, pela condi¸c˜ao (2), s0t1· · ·si−1xiyisi· · ·sktk ∈ P(m), e por isso (t1, . . . , ti−1, xiyi, ti+1, . . . , tk) ∈ T. Logo, T =P(m1)× · · · ×P(mk), o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Note-se que este resultado nos induz dois corol´arios, o primeiro usando as defini¸c˜oes de MO-variedades estudadas no Cap´ıtulo 2, e o segundo usando resultados do Cap´ıtulo 4.
Corol´ario 5.12. Uma linguagemL´e reconhecida por um aut´omato revers´ıvel se e s´o seM(L)∈ ECom− =Jxωyω =yωxω, 16xωK. Equivalentemente, para cada alfabetoA, ECom−(A∗) ´e o conjunto das linguagens de A∗ reconhecidas por aut´omatos revers´ıveis.
Corol´ario 5.13. Uma linguagem K ´e reconhecida por um aut´omato revers´ıvel se e s´o se K ∈ ECom−(A∗), isto ´e, se e s´o se pertencer `a ´algebra de Boole positiva gerada pelas linguagens da forma L eA∗aL, ondea∈A e L´e uma linguagem de grupo.
CAP´ITULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ´OMATOS REVERS´IVEIS