Nesta seção, definiremos as medidas das quantidades que usare- mos para analisar a transição de fases e as avalanches. As médias levam em conta a desordem quenched e são calculadas através de várias realiza- ções da rede (de 100 a 300 realizações) para cada conjunto de parâmetros considerado (o EPSP, E, e o tamanho da rede, L). A atividade da rede, A(t), é simplesmente a soma de todos os disparos de todos os neurônios da rede em cada instante t:
A(t) = N X i=1
δvi(t),1 , (3.4)
onde δi,j é o delta de Kronecker.
O sistema que consideramos aqui apresenta estados absorventes, que serão discutidos em detalhes na Seção 3.3. Um estado absorvente é aquele para o qual a atividade da rede converge conforme o tempo passa e do qual a atividade da rede não sai [35]. É como se fosse um ponto fixo estável de um sistema dinâmico. Um estado absorvente pode ser inativo [ou seja, ter A(t → ∞) → 0] ou ativo [i.e. A(t → ∞) > 0]. O que determina o estado absorvente do nosso sistema são os parâmetros E, R, λ e vT (dinâmicos) e os parâmetros estruturais dados no Apên- dice A. Note que nossa escolha de R é tal que, independentemente do valor de E, a rede não terá estado absorvente ativo (i.e. com atividade autossustentada). Entretanto, veremos que à medida que E aumenta, a atividade passa a atingir as bordas da rede, extinguindo-se posteri- ormente. Para E grande, portanto, temos uma fase inativa percolante
similar a que ocorre no processo epidêmico generalizado [35]. O primeiro modelo para descrever esse tipo de processo é um autômato celular co- nhecido como susceptível-infectado-recuperado (SIR) [181], em que cada sítio tem um desses três estados e a transição entre os estados ocorre de maneira probabilística.
As transições de fase em sistemas com estados absorventes são comumente estudadas através de dois parâmetros de ordem [35]: a den- sidade de sítios ativos no estado estacionário ativo (que define o expoente β) ou a probabilidade de percolação (que define o expoente β0). A se- gunda é mais comumente aplicada em sistemas que não possuem estado ativo, como por exemplo no estudo do modelo SIR por Souza et al. [182]. Entretanto, a densidade de sítios ativados por um estímulo inicial (i.e. a densidade de sítios pertencentes ao cluster percolante, que também pode ser vista como a probabilidade de um sítio pertencer ao cluster percolante) também é empregada no estudo de sistemas sem estados ab- sorventes ativos [183]. Em princípio, os expoentes β e β0 são diferentes, como no caso da classe de universalidade de percolação dirigida tricrí- tica [35, 183]. Já na de percolação dirigida e na de percolação dinâmica esses expoentes são iguais [35, 184]. Por ser de mais fácil acesso, neste trabalho usaremos a densidade de sítios ativados como parâmetro de ordem.
Podemos escrever a densidade de neurônios ativados em termos da atividade da rede: ρ = * 1 N Tp X t=0 A(t) + , (3.5)
onde Tp é o tempo de processamento da rede. Note que ρ já está nor- malizado porque cada neurônio só dispara uma vez, e deve obedecer à lei de escala para o parâmetro de ordem ρ ∼ Lβ/ν [Eq. (2.25)]. O tempo de processamento da rede é também conhecido como tempo de sobrevi- vência médio da atividade, e é esperado escalar com uma lei de potência com relação ao parâmetro de controle2que, em se tratando de FSS, pode ser expressa como Tp∼ Lµ[35, 185]. O expoente µ está relacionado com o expoente da autocorrelação temporal [35].
De acordo com a Subseção 2.1.1, a variância do parâmetro de ordem é a susceptibilidade. Note que em transições para estados ab- sorventes, a variância é normalmente calculada através das flutuações temporais de ρ no estado estacionário ativo. Aqui, por não termos um
2No trabalho de Jiménez-Dalmaroni e Hinrichsen [185], o parâmetro de controle é
estado ativo estacionário, tomaremos a variância de ρ através de dife- rentes realizações da desordem da rede e usaremos a susceptibilidade modificada definida por Ferreira et al. [186] para processos de contato (sistemas que apresentam transições para estados absorventes) em redes complexas:
χρ≡
N (ρ2 − hρi2 )
hρi . (3.6)
Os autores mostraram que a susceptibilidade tradicional, dada na Eq. (2.16), apesar de apresentar uma não-analiticidade, nem sempre diverge para processos de contato em redes complexas sobre o ponto crítico. Por outro lado, a modificação proposta na Eq. (3.6) sempre diverge sobre o ponto crítico [186, 187]. Por não ser a susceptibilidade tradicional, chamaremos χρ definida na Eq. (3.6) de susceptibilidade associada a ρ. Dado que nossa rede não é regular, optamos por utilizar essa susceptibi- lidade modificada. Note que por depender de hρi−1, o expoente de escala dessa nova grandeza é χρ∼ Lγ
0/ν
com γ0= γ + β, sendo3 γ o expoente da variância de ρ e β o expoente de ρ. O gráfico da susceptibilidade tradicional, χ = N (ρ2 − hρi2
), está no Apêndice A.
Há duas maneiras de definir as avalanches em nosso modelo: a primeira é considerar que uma avalanche é toda a atividade decorrente de um único estímulo na camada de entrada (o que está de acordo com modelos de transição de fase para estados absorventes). Entretanto, per- deríamos a correlação temporal no sinal do nosso modelo reduzindo todo o processamento da rede a apenas uma avalanche. A segunda é consi- derar que uma avalanche é toda a atividade medida entre dois instantes de silêncio consecutivos. Por ser inspirada nos protocolos experimen- tais de medida de avalanche através de LFP, em que são considerados disparos em janelas de atividade consecutivas separadas por janelas de si- lêncio [3, 100, 101], escolhemos a segunda maneira. Experimentalmente, LFPs medem a atividade dos dendritos [99], mas aqui consideraremos os disparos do soma. Portanto, o tamanho da avalanche s(n) é a soma de toda a atividade da rede entre dois instantes de silêncio e a duração,
3Na notação tradicional de transições de fase para sistemas absorventes, o ex-
poente γ está associado ao tamanho médio do maior cluster e o expoente γ0 está
associado à variância temporal de ρ no estado estacionário [35, 184]. Neste trabalho, estamos utilizando a letra γ porque o expoente em questão também está ligado a uma variância, mas não necessariamente o expoente que calculamos está relacionado aos expoentes da literatura.
T (n), é a quantidade de passos de tempo de atividade: s(n + 1) = tn+1 X t=tn A(t) , (3.7) T (n + 1) = tn+1− tn (3.8)
onde os tn são tais que A(tn) = 0 ∀ n. O tempo de processamento é Tp = hmaxn{tn}i; a maior avalanche é M = hmaxn{s(n)}i e a razão m = M/N é a maior avalanche fracional. A função de correlação e o espectro de potência serão calculados aplicando-se as Eqs. (2.42) e (2.43) à série s(n) e o DFA será calculado a partir de A(t).