3.2 Modelo proposto
3.2.1 Observabilidade estrutural
Para determinar se um grupo de n´os comp˜oem um conjunto observador estrutural, ´e necess´ario o entendimento do conceito de observabilidade de sistemas lineares, que se apoia em propriedades das matrizes A e C. Dessa forma, o conceito de observabilidade estrutural de uma rede est´a associado ao de observabilidade de um sistema linear. Com base na Defini¸c˜ao2.12, ´e definido a seguir o conceito de observabilidade estrutural da rede. Defini¸c˜ao 3.6 (Observabilidade estrutural). Uma rede ´e pass´ıvel de observabilidade estrutural se, a partir de observa¸c˜oes da sa´ıda y[·] e, opcionalmente, com o conhecimento da entrada u[·], ´e poss´ıvel estimar com precis˜ao o estado inicial do sistema x[t0].
De fato, ´e importante esclarecer que, conhecendo o estado inicial x[t0], as matrizes A,
B, C e D, as entradas e as sa´ıdas do sistema em todos instantes, ´e poss´ıvel calcular o estado do sistema em qualquer instante utilizando as Equa¸c˜oes 3.1 e 3.2. Dessa forma, encontrar a quantidade m´ınima de n´os observadores estruturais pode fazer com que um sis- tema de monitoramento seja capaz de estimar todo o estado da rede monitorando apenas um subconjunto de seus n´os. Para isso, basta que a matriz C associada a esse subcon- junto de n´os torne a rede observ´avel. A Defini¸c˜ao 3.6 assemelha-se com a Defini¸c˜ao 2.12
(diferindo quanto ao conhecimento da entrada, fato posteriormente justificado na Nota 1
da p´agina37). Isso ser´a explorado a fim verificar a observabilidade da rede a partir de um teorema estabelecido por Kalman (1963). Esse Teorema estabelece uma rela¸c˜ao de neces- sidade e suficiˆencia em rela¸c˜ao `a observabilidade e produtos da matriz C com potˆencias da matriz A.
Teorema 3.1 (Condi¸c˜ao para observabilidade estrutural). [Kalman 1963] Um sistema linear ´e observ´avel se e somente se, a matriz de observabilidade Oqn×n, definida como
O , C CA CA2 .. . CAn−1 (3.12)
possui posto n, ou seja, ρ(O) = n.
A partir da matriz de observabilidade definida no Teorema3.1, ´e poss´ıvel projetar um conjunto observador estrutural de n´os. Por exemplo, considerando que a matriz C ´e uma matriz identidade In×n tem-se, pelas primeiras n linhas da matriz de observabilidade, que
ρ(O) = n. Por´em, essa configura¸c˜ao da matriz C implica que ´e necess´ario monitorar o estado de todos os n´os[iii]. Dessa forma, tem-se que, independentemente da matriz A, qualquer rede pode ser observ´avel, o que ´e natural ao se considerar a possibilidade de se monitorar todos os n´os. Por´em, considerando a quest˜ao de escalabilidade, ´e necess´aria a
minimiza¸c˜ao da quantidade de n´os observadores. Nesse sentido, ´e conveniente considerar o conjunto observador estrutural de menor cardinalidade.
Conjunto observador estrutural m´ınimo
A quantidade de poss´ıveis subconjuntos de n´os em uma rede com n n´os ´e exatamente 2n. O conjunto observador estrutural de menor cardinalidade, representado por Oeo, deve ser escolhido dentre essas possibilidades. Por´em, dada a quantidade de poss´ıveis subconjuntos, a busca pelo conjunto observador estrutural m´ınimo n˜ao pode ser realizada analisando todo o espa¸co de solu¸c˜oes. Para atender ao quesito de eficiˆencia, ´e necess´ario desenvolver um algoritmo de tempo polinomial para o seguinte problema de otimiza¸c˜ao:
Oeo= arg min
Oe
|Oe| (3.13)
s.a.: ρ(O) = n. (3.14)
Recentemente, Liu et al. (2011) mostrou que o problema de encontrar o conjunto m´ınimo de n´os para controlar uma rede ´e equivalentemente ao problema de emparelhamento m´aximo (do inglˆes, maximum matching). Dessa forma, como h´a uma correspondˆencia entre contro- labilidade e observabilidade, ´e poss´ıvel utilizar solu¸c˜oes para o emparelhamento m´aximo a fim de encontrar o conjunto observador estrutural m´ınimo. A rela¸c˜ao entre os n´os que tornam o sistema control´avel e os que o tornam observ´avel ´e definida no Lema a seguir. Lema 3.1 (Correspondˆencia entre controlabilidade e observabilidade). Se um sistema linear representa uma rede por meio de sua matriz de adjacˆencia e essa matriz de adjacˆencia ´e sim´etrica, ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:
1. a quantidade de n´os que comp˜oem a solu¸c˜ao m´ınima para a controlabilidade tamb´em ´e a quantidade m´ınima de n´os que comp˜oem a solu¸c˜ao para a observabilidade e 2. os n´os que comp˜oem a solu¸c˜ao m´ınima para a controlabilidade s˜ao os mesmos que
comp˜oem a solu¸c˜ao m´ınima para a observabilidade.
Demonstra¸c˜ao. Se um sistema linear ´e control´avel, ent˜ao sua matriz de controlabilidade
S ,B AB A2B · · · An−1B , (3.15)
possui posto n, ou seja, ρ(S) = n, onde A ´e a matriz de adjacˆencia. Sabe-se que o operador ρ(·) ´e invariante em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de transposi¸c˜ao, ou seja, ρ(A) = ρ(A⊺). Portanto, se uma matriz tem posto n, ent˜ao sua transposta tamb´em o ter´a. Assim, tem-se que a seguinte matriz transposta tamb´em tem posto n:
S⊺= B⊺ (AB)⊺ (A2B)⊺ .. . (An−1B)⊺ , (3.16)
que, a partir da distribui¸c˜ao da opera¸c˜ao de transposi¸c˜ao, pode ser reescrita como
S⊺= B⊺ B⊺A⊺ B⊺(A⊺)2 .. . B⊺(A⊺)n−1 , (3.17)
que, a partir da premissa A = A⊺, pode ser reescrita como S⊺= B⊺ B⊺A B⊺A2 .. . B⊺An−1 . (3.18)
Utilizando-se de O = S⊺, tem-se que C = B⊺. Considerando a invariˆancia do posto quanto a opera¸c˜ao de transposi¸c˜ao, uma vez que O = S⊺, se B ´e a solu¸c˜ao m´ınima para que S tenha posto n, ent˜ao C ´e a solu¸c˜ao m´ınima para O tenha posto n. Como as matrizes B e C s˜ao compostas por linhas linearmente independentes, em que cada linha possui apenas um elemento diferente de zero, ent˜ao a matriz C lˆe o estado da mesma quantidade de n´os que a matriz B altera com a entrada, concluindo-se assim a primeira parte da demonstra¸c˜ao. Para demonstrar que os n´os que possibilitam o controle s˜ao os mesmos que possibilitam a observa¸c˜ao, considera-se novamente a natureza das matrizes B e C. O elemento diferente de zero em cada coluna da matriz B indica qual o n´o que ter´a seu estado excitado, enquanto o elemento diferente de zero nas linhas da matriz C diz qual o n´o que ter´a seu estado monitorado. Como C = B⊺, ent˜ao os elementos que eram diferentes de zero nas colunas de B ser˜ao os elementos diferentes de zero nas linhas de C, de forma que os mesmos n´os que eram excitados para se manter o controle da rede, s˜ao os n´os que ser˜ao monitorados
a fim de observ´a-la. C.Q.D.
Utilizando os resultados do Lema3.1´e poss´ıvel verificar a escalabilidade da rede quanto `
a sua observabilidade, uma vez que ´e poss´ıvel descobrir a quantidade m´ınima de n´os observadores. A seguir, ´e apresentado o problema de emparelhamento m´aximo em grafos.
Emparelhamento m´aximo em grafos
O emparelhamento em grafos ´e definido como um subconjunto das arestas em que cada aresta liga dois n´os que n˜ao se repetem em nenhuma outra aresta do subconjunto. O conceito de emparelhamento est´a associado `a cria¸c˜ao de pares entre os n´os. Quando esse subconjunto de emparelhamento tem cardinalidade m´axima em um dado grafo, diz-se que tal subconjunto ´e solu¸c˜ao para o problema de emparelhamento m´aximo do grafo. As redes representadas na Figura3.2s˜ao apresentadas na Figura3.5como grafos n˜ao direcionados.
linha
estrela anel
Figura 3.5: Exemplo de emparelhamento m´aximo em grafos n˜ao direcionados relacionados `as redes apresentadas na Figura 3.2. O conjunto composto pelas arestas mais largas representam uma solu¸c˜ao do emparelhamento m´aximo de cada grafo.
Para cada uma das topologias apresentadas[iv], o conjunto composto pelas arestas mais largas representam uma solu¸c˜ao do emparelhamento m´aximo. Na topologia em anel h´a duas solu¸c˜oes de emparelhamento m´aximo. Para a topologia em linha, apenas um emparelhamento ´e m´aximo, pois, ao se escolher a aresta (v2, v3), haver˜ao dois n´os n˜ao
emparelhados. Por ´ultimo, para a topologia em estrela existem tantas solu¸c˜oes quanto o n´umero de arestas. Tanto na topologia em anel quanto na topologia linear, todos os n´os foram emparelhados. Quando isso acontece, o emparelhamento m´aximo ´e denominado perfeito. Dado o conceito de emparelhamento m´aximo e de emparelhamento perfeito, a seguir ´e apresentado o Teorema que relaciona o problema de emparelhamento com o de controlabilidade da rede.
Teorema 3.2 (Conjunto controlador m´ınimo). [Liu et al. 2011] A quantidade m´ınima de n´os que se deve excitar para se ter controle de uma rede ´e unit´aria se existe um empa- relhamento perfeito na rede. Nesse caso, qualquer n´o da rede pode ser o n´o controlador. Caso contr´ario, ela ´e igual `a quantidade de n´os n˜ao emparelhados em qualquer um dos emparelhamentos m´aximos. Nesse caso, o conjunto de n´os necess´arios para controlar o
sistema ´e composto pelos n´os n˜ao emparelhados.
Esse Teorema permite estabelecer uma assertiva em rela¸c˜ao `a observabilidade estru- tural. Por´em, antes, ´e conveniente esclarecer porque o Teorema 3.2 n˜ao faz qualquer assertiva sobre a matriz de adjacˆencia A. Em seu trabalho, Liu et al. (2011) esclarecem que o Teorema em quest˜ao ´e v´alido para a maioria das configura¸c˜oes dos valores n˜ao nu- los da matriz de adjacˆencia. Para demonstrar essa proposi¸c˜ao, foi utilizado o conceito de sistema estruturalmente control´avel [Chiang et al. 2007], que ´e conveniente esclarecer, n˜ao tem rela¸c˜ao com o termo ‘estrutural’ usado para qualificar o conjunto de n´os obser- vadores neste trabalho. De forma geral, um sistema estruturalmente control´avel s´o n˜ao ´e control´avel para configura¸c˜oes espec´ıficas da matriz de adjacˆencia A, condi¸c˜oes essas, normalmente, improv´aveis ou impratic´aveis [Liu et al. 2011].
Considerando que a matriz A ser´a uma matriz estoc´astica utilizada para representa¸c˜ao de probabilidades de transi¸c˜ao, ´e de se esperar que casos de n˜ao observabilidade sejam im- prov´aveis dado o espa¸co de solu¸c˜ao em que o sistema ´e observ´avel. Mesmo assim, se a exce¸c˜ao for o caso, ´e poss´ıvel ajustar o sistema com a adi¸c˜ao de valores infinitesimais. Dessa forma, ´e introduzido um ru´ıdo no modelo que garante sua observabilidade, mas que pode ser compensado com a utiliza¸c˜ao de estimadores adaptativos [Chiang et al. 2007, Liu et al. 2011]. Portanto, a fim de evitar problemas quanto a utiliza¸c˜ao do termo ‘estrutural’, considera-se, a partir do Teorema 3.2, que ao se referir tanto a controlabilidade quando a observabilidade, refere-se especificamente as suas contrapartidas ‘estruturalmente’ de- finidas. No seguinte Corol´ario, define-se uma estrat´egia para solucionar o problema de busca do conjunto observador estrutural m´ınimo, em rela¸c˜ao `a quantidade m´ınima e loca- liza¸c˜ao dos n´os observadores, a partir de uma solu¸c˜ao para o problema de emparelhamento m´aximo do grafo associado `a matriz de adjacˆencia do sistema.
[iv]Os conceitos apresentados neste trabalho foram ilustrados, quase sempre, com grafos direcionados sim´etricos. Isso porque, quando analisadas do ponto de vista de conectividade, redes de computadores podem ser representadas e analisadas, como um grafo n˜ao direcionado e por uma matriz de adjacˆencia sem pesos. Por´em, para se analisar o processo de troca de informa¸c˜ao, n˜ao necessariamente a probabilidade de transmiss˜ao de um n´o vi para um n´o vizinho vj ´e a mesma probabilidade de transmiss˜ao de vj para vi. Portanto, a representa¸c˜ao de redes por digrafos sim´etricos ´e a mais adequada para aplica¸c˜ao em quest˜ao. Sendo assim, no decorrer deste trabalho, apesar dos conceitos serem estabelecidos para grafos direcionados, n˜ao necessariamente sim´etricos, a propriedade de simetria ´e utilizada quando adequada.
Corol´ario 3.1 (Conjunto observador estrutural m´ınimo). Em uma rede, cuja repre- senta¸c˜ao por matriz de adjacˆencia ´e sim´etrica, a quantidade m´ınima de n´os que deve-se monitorar para se ter uma leitura de todos os estados da rede ´e unit´aria se existe um emparelhamento perfeito na rede. Nesse caso, qualquer n´o da rede pode ser o n´o obser- vador. Caso contr´ario, a cardinalidade ´e igual `a quantidade de n´os n˜ao emparelhados, para qualquer um dos emparelhamentos m´aximos. E, nesse caso, o conjunto observador
estrutural ´e composto pelos n´os n˜ao emparelhados.
Demonstra¸c˜ao. Segue-se de forma direta a partir da utiliza¸c˜ao do exposto pelo Teo- rema 3.2, que trata do conjunto m´ınimo de n´os controladores e da rela¸c˜ao de corres- pondˆencia estabelecida no Lema3.1, que demostra a equivalˆencia entre o conjunto obser-
vador e o controlador, quando a matriz A ´e sim´etrica. C.Q.D.
A partir do Corol´ario3.1´e poss´ıvel verificar que para a rede em anel e a rede em linha apresentadas na Figura 3.5, a quantidade de n´os observadores necess´aria ´e unit´aria e o conjunto observador estrutural pode ser composto por qualquer um dos n´os da rede. Tal fato ´e confirmado pelos Lemas C.7e C.8para a topologia em anel e para a topologia em linha, respectivamente. J´a para o caso da topologia em estrela, para o emparelhamento apresentado na Figura 3.5, ´e necess´ario observar 2 dos 4 n´os, uma vez que os n´os v2 e v4
n˜ao foram emparelhados. ´E conveniente notar que, qualquer que fosse a aresta escolhida para o emparelhamento, o n´o central v1 n˜ao faria parte do conjunto observador. Essas
caracter´ısticas da topologia em estrela s˜ao formalmente apresentadas pelo LemaC.9. Pode- se, ainda, considerar o fato de que a matriz de adjacˆencia de uma topologia em estrela, como a apresentada na Figura 3.3, sempre ir´a possuir posto 2, ou seja, ρ(Astar) = 2. O
mesmo acontece para qualquer potˆencia da matriz Astar. Dessa forma, para que a matriz
de observabilidade de uma topologia em estrela possua posto n, ´e necess´ario construir uma matriz Cstarde posto (n−2), cujas linhas sejam linearmente independentes de Astar. Para
isso, um dos requisitos ´e que a matriz Cstar n˜ao deve incluir a linha que implica na leitura
do n´o central, pois essa linha seria linearmente dependente com uma das linhas de Astar.
Apesar de ´uteis para o entendimento dos conceitos, topologias determin´ısticas nem sempre s˜ao encontradas em cen´arios reais. Portanto, o estudo desses cen´arios e de modelos apresentados no Apˆendice A ser˜ao apresentados na Se¸c˜ao 3.3. Usando o Corol´ario 3.1, ´e poss´ıvel elaborar um algoritmo de busca do conjunto observador estrutural m´ınimo Ooe. Algoritmo 3.1 (Busca do conjunto observador estrutural m´ınimo). E poss´ıvel compu-´ tar o conjunto observador m´ınimo de uma rede com base na representa¸c˜ao por lista de adjacˆencia e na solu¸c˜ao do problema de emparelhamento m´aximo.
algoritmo observador-estrutural(L)
1: {Lista de adjacˆencia L de um grafo direcionado G = hN, Ei.}
2: he, oi ← emparelhamento-maximo(L) {Tupla de n´os emparelhados e e do restante o.} 3: retorne o{Conjunto observador estrutural m´ınimo.}
As complexidades s˜ao da ordem de O(p|N||E|) em tempo e de Θ(|N|) em mem´oria. As complexidades do Algoritmo3.1 dependem unicamente das complexidades associ- adas ao procedimento ‘emparelhamento-maximo()’. O primeiro algoritmo de tempo poli- nomial para o problema de emparelhamento m´aximo em grafos foi proposto por Edmonds (1965). Os algoritmos mais eficientes para esse problema s˜ao da ordem de O(p|N||E|) [Hopcroft & Karp 1973, Micali & Vazirani 1980]. Dado que a escolha dos n´os observadores ´e eficiente, ´e conveniente uma discuss˜ao sobre o projeto de um sistema de monitoramento.
Nota 1 (Sobre o projeto de um sistema observador estrutural). A realiza¸c˜ao de um sistema de monitoramento n˜ao faz parte do escopo deste trabalho. Entretanto, conside- rando a teoria necess´aria para se encontrar a quantidade m´ınima de n´os observadores em rela¸c˜ao ao conjunto observador estrutural, ´e conveniente citar como ´e poss´ıvel projet´a-lo. No projeto do sistema de monitoramento em que ´e poss´ıvel conhecer a entrada do sistema, pode-se utilizar filtros como o de Luenberger (1971). Por´em, se n˜ao h´a conhecimento das entradas do sistema, ´e poss´ıvel utilizar filtros adaptativos para estimar seu estado. Filtros como o de Kalman (1960a), s˜ao capazes de estimar o estado de um sistema observ´avel utilizando apenas observa¸c˜oes de sua sa´ıda. Em adi¸c˜ao, Haykin (2008) apresenta v´arias t´ecnicas de estima¸c˜ao de estado de sistemas dinˆamicos baseadas em filtros estat´ısticos. Ainda em rela¸c˜ao ao sistema de monitoramento, mesmo sendo conhecida a topolo- gia, persiste o problema de identifica¸c˜ao das probabilidades de transi¸c˜ao. Essa quest˜ao, juntamente com o modelo de observabilidade funcional, ´e desenvolvida a seguir.