O Teorema de Libermann

Sejam(M,ω)uma variedade simplética, N uma variedade diferenciável e F :M →N uma submersão sobrejetora. Suponha que as fibrasF⁻¹(q) ⊂M,q ∈ N, são conexas.

ComoF é uma submersão, dadop∈F⁻¹(q)tem-se T_pF⁻¹(q) =kerD F(p).

Denote porK o subfibrado deT M cuja fibra emp∈M éK_p =kerD F(p)⊆T_pM. Consi-dere o ortogonal simplético deK

K^ω⊆T M.

Lema 3.2. Seja g ∈C^∞(N),então g ◦F ∈C^∞(M)é constante ao longo das fibras da sub-mersão F :M →N.

Demonstração:Sejamg ∈C^∞(N)eq∈N. Então, para todop∈F⁻¹(q) (g ◦F)(p) = g(F(p))

= g(q).

Isto é,g◦F é constante ao longo das fibras deF.

Lema 3.3. Se f ∈C^∞(M)é constante ao longo das fibras de F,então o campo Hamiltoni-ano de f satisfaz: X_f(p)∈K_p^ω,para todo p∈M.

Demonstração: Seja f ∈ C^∞(M) constante ao longo das fibras de F, então existe g ∈ C^∞(N)tal que f =g◦F. SeX ∈Γ(kerT F), então,

d F(X) =0.

SeX_f é o campo hamiltoniano associado af, então,

ω(Xf,X) = (ıXfω)(X) =d f(X) =d(g◦F)(X) =d g(D F(X)) =0.

ComoX ∈Γ(kerT F), entãoX_f ∈Γ(K^ω).

Sendo assim, agora podemos mostrar o seguinte resultado.

Teorema 3.4([15]). Sejam(M,ω)uma variedade simplética, N uma variedade diferen-ciável e F :M →N uma submersão sobrejetora cujas fibras são conexas. Considere K ⊆ T M dado por K_p = kerD F(p), para todo p ∈ M. Então existe uma única estrutura de Poisson em N tornando F :M →N um morfismo de Poisson se, e somente se, K^ωé invo-lutivo.

Demonstração:Queremos definir uma estrutura de Poisson {·,·}N :C^∞(N)×C^∞(N)−→C^∞(N) Por hipótese, temos uma estrutura de Poisson emM dada por

{f₁,f₂}M =ω(Xf₁,X_f2), f₁,f₂∈C^∞(M),

ondeX_f1,X_f2são os campos Hamiltonianos associados af₁e f₂, respectivamente. Sejam g₁,g₂∈C^∞(N), basta mostrar que{g₁◦F,g₂◦F}M é constante ao longo das fibras deF. Se f₁,f₂ ∈C^∞(M) são constantes ao longo das fibras deF, queremos mostrar que{f₁,f₂}M

também o é. De fato

d {f₁,f₂}M

X = X {f₁,f₂}M

= X ω(X_f1,X_f2) .

Porém,dω(X_f1,X_f2,X) =0. Pelo Lema(3.3), temos

ω(X_f2,X) =ω(X,X_f1) =0, (3.4) além disso,

ω([Xf₂,X],X_f1) = d(f₁)([Xf₂,X]) = [Xf₂,X](f1) =−(Xf₂◦X −X ◦X_f2)(f₁) (3.5)

= X_f2(X(f₁))−X(X_f2(f₁)) =−X(X_f2(f₁)),

pois f é constante ao longo das fibras e X é um campo vetorial em kerT F. De modo análogo,

ω([X,X_f1],X_f2) =−X(Xf₂(f₁)). (3.6) Daí, segue de (3.4),(3.5)e (3.6), que

0=dω(X_f1,X_f2,X) = X_f1 ω(X_f2,X)

−X_f2 ω(X,X_f1)

+X ω(X_f1,X_f2)

− ω([Xf1,X_f2],X) +ω([Xf2,X],X_f1)−ω([X,X_f1],X_f2)

= X ω(Xf₁,X_f2)

− ω([Xf₁,X_f2],X) , ou seja,X ω(Xf₁,X_f2)

− ω([Xf₁,X_f2],X

=0. Portanto,d {f₁,f₂}M

X =X ω(Xf₁,X_f2)

=0 se, e somente se,K^ωé involutivo. Além disso, seg₁◦F,g₂◦F são constantes ao longo das fibras deF, então{g₁◦F,g₂◦F}M também o é. Logo, existe únicah∈C^∞(N)tal que,

{g₁◦F,g₂◦F}M =h◦F.

Defina {g₁,g₂}N :=h. Vamos mostrar que {·,·}N é uma estrutura de Poisson. Para tal, sejamg₁,g₂,g₃∈C^∞(N). Então

{g₁,g₂}N◦F = {g₁◦F,g₂◦F}M

= −{g₂◦F,g₁◦F}M

= −{g₂,g₁}N ◦F.

Portanto,{g₁,g₂}N =−{g₂,g₁}N. Isto é,{·,·}N é anti-simétrico.

Sejaml₁,l₂∈R, entãohéR- bilinear:

{g₁,l₁·g₂+l₂·g₃}N ◦F = {g₁◦F,(l₁·g₂)◦F}M +{g₁◦F,(l₂·g₃)◦F}M

= l₁· {g₁◦F,g₂◦F}M +l₂· {g₁◦F,g₃◦F}M

= l₁· {g₁,g₂}N ◦F +l₂· {g₁,g₃}N ◦F

= l₁· {g₁,g₂}N +l₂· {g₁,g₃}N

◦F.

Portanto,{g₁,l₁·g₂+l₂·g₃}N = l₁· {g₁,g₂}N +l₂· {g₁,g₃}N

. Da anti-simetria, segue que {·,·}N éR-bilinear.

Temos que{·,·}N satisfaz a regra de Leibniz, de fato:

{g₁,g₂·g₃}N ◦F = {g₁◦F,(g2·g₃)◦F}M

= {g₁◦F,g₃◦F}M·g₂+g₃· {g₁◦F,g₂◦F}M

= {g₁,g₃}N ◦F ·g₂+g₃· {g₁,g₂}N ◦F

= {g₁,g₃}N ·g₂+g₃· {g₁,g₂}N

◦F.

Portanto,{g₁,g₂·g₃}N = {g₁,g₃}N ·g₂+g₃· {g₁,g₂}N

. Finalmente,{·,·}satisfaz a identidade de Jacobi:

{g₁,{g₂,g₃}N}N+

◦F = {g₁,{g₂,g₃}N}N ◦F+

= {g₁◦F,{g₂,g₃}N◦F}M+

= {g₁◦F,{g₂◦F,g₃◦F}M}M+

= 0.

Portanto,{g₁,{g₂,g₃}N+ =0.

E, segue que{·,·}N é uma estrutura de Poisson emN. Como {g₁◦F,g₂◦F}M ={g₁,g₂}N ◦F,

entãoF :(M,ω)→(N,π)é um morfismo de Poisson.

Teoria de Lie e Geometria de Poisson

Começamos este capítulo mostrando que toda variedade de Poisson induz uma estru-tura de algebroide de Lie no seu fibrado cotangente. Em seguida, introduzimos o con-ceito de grupoide simplético e apresentamos alguns exemplos. Finalizamos com um re-sultado devido a Coste-Dazord-Weinstein[3], que estabelece que variedades de Poisson correspondem à versão infinitesimal de grupoides simpléticos.

4.1 O algebroide de Lie de uma estrutura de Poisson

SejamM uma variedade diferenciável eπ∈X²(M)um bivetor. Sabemos queπ corres-ponde a uma biderivação{·,·}:C^∞(M)×C^∞(M)→C^∞(M)emM, da seguinte maneira

{f,g}:=π(d f,d g). Considere

χ_π(d f,d g,d h) ={f,{g,h}}+

e a aplicação de fibrados:

π^]:T^∗M →T M, η(π^](ξ)):=π(ξ,η), ondeξ,η∈T^∗M. Considere o operadorR-bilinear,

[·,·]_π : Ω¹(M)×Ω¹(M) −→ Ω¹(M) (ξ,η) 7−→ [ξ,η]_π,

44

onde[ξ,η]_π:= (L_π](ξ)η)−(L_π](η)ξ)−dπ(ξ,η).

Proposição 4.1. Para cadaξ,η,γ∈Ω¹(M)valem as seguintes igualdades:

1. π^][ξ,η]_π= [π^](ξ),π^](η)] +χ_π(ξ,η,·),onde[·,·]é o colchete usual de campos vetoriais em M;

2.

ξ, η,γ

π

π+ =−(L_χ

π(ξ,η,·)γ+ )−2dχ_π(ξ,η,γ).

Demonstração: Primeiro observe que é suficiente mostrar que valem 1 e 2 para formas exatas, pois, localmente, 1-formas são combinaçõesC^∞(M)-lineares de formas exatas.

1. Sejam f,g,h∈C^∞(M), entãod f,d g ed h∈Ω¹(M)são 1-formas emM. Daí, d h(π^][d f,d g]_π) =d h(π^](L_π](d f)(d g)−L_π](d g)(d f)−dπ(d f,d g))) (4.1) Comod f,d g são 1-formas exatas, segue da fórmula de Cartan que

L_π](d f)(d g) =d(ı_π^]_{(d f)}d g) +ı_π^]_{(d f)}(d²g) =d(ı_π^]_{(d f)}d g). (4.2) De(4.1)e(4.2), temos

d h(π^][d f,d g]_π) = d h(π^](L_π](d f)(d g)−L_π](d g)(d f)−dπ(d f,d g)))

= d h(π^](d(ı_π](d f)d g)−d(ı_π](d g)d f)−dπ(d f,d g)))

= d h(π^](d(d g(π^](d f)))−d(d f(π^](d g)))−dπ(d f,d g)))

= d h(π^](dπ(d f,d g)−dπ(d g,d f)−dπ(d f,d g))) (4.3)

= d h(π^](−dπ(d g,d f))) =d h(π^](dπ(d f,d g)))

= d h(π^](d{f,g})) =π(d{f,g},d h) ={{f,g},h}. Por outro lado,

d h[π^](d f),π^](d g)] = [X_f,X_g](h) =X_f(X_g(h))−X_g(X_f(h))

= X_f{h,g} −X_g{h,f} (4.4)

= {{h,g},f} − {{h,f},g}

= −{{g,h},f} − {{h,f},g}.

Portanto, das igualdades(4.3)e(4.4), temos que Além disso, pelo item 1, temos que

L_π][d g,d h]πd f =L_[π](d g),π^](d h)]πd f +L_χ

De modo análogo temos, Como consequência deste resultado, obtemos a seguinte caracterização de um bive-tor de Poisson numa variedade diferenciávelM.

Teorema 4.2. Sejamπ∈X²(M) e[·,·]_π como na Proposição(4.1).São equivalentes as

Demonstração:Suponha que vale 1, mostraremos que vale 2. Comoπé bivetor de Pois-son, tem-se

χ_π(ξ,η,·) =0 ξ,η∈Ω¹(M). Segue, da afirmação 1, da Proposição(4.1), que

π^][ξ,η]_π= [π^](ξ),π^](η)]. Portanto,π^]:T^∗M →T M preserva colchetes.

Suponha que vale 2, mostraremos que vale 3. Comoπ^][ξ,η]_π= [π^](ξ),π^](η)], pela afir-mação 1, da Proposição(4.1), segue que

χ_π(ξ,η,·) =0.

Decorre da afirmação 2, da Proposição(4.1), que ξ,

η,γ

π

π+ =0.

Portanto,[·,·]_πsatisfaz a identidade de Jacobi.

Suponha que vale 3, mostraremos que vale 4. Vejamos que[·,·]_πé um colchete de Lie emΓ(T^∗M). De fato,[·,·]_πé anti-simétrico:

[ξ,η]_π = L_π](ξ)η−L_π](η)ξ−dπ(ξ,η)

= − −L_π](ξ)η+L_π](η)ξ−dπ(η,ξ)

= −[η,ξ]_π. Além disso,[·,·]_πéR-bilinear:

[ξ,η+l ·γ]_π = L_π](ξ)η+l ·L_π](ξ)γ−L_π](η)ξ−l ·L_π](γ)ξ

− dπ(ξ,η)−l ·dπ(ξ,γ)

= L_π](ξ)η−L_π](η)ξ−dπ(ξ,η) + l · L_π](ξ)γ−L_π](γ)ξ−dπ(ξ,γ)

= [ξ,η]_π+l ·[ξ,γ]_π.

Como [·,·]_π é anti-simétrico, então [η+l ·γ,ξ]_π = [η,ξ]_π+l ·[γ,ξ]_π. Segue que [·,·]_π é R-bilinear.

Por hipótese,[·,·]_πsatisfaz a identidade de Jacobi. Portanto,[·,·]_πé um colchete de Lie emΓ(T^∗M). Vejamos queπ^]:T^∗M →T M é uma âncora paraT^∗M. Note que, para cada X ∈T M eξ,η∈Ω^k(M), tem-se

L_π](ξ)(f ·η) = L_π](ξ)f

η+f ·L_π](ξ)η, (4.10) dπ(ξ,f ·η) =f ·dπ(ξ,η) +π(ξ,η)·d f. (4.11)

e, da fórmula de Cartan, segue que

L_(f·X)ξ = d(ı_(f·X)ξ) +ı_(f·X)(dξ)

= d(ξ(f ·X)) +dξ(f ·X)

= d(f ·ξ(X)) +f ·dξ(X)

= f ·d ı_Xξ+ξ(X)·d f +f ·ı_Xdξ (4.12)

= f ·(d ıXξ+ı_Xdξ) +ξ(X)·d f.

Em particular, sef ∈C^∞(M)eξ,η∈Ω¹(M), combinando(4.10),(4.11)e(4.12), obtemos [ξ,f ·η]_π = L_π](ξ)(f ·η)−L_π](f·η)ξ−dπ(ξ,f ·η)

= L_π](ξ)f

η+f ·L_π](ξ)η−f ·dπ(ξ,η)−π(ξ,η)·d f

− (f ·(d ı_π^](η)ξ+ı_π](η)dξ+ξ(π^](η)d f)))

= L_π](ξ)f

η+f ·(L_π](ξ)η−L_π](η)ξ−dπ(ξ,η))

= f ·[ξ,η]_π+L_π](ξ)(f)·η Portanto, a tripla T^∗M,π^],[·,·]_π

é um algebroide de Lie.

Suponha que vale 4, mostraremos que vale 1. Temos que T^∗M,π^],[·,·]_π

é um alge-broide de Lie, então pelo Lema(2.1)

π^][ξ,η]_π= [π^](ξ),π^](η)].

Pela afirmação 1, da Proposição(4.1), segue queχ_π=0. Isto é,πé um bivetor de Poisson.

4.2 Grupoides simpléticos

Definição 4.1.Umgrupoide simpléticoé um par(G,ω)ondeGé um grupoide de Lie sobre uma variedade M eω∈Ω²(G)é uma forma simplética tal que

Graf(m) ={(g,h,g ·h)∈G ×G ×G |(g,h)∈G₍₂₎}

é uma subvariedade lagrangiana deG ×G ×G,sendoG a variedadeG munida da forma simplética(−ω).

Observação 4.1. Se(G,ω)⇒M é um grupoide simplético entãoω∈Ω²(G)é uma forma multiplicativa, isto é,

m^∗ω=pr^∗₁ω+pr^∗₂ω.

Exemplo 4.1. Seja(M,ω)uma variedade simplética. O grupoide do par(M×M,Ω)⇒M, com estrutura de grupoide dada em(2.3),munido da forma simpléticaΩ=pr^∗₁ω−pr^∗₂ω, é um grupoide simplético. ConsidereG =M ×M.Sabemos queG ⇒M admite estrutura de grupoide de Lie. Vejamos queGraf(m)é uma subvariedade lagrangiana deG ×G ×G. A forma simplética emG ×G ×G é dada por

Ωˆ =pr^∗₁ω−pr^∗₂ω+pr^∗₃ω−pr^∗₄ω−pr^∗₅ω+pr^∗₆ω. VejamosΩ|ˆ _Graf(m)=0.Sejam p ∈Graf(m)e u,v ∈T_pGraf(m)

p= ((p3,p₂),(p1,p₃),(p1,p₂)), u= (u1,u₂,u₃,u₁,u₃,u₂)e v = (v1,v₂,v₃,v₁,v₃,v₂). Então,

Ωˆp(u,v) = ωp₃(u₁,v₁)−ωp₂(u₂,v₂) +ωp₁(u₃,v₃)−ωp₃(u₁,v₁)−ωp₁(u₃,v₃) +ωp₂(u₂,v₂)

= 0.

Além disso,

dim(Graf(m)) =3dimM =6

2dimM =1

2dim(G ×G ×G). Portanto,(M ×M,Ω)⇒M é um grupoide simplético.

Exemplo 4.2. Sejam(M,ω)uma variedade simplética eΩ= (s×t)^∗(pr^∗₁ω−pr^∗₂ω)∈Ω²(Π(M)), onde

s×t : Π(M) −→M ×M [α] 7−→(α(0),α(1)).

Então(Π(M),Ω)⇒M é um grupoide simplético. Vejamos queΩ= (s ×t)^∗(pr^∗₁ω−pr^∗₂ω)∈ Ω²(Π(M))é uma forma simplética. De fato, como,

dΩ= (s×t)^∗(pr^∗₁dω−pr^∗₂dω) =0

entãoΩ∈Ω²(Π(M))é fechada. Seja v ∈T_[α]Π(M)tal que, para todo u∈T_[α]Π(M) Ω_[α](u,v) =0.

ConsidereΩˆ =pr^∗₁ω−pr^∗₂ω,então

Ω_[α](u,v) = ((s×t)^∗Ω)ˆ _[α](u,v)

= Ωˆ_(α(0),α(1))(D(s×t)([α])u,D(s ×t)([α])v).

Como Ωˆ é simplética, então D(s ×t)([α])v = 0. Porém, s ×t : Π(M) −→ M ×M é um difeomorfismo local, logo v =0.Falta verificar queΩé uma forma multiplicativa. Como s×t :Π(M)→M ×M é um morfismo de grupoides de Lie, então

m^∗Ω = (s×t)^∗m^∗Ωˆ

= (s×t)^∗(Pr^∗₁+Pr^∗₂)Ωˆ

= Pr^∗₁Ω+Pr^∗₂Ω.

ondePr_j :Π(M)₍2)→Π(M),j=1, 2.Portanto(Π(M),Ω)⇒M é um grupoide simplético.

Exemplo 4.3. Seja G um grupo de Lie. Sabemos que T^∗G admite a estrutura simplética ωcan∈Ω²(T^∗G)(veja Exemplo(1.4)). Além disso, como T^∗G é isomorfo a G×g^∗,então T^∗G admite estrutura de grupoide de Lie. Pode-se mostrar que(T^∗G,ωcan)⇒g^∗é um grupoide simplético.

O próximo teorema nos fornece propriedades importantes a respeito de grupoides simpléticos.

Teorema 4.3([8],[20]). Seja(G,ω)⇒M um grupoide simplético com aplicações estrutu-rais

s,t,m,ı,",então

1. A dimensão de cada s - fibra e cada t - fibra deG é igual adimG −dimM; 2. dimM =¹₂dimG;

3. M é subvariedade lagrangiana deG (M está identificado com"(M));

4. Para todo g ∈G,T_gs⁻¹(s(g)) = (T_gt⁻¹(t(g)))^ω;

5. A inversão ı :G →G é um anti-simplectomorfismo:

ı^∗ω=−ω; 6. Para cada f₁,f₂∈C^∞(M),

{s^∗f₁,t^∗f₂}=0;

7. Para cada f ∈C^∞(M),o campo Hamiltoniano associado X_s∗f é tangente às t -fibras de G e invariante em relação à translação à esquerda em G.Similarmente, X_t∗f é tangente às s -fibras e invariante em relação à translação à direita emG.

8. Existe uma única estrutura de Poissonπem M tal que t :(G,ω)⇒(M,π)é morfismo de Poisson s :(G,ω)⇒(M,π)é anti-morfismo de Poisson.

Demonstração:

1. Comos :G →M é uma submersão sobrejetora então, para todog ∈G, T_gs⁻¹(s(g)) =kerD s(g).

Além disso,D s(g):T_gG →T_s(g)M, então ImD s(g) =T_s(g)M. Pelo teorema do Núcleo e da Imagem temos

dimT_gG = dim(kerD s(g)) +dim(Ts(g)M)

= dim s⁻¹(s(g))

+dimM. Como, dimT_gG =dimG, segue que dimG =2dimM. Logo

dim s⁻¹(s(g))

=dimG −dimM. De modo análogo,

dim t⁻¹(t(g))

=dimG−dimM.

É importante observar que isto vale para grupoides de Lie, em geral.

2. Como Graf(m)é subvariedade lagrangiana deG ×G ×G¯então, dim(Graf(m)) =3

2dimG.

Por outro lado

Isto mostra queM ⊂G é uma subvariedade isotrópica deG. Do item 2, sabemos que dimG =¹₂dimM. PortantoM é subvariedade lagrangiana deG.

4. Sejamg ∈G eu∈T_gs⁻¹(s(g)). Vejamos que para todov ∈T_gt⁻¹(t(g))

G₍₂₎, tal queβ(r) = (β1(r),β2(r)), ondeβ1(0) =g,β₁⁰(0) =v,β2(r) =g⁻¹ então

Como Graf(m)é subvariedade lagrangiana deG ×G ×G, concluímos que 0 = Ω_(g,g⁻¹,t(g))(U,V)

= ωg(u,v) +ωg⁻¹(D ı(g)u,D ı(g)v)−ωt(g)(D t(g)u,D t(g)v)

= ωg(u,v) +ωg⁻¹(D ı(g)u,D ı(g)v),

poisD t(g)u,D t(g)v ∈T_t(g)M eM é subvariedade lagrangiana deG. Portanto, ı^∗ωg(u,v) =ωg⁻¹(D ı(g)u,D ı(g)v) =−ωg(u,v).

Isto é,

ı^∗ω=−ω.

6. Sejamg ∈G,f₁,f₂∈C^∞(M),Y ∈T_gt⁻¹(t(g)) =kerD t(g)arbitrário eX_t^∗_f2 ∈X(G), o campo Hamiltoniano associado at^∗f₂∈C^∞(G), então

ωg(Xt^∗f₂(g),Y(g)) = ı_Xt∗f

2(g)ωg(Y(g))

= D(f₂(t(g)))Y(g)

= D(f₂(t(g)))D t(g)Y(g)

= 0.

PoisY(g)∈kerD t(g). Portanto,X_t∗f₂∈(T_gt⁻¹(t(g)))^ω. De modo análogo, X_s∗f1∈T_gt⁻¹(t(g)).

Do item 4, sabemos queT_gt⁻¹(t(g)) = (Tgs⁻¹(s(g)))^ω, daí, segue que {s^∗f₁,t^∗f₂}=ω(Xs^∗f₁,X_t^∗_f2) =0.

7. Do item 6 temos queX_s∗f ∈T_gt⁻¹(t(g)). Disso, segue diretamente queX_s∗f ∈X(G)é invariante à esquerda. De modo análogo,X_t∗f₁∈T_gs⁻¹(s(g))e é invariante à direita.

8. Pelo item 4, sabemos queT_gs⁻¹(s(g)) = (Tgt⁻¹(t(g)))^ω, para todog ∈G. Pela

identi-dade de Jacobi e pelo item 6 temos

0 = {{t^∗f₁,t^∗f₂},s^∗f₃}+{{t^∗f₂,s^∗f₃},t^∗f₁}+{{s^∗f₃,t^∗f₁},t^∗f₂}

= {{t^∗f₁,t^∗f₂},s^∗f₃}. Isto é,

0=ω(X_{t^∗f₁,t^∗f₂},X_s^∗_f3) =ω([Xt^∗f₁,X_t^∗_f2],X_s^∗_f3).

Portanto, T_gs⁻¹(s(g)) = (Tgt⁻¹(t(g)))^ω é involutivo. Segue do Teorema de Liber-mann (Teorema(3.4)), que existe uma única estrutura de PoissonπemM tal que t :(G,ω)→(M,π)é um morfismo de Poisson. Comos =t ◦ı, então,

s^∗{f₁,f₂} = (t ◦ı)^∗{f₁,f₂}=ı^∗{t^∗f₁,t^∗f₂}

= −{t^∗f₁,t^∗f₂}=−{−t^∗f₁,−t^∗f₂}

= −{ı^∗(s^∗f₁),ı^∗(t^∗f₂)}=−{(t ◦ı)^∗f₁,(t ◦ı)^∗f₂}

= −{s^∗f₁,s^∗f₂}.

Portanto, com a mesma estrutura de Poisson definida acima em M, segue que s :(G,ω)→(M,πM)é um anti-morfismo de Poisson.

4.3 O algebroide de Lie de um grupoide simplético

Na seção anterior (Teorema(4.3)), mostramos que se (G,ω) é um grupoide simplético sobreM, então existe uma única estrutura de PoissonπM ∈X²(M), que tornat :(G,ω)→ (M,πM)um morfismo de Poisson. Nesta seção, mostraremos que variedades de Poisson correspondem à versão infinitesimal de grupoides simpléticos. Este resultado é devido à Coste-Dazord-Weinstein,[3], e é um dos resultados principais apresentados neste tra-balho.

Teorema 4.4([3]). Sejam(G,ω)⇒M um grupoide simplético eπ∈X²(M)a única estru-tura de Poisson tal que t :(G,ω)→(M,π)é morfismo de Poisson. Então

σ : A(G) −→ (T^∗M)_π a_p 7−→ ωp(ap,·)|T_pM,

é um isomorfismo de algebroides de Lie, onde(T^∗M)_πdenota o algebroide de Lie induzido porπ.

Para demonstrar o Teorema acima, precisamos de alguns resultados preliminares.

Lema 4.5. SejaG ⇒M um grupoide de Lie com algebroide de Lie A(G).Seja g ∈G,com

Dos itens 1 e 2 segue que

ωg(DR_g(q)a_q,v_g) = ωg(D m(q,g)(a_q, 0),D m(q,g)(D t(g)v_g,v_g))

= (m^∗ω)g((aq, 0),(D t(g)vg,v_g))

= (pr^∗₁ω−pr^∗₂ω)g((a_q, 0),(D t(g)v_g,v_g))

= ωq(aq,D t(g)vg)−ωg(0,v_g)

= ωq(aq,D t(g)vg)

Lema 4.6. Sejam(M1,π1),(M2,π2) duas variedades de Poisson. Se φ : M₁ → M₂ é um morfismo de Poisson, então o seguinte diagrama comuta

T_pM₁ ^Dφ(p)//T_φ(p)M₂

T_p^∗M₁

π^]₁

OO

T_φ(p)^∗ M₂

(Doo φ(p))^∗ π^]₂

OO .

Demonstração: Seja {f,g}j = πj(d f,d g) a estrutura de Poisson correspondente em M_j,j=1, 2. Comoφ:M₁→M₂ é um morfismo de Poisson, para cadaf,g ∈C^∞(M2)

{f,g}2◦φ={f ◦φ,g ◦φ}1 (4.13) Reescrevendo a igualdade(4.13), em termos de bivetores, temos

π2(d f,d g)◦φ=π1(d(f ◦φ),d(g◦φ)). Sejamd f,d g ∈T^∗M₂, então

d g(φ(p))◦(Dφ(p)◦π^]₁◦(Dφ(p))^∗)(d f(φ(p))) = d g(φ(p))(Dφ(p)(π^]₁(d f(φ(p)◦Dφ(p)))))

= π1(d(f ◦φ)(p),d(g ◦φ)(p))

= π2(d f(φ(p)),d g(φ(p)))◦φ(p)

= d g(φ(p))(π^]₂(d f(φ(p)))).

Comop∈M₁ed f,d g ∈T^∗M₂são arbitrários, concluímos que Dφ(p)◦π^]₁◦(Dφ(p))^∗=π^]₂.

Isto segue do fato que, localmente, elementos emT^∗M₂são combinaçõesC^∞(M2)

-linea-res de 1-formas exatas.

Podemos, fazer uma demonstração do Teorema(4.4):

Demonstração: Vejamos queσ:A(G)→T^∗M é um isomorfismo de fibrados vetoriais.

Sea_p ∈kerσev_p ∈T_pM então

ωp(ap,v_p) =0.

Como t :G →M é uma submersão sobrejetora, existev_g ∈T_gG tal queD t(g)vg = v_p, para todov_p ∈T_pM. Além disso, pelo Lema(4.5)

ωp(ap,v_p) =ωp(ap,D t(g)vg) =ωp(DR_g(p)ap,v_g) =0.

Comoωé não-degenerada, segue que

DR_g(p)ap =0.

MasDR_g(p):s⁻¹(q)→s⁻¹(p)é um isomorfismo, entãoa_p =0. Ou seja,σ:A(G)→T^∗M é injetora. Além disso, pelo item 2, do Teorema(4.3), temos

dimM =1

2dimG. Assim, dimT^∗M =2dimM =dimG. Como

dim(A(G)) =dim(kerD s) +dimM =2dimM, segue que

dimA(G) =dimT^∗M. Portanto,σ:A(G)→T^∗M é um isomorfismo de fibrados.

Vejamos queσ:A(G)→(T^∗M)_πé compatível com a âncoraρ:A(G)→T M emA(G) e com a âncoraπ^]:T^∗M →T M em(T^∗M)_π. Por um lado, para cadaq ∈M a âncora em A_qG é definida porρq =D t(q)|A_qG. Por outro lado, comot :(G,ω)→(M,π)é morfismo

de Poisson, pelo Lema(4.6), segue que

ρq =π^]◦ω^]. Daí, temos que

ρq=π^]◦σq.

Vejamos queσ:A(G)→(T^∗M)_πpreserva colchetes. Para tal, vejamos que vale a se-guinte igualdade

t^∗(σ[a,b]A(G)) =t^∗[σ(a),σ(b)]_π.

Como,[σ(a),σ(b)]_π=L_ρ(a)(σ(b))−L_ρ(b)(σ(a))−d(σ(b)(π^](σ(a)))), então t^∗[σ(a),σ(b)]_π=t^∗(L_ρ(a)(σ(b)))−t^∗(L_ρ(b)(σ(a)))−t^∗d(σ(b)(π^](σ(a)))) Da fórmula de Cartan, segue que

t^∗[σ(a),σ(b)]_π = t^∗ı_ρ(a)(dσ)(b) +t^∗d(ı_ρ(a)σ)(b)

− t^∗ı_ρ(b)(dσ)(a) +t^∗d(ı_ρ(b)σ)(a)−t^∗ı_ρ(a)(dσ)(b)

= t^∗d(ı_ρ(a)σ)(b)−t^∗ı_ρ(b)(dσ)(a)−t^∗(ı_ρ(a)dσ)(b)

= t^∗d(ω(b,ρ(a)))−t^∗d(ω(a,ρ(b)))−t^∗(dω)(a,ρ(b))

= d(t^∗ω(b,ρ(a)))−d(t^∗ω(a,ρ(b)))−(d t^∗ω)(a,ρ(b)) (4.14)

= d(t^∗ω(b,D t(a)))−d(t^∗ω(a,D t(b)))−(d t^∗ω)(a,D t(b))

= d(t^∗ω(DR(b),a))−d(t^∗ω(DR(a),b))−(d t^∗ω)(DR(a),b)

= −ı_b^r(d t^∗σ)(a) +ı_b^r(d t^∗σ)(a) +d(ı_a^rt^∗σ)(b).

Por outro lado, pelo Lema(4.5), vale a seguinte igualdade: t^∗σ(a) =ı_a^rω. Logo, t^∗(σ[a,b]_A(G)) = ı_[a^r_,b^r_]ω= (L_ar(ıb^rω))−(ıb^r(L_arω))

= d(ıa^rt^∗σ)(b) +ı_a^r(d t^∗σ)(b)−ı_b^r(d(ıa^rω) +ı_a^r(dω)) (4.15)

= d(ı_a^rt^∗σ)(b) +ı_a^r(d t^∗σ)(b)−ı_b^r(d t^∗σ)(a). Portanto, das igualdades(4.14)e(4.15)segue que

t^∗(σ[a,b]_A(G)) =t^∗[σ(a),σ(b)]_π.

Comot :G →M é uma submersão sobrejetora, segue que σ[a,b]_A(G)= [σ(a),σ(b)]_π.

Reciprocamente, vale o seguinte resultado

Teorema 4.7([2],[4]). Seja(M,π)é uma variedade de Poisson tal que(T^∗M)_πse integra a um grupoide de LieG s -simplesmente conexo. Então existe uma única forma simplética ω∈Ω²(G)que torna(G,ω)um grupoide simplético sobre M tal que t :G →M é morfismo de Poisson e s:G →M anti-morfismo de Poisson.

Com este resultado mostra-se que existe uma correspondência 1−1 entre grupoides simpléticos e variedades de Poisson integráveis da seguinte maneira

((G,ω)⇒M)7−→(M,π), ondeπé dada pelo item 8 do Teorema(4.3).

Exemplo 4.4. Seja(M,ω)uma variedade simplética. No Exemplo(4.1)vimos que o gru-poide do par M×M ⇒M é um grupoide simplético. É fácil ver que(M×M,Ω)⇒M integra (M,ω)vista como variedade de Poisson. Note que M×M ⇒M não necessariamente é um grupoide s -simplesmente conexo.

Exemplo 4.5. Se(M,ω)é uma variedade simplética, o grupoide fundamentalΠ(M)⇒M herda a estrutura de grupoide simplético (Exemplo(4.2)). Neste caso,(Π(M),Ω)⇒M inte-gra(M,ω)vista como variedade de Poisson. ComoΠ(M)⇒M tem s -fibras simplesmente conexas, segue do Teorema(4.7)queΠ(M)⇒M é o único grupoide s -simplesmente conexo que integra(M,ω).

Exemplo 4.6. Considere o grupoide simplético T^∗G ⇒ g^∗ do Exemplo(4.3). Neste caso, T^∗G integra a variedade de Poissong^∗com a estrutura de Lie-Poisson (Exemplo(3.2)).

Grupoides G -Hamiltonianos

Neste capítulo estudamos grupoidesG-Hamiltonianos, isto é, grupoides simpléticos mu-nidos de uma ação Hamiltoniana compatível com a estrutura de grupoide. Apresenta-mos o resultado principal deste trabalho, que Apresenta-mostra que o espaço de órbitas de uma ação de Poisson numa variedade de Poisson integrável, é também integrável como va-riedade de Poisson e, é possível construir um grupoide simplético que integra esta vari-edade de Poisson via redução de Marsden-Weinstein para grupoidesG-Hamiltonianos.

Finalmente, relacionamos nossos resultados com os obtidos por Mikami e Weinstein em [20].

5.1 Ações em grupoides de Lie

SejamG ⇒M um grupoide de Lie eG um grupo de Lie compacto que age emG por auto-morfismos de grupoide. Ou seja, para cadag ∈G, temos um isomorfismo de grupoides de LieΨg :G →G cobrindo um difeomorfismoψg :M →M, tal queΨg◦Ψh =Ψg·h,g,h∈ G. Note queg 7→ψg define uma ação deG emM.

Neste capítulo,G denotará sempre um grupo de Liecompacto.

Proposição 5.1. Se a ação de G em G é livre, então o espaço de órbitasG/G herda uma estrutura de grupoide de Lie sobre o espaço de órbitas M/G,tal que a projeção canônica Pr :G →G/G é morfismo de grupoides de Lie cobrindo a projeçãopr :M →M/G.

Demonstração: Como as ações deG emG e emM são livres eG é compacto, então os espaços de órbitasG/G eM/G admitem estrutura de variedade diferenciável, tais que

62

as respectivas projeções, Pr : G → G/G e pr : M → M/G, são submersões sobrejeto-ras. Vejamos queG/G ⇒ M/G é um grupoide de Lie. Para isto, considere s,t,m,",ı as aplicações estruturais emG. Denotaremos por Ψg :G → G a ação deG emG e por ψg :M →M a ação deG emM e αa órbita deα ∈G. Temos a seguinte estrutura de grupoide emG/G :

• source:

s : G/G −→ M/G α 7−→ s(α),

• target:

t : G/G −→ M/G α 7−→ t(α),

• multiplicação: Sejamα,β ∈G/G tais ques(α) =t(β). De forma equivalente, existe um únicog ∈G, pois a ação é livre, tal queψg(s(α)) =t(β). Logo, definimos

m(α,β) =m(Ψg(α),β).

• seção identidade:

" : M/G −→ G/G p 7−→ "(p),

• inversão:

ı : G/G −→ G/G α 7−→ α⁻¹.

É fácil verificar queG/G ⇒M/G com as aplicaçõess,t,m,",ı, é grupoide de Lie. Por construção, Pr :G →G/G é morfismo de grupoides, cobrindo pr :M →M/G.

5.2 Ações Hamiltonianas em grupoides simpléticos

Motivaremos os objetos de estudo desta seção com o seguinte exemplo:

Exemplo 5.1. Seja (M,ω) uma variedade simplética. O grupoide do par M ×M ⇒ M é naturalmente um grupoide simplético (veja Exemplo(4.1)).Suponha queµ:M →g^∗é uma aplicação momento para uma ação simpléticaψ:G ×M →M de um grupo de Lie

(compacto) G em M.Então, a ação diagonal de G em M ×M é simplética com aplicação momento

J :M ×M −→ g^∗

(p,q) 7−→ µ(p)−µ(q).

Observe que a ação diagonal é uma ação por automorfismos de grupoide. Além disso, a aplicação momento J :M ×M →g^∗satisfaz

J(α·β) =J(α) +J(β),

onde cadaα,β ∈(M ×M)₍2).Em particular, se0∈g^∗ é valor regular de J :M ×M →g^∗, então J⁻¹(0)é um subgrupoide de M ×M,cuja base é M.Suponha que G age livremente em J⁻¹(0).Pela Proposição(5.1),o espaço reduzido

(M ×M)red:=J⁻¹(0)/G

é um grupoide de Lie sobre M/G.Sabemos que M/G herda uma estrutura de Poissonπred

(veja Exemplo(3.4)). É fácil ver que(M ×M)red ⇒ M/G é um grupoide simplético que integra(M/G,πred).

O exemplo anterior faz parte de um contexto mais geral de ações Hamiltonianas em grupoides simpléticos. O cenário é o seguinte:

1. (G,ω)⇒(M,π)grupoide simplético;

2. G grupo de Lie compacto agindo por automorfismos de grupoideΨg :G →G, co-brindo uma açãoψg :M →M,g ∈G;

3. Ψ_g^∗ω=ω, para cadag ∈G;

4. a ação deG em(G,ω) é Hamiltoniana, com aplicação momentoµ : G →g^∗ que satisfaz

µ(α·β) =µ(α) +µ(β) (5.1) para cada(α,β)∈G₍₂₎.

Nesta situação, diremos que(G,ω,G,µ)é umgrupoideG-Hamiltoniano.

Proposição 5.2. Sejam(G,ω)⇒M um grupoide simplético e G um grupo de Lie que age de forma simplética emG. Então a ação de G na base M é por difeomorfismos de Poisson.

Demonstração:Como(G,ω)⇒(M,π)é um grupoide simplético, segue do Teorema(4.3) quet :(G,ω)→(M,π)é morfismo de Poisson. Por outro lado, para cadag ∈G, temos

t ◦Ψg =ψg ◦t,

pois a ação deG é por automorfismos de grupoide. Seja{·,·}_πo colchete de Poisson em C^∞(M)induzido porπ. Queremos provar que

{f₁,f₂}_π◦ψg ={f₁◦ψg,f₂◦ψg}_π,

para cada f₁,f₂∈C^∞(M)eg ∈G. Comot :G →M é uma submersão sobrejetora, basta mostrar que

t^∗{f₁,f₂}_π◦ψg =t^∗{f₁◦ψg,f₂◦ψg}_π.

Mas isto decorre do fato que t : (G,ω) → (M,π) é morfismo de Poisson e que a ação

Ψg :G →G é simplética

Observação 5.1. Como G age em (M,π) por difeomorfismos de Poisson, se G age li-vremente, entãoM/G herda uma estrutura de Poissonπredtal que a projeção canônica pr : M → M/G é morfismo de Poisson. O seguinte resultado mostra que é possível integrar a variedade de Poisson(M/G,πred) via redução simplética para o grupoideG -Hamiltoniano(G,ω,G,µ).

O teorema abaixo é o segundo resultado principal deste trabalho.

Teorema 5.3. Seja(G,ω,G,µ)um grupoide G -Hamiltoniano. Se0∈g^∗é valor regular de µe G age livremente emµ⁻¹(0),então

1. O espaço reduzidoGred= (µ⁻¹(0)/G,ωred)é um grupoide simplético sobre M/G; 2. O grupoide simpléticoGredintegra a variedade de Poisson(M/G,πred).

Demonstração:

1. Como 0 ∈ g^∗ é valor regular de µ e µ satisfaz (5.1), concluímos que µ⁻¹(0) ⇒ M é um subgrupoide de G ⇒ M. Por outro lado, como G age por automorfismos

de grupoide, decorre da Proposição (5.1) que o espaço de órbitasµ⁻¹(0)/G herda uma única estrutura de grupoide de Lie sobreM/G que torna a projeção canônica Pr :µ⁻¹(0)→µ⁻¹(0)/G um morfismo de grupoides, cobrindo pr :M →M/G. Pelo Teorema de Redução Simplética (Teorema (1.8)), existe uma única estrutura sim-pléticaωredemGred:=µ⁻¹(0)/G caracterizada por

Pr^∗ωred=ı^∗ω, (5.2)

ondeı :µ⁻¹(0),→G é a inclusão. Vejamos queωred∈Ω²(Gred)é multiplicativa. Isto é,

m^∗ωred=pr^∗₁ωred+pr^∗₂ωred. (5.3) ondem :(Gred)₍2)→Gredé a multiplicação emGrede pr_j :(Gred)₍2)→Gred,j =1, 2, são as projeções. Para mostrar(5.3)basta verificar que

(Pr×Pr)^∗(m^∗ωred) = (Pr×Pr)^∗(pr^∗₁ωred+pr^∗₂ωred),

pois Pr×Pr :µ⁻¹(0)×µ⁻¹(0)→Gred×Gredé uma submersão sobrejetora. Mas isto segue combinando o fato que Pr :µ⁻¹(0)→Gredé morfismo de grupoides com(5.2) e a multiplicatividade deω.

2. Considere{·,·}red, a estrutura de Poisson emC^∞(M/G)induzida porπred. A projeção pr :(M,{·,·}_π)−→(M/G,{·,·}red),

é um morfismo de Poisson, isto é:

pr^∗{f₁,f₂}red={pr^∗f₁, pr^∗f₂}_π, f₁,f₂∈C^∞(M).

Como(µ⁻¹(0)/G,ωred)⇒M/G é um grupoide simplético, o Teorema(4.3)garante a existência de uma única estrutura de Poisson{·,·}M/G emM/G tal que

t :(µ⁻¹(0)/G,{·,·}_ωred)−→(M/G,{·,·}M/G), é um morfismo de Poisson, ou seja:

t^∗{f₁,f₂}M/G ={t^∗f₁,t^∗f₂}ωred, f₁,f₂∈C^∞(M).

Vejamos que{·,·}M/G ={·,·}red. Como pr◦t :µ⁻¹(0)→M/G é submersão sobrejetora, basta verificar que:

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}M/G = (pr◦t)^∗{f₁,f₂}red. (5.4) para cada f₁,f₂ ∈C^∞(M/G). Para o lado esquerdo de (5.4), como t : µ⁻¹(0)/G → M/G é morfismo de Poisson e pr◦t =t ◦Pr, então

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}M/G ={f₁◦t,f₂◦t}M/G ◦Pr. (5.5) Avaliando (5.5) emα∈µ⁻¹(0), temos

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}M/G(α) = {f₁◦t,f₂◦t}M/G(Pr(α))

= D f₁(t(Pr(α)))D t(Pr(α))X_f2◦t(Pr(α)). Comot :µ⁻¹(0)/G →M/G é morfismo de Poisson, segue que

D t(Pr(α))Xf2◦t(Pr(α)) =X_f2(t(Pr(α))). Ou seja,

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}M/G(α) =D f₁(t(Pr(α)))Xf2(t(Pr(α))), (5.6) ondeX_f2é o campo Hamiltoniano associado àf₂∈C^∞(M/G), com respeito à{·,·}M/G. Para o lado direito de (5.4), pr :(M,π)→(M/G,πred)et :(G,ω)→(M,π)são mor-fismos de Poisson e pr◦t =t ◦Pr, então

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}red={f₁◦t ◦Pr,f₂◦pr◦t}_ω. (5.7) Avaliando (5.7) emα∈µ⁻¹(0), obtemos

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}red(α) = {f₁◦t ◦Pr,f₂◦pr◦t}ω(α)

= D f₁(t(Pr(α)))D t(Pr(α))DPr(α)Xt^∗(pr^∗f₂)(α) (5.8) Sejah∈C^∞(µ⁻¹(0)/G). O campo HamiltonianoX_Pr^∗_h, associado a Pr^∗h∈C^∞(µ⁻¹(0)), é Pr-relacionado ao campo HamiltonianoX_h, associado ah. Ou seja,

DPr(α)X_Pr^∗_h(α) =X_h(Pr(α)) α∈µ⁻¹(0). (5.9)

Comot ◦Pr=pr◦t, seh=t^∗f, onde f ∈C^∞(M/G), temos

Pr^∗h=Pr^∗(t^∗f) = (t ◦Pr)^∗f = (pr◦t)^∗f =t^∗(pr^∗f). (5.10) Então, pelas igualdades(5.9)e (5.10), obtemos

DPr(α)Xt^∗(pr^∗f)(α) =DPr(α)XPr^∗(f2◦t)(α) =X_f2◦t(Pr(α)). (5.11) Combinando as igualdades(5.8)e (5.11), segue que

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}red(α) = D f₁(t(Pr(α)))D t(Pr(α))X_t^∗_f2(Pr(α))

= D f₁(t(Pr(α)))X_f2(t(Pr(α))) (5.12) ondeX_f2é o campo Hamiltoniano associado àf₂∈C^∞(M/G), com respeito à{·,·}M/G. De (5.6) e(5.12), obtemos

(pr◦t)^∗{f₁,f₂}red(α) = (pr◦t)^∗{f₁,f₂}M/G(α) α∈µ⁻¹(0). Daí

{·,·}red={·,·}M/G.

Exemplo 5.2. Seja(M,ω,G,µ)um espaço G -Hamiltoniano. Usando o Teorema(5.3), exi-biremos um grupoide simplético que integra a variedade de Poisson(M/G,πred).O gru-poide do par M×M ⇒M é um grupoide simplético (Exemplo(4.1)) e com respeito à ação diagonal,(M ×M,Ω,G,J)é um grupoide G -Hamiltoniano, onde J :M ×M →M é dada por,

J(p,q) =µ(p)−µ(q). Pelo Teorema(5.3),o espaço reduzido

(M ×M)red:={(p,q)∈M ×M |µ(p) =µ(q)}/G, é um grupoide simplético que integra(M/G,πred).

5.3 O grupoide fundamental de uma variedade simplética

Na seção 5.2 mostramos que seM/G é o espaço de órbitas determinado por um espaço G-Hamiltoniano(M,ω,G,µ), entãoM/G, visto como variedade de Poisson, é sempre integrável e ainda é possível construir explicitamente um grupoide simplético que inte-graM/G. É conhecido que existem ações simpléticas que não admitem aplicação mo-mento. Obstruções cohomológicas para a existência de aplicações momento podem ser encontradas em[12]. Nesta seção mostraremos que seG age simpleticamente em(M,ω), então a variedade de PoissonM/G é integrável,mesmo quando a ação de G em(M,ω) não admite aplicação momento. Nossa demonstração combina os resultados da seção 5.2 com o seguinte teorema, devido a Mikami e Weinstein[20].

Teorema 5.4([20]). Seja(M,ω)uma variedade simplética. Suponha queψ:G ×M →M é uma ação por difeomorfismos simpléticos. Então o grupoide fundamentalΠ(M) ⇒M herda de forma canônica uma estrutura de grupoide G -Hamiltoniano, com estrutura sim-plética

Ω= (s×t)^∗(pr^∗₁ω−pr^∗₂ω),ação simplética dada por Ψg([α]) = [ψg(α)]

e aplicação momentoµ:Π(M)→g^∗

〈µ([α]),u〉:= Z

α

ı_uMω. (5.13)

onde[α]∈Π(M)e u_M ∈X(M)é o gerador infinitesimal associado a u∈g.

Para demonstrar este Teorema, precisamos de um resultado prévio. Para isso, consi-dere a seguinte:

Definição 5.1. Sejaα:[0, 1]→M uma curva em M.Umavariaçãodeαé uma aplicação suaveΣ:[0, 1]×(−",")→M,(r1,r₂)7→Σ(r1,r₂)," >0,tal que

1. Σ(r₁, 0) =α(r₁), r₁∈[0, 1]; 2. Fixado r₁∈[0, 1],a curva

(−",") −→M r₂ 7−→Σ(r₁,r₂)

é suave.

SejamX =V₂ eη=ı_V2ω, então, Feito isso, podemos dar uma demonstração para o Teorema(5.4):

Demonstração:Vejamos queµ:Π(M)→g^∗é equivariante com respeito à representação coadjunta Ad^∗_g−1:g→g. De fato, sejam[α]∈Π(M)eg ∈G, então

[α]∈Π(M)eV ∈T_[α]Π(M). Considere uma variaçãoΣ:[0, 1]×(−",")→M deα, tal que

=

Combinando o Teorema(5.3), com o Teorema(5.4), obtemos o seguinte resultado:

Teorema 5.6. Sejam(M,ω)uma variedade simplética e G um grupo de Lie que age em M por difeomorfismos simpléticos. Suponha que a ação de G em M é livre, então a variedade de Poisson(M/G,πred)do Exemplo(5.2)é integrável. Além disso, o grupoide simplético

Π(M)red:= (µ⁻¹(0)/G,Ωred)

ondeµ:Π(M)→g^∗é definida por(5.13),é um grupoide simplético que integra(M/G,πred). Demonstração: Pelo Teorema(5.4), o grupoide fundamentalΠ(M)herda a estrutura de grupoideG-Hamiltoniano. Sejaµ:Π(M) →g^∗, dada por(5.13), segue do Teorema(5.3) que

Π(M)red:= (µ⁻¹(0)/G,Ωred)⇒M/G

é um grupoide simplético que integra a variedade de Poisson(M/G,πred).

Finalizamos este trabalho com algumas observações relacionadas com os resultados aqui demonstrados:

1. Grupoides G-Hamiltonianoss-simplesmente conexos: No Teorema (5.6) exibi-mos um grupoide simplético que integra o espaço de órbitas M/G de uma ação simplética, ondeG é um grupo de Lie conexo. A única integração deM/G como no Teorema (4.7) é dada por um recobrimento de Π(M)red. Porém, se aplicação µ:Π(M)→g^∗em(5.13), tem fibras simplesmente conexas, entãoΠ(M)redéo gru-poide simplético s - simplesmente conexo que integra(M/G,πred).

2. Integração de quocientes por uma ação de Poisson: Seja (M,π) uma variedade de Poisson. Em geral, seG age livremente emM por difeomorfismos de Poisson, então M/G herda uma estrutura de Poissonπred. Se M é integrável como varie-dade de Poisson, a varievarie-dade de Poisson (M/G,πred)também é integrável. A de-monstração deste fato usa uma extensão das técnicas das seções 5.2 e 5.3, substi-tuindoΠ(M)pelo chamadogrupoide de Weinsteinassociado à variedade de Pois-son(M,π). Para mais detalhes veja[10].

75

[1] Bursztyn, H. e Macarini, L.Introdução à Geometria Simplética, XIV Escola de Geo-metria Diferencial, IMPA, Rio de Janeiro, 2006.

[2] Cattaneo, A.S. e Felder, G. Poisson sigma models and symplectic groupoids, Quan-tization of Singular Symplectic Quotients, vol. 198, 2001, 41–73. Progress in Mathe-matics Birkhäuser.

[3] Coste, P. e Dazord, A. e Weinstein, A. Groupoides symplectiques,Dept. Math. Lyon.

1987.

[4] Crainic, M. e Fernandes, R.L. Integrability of Poisson brackets,Journal of Differential Geometry, vol. 66, 1, 2004, 71–137. Lehigh University.

[5] Crainic, M. e Fernandes, R.L. Lectures on integrability of Lie brackets,Geometry &

Topology Monographs, vol. 17, 2011, 2–107.

[6] Da Silva, A.C.Lectures on symplectic geometry, Lectures Note in Mathematics, vol.

1764, Springer Verlag, 2011.

[7] Da Silva, A.C. e Weinstein A.Geometric models for noncommutative algebras, vol. 10, American Mathematical Society, 1999.

[8] Dufour, J.P. e Zung, N.T. Poisson structures and their normal forms, Progress in Mathematics, vol. 242, Birkhäuser Basel, 2005.

[9] Duistermaat, J.J. e Kolk, J.A.C.Lie Groups, Springer Verlag, 2000.

[10] Fernandes, R.L. e Iglesias, D., Integrability of Poisson-Lie group actions,trabalho em andamento.

[11] Guillemin, V. e Pollack, A. Differential topology, American Mathematical Society.

2010.

76

[12] Guillemin, V. e Sternberg, S.Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, 1990.

[13] Kobayashi, S. e Nomizu, K.Foundations of differential geometry, vol. 1, 2, Intersci-ence New York, 1963

[14] Lee, J.M.Introduction to Smooth Manifolds, vol. 218, Springer Verlag, 2003.

[15] Libermann, P. Problèmes d’équivalence et géométrie symplectique,Astérisque, vol.

107, 1983, 43–68.

[16] Marsden, J.E. e Ratiu, T.S.Introduction to mechanics and symmetry: a basic exposi-tion of classical mechanical systems, vol. 17. Springer Verlag, 1999.

[17] Marsden, J.E. e Weinstein, A. Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Re-ports on mathematical physics, vol. 5, 1, Elsevier, 1974, 121–130

[18] McDuff, D. e Salamon, D. Introduction to symplectic topology, Oxford University Press, 1999.

[19] Meyer, K.R. Symmetries and integrals in mechanics,Dynamical systems, 1973, 259–

273.

[20] Mikami, K. e Weinstein, A. Moments and reduction for symplectic groupoids, Pu-blications of the RIMS, vol. 24, 1, 1988, 121–140.

[21] Milnor, J.W. e Stasheff, J.D.Characteristic Classes, vol. 76. Princeton University Press, 1974.

[22] Moerdijk, I. e Mrˇcun, J.Introduction to foliations and Lie groupoids, vol. 91, Cam-bridge University Press, 2003.

[23] Warner, F.W.Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, vol. 94, Sprin-ger Verlag, 1982.

[24] Weinstein, A. Symplectic groupoids and Poisson manifolds,Bull. Amer. Math. Soc., vol. 16, 1, 1987, 101–104.

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