Como vimos (2.4), alguns autores interpretaram as noções bá- sicas de Cauchy de tal modo que o teorema se torna verdadeiro. Também foi visto que Abel (3.3) apontou uma saída interessante admitindo um domínio adequado em que um caso especial do teo- rema permanece válido. Isso posto, seguindo de perto as exposições feitas por Lützen (2003) e Bottazzini (1986) sobre o assunto, tece- remos nossas considerações sobre os trabalhos que três importantes matemáticos desempenharam nesse campo.
Iniciemos falando dos trabalhos do matemático alemão Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) e do matemático irlandês George Stokes (1819-1903), que fizeram uma análise bastante profunda do teorema de Cauchy.
Em suas considerações, Seidel (1848) seguiu um procedimento próprio que, mais tarde, seria denominado de método de provas e refutações. A ideia central desse método consiste, a partir de um contraexemplo, em descobrir qual hipótese oculta foi usada na de- monstração do teorema e que não pertence ao contraexemplo. A partir disso, uma nova versão do teorema pode ser dada:
Se uma série convergente representa uma função descontínua de uma quantidade x, e seus termos são funções contínuas, então na vizinhança imediata do ponto em que a função dá o salto, exis- tem valores dexem que a série converge arbitrariamente devagar. (Seidel, 1848, p.383)3
3 Hat man eine convergirende Reihe, welche eine discontinuirliche Function einer Grössexdarstellt, von der ihre einzelnen Glieder continuirliche Func- tionen sind, so muss man in der unmittelbaren Umgebung der Stelle, vo die. Function springt, Werthe vonxangeben können, für welche die Reihe beli- ebig langsam convergiert.
Figura 16 – George Stokes
Seidel não explicita o que seja convergência arbitrariamente deva-
gar, mas pela sua demonstração pode ser visto que essa foi a maneira
que ele encontrou para descrever a falta de convergência uniforme perto do ponto de descontinuidade, ou seja, para Seidel, uma série converge arbitrariamente devagar se ela não converge uniforme- mente numa vizinhança do ponto.
Segundo o matemático inglês Godfrey Harold Hardy,4 que
publicou em 1918 um artigo no qual discute vários conceitos de convergência uniforme presentes nas obras de importantes mate- máticos da época, como o próprio Seidel, Stokes e Weierstrass, a
convergência arbitrariamente devagar de Seidel pode ser identificada
com o conceito que modernamente chamamos de convergência uni-
forme em uma vizinhança de um ponto:
Uma série [s xn( )] é dita uniformemente convergente na vizi-
nhança de um ponto ξ de um intervalo ( , )a b [...] se existir
4 Godfrey Harold Hardy (1877-1947) é reconhecido, principalmente, pelos seus trabalhos tanto dentro da análise matemática, de um modo geral, como na teoria dos números, de modo mais particular.
( )
δ ξ para o qual (A) [|r xn( ) |≤ ] é verdade para todopositivo,
0( , , ) 0( , )
n≥n ξ δ =n ξ , e para ξ δ ξ− ( )≤ ≤ +x ξ δ ξ( ) [...] é subs- tancialmente isso que foi definido por Seidel em 1848. (Hardy, 1918, p.150)5
Se s x( ) representa a soma de uma série, então s xn( ) e r xn( ) são,
respectivamente, a soma dos n primeiros termos, e o resto, i.e.
( ) n( ) n( )
s x =s x +r x .
Stokes (1849; 2009) definiu o que chamou de convergência infi-
nitamente devagar de forma semelhante:
A convergência de uma série é dita infinitamente devagar quando, se n é o número de termos que precisam ser tomados em ordem para tornar a soma dos termos desprezados numericamente menor que uma dada quantidade, e que pode ser tão pequena quanto desejarmos, n cresce além de todos os limites conforme h
decresce além de todos os limites. (p.281)6
Mas ele deu um tratamento diferente ao problema. Ele consi- dera uma sequência de funçõesvn,implicitamente tomadas como
contínuas num intervalo
[ ]
0,a , com vn(0)=un.Também assume que a série 1 ( ) n n v h ∞ =∑
é convergente para todoh∈[0, ],a sendo V h( ) o limite da série para h≠0 e U o limite parah=0.Nesse contexto, ele afirma que o limite 0 lim ( ) h V V h →= é igual aU,exceto quando a convergên- cia da série 1 ( ) n n v h ∞ =
∑
se torna infinitamente devagar quando h se5 The series is said to be uniformly convergent in the neighbourhood of the pointξof the interval ( , )a b [...] if a positiveδ( )exists such that (A) is true for every positive, forn≥n0( , , )ξ δ =n0( , )ξ , and forξ δ ξ− ( )≤ ≤ +x ξ δ ξ( ). [...] is
substantially that defined by Seidel in 1848.
6 The convergency of the series in here said to become infinitely slow when, if
nbe the number of terms which must be taken in order to render the sum of the neglected terms numerically less than a given quantity e which may be as small as we please,n increases beyond all limit ashdecreases beyond all limit.
anula. A menos da exceção, o problema pode ser colocado como uma questão de intercâmbio entre limite e soma, ou seja,
(4.6) 0 0 1 1 ( ) lim lim n n( ) h h n n v h v h ∞ ∞ →
∑
= =∑
= → .Stokes também provou a recíproca, entretanto, pelo fato de des- crever alguns de seus resultados e conceitos essencialmente por meio de palavras, há controvérsia de interpretação. Por exemplo, se interpretarmos a definição de convergência infinitamente devagar como o que modernamente entendemos como convergência quase- -uniforme em uma vizinhança, a recíproca de seu teorema será falsa. Para Hardy (1918), é exatamente esse o caso:
Uma série [ ( )]s xn é dita quase-uniformemente conver- gente na vizinhança de um ponto ξ [...] se existir um δ ξ( )
positivo para o qual (A) [|r xn( ) |≤ ] é verdade para todo posi-
t i v o , t o d oN,en0( , , ,ξ δ N)=n0( , ,ξ N) m a i o r q u eN,p a r a
( ) x ( )
ξ δ ξ− ≤ ≤ +ξ δ ξ [...] esta foi a definição que realmente Stokes deu. (Hardy, 1918, p.152, grifo do autor)7
Por outro lado, se entendermos seu conceito como o que mo- dernamente conhecemos como convergência quase-uniforme em um ponto, conforme defende Lützen (2003), a recíproca será ver- dadeira e, nesse caso, Stokes pode ter sido o primeiro a encontrar o teorema correto, estabelecendo que a soma s x( ) é contínua em ξ se, e somente se, a série converge quase-uniformemente nesse ponto. Para Hardy (1918), no entanto, não tendo Stokes estabelecido o conceito de convergência quase-uniforme em um ponto, mas sim o de convergência quase-uniforme em uma vizinhança, o pioneiris- mo na formulação correta do teorema de Cauchy ficou mesmo para
7 The series is said to be quasi-uniformly convergent in the neighbourhood of
ξ[...] if a positiveδ ξ( )exists such that (A) ir true for every positive, everyN, ann0( , , ,ξ δ N)=n0( , ,ξN)greater than N, andξ δ ξ− ( )≤ ≤ +x ξ δ ξ( ) [...] it
o italiano Ulisse Dini (1845-1918), que publicou esse resultado quase trinta anos depois de Stokes.
Uma série [s xn( )] é dita quase-uniformemente conver-
gente em x=ξ se para todopositivo eN,todo corresponde um δ ξ( , , N) positivo e um n0( , , ,ξ δ N)=n0( , ,ξ N)maior que
,
N tal que (A) [|r xn( ) |≤ ] é verdade para n=n0( , ,ξ N) e para
( , ,N) x ( , ,N)
ξ δ ξ− ≤ ≤ +ξ δ ξ [...] [Essa] definição [...] é de grande interesse, tanto em si mesma quanto em relação ao traba- lho de Stokes. A condição necessária e suficiente para que s x( ) seja
contínua em x=ξ é que a série seja quase-uniformemente convergente
emx=ξ.Esse teorema é essencialmente atribuído a Dini. (Hardy, 1918, p.152-153, grifo do autor)8
* * *
Cauchy acabou voltando, depois de muitos anos, a esse teorema problemático a partir de uma observação de dois alunos seus, Char- les Auguste Briot (1817-1882) e Jean Claude Bouquet (1819-1885) – da parceria de Cauchy com esses alunos, inclusive, resultariam diversos outros resultados (Cajori, 2007). E, em 1853 (Cauchy, 1853), ele publicou o teorema em que chega muito perto do con- ceito de convergência uniforme num intervalo. Entretanto, não cita os resultados de Abel, tampouco os de Stokes ou Seidel. O referido conceito só seria de fato formulado anos mais tarde por Weierstrass, conforme veremos no capítulo seguinte. E a formulação rigorosa e mais geral do teorema de Cauchy, como afirmamos em linhas anteriores, seria dada por Dini quase no fim daquele século (Dini, 1878).
8 The series is said to be quasi-uniformly convergent forx=ξif to every positiveand everyNcorrespond a positiveδ ξ( , ,N)and an
0( , , , ) 0( , , )
n ξ δ N =n ξN , greater than N, such that(A) is true forn=n0( , ,ξN)
and forξ δ ξ− ( , ,N)≤ ≤ +x ξ δ ξ( , ,N)[...] [This] definition is also of great interest, both in itself and in relation to Stoke’s memoir. For the necessary and
sufficient condition thats x( )should be continuous forx=ξis that the series shoud be quasi-uniformly convergent forx=ξ. This theorem is in substance due to Dini.