GRUPOIDES SIMPLÉTICOS E GEOMETRIA DE POISSON

Lilian Cordeiro Brambila

GRUPOIDES SIMPLÉTICOS E GEOMETRIA DE POISSON

Curitiba, 2013.

Lilian Cordeiro Brambila

GRUPOIDES SIMPLÉTICOS E GEOMETRIA DE POISSON

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada da Universidade Federal do Paraná, como requi- sito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Cristián Ortiz González.

Curitiba, 2013.

Nestas linhas espero expressar a gratidão que sinto por tantas pessoas que passaram pela minha vida e direta ou indiretamente me influenciaram a seguir estudando.

Começo agradecendo à CAPES pelo apoio financeiro e ao PPGMA pela oportunidade de seguir com o mestrado.

Ao meu orientador, o professor Cristián Ortiz. Sua preocupação foi essencial para que este trabalho fosse concluído. Posso dizer que realmente aprendi muito devido a sua dedicação e seriedade em fazer um bom trabalho.

Aos professores Eduardo Hoefel e Alexandre Kirilov que durante toda a minha gradu- ação me motivaram a seguir em frente.

A todos os meus amigos e colegas. Aqui cito pessoas essenciais: Pamela, Minero, Físico, Kelly, May, Fernando e Cris. Pessoas que tornaram essa jornada mais leve.

Ao Ricardo, pelos maravilhosos anos que já vivemos e pelos que estão por vir. Mesmo morando a alguns quilômetros de distância, sempre esteve presente, me apoiando e aju- dando a seguir em frente. Certamente eu não chegaria até aqui sem toda a compreensão, a alegria que me proporciona e o amor que dedica a mim.

Finalmente, aos meus sobrinhos, Maria Luiza e João Vitor, que ainda tão pequenos me motivam a seguir em frente, sua alegria de criança me renova. Ao meu irmão Ricardo, um grande amigo e por quem tenho um profundo amor. E mais importante, meus pais, pessoas essenciais em minha vida. Se hoje tenho algo bom devo a eles, que me dão óti- mos exemplos de amor e dedicação. Sinto-me imensamente grata por todo seu esforço em realizar meus sonhos e se abdicarem do que for necessário para me tornar uma pes- soa melhor e feliz. Não existem palavras suficientes que expressem todo o amor e grati- dão que tenho por ambos.

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Renato Russo

Nesta dissertação estudamos o conceito de grupoide simplético e sua relação com a ge- ometria de Poisson. Seguindo a referência[3], mostramos que a base M de um gru- poide simplético(G,ω) herda uma única estrutura de Poisson π de forma que o alge- broide de LieA(G)deG é isomorfo ao algebroide de LieT^∗M canonicamente associado à variedade de Poisson(M,π). Posteriormente, introduzimos o conceito de grupoideG- Hamiltoniano e mostramos que o espaço de órbitas de uma ação de Poisson numa varie- dade de Poisson integrável, é também integrável como variedade de Poisson e, é possível construir um grupoide simplético que integra esta variedade de Poisson via redução de Marsden-Weinstein para grupoidesG-Hamiltonianos. Finalmente, relacionamos nos- sos resultados com os obtidos por Mikami e Weinstein em[20].

Palavras-chave:ações Hamiltonianas, algebroides de Lie, variedades de Poisson, grupoi- des simpléticos.

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In this dissertation we study the notion of symplectic groupoid and its relation with Pois- son geometry. Following[3], we show that the baseM of a symplectic groupoid(G,ω) inherits a unique Poisson structureπ in such a way that the Lie algebroid A(G)of G is canonically isomorphic to the Lie algebroid T^∗M associated to the Poisson manifold (M,π). Then, we introduce G-Hamiltonian groupoids, proving the main result of this work which says that the orbit spaceM/G of a Poisson action on an integrable Poisson manifoldM, is always integrable, whenM/G is smooth. Moreover, a symplectic grou- poid integratingM/G is constructed via Marsden-Weinstein reduction forG-Hamiltonian groupoids. Finally, we relate our results with the ones obtained by Mikami and Weinstein in[20].

Keywords:Hamiltonian actions, Lie algebroids, Poisson manifolds, symplectic groupoids.

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Resumo 7

Abstract 8

Introdução 1

1 Geometria Simplética 4

1.1 Variedades Simpléticas . . . 4

1.2 Simplectomorfismos . . . 11

1.3 Subvariedades . . . 12

1.4 EspaçosG-Hamiltonianos . . . 15

1.4.1 Ações Hamiltonianas . . . 15

1.4.2 Redução Simplética . . . 16

2 Grupoides e Algebroides de Lie 21 2.1 Grupoides de Lie . . . 21

2.2 Algebroides de Lie . . . 26

2.3 O funtor de Lie . . . 28

2.3.1 O algebroide de Lie de um grupoide de Lie . . . 28

2.3.2 O funtor de Lie em morfismos . . . 31

2.4 Integração de algebroides de Lie . . . 33

3 Geometria de Poisson 35 3.1 Estruturas de Poisson . . . 35

3.2 Bivetores de Poisson . . . 38

3.3 Morfismos de Poisson . . . 39

3.3.1 O Teorema de Libermann . . . 40

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4 Teoria de Lie e Geometria de Poisson 44 4.1 O algebroide de Lie de uma estrutura de Poisson . . . 44 4.2 Grupoides simpléticos . . . 49 4.3 O algebroide de Lie de um grupoide simplético . . . 56

5 GrupoidesG-Hamiltonianos 62

5.1 Ações em grupoides de Lie . . . 62 5.2 Ações Hamiltonianas em grupoides simpléticos . . . 63 5.3 O grupoide fundamental de uma variedade simplética . . . 69

Conclusão 75

Referências Bibliográficas 76

É conhecido que na formulação Hamiltoniana da mecânica clássica, os objetos geomé- tricos que representam espaços de fase correspondem a variedades simpléticas. Umava- riedade simpléticaé um par(M,ω), ondeM é uma variedade diferenciável eω∈Ω²(M) é uma 2-forma emM que é fechada e não-degenerada. Similarmente, o estudo de siste- mas mecânicos com simetrias se traduz matematicamente numa ação de um grupo de LieG numa variedade simplética(M,ω), preservando a estrutura simpléticaω∈Ω²(M). SeG for compacto e a ação deG emM é livre, então o espaço de órbitasM/G é uma variedade diferenciável, mas não necessariamente uma variedade simplética. De fato, M/G herda umaestrutura de Poisson.

De forma concreta, umavariedade de Poissoné um par(N,{·,·}), ondeN é uma va- riedade diferenciável e {·,·} é uma estrutura de Poisson na álgebra de funções suaves C^∞(N). Isto é,

{·,·}:C^∞(N)×C^∞(N)−→C^∞(N)

é um colchete de Lie, tal que, para cada f ∈ C^∞(N), tem-se que{f,·} ∈Der(C^∞(N)) é uma derivação na álgebraC^∞(N). Por um lado, um resultado clássico garante que existe uma correspondência 1-1 entre grupos de Lie simplesmente conexos e álgebras de Lie de dimensão finita. Por outro lado, a álgebra de funções(C^∞(N),{·,·})de uma variedade de Poisson é naturalmente uma álgebra de Lie (de dimensão infinita). Uma questão natural é a seguinte:

Pergunta 1: Qual é o objeto global associado à álgebra de Lie(C^∞(N),{·,·})?

Esta dissertação trata esta questão. Embora a álgebra de Lie(C^∞(N),{·,·})tenha di- mensão infinita, o fato que{f,·} ∈Der(C^∞(N))é uma derivação, para cada f ∈C^∞(N), permite associar à variedade de Poisson(N,{·,·})um objeto geométrico de dimensão fi- nita chamado algebroide de Lie.

1

O conceito de algebroide de Lie unifica as noções de álgebra de Lie, folheação regular e fibrado tangente, e corresponde à versão infinitesimal do conceito de grupoide de Lie.

Desta forma, a pergunta 1 pode ser reformulada da seguinte maneira:

Pergunta 2:Qual a geometria global associada ao algebroide de Lie de uma variedade de Poisson?

Neste trabalho, veremos que a versão global de uma variedade de Poisson é umgru- poide simplético. Um grupoide simplético é um grupoide de Lie munido de uma forma simplética compatível com a multiplicação de grupoide, veja[3]. Grupoides simpléticos foram introduzidos de forma independente por A. Weinstein e M. V. Karasev em conexão com problemas de quantização. Grosso modo, grupoides simpléticos estão para grupos de Lie, como variedades de Poisson estão para algebroides de Lie.

O objetivo principal desta dissertação consiste em explicar em que sentido varieda- des de Poisson correspondem ao análogo infinitesimal de grupoides simpléticos. Para tal, usamos a referência[3]. Em particular, estamos interessados em descrever grupoides simpléticos associados a variedades de Poisson da formaM/G, ondeM é uma variedade de Poisson eG é um grupo de simetrias deM.

Esta dissertação está organizada da seguinte maneira:

O capítulo 1, cujas principais referências são [1] e [6], consiste numa introdução à Geometria simplética. Definimos variedades simpléticas e apresentamos os exemplos principais destes objetos. Em seguida, estudamos morfismos entre variedades simpléti- cas e finalizamos o capítulo com o estudo de espaçosG-Hamiltonianos.

No capítulo 2, usamos principalmente as referências[5],[8], apresentamos os con- ceitos de grupoide de Lie e algebroide de Lie. Também explicamos de forma detalhada a construção do funtor de Lie entre a categoria dos grupoides de Lie e a categoria dos algebroides de Lie.

No capítulo 3, usamos[8]e[15], são apresentados os conceitos fundamentais da geo- metria de Poisson. Explicamos a relação entre estruturas de Poisson e bivetores de Pois- son e, também estudamos os exemplos principais destas estruturas e o conceito de mor- fismo de Poisson. Finalmente, mostramos o Teorema de Libermann sobre estruturas de

Poisson na base de uma submersão cujo espaço total é uma variedade simplética.

O capítulo 4, cujas referências foram[3],[8]e[24], é a parte central desta dissertação.

Explicamos em detalhe a relação entre grupoides simpléticos e variedades de Poisson, seguindo a referência[3]. Mostramos que toda variedade de Poisson(N,{·,·})induz cano- nicamente uma estrutura de algebroide de Lie no fibrado cotangenteT^∗N. Terminamos este capítulo com um resultado devido a Coste-Dazord-Weinstein[3], que mostra que a baseN de um grupoide simplético(G,ω)⇒N herda uma única estrutura de Poisson de forma que o algebroide de Lie deG é isomorfo ao algebroide de LieT^∗N determinado por(N,{·,·}).

O capítulo 5 apresenta os resultados principais deste trabalho. Introduzimos o con- ceito de grupoideG-Hamiltoniano, isto é, grupoides simpléticos munidos de uma ação Hamiltoniana compatível com a estrutura de grupoide. Mostramos que o espaço de ór- bitas de uma ação de Poisson numa variedade de Poisson integrável, é também inte- grável como variedade de Poisson e, é possível construir um grupoide simplético que integra esta variedade de Poisson via redução de Marsden-Weinstein para grupoidesG- Hamiltonianos. Finalmente, relacionamos nossos resultados com os obtidos por Mi- kami e Weinstein em[20].

Geometria Simplética

Neste capítulo fizemos uma introdução às variedades simpléticas. Começamos defi- nindo e dando alguns exemplos de variedades simpléticas. Em seguida estudamos mor- fismos entre variedades simpléticas e subvariedades. Finalmente, estudamos simetrias de variedades simpléticas e apresentamos o Teorema de Marsden - Weinstein sobre quo- cientes simpléticos.

1.1 Variedades Simpléticas

SejamM uma variedade diferenciável de dimensãon eω∈Ω²(M)uma 2-forma emM. Dizemos queωénão-degeneradase, para todop∈M, vale o seguinte: seωp(u,v) =0 para todou∈T_pM, entãov =0,v ∈T_pM.

Definição 1.1. Uma variedade simpléticaé um par (M,ω), onde M é uma variedade diferenciável eω ∈Ω²(M)é uma forma simplética. Isto é, ωé uma2- forma fechada e não-degenerada.

Observação 1.1. Se(M,ω)é uma variedade simplética ep ∈M, então a forma bilinear ωp:T_pM ×T_pM →Ré não-degenerada e anti-simétrica. Com isto, seAé a matriz asso- ciada aω, entãoAé não-singular e

(−1)ⁿdet(A) =det(−A) =det(A^T) =det(A). Decorre do anterior que toda variedade simplética tem dimensão par.

Vamos agora exibir alguns exemplos de variedades simpléticas.

4

Exemplo 1.1. Seja M =R²ⁿ com coordenadas(x₁,· · ·,x_n,y₁,· · ·,y_n).Considere a2-forma ω0=

Xn

j=1

d x_j∧d y_j.

Afirmamos que (R²ⁿ,ω0) é uma variedade simplética. Note que ω0 é fechada, de fato é exata

ω0=d

n

X

j=1

x_jd y_j

! .

Vejamos queω0é não-degenerada. Seja v ∈T_pM,tal queω0(u,v) =0,para todo u∈T_pM. Vamos mostrar que v=0.Tome u=_∂^∂_x

j,_∂^∂

yj,j=1,· · ·,n,então d x_j(v) =ω0

∂

∂y_j,v

=0=ω0

∂

∂x_j,v

=d y_j(v) j=1,· · ·,n.

Ou seja, d x_j(v) =d y_j(v) =0,para todo j =1,· · ·,n.Isto é, v =0.Portanto,ω0é uma forma simplética emRⁿ.

Exemplo 1.2. Considere o espaçoCⁿ ={(z1,· · ·,z_n)|z_j ∈C,j =1,· · ·,n}.Usando a iden- tidadeR²ⁿ 'Cⁿ dada por(x,y)7→x +i y,a forma simplética do exemplo anterior induz uma forma simplética emCⁿ 'R²ⁿ dada por

ω0= i 2

n

X

j=1

d z_j∧dz¯_j.

Segue queCⁿ é naturalmente uma variedade simplética.

Exemplo 1.3. Sejam(M₁,ω1),(M₂,ω2)variedades simpléticas. Considere M =M₁×M₂a variedade produto com as projeções canônicas

pr_j :M →M_j j=1, 2.

Entãoω:=pr^∗₁ω1+pr^∗₂ω2define uma forma simplética em M.Observe queωé fechada, pois

dω=pr^∗₁dω1+pr^∗₂dω2=0,

onde usamos o fato deω1,ω2serem fechadas. Vejamos queωé não-degenerada.

Sejam(u₁,u₂),(v₁,v₂)∈T_pM,sendo p= (p₁,p₂)∈M₁×M₂,então

ωp((u₁,u₂),(v₁,v₂)) = (pr^∗₁ω1)p1((u₁,u₂),(v₁,v₂)) + (pr^∗₂ω2)p2((u₁,u₂),(v₁,v₂))

= (ω1)p₁(u1,v₁) + (ω2)p₂(u2,v₂). Suponha que(v1,v₂)é tal que, para todo(u1,u₂)∈T_pM,tem-se

ωp((u₁,u₂),(v₁,v₂)) = (ω1)p₁(u₁,v₁) + (ω2)p₂(u₂,v₂) =0.

Então, tomando u₁ = 0e u₂ 6= 0e usando o fato de ω2 ser não-degenerada, segue que v₂=0.De modo análogo, segue que v₁=0.Portanto,ω=pr^∗₁ω1+pr^∗₂ω2define uma forma simplética em M =M₁×M₂.

Exemplo 1.4(Fibrado Cotangente). Seja M uma variedade de dimensão n com coorde- nadas(x₁,· · ·,x_n).O fibrado cotangente de M é definido por,

T^∗M :=a

p∈M

T_p^∗M.

Considere a projeção canônica:

pr : T^∗M −→ M ξp 7−→ p. Para cadaξp ∈T_p^∗M,considere a derivada

Dpr(ξp):T_ξp(T_p^∗M)−→T_pM. Definimos a1-forma tautológicaα∈Ω¹(T^∗M)por,

α_ξp(v):=ξ(Dpr(ξp)(v)), ξ∈T^∗M,v ∈T_ξp(T^∗M). (1.1) A partir disso, definimos a2-forma canônicaωcan∈Ω²(T^∗M),por

ωcan := −dα. (1.2)

Proposição 1.1. A2-formaωcan∈Ω²(T^∗M)é uma forma simplética.

Demonstração: De(1.2)segue queωcan é fechada. Vejamos queωcané não-degenerada.

Considere coordenadas(x₁,· · ·,x_n)em M.Isto induz coordenadas locais(x₁,· · ·,x_n,ξ1,· · ·,ξn) em T^∗M,onde cada pontoξp∈T_p^∗M tem a expressão

ξp =

n

X

j=1

ξjd x_j(p).

Considere a seguinte base para T_ξp(T^∗M):

B = ∂

∂x₁,· · ·, ∂

∂x_n, ∂

∂ ξ1

,· · ·, ∂

∂ ξn

. Então, temos a seguinte expressão local para a1-forma tautológica

α=

n

X

j=1

ξjd x_j.

Localmenteα=Pn

j=1(a_jd x_j) +Pn

j=1(b_jdξj),onde a_j,b_j ∈C^∞(M)serão determinadas a seguir. Note que,

Dpr(ξp) ∂

∂x_j ξp

= ∂

∂x_j p

e Dpr(ξp) ∂

∂ ξj

ξp

=0.

Logo

a_j(ξp) = α_ξp ∂

∂x_j ξp

=ξ

Dpr(ξp) ∂

∂x_j ξp

= ξ

∂

∂x_j p

=ξj(ξp).

Ou seja,ξj =αj,para todo j =1,· · ·,n.De modo análogo, temos queβj =0,para todo j=1,· · ·,n.Portanto,

α=

n

X

j=1

ξjd x_j. Logo,

ωcan:=−dα=

n

X

j=1

d x_j∧dξj.

Ou seja, localmente, ωcan é a forma simplética canônica em R²ⁿ. Portantoωcan é uma

forma simplética em T^∗M. SejaM uma variedade diferenciável. Denotamos porΩ^k(M)o espaço dask-formas emM. Dado um campo de vetoresX ∈X(M)temos os seguintes operadores:

1. Contração:

ı_X : Ω^k(M) −→ Ω^k−1(M) η 7−→ η(X,·,· · ·,·)

2. Derivada de Lie: Sejaϕt :M →M o fluxo deX, parat ∈(−ε,ε), comεsuficiente- mente pequeno. Então,

L_X : Ω^k(M) −→ Ω^k(M) η 7−→ d

d t

t=0ϕ_t^∗η.

A derivada de Lie e o operador de contração estão relacionados através daFórmula de Cartan:

L_Xη=d(ıXη) +ı_X(dη). (1.3) Para uma demonstração da fórmula de Cartan veja[23].

Exemplo 1.5(Órbitas Coadjuntas). Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lieg.A repre- sentação coadjunta de G emg^∗é dada por

k: G −→ GL(g^∗)

g 7→ k_g : g^∗ −→ g^∗ ξ 7→ (Ad_g−1)^∗◦ξ, Sejaξ∈g^∗e considereO_ξa órbita coadjunta que passa porξ.Então,

T_ξO_ξ=

ad^∗_uξ;u∈g . De fato, sejamξ∈g^∗e u∈g.Considere a seguinte aplicação

ξ(t) =k_g(t)(ξ),

sendo, g :[0, 1]→G tal que g(0) =e ∈G e g⁰(0) =u.Então ξ(t)é uma curva emO_ξ que satisfazξ(0) =ξ.Sendo assim,

d d t

t=0〈ξ(t),v〉= d d t

t=0〈ξ,Ad_g−1(t)(v)〉. Logo,

〈ξ⁰(0),v〉=−〈ξ, ad_u(v)〉=−〈ad^∗_u(ξ),v〉 para todo v ∈g.Portantoξ⁰(0) =−ad^∗_u(ξ)e segue que

T_ξO_ξ={ad^∗_uξ;u∈g}.

A partir disso, definimos uma forma bilinear, anti-simétrica em T_ξO_ξ,por

ω_ξ(ad^∗_u(ξ), ad^∗_v(ξ)) =〈ξ,[u,v]〉. (1.4) Desta maneira, obtemos uma2-forma emOξ.

Proposição 1.2. Sejaδ∈ Oξ,arbitrário. EntãoOξadmite a seguinte estrutura simplética:

ω_δ(ad^∗_u(δ), ad^∗_v(δ)) =〈δ,[u,v]〉.

Demonstração:Para todo u∈geδ∈g^∗temos a representação coadjunta degemg^∗ ad^∗: g −→ End(g^∗)

u 7−→ ad^∗_u : g^∗ −→ g^∗ δ 7−→ δ◦ad_u.

Vamos verificar queω ∈ Ω²(O_ξ) é suave. Observe que ω é invariante por tranformações coadjuntas. De fato, sejam u,v ∈ geδ ∈g^∗,como a ação adjuntaAd_g :g →gpreserva colchetes de Lie, então

〈Ad^∗_g−1(δ),[Ad_g(u),Ad_g(v)]〉=〈Ad^∗_g−1(δ),Ad_g[u,v]〉=〈δ[u,v]〉. Além disso, estas ações são transitivas emO_ξ.Ou seja,ω∈Ω²(O_ξ)é suave.

Precisamos verificar queωestá bem-definida, poisad^∗_u :g^∗→g^∗é um campo de vetores emg.Sejam

ad^∗_u(δ), ad^∗_u¯(δ), ad^∗_v(δ), ad^∗_v¯(δ)∈g^∗,

tais que

ad^∗_u(δ) =ad^∗_u¯(δ) e ad^∗_v(δ) =ad^∗_v¯(δ). Então,

ω(ad^∗_u(δ), ad^∗_v(δ)) =〈δ,[u,v]〉=〈δ,[u, ¯¯ v]〉=ω(ad^∗_u¯(δ), ad^∗_v¯(δ)). Ou seja,

ω(ad^∗_u(δ), ad^∗_v(δ)) =ω(ad^∗_u¯(δ), ad^∗_v¯(δ)). Portanto,ωestá bem-definida.

Note queωé não-degenerada. Suponha que, para cadaad^∗_v(δ),δ∈g^∗ ω(ad^∗_u(δ), ad^∗_v(δ)) =0,

então, de(1.4),temos

〈δ,[u,v]〉=0.

Mas,

〈δ,[u,v]〉=〈δ, ad_uv〉=δ◦ad_u(v) =ad^∗_u(δ)(v) para todo v ∈g,ou seja,ad^∗_u(δ) =0. Portanto,ωé não-degenerada.

Finalmenteωé fechada. Para u∈garbitrário, temos que d u define uma1-forma em g^∗, tal que, para quaisquerη∈g^∗eδ∈g^∗,temos,

(d u)_η(δ) =δ(u), Logo,

(d u)_η(ad^∗_v(δ)) =ad^∗_v(δ)(u) = (δ◦ad_v)(u) =δ(ad_v(u)) = (1.5)

=δ([v,u]) =〈δ,[v,u]〉. Por outro lado,

(ı_ad^∗

u(δ)ω)(ad^∗_v(δ)) =ω(ad^∗_u(δ), ad^∗_v(δ)) =〈δ,[u,v]〉. (1.6) Ou seja, de(1.5)e(1.6),segue que

ı_ad^∗_uω=−d u.

E com isso temos que ı_ad^∗

uωé exata. Então d(ı_ad^∗

uω) =0.Pela fórmula de Cartan, segue que ı_ad^∗

udω=L_ad∗

uω−d(ı_ad^∗

uω) =0.

Isto é, para cada u,w ∈gtemos que d(ω(ad^∗_u,w)) =0,ou seja, dω=0.Portanto,ωé uma 2-forma fechada e temos queωé uma forma simplética emO_ξ.

1.2 Simplectomorfismos

Nesta seção introduzimos o conceito de morfismo entre variedades simpléticas.

Definição 1.2. Sejam(M1,ω1),(M2,ω2)duas variedades simpléticas da mesma dimensão.

Um difeomorfismoϕ : M₁ → M₂ é umsimplectomorfismo entre (M1,ω1) e (M2,ω2) se ϕ^∗ω2=ω1.Isto é, para cada p ∈M₁e u,v ∈T_pM₁,

(ω2)_ϕ(p)(Dϕ(p)u,Dϕ(p)v) = (ω1)p(u,v).

SejamM₁,M₂ variedades diferenciáveis. O objetivo do próximo resultado é mostrar como um difeomorfismo entre variedades diferenciáveis induz um simplectomorfismo entre os fibrados cotangentes correspondentes. Para isto, considereϕ : M₁ → M₂ um difeomorfismo. Olevantamento cotangentedeϕé a aplicação

ϕˆ:= (Dϕ⁻¹)^∗:T^∗M₁→T^∗M₂. Note que o diagrama

T^∗M₁ ^{ϕˆ //}

pr₁

T^∗M₂

pr₂

M₁ ^{ϕ //}M₂

,

comuta, onde pr_j :T^∗M_j→M_j,j=1, 2, são as projeções canônicas.

Proposição 1.3. Sejamα1,α2as formas tautológicas em T^∗M₁e T^∗M₂,respectivamente.

Então

ϕˆ^∗α2=α1.

Demonstração:Sejamp_j ∈M_j eξj ∈T^∗M_j,j =1, 2. Sabemos de(1.1)que (αj)_{(ξj)p j} =ξj(Dpr_j(ξj)pj)

pelo visto no Exemplo(1.4). Se ˆϕ(ξ1) =ξ2 ev ∈T_(ξ1)p

1(T^∗M₁), ϕˆ^∗α2

ξ1(v) = (α2)_ξ2 Dϕ(ξˆ 1)(v)

=ξ2(Dpr₂(ξ2)) Dϕ(ξˆ 1)(v)

= ξ2(D(pr₂◦ϕ)(ξˆ 1)(v))

= ξ2(D(ϕ◦pr₁)(ξ1)(v))

= (Dpr₁(ξ1))^∗(Dϕ(p1))^∗(ξ2)(v)

= (Dpr₁(ξ1))^∗(ξ1)(v)

= (α1)_ξ1(v).

Sejaωj =−dαj ∈Ω²(T^∗M_j), a 2-forma canônica emT^∗M_j,j =1, 2. O seguinte resul- tado é consequência imediata da proposição anterior.

Corolário 1.4. O difeomorfismoϕˆ:T^∗M₁→T^∗M₂é um simplectomorfismo.

Demonstração:Basta observar que

ϕˆ^∗ω2=ϕˆ^∗(−dα2) =ϕˆ^∗(d(−α2)) =−d ϕˆ^∗α2

=−dα1=ω1.

1.3 Subvariedades

Diremos que(V,Ω)é umespaço vetorial simpléticoquandoV é umR-espaço vetorial munido de uma formaR-bilinearΩque é anti-simétrica e não-degenerada. Considere W ⊆V um subespaço vetorial. Oortogonal simpléticodeW é o conjunto,

W^Ω:={u∈V |Ω(u,v) =0, v ∈W}. Diremos queW é um subespaço:

1. SimpléticoseW ∩W^Ω={0};

2. IsotrópicoseW ⊆W^Ω; 3. CoisotrópicoseW^Ω⊆W; 4. LagrangianoseW =W^Ω.

Observação 1.2. SeW é um subespaço isotrópico deV, então dimW ≤ ¹₂dimV. Com isto, subespaços lagrangianos são subespaços isotrópicos de dimensão máxima.

Definição 1.3. Seja(M,ω)uma variedade simplética. Uma subvariedade N ,→M é dita lagrangiana(respectivamente simplética, isotrópica e coisotrópica) se, para todo p∈N,T_pN é um subespaço lagrangiano (respectivamente simplético, isotrópico e coisotrópico) de (TpM,ωp).

Para os próximos exemplos vamos considerar o fibrado cotangente munido da estru- tura simplética definida pela fórmula (1.2).

Exemplo 1.6. Considere a seção nula Z do fibrado cotangente T^∗M definida da seguinte forma

Z : M −→ T^∗M p 7→ (p, 0p).

Vejamos que a imagem de Z é uma subvariedade lagrangiana de T^∗M.De fato, sabemos que localmente, a forma simplética em T^∗M tem a seguinte expressão,

ωcan=

n

X

j=1

d x_j∧dξj,

como cadaξj =0em Z,segue queωcan|Z =0.Além disso, como os pontos em Z são da forma(p, 0_p),então,dimZ =dimM =¹₂dim(T^∗M).Portanto, Z é subvariedade lagrangi- ana de T^∗M.

Exemplo 1.7. Cada fibra T_p^∗M do fibrado cotangente T^∗M é uma subvariedade lagrangi- ana de T^∗M.De fato, temos quedim(T_p^∗M) =dimM =¹₂dim(T^∗M).Vejamos queωcan|T_p^∗M = 0.Sejam(x₁,· · ·,x_n,ξ1,· · ·,ξn)coordenadas locais em T^∗M,então, nessas coordenadas,

ωcan=

n

X

j=1

d x_j∧dξj.

Como p ∈M está fixado, então as coordenadas x_j,em T_p^∗M,para todo j =1,· · ·,n,são constantes. Logo d x_j|T_p^∗M =0,daí,ωcan|T_p^∗M =0.Portanto, cada fibra T_p^∗M de T^∗M é uma subvariedade lagrangiana de T^∗M.

Exemplo 1.8. Sejam M uma variedade diferenciável de dimensão n e N ,→M uma sub- variedade de dimensão k.Então ofibrado conormalde N,definido por,

C^∗N =¦

(p,ξ)∈T^∗M |p∈M,ξ∈T_p^∗M e ξ|T_pN =0©

é uma subvariedade lagrangiana de(T^∗M,ωcan).De fato, tome coordenadas locais(x₁,· · ·,x_n) em M tais que(x₁,· · ·,x_k)são coordenadas induzidas em N e(x₁,· · ·,x_n,ξ1,· · ·,ξn)são co- ordenadas induzidas em T^∗M.Da definição de C^∗N,temos que (x1,· · ·,x_k,ξk+1,· · ·,ξn) são as coordenadas induzidas em C^∗N.Então,dim(C^∗N) =dimM = ¹₂dim(T^∗M).Veja- mos queωcan|C^∗N =0.Sabemos queωcan=−dα,então basta verificar queα|C^∗N =0.Como, localmente,

α= Xn

j=1

ξjd x_j

então claramenteα|C^∗N =0.Portanto, C^∗N é uma subvariedade lagrangiana de T^∗M. Sejam(M1,ω1)e (M2,ω2)duas variedades simpléticas. O próximo resultado nos dá uma condição para verificar quando um difeomorfismoϕ : (M1,ω1) → (M2,ω2) é um simplectomorfismo.

Proposição 1.5. Sejam(M₁,ω1),e(M₂,ω2) duas variedades simpléticas. Um difeomor- fismoϕ:M₁→M₂é um simplectomorfismo se, e somente se,Graf(ϕ):=

(p,ϕ(p))|p∈M₁ é uma subvariedade lagrangiana de M₁×M₂,onde M₂está munida da forma simplética (−ω2).

Demonstração: Vejamos que Graf(ϕ)⊂M₁×M₂ é subvariedade lagrangiana. Note que dimGraf(ϕ) =dimM₁=¹₂dim M₁×M₂

. Além disso,

T_(p,ϕ(p))Graf(ϕ) =Graf(Dϕ(p))⊂T_pM₁×T_ϕ(p)M₂.

Para mostrar que Graf(ϕ)é isotrópico considere(u,Dϕ(p)u),(v,Dϕ(p)v)∈T_(p,ϕ(p))Graf(ϕ). Então,

ω₍p,ϕ(p))(u,Dϕ(p)u),(v,Dϕ(p)v) = (ω1)p(u,v)−(ω2)_ϕ(p)(Dϕ(p)u,Dϕ(p)v)

Daí,ω|_Graf(ϕ)=0 se, e somente se,ϕ^∗ω2=ω1.

1.4 Espaços G -Hamiltonianos

1.4.1 Ações Hamiltonianas

Definição 1.4. Sejam(M,ω)uma variedade simplética eψ:G×M →M uma ação suave de um grupo de Lie G em M.Diremos queψé umaação simplética, se para todo g ∈G , ψg :M →M,p7→ψ(g,p),é um simplectomorfismo.

Seg é a álgebra de Lie de G e u ∈ g, considereu_M ∈ X(M) o gerador infinitesimal associado au, cujo fluxo éϕt =ψexpt·u :M →M. Logo,

L_uMω= d d t

t=0ψ^∗_expt·uω= d d t

t=0ω=0,

pois a ação deG emM é simplética. Além disso, comoωé fechada, segue da fórmula de Cartan que

0=L_uM(ω) =d(ı_uMω).

Ou seja, para cadau ∈g, a 1-formaı_uMω∈Ω¹(M)é fechada. Estamos interessados em encontrar primitivas deı_uMω. A seguinte definição aponta nesta direção.

Definição 1.5. Dizemos que a ação simpléticaψ:G×M →M é umaação Hamiltoniana se existe uma aplicação, que chamaremos deaplicação momento,µ:M →g^∗que satifaz:

1. µé equivariante com respeito à ação coadjunta. Isto é, para cada g ∈G,o diagrama

M ^{ψg //}

µ

M

µ

g^∗

Ad^∗_g−1

//g^∗

é comutativo.

2. Para cada u∈ga função

µ^u : M −→R p 7−→µ(p)(u)

satifaz dµ^u =ı_uMω.

Neste caso(M,ω,G,µ)é denominado umespaçoG-Hamiltoniano.

Definição 1.6. Sejam(M,ω)uma variedade simplética e f ∈C^∞(M).Ocampo Hamilto- nianode f é o único campo de vetores X_f ∈X(M)tal que

ı_Xfω=d f. (1.7)

Observação 1.3. Pode-se mostrar, pela não-degenerescência de ω, que X_f está bem- definido.

Observação 1.4. Para todoX ∈X(M), segue de(1.7)que

ω(Xf,X) =ı_Xfω(X) =d f(X) =X(f) =L_X(f). (1.8) Observação 1.5. Se(M,ω,G,µ)é um espaçoG-Hamiltoniano, para cadau∈go campo u_M ∈X(M)é o campo Hamiltoniano deµ^u∈C^∞(M).

Exemplo 1.9. Seja(M,ω,G,µ)um espaço G -Hamiltoniano. Denote por ψg :M →M a ação Hamiltoniana de G em M.Sabemos que(M ×M,Ω),ondeΩ=pr^∗₁ω−pr^∗₂ω,é uma variedade simplética. Então, se g ∈G,a aplicação

Φg :M ×M −→ M ×M

(p,q) 7−→ (ψg(p),ψg(q)),

define uma ação Hamiltoniana de G em M ×M,com a seguinte aplicação momento:

J :M ×M −→ g^∗

(p,q) 7−→ µ(p)−µ(q).

1.4.2 Redução Simplética

Nesta seção estamos interessados em construir quocientes na categoria de variedades simpléticas. Para tal, vamos considerar um espaçoG-Hamiltoniano(M,ω,G,µ), com ação Hamiltonianaψg :M →M,g ∈G. Para demonstrar tal fato, precisamos de alguns resultados:

Lema 1.6. Suponha que0∈g^∗é um valor regular deµe que G age livremente emµ⁻¹(0). Então T_pµ⁻¹(0) = (T_pOp)^ω,ondeOp ⊂M é a órbita que passa pelo ponto p ∈µ⁻¹(0).

Demonstração:Como a ação deG emM é livre, entãoT_pOp={u_M(p)|u ∈g}. Logo v ∈kerDµ(p) ⇔

Dµ(p)v,u

=0 para cadau ∈g,

⇔ ω(uM(p),v) =0

⇔ v ∈(TpOp)^ω

Portanto,

(T_pOp)^ω=T_pµ⁻¹(0).

Lema 1.7. Seja(V,Ω)um espaço vetorial simplético e W ⊂V um subespaço isotrópico.

EntãoΩinduz uma estrutura simplética canônicaΩredem W^Ω/W. Demonstração:Sejam[u],[v]∈W^Ω/W. Defina,

Ωred([u],[v]) =Ω(u,v).

Vamos mostrar queΩredestá bem-definida. Para tal, observe que para cadaw₁,w₂∈W, Ω(u+w₁,v+w₂) = Ω(u,v) +Ω(u,w₂) +Ω(w1,v) +Ω(w1,w₂)

= Ω(u,v)

poisΩ(u,w₂) =Ω(w1,v) =Ω(w1,w₂) =0, já queu,v ∈W^Ω,w₁,w₂∈W ew₁,w₂∈[0]. Falta mostrar queΩredé não-degenerada. Suponha que

Ωred([u],[v]) =0, [u] ∈W^Ω/W. Queremos mostrar que[v] = [0]. Mas

Ω(u,v) =Ωred([u],[v]) =0,

Segue da não-degenerescência deΩque[v] = [0].

Feito isso, podemos agora dar uma demonstração para o teorema a seguir, devido a Marsden, Weinstein e Meyer.

Teorema 1.8(Redução Simplética.[19],[17]). Seja(M,ω,G,µ)um espaço G -Hamiltoniano para um grupo de Lie G compacto. Suponha que 0 ∈ g^∗ é valor regular de µ. Seja ı : µ⁻¹(0),→M a inclusão canônica. Assuma que G age livremente emµ⁻¹(0).Então,

1. O espaço de órbitas M_red=µ⁻¹(0)/G é uma variedade diferenciável;

2. Existe uma única forma simpléticaωredem M_redtal que, ı^∗ω=pr^∗ωred.

Demonstração:

1. Como 0∈g^∗é valor regular deµ:M →g^∗, entãoµ⁻¹(0)é uma subvariedade deM. Além disso, a ação deG emµ⁻¹(0)é livre eG é compacto, daí,

M_red=µ⁻¹(0)/G

é uma variedade diferenciável. Para tal fato, consulte[6], Teorema 23.4.

2. Vamos mostrar que T_pOp é subespaço isotrópico de T_pM. Sejam u_M(p),v_M(p) ∈ T_pOp quaisquer, então,

ωp(u_M(p),v_M(p)) =µ^[u,v](p) =

µ(p),[u,v]

=0.

Portanto,ωp|T_pOp =0, ou seja,T_pOp ⊂(T_pOp)^ω=T_pµ⁻¹(0). Segue do Lema(1.7), que existeωredem(T_pµ⁻¹(0))/(T_pOp)não-degenerada. No ponto[p]∈M_redtemos que

T_[p]M_red'(T_pµ⁻¹(0))/(T_pOp).

Vejamos que valeı^∗ω=pr^∗ωred. Sejamp∈µ⁻¹(0)eu,v ∈T_pµ⁻¹(0), então, (ı^∗ω)p(u,v) =ωp D ı(p)(u),D ı(p)(v)

=ωp(u,v).

Por outro lado,

(pr^∗ωred)p(u,v) = ωred_[p] Dpr(p)(u),Dpr(p)(v)

= ωred_[p]([u],[v])

= ωp(u,v) Portanto,

ı^∗ω=pr^∗ωred.

Falta mostrar que ωred é fechada. Mas isso segue de ı^∗ω =pr^∗ωred, e do fato de pr^∗:Ω²(Mred)→Ω²(µ⁻¹(0))ser injetora, pois

pr^∗(dωred) =d(pr^∗ωred) =d(ı^∗ω) =ı^∗(dω) =0.

Definição 1.7. A variedade simplética(M_red,ωred)é chamada o quociente de Marsden- Weinsteinde(M,ω)com respeito a(G,µ).

Este resultado nos dá um método para achar novas variedades simpléticas a partir de variedades simpléticas conhecidas. Vejamos um exemplo.

Exemplo 1.10. Considere a variedade simplética(Cⁿ,ω0)do exemplo(1.2) ω0=i

2

Xd z_j∧dz¯_j =X

d x_j∧d y_j.

Em coordenadas polares, x_j =r_jcos(θj)e y_j =r_jsin(θj).Nestas coordenadas, temos a se- guinte expressão paraω0

ω0=X

r_jd r_j∧dθj. O grupoS¹age em(Cⁿ,ω0)via

ψexp(i t)(z) =exp(i t)z. O gerador infinitesimal associado é

u_M = ∂

∂ θ1

+· · ·+ ∂

∂ θn

.

Considere a aplicação µ : Cⁿ → R, dada por µ(z) = −^|z|₂². Como S¹ é abeliano, a ação coadjunta é trivial. Além disso,µé invariante por rotação. Segue que

µ◦ψt =µ, t ∈R. Precisamos verificar que vale

ı_uMω=dµ. Como

µ(z) =−

n

X

j=1

x_j²+y_j²

2 =−

n

X

j=1

r_j² 2 , então

dµ=−

n

X

j=1

2r_j 2d r_j. Por outro lado

ı_uMω(v) =ω(u_M,v) = Xn

j=1

r_jd r_j∧dθj

∂

∂ θ1

+· · ·+ ∂

∂ θn

,v

=− Xn

j=1

2r_j

2d r_j(v). E segue que

ı_uMω=dµ. Além disso,

µ⁻¹



−1 2

‹

=S²ⁿ⁻¹. E com isso temos que

M_red=S²ⁿ⁻¹/S¹=CPⁿ⁻¹. Pode-se mostrar que,

ωred=ωFS,

onde(ωFS)_[z]=₂ⁱ∂∂¯log(|z|²)é a2-forma de Fubini-Study emCPⁿ⁻¹,para tal consulte[6].

Grupoides e Algebroides de Lie

Neste capítulo introduzimos o conceito de grupoides de Lie e suas versões infinitesimais, isto é, algebroides de Lie. Construímos o funtor de Lie entre a categoria de grupoides de Lie e a categoria de algebroides de Lie. Finalizamos este capítulo com alguns resultados sobre integração de algebroides de Lie.

2.1 Grupoides de Lie

Definição 2.1. Umgrupoidesobre um conjunto de pontos M é um conjuntoG,munido de aplicações estruturais s,t :G →M (source,target), umprodutoparcialmente definido m :G₍₂₎→G,ondeG₍₂₎=

(g,h)∈G ×G |s(g) =t(h) ,umaseção identidade":M →G e umainversãoı :G →G,satisfazendo as seguintes propriedades:

1. (g ·h)·k=g ·(h·k);

2. s(g·h) =s(h)e t(g ·h) =t(g); 3. "(t(g))·g =g =g ·"(s(g)); 4. g ·ı(g) ="(t(g))

5. ı(g)·g ="(s(g));

Em geral, escrevemos ı(g) =g⁻¹.

Diremos queG é o conjunto das flechas e queM é o conjunto dos pontos de base, ou simplesmente, base do grupoideG. Denotaremos um grupoideG sobre um conjuntoM porG ⇒M.

21

Exemplo 2.1. Um grupo G é um grupoide sobre um conjunto unitário M ={p}.Neste caso as aplicações source e target são constantes, a multiplicação m(g,h) =g ·h é a mul- tiplicação do grupo G,"(p) =e ∈G é a identidade do grupo G e ı(g) =g⁻¹é a inversão do grupo G.

Exemplo 2.2. O grupoide trivial M ⇒M.

• As aplicações source e target são s,t =Id_M :M →M.

• O produto é definido da seguinte maneira, m(p,p):=p.

• A seção identidade é,

" : M −→ M p 7−→ p.

• A inversão é,

ı : M −→ M p 7−→ p.

Exemplo 2.3. O grupoide do par M ×M ⇒M.

• As aplicações source e target são:

s : M ×M −→ M (p,q) 7−→ p.

e

t : M ×M −→ M (p,q) 7−→ q.

• Como (M ×M)₍2) =

(p1,q₁),(p2,q₂)∈M ×M |p₁=q₂ , definimos o produto da se- guinte maneira,

m((q,p₂),(p1,q)):= (p1,p₂).

• A seção identidade é,

" : M −→ M ×M p 7−→ (p,p).