Observabilidade funcional - Modelo proposto

3.2 Modelo proposto

3.2.2 Observabilidade funcional

A defini¸cão de conjunto observador funcional está associada à capacidade do sistema de monitoramento em interceptar uma quantidade predefinida de tráfego. Nesta Subse¸cão, a quantidade de informa¸cão interceptada é estabelecida como parâmetro do sistema de monitoramento. Especificamente, será considerada a capacidade dos nós observadores em tornar poss´ıvel examinar uma porcentagem esperada do total do tráfego da rede.

Defini¸cão 3.7 (Observabilidade funcional). Uma rede é pass´ıvel de observabilidade funcional se, a partir da matriz estocástica de transi¸cão A e de uma distribui¸cão de probabilidade do estado inicial x[t0], é poss´ıvel examinar, pelo menos, uma porcentagem esperada

α do total de informa¸c˜ao que trafega na rede.

A Defini¸cão3.7permite abordar o problema de duas formas. Na primeira, pode-se estabelecer um parâmetro α desejado e então buscar por um conjunto observador funcional m´ınimo. Na segunda, pode-se estabelecer a quantidade máxima de nós e, a partir da maxi- miza¸cão de α, encontrar o conjunto observador funcional. Para que as duas possibilidades sejam consideradas, estuda-se o comportamento do fator α em rela¸cão à minimiza¸cão da quantidade de nós. Para tanto, é fundamental o projeto de uma matriz A que torne poss´ıvel caracterizar a quantidade de informa¸cão que passa por cada nó. Para que essa propor¸cão de tráfego transpare¸ca de forma imparcial no vetor de estado x[t], define-se que todos os nós da rede possuem igual probabilidade de reten¸cão da informa¸cão, ou seja,

pr(vi) = pr i = 1, . . . , n. (3.19)

Portanto, quanto mais informa¸cão passa por um nó vi, maior será o valor de xi[t]. Conse-

quentemente, a probabilidade de transmissão é definida por

pt(vi) = 1− pr i = 1, . . . , n. (3.20)

Dada a Premissa 3.3, que trata da conserva¸cão da informa¸cão, se a soma dos estados individuais no estado inicial x[t0] for unitária, o estado

x[t0+ k] = Akx[t0], (3.21)

Dado o estado inicial do processo marcoviano, para completar o modelo é necessário definir a matriz de transi¸cão A. A partir da Equa¸cão 3.19, é poss´ıvel definir o elementos da diagonal da matriz. Porém, as entradas referentes à matriz de adjacência necessitam da análise da pol´ıtica de transmissão entre cada nó e seus vizinhos. Em uma rede onde não há pol´ıtica de transmissão[v], é poss´ıvel definir que a transmissão para qualquer vizinho é equiprovável. Nesse caso, é poss´ıvel definir as entradas relacionadas à matriz de adjacência como descrita pela Equa¸cão 3.11. Porém, em redes projetadas, ou onde há um princ´ıpio de otimiza¸cão na pol´ıtica de transmissão de informa¸cão, no momento de repasse há uma predile¸cão pelos vizinhos que minimizem a distância de tráfego. De forma que, se um nó vi

transmite alguma informa¸c˜ao destinada a vj, a quantidade de repasses deve se aproximar

da distância entre os nós, isto é, sij como estabelecida pela Defini¸cãoA.6. Nesse caso, a

pol´ıtica de transmissão equiprovável não é conveniente e deve ser substitu´ıda por outra que considere essa otimiza¸cão. Para tanto, é estabelecida uma nova métrica que caracteriza a performance de um nó em rela¸cão à sua capacidade de minimizar a quantidade de repasses da informa¸cão. Nesse sentido, baseado na ideia de centralidade [Newman 2003], é apresentado a seguir o conceito de rendimento de um nó.

Defini¸cão 3.8 (Rendimento de um nó). O rendimento de um nó vi, representado por

γ(vi), é definido pela razão entre a quantidade de outros nós na rede e a soma das distâncias

para cada um desses n´os, ou seja,

γ(vi) = P|N| − 1

{vj∈N }sij

(3.22)

onde sij representa a distˆancia entre os n´os vi e vj.

De acordo com a Defini¸cão3.8, se a distância de um nós para todos os outros da rede for unitária, então o rendimento de tal nó é máximo e quanto maior forem as distâncias, menor será o rendimento. O Algoritmo apresentado a seguir realiza o cálculo do rendimento de cada nó da rede.

Algoritmo 3.2 (Rendimento). E poss´ıvel computar o rendimento de cada n´´ o de um grafo conexo com base na representa¸c˜ao por lista de adjacˆencia.

algoritmo rendimento(L)

1: {Lista de adjacˆencia L de um grafo direcionado G = hN, Ei.}

2: r_{← novo-vetor(|N|, 0) {Vetor de |N| posi¸c˜oes preenchidas com zero.}} 3: para cada vi ∈ N fa¸ca

4: hs, pi ← distancia(L, vi){Calcula as distˆancias de vi para os demais n´os.}

5: t← 0

6: para cada j de 1 at´e_{|N| fa¸ca}

7: t← t + s[j]

8: fim para

9: r[i]_{← (|N| − 1)/t} 10: fim para

11: retorne r {Vetor com os rendimentos de cada n´o da rede.}

A complexidade do algoritmo ´e da ordem de O(n2E_{Gout_{}) em tempo e de Θ(n) em}

mem´oria, onde n =_|N|.

As complexidades do Algoritmo3.2dependem do procedimento ‘distancia()’, associado ao Algoritmo A.3. Considerando a complexidade desse procedimento, a complexidade do Algoritmo 3.2 ´e da ordem de O(n2_E_{Gout_{}) em tempo e de Θ(n) em mem´oria. Com}

base nesse Algoritmo e na defini¸cão do conceito de rendimento, é poss´ıvel computar as probabilidades de transmissão. Especificamente, com base na Defini¸cão 3.8, é poss´ıvel ponderar a probabilidade de transmissão entre os vizinhos de um nó vj, de forma que

quanto maior for o rendimento do vizinho vi, maior ´e a probabilidade de transmiss˜ao da

informa¸cão de vj para vi. Essa pondera¸cão pode ser descrita pela seguinte rela¸cão:

µ(vj, vi) =

γ(vi)

{vw∈h(vj)}γ(vw)

vi ∈ h(vj), (3.23)

onde h(vj) representa os vizinhos do n´o vj. Com bases nas probabilidades de reten¸c˜ao e na

politica de transmissão, é poss´ıvel definir os elementos da matriz estocástica de transi¸cão como sendo: pij =    pr(vi) se i = j (1_{− p}r(vi))µ(vj, vi) se vi∈ h(vj)

0 caso contr´ario

, (3.24)

que, considerando E{Gout_{} ≪ |N|, deﬁne uma matriz esparsa. Embora essa otimiza¸c˜ao do}

processo de transmissão da informa¸cão seja adequada para representa¸cão de alguns sistemas reais, como é o caso das redes de computadores, é poss´ıvel que a escolha equiprovável do encaminhamento seja mais adequada em outros cenários. Dado o objeto de estudo deste trabalho, a constru¸cão da matriz estocástica está relacionada à Equa¸cão 3.24. Todavia, em alguns casos pode ser de interesse uma compara¸cão dos resultados de ambas, o que será feito explicitamente. Nesse sentido, elabora-se o seguinte algoritmo de constru¸cão da matriz A.

Algoritmo 3.3 (Constru¸cão da matriz estocástica de transi¸cão). E poss´ıvel construir a´ matriz estocástica de transi¸cão otimizada de uma rede, em rela¸cão as probabilidades de transmissão, com base na lista de adjacência e nas probabilidades de reten¸cão.

algoritmo matriz-estocastica(L, pr)

1: _{{Lista de adjacˆencia L de um digrafo G = hN, Ei e probabilidades de reten¸c˜ao p}_r._} 2: a← nova-matriz(|N|, |N|, 0) {Matriz nula |N| × |N|, possivelmente esparsa.} 3: r← rendimento(L) {Vetor de rendimentos.}

4: para cada vj ∈ N fa¸ca

5: a[j][j]_{← p}r[j]

6: s← 0

7: para cada vi ∈ L[j] fa¸ca

8: s_{← s + r[i] {Soma dos rendimentos na vizinhan¸ca de v}j.}

9: fim para

10: pt← 1 − pr[j]{Probabilidade de transmiss˜ao em vj.}

11: para cada vi ∈ L[j] fa¸ca

12: a[i][j]← pt(r[i]/s){Probabilidade de transmiss˜ao de vj para vi.}

13: fim para

14: fim para

15: retorne a {Matriz estoc´astica da rede.}

A complexidade do algoritmo ´e da ordem de O(n2_E_{Gout_{}) em tempo e de Θ(n E{G}out_})

A complexidade em tempo do Algoritmo 3.3, considerando o la¸co de repeti¸cão da linha 4, seria da ordem de Θ(n E_{Gout_{}), porém, a complexidade em tempo do procedi-} mento ‘rendimento()’ é superior e, portanto, a complexidade em tempo do algoritmo é da ordem de O(n2E{Gout_{}). Em rela¸cão a complexidade em memória, o Algoritmo} _3.3

tem como ponto cr´ıtico o tamanho da matriz estocástica. Essa complexidade é da ordem de Θ(n E_{Gout_{}), pois apenas essa quantidade esperada de elementos não serão nulos, de}

forma que a matriz A ocupa tanta memória quanto a representa¸cão por lista de adjacência. Dado que é poss´ıvel caracterizar a matriz de transi¸cão A, deve-se agora dar continui- dade ao processo de busca pelo conjunto observador funcional m´ınimo. Nesse sentido, é preciso verificar, através da evolu¸cão do processo descrito pela Equa¸cão3.21, se o processo marcoviano converge para algum estado. Especificamente, é preciso considerar se o sistema pode convergir para estados diferentes a partir de estados iniciais distintos. Felizmente, para a matriz A proposta nesta Subse¸cão, o processo marcoviano sempre converge para algum estado e esse estado é único. Porém, para demonstrar essa propriedade, é necessário apresentar a seguir uma serie de Defini¸cões e Teoremas, que têm como finalidade servir de teoria de suporte para a demonstra¸cão dos requisitos de convergência.

Defini¸cão 3.9 (Matriz estocástica regular). Uma matriz estocástica A é regular se Ak, para algum valor de k > 0, possui todos os elementos positivos. Um processo marcoviano, onde a matriz de transi¸cão é regular, é dito processo marcoviano regular. Com base na defini¸cão de processo marcoviano regular, é poss´ıvel se utilizar de alguns Teoremas a fim de mostrar que: (i) o sistema sempre converge e (ii) converge para o mesmo estado independentemente do estado inicial. Nesse sentido, é conveniente apresentar o seguinte Teorema sobre o comportamento assintótico de um processo marcoviano regular. Teorema 3.3 (Comportamento do processo marcoviano regular). [Anton & Busby 2003] Se A é uma matriz de transi¸cão regular, então

Ak _→      c1 c1 · · · c1 c2 c2 · · · c2 .. . ... . .. ... cn cn · · · cn      , (3.25)

para valores assintóticos de k, onde ci são todos números positivos, e Pni=1ci = 1.

Teorema 3.4 (Estado estável do processo marcoviano regular). [Anton & Busby 2003] Se A é uma matriz de transi¸cão regular e x[t0] é um vetor de probabilidades, então

Akx[t0]→      c1 c2 .. . cn      = c, (3.26)

para valores assintóticos de k, onde c é o estado estável único, independente de x[t0], e

com todos os elementos positivos e Pn

i=1ci = 1.

Esses dois Teoremas podem ser utilizados para garantir a convergência e a unicidade da solu¸cão desde que seja demonstrado que a matriz estocástica definida pela Equa¸cão 3.24

é regular. O Teorema a seguir, associado à interpreta¸cão da potência de uma matriz de adjacência, torna essa demonstra¸cão poss´ıvel.

Teorema 3.5 (Potências da matriz de adjacência). [Cvetković et al. 2009] Dado que A é a matriz de adjacência de um grafo direcionado G, composto pelos nós v1, v2, . . . , vn, o

elemento aij da matriz Ak representa a quantidade de caminhos distintos de tamanho k

partindo do vértice vj até o vértice vi.

As potências da representa¸cão por matriz de adjacência possibilitam uma interpreta¸cão razoável sobre a evolu¸cão do processo marcoviano, tornando poss´ıvel estabelecer condi¸cões suficientes para que a matriz estocástica de transi¸cão seja regular, como apresentado no seguinte Lema.

Lema 3.2 (Regularidade da matriz de transi¸cão). São condi¸cões suficientes para que a matriz de transi¸cão A, definida pela Equa¸cão 3.24, seja regular:

1. a matriz de adjacˆencia representar um grafo conexo; e

2. as probabilidades de reten¸c˜ao pr(vi) serem todas positivas.

Demonstra¸cão. A partir do Teorema 3.5, tem-se que, se existe pelo menos um caminho de tamanho k do nó vj até o nó vi, então o elemento aij da matriz Ak será positivo.

Portanto, assumindo que o grafo ´e conexo, pode-se aﬁrmar que cada entrada aij da matriz

será positiva para algum valor de k. Tal fato não garante que elas serão todas positivas para algum instante k. Ao adicionar as probabilidades de reten¸cão, tem-se como interpreta¸cão a adi¸cão de um la¸co em cada nó da rede. Considerando que existe um caminho de tamanho k entre dois nós, a existência de la¸cos garante que também existirão quaisquer caminhos maiores que k. Assim, tão logo um elemento qualquer da matriz seja positivo, ele permanecerá positivo. Como todos os elementos da matriz se tornarão positivos em algum instante e permanecerão positivos, então a matriz estocástica definida pela Equa¸cão 3.24

é sempre positiva para algum valor de k e, portanto, regular. C.Q.D. Corolário 3.2 (Influência do diâmetro sobre a matriz regular). Uma matriz estocástica regular A, que representa uma grafo conexo G, terá todas as suas entradas positivas no instante k = d(G), onde d(G) representa o diâmetro do grafo G. Demonstra¸cão. Tomando como base a demostra¸cão do Lema 3.2, tem-se que o último elemento da matriz a ser positivo será aquele referente a maior distância do grafo, que é representado pelo diâmetro. Portanto, quando k for igual ao diâmetro, todos as entradas cujos nós eram separados por distâncias menores que k, já eram positivos e assim permanecem e as entradas que eram nulas passam a ser positivas. C.Q.D. A partir do Lema 3.2 são estabelecidas condi¸cões suficientes para que a matriz es- tocástica seja regular. De fato, das duas condi¸cões, apenas a primeira é necessária. Toda- via, como a defini¸cão proposta para a matriz se encaixa nos requisitos de suficiência, não é necessário ir além do exposto pelo Lema. Em rela¸cão ao Corolário3.2, apesar de não ser necessário para a busca do conjunto observador m´ınimo, é útil para se estimar o tempo de convergência do processo marcoviano que, como pode-se deduzir, está diretamente relaci- onado ao diâmetro da rede. Por fim, garantida a convergência do processo e a unicidade da solu¸cão, é poss´ıvel desenvolver um algoritmo capaz de encontrar o conjunto observador funcional m´ınimo, com base no seguinte Corolário.

Corolário 3.3 (Conjunto observador funcional m´ınimo). O conjunto observador funcional m´ınimo é composto pela menor quantidade de nós cuja soma dos estados, considerando

Demonstra¸cão. Considerando que o estado estável c representa a quantidade esperada relativa de tráfego em cada nó da rede, a escolha gulosa dos nós pelo respectivo estado no vetor c representa a quantidade m´ınima de nós para se monitorar a quantidade de tráfego estabelecida pela soma de seus estados. Portanto, a menor quantidade de nós cuja soma dos estados excede ou se iguala à α é o conjunto observador funcional m´ınimo. C.Q.D. O Algoritmo apresentado a seguir utiliza esse Corolário para encontrar o conjunto observador funcional m´ınimo de um grafo dado o parâmetro de observa¸cão α.

Algoritmo 3.4 (Busca do conjunto observador funcional m´ınimo). E poss´ıvel computar´ o conjunto observador m´ınimo de uma rede, considerando o parâmetro α, com base na representa¸cão por lista de adjacência e no vetor de probabilidades de reten¸cão.

algoritmo observador-funcional(L, pr, α)

1: _{{Lista de adjacência L, probabilidades de reten¸cão p}_r e fator de análise α._} 2: a_{←matriz-estocastica(L, p}r) {Constru¸cão da matriz estocástica regular.}

3: c←estado-estavel(a) {Solu¸c˜ao do estado est´avel da matriz.} 4: o_{← nova-lista() {Cria uma nova lista vazia.}}

5: s_{← 0}

6: enquanto s≤ α fa¸ca 7: vm← arg maxvic[i] 8: s_{← s + c[m]}

9: inserir(o, vm) {Insere o n´o vm no inicio da lista o.}

10: remove(c, vm) {Remove n´o vm da lista c.}

11: fim enquanto

12: retorne o{Conjunto observador funcional m´ınimo.}

A complexidade do algoritmo ´e da ordem de O(n2_E_{Gout_{}) em tempo e de O(n E{G}out_})

em mem´oria, onde n =|N|.

As complexidades do Algoritmo 3.4 dependem, principalmente, da forma como são implementados os procedimentos ‘matriz-estocastica()’ e ‘estado-estavel()’, uma vez que a complexidade na linha 6 é, no pior caso, da ordem de O(n). As complexidades do procedimento ‘matriz-estocastica()’ são apresentadas no Algoritmo 3.3e são da ordem de O(n2_E_{Gout_{}) em tempo e de Θ(n E{G}out_{}) em memória. Já em rela¸cão ao procedimento}

‘estado-estavel()’, pode ser implementado como a solu¸c˜ao do sistema linear:

(I_{− A)c = 0,} (3.27)

com complexidade em tempo da ordem de O(n3), utilizando-se de algum processo de escalonamento de matriz. Como a matriz é esparsa, é poss´ıvel implementar o escalonamento em O(n2_E_{Gout_{}). Já a complexidade em memória de ‘estado-estavel()’ pode chegar a}

O(n2) em alguns casos. Em redes reais tal caso não é provável e, portanto, pode-se considerar que a complexidade esperada em memória é da ordem de O(n E_{Gout_{}). Dessa} forma, considera-se que a complexidade do Algoritmo 3.4 é da ordem de O(n2_E_{Gout_})

em tempo e de O(n E{Gout_{}) em mem´oria.}

O procedimento de descoberta do conjunto observador funcional apresentado tem como caracter´ısticas a eficiência e a escalabilidade em rela¸cão aos algoritmos apresentados. Na Se¸cão de Experimentos será abordada a questão de escalabilidade da quantidade de nós observadores. Por enquanto, é conveniente verificar a questão da observabilidade funcional nas topologias determin´ısticas utilizadas como referência. Nesse sentido, é poss´ıvel concluir

que, se as probabilidades de reten¸cão forem iguais, na topologia em anel todos os nós devem convergir para o mesmo estado, ou seja, ci = 1/n. Isso não acontece na topologia

em linha já que, para pr = 1/n e considerando a matriz estocástica como definida pela

Equa¸c˜ao 3.24, o vetor c, para a rede apresentada na Figura 3.2, ´e

cline≈     0.143 0.357 0.357 0.143     . (3.28)

Por esse resultado, é poss´ıvel concluir que espera-se analisar mais de 70% do tráfego instantâneo da rede apenas monitorando os dois nós centrais. Em rela¸cão à topologia em estrela, tem-se que, se a propriedade de reten¸cão for igual para todos os nós, 50% do tráfego estará no nó central, independentemente da quantidade de nós, e do valor da probabilidade de reten¸cão. Esse resultado é apresentado formalmente pelo Lema C.10. Nota 2 (Sobre o projeto da matriz de transi¸cão). A matriz de transi¸cão de estado definida nesta Se¸cão, tem como objetivo o estudo da quantidade de informa¸cão que trafega pela rede. Para considerar o projeto da matriz A a ser utilizada no sistema de monitoramento, não é prático considerar, por exemplo, que as probabilidades de reten¸cão são

iguais para todos os n´os da rede[vi].

3.3 Experimentos

Esta Se¸cão tem como objetivo o estudo experimental de caracter´ısticas da rede que influenciam o conjunto dos nós observadores, por exemplo: (i) como cresce a quantidade de nós observadores em rela¸cão ao tamanho e a densidade da rede e (ii) como as propriedades da rede influenciam nas propriedades qualitativas e quantitativas dos nós observadores.

E poss´ıvel estabelecer evidências experimentais de duas formas: (i) pela análise direta de alguma métrica, ou (ii) pela utiliza¸cão de técnicas de visualiza¸cão das propriedades da rede. A fim de ilustrar a segunda, é apresentada a Figura 3.6.

Figura 3.6: Rendimento dos nós em uma rede livre de escala. Todas as redes são compostas por n = 21 nós e diferenciam-se pelo parâmetro m, discriminado abaixo da rede.

Na Figura3.6, o rendimento é proporcional à cor do nó, de forma que de maior rendimento é mais escuro, culminando com a cor branca para o nó com menor rendimento. Além disso, o nó com maior rendimento é colocado no centro da visualiza¸cão e as arestas que não compõem a árvore de cobertura m´ınima em rela¸cão ao nó central são mais claras. [vi]_{Pode-se perceber que, em redes de computadores, tem-se n´}_{os em que a reten¸c˜}_{ao é baixa, como pode ser} o caso de roteadores, enquanto a reten¸cão de outros é alta, como é o caso de servidores de armazenamento.

A partir das redes apresentadas, é poss´ıvel verificar que existe uma rela¸cão entre o rendimento de um nó e o seu grau, uma vez que os nós com maior rendimento possuem uma quantidade considerável de vizinhos. A fim de ilustrar como essas caracter´ısticas podem ser verificadas de forma experimental, será considerada rela¸cão esperada entre o grau de um nó e o seu rendimento. A partir da cria¸cão e análise de 104 redes livre de escala de ta- manhos n =_{{50, 100, 150}, para valores de m = {1, 2, 3}, foi verificado o comportamento} do grau de um nó em rela¸cão ao seu rendimento esperado. Esses resultados, agrupados em 3 gráficos em rela¸cão ao valor de m, são apresentados na Figura3.7.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 grau rendim o (a) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 rendim o (b) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 rendim o (c)

Figura 3.7: Rela¸cão entre o rendimento e o grau em redes livre de escala. Em (a), onde m = 1, tem-se que a inclina¸cão relativa é a mais acentuada; em (b), onde m = 2, há um aumento no valor esperado dos rendimentos para graus menores; o que é ainda mais notável em (c), onde m = 3.

Com base na aparente rela¸cão linear entre o grau de um nó e seu rendimento esperado, como apresentado na Figura 3.7 para valores distintos do parâmetro m e para redes de tamanho também distintos, é poss´ıvel estabelecer a Observa¸cão a seguir.

Observa¸cão 3.1 (Rela¸cão entre grau e o rendimento esperado). Em uma rede livre de escala, o rendimento esperado de um nó, representado por E_{{Y}, está proporcionalmente}

Os gráficos apresentados na Figura3.7possuem comportamentos ligeiramente diferentes para valores distintos do parâmetro m. Especificamente, para valores maiores de m, a inclina¸cão da reta de valor esperado do rendimento é menor. Isso porque para m = 1 o valor esperado do rendimento para graus menores é aproximadamente 1/5, já para m = 2 tem-se que esse valor é de, aproximadamente, 1/3, e para m = 3 é de, aproximadamente, 2/5. Esses resultados dão suporte a Observa¸cão a seguir.

Observa¸cão 3.2 (Rela¸cão entre m e o rendimento esperado). Em uma rede livre de escala, o rendimento esperado de um nó, representado por E_{{Y}, está proporcionalmente}

associado ao valor do parˆametro livre da rede m.

E natural que haja um aumento no rendimento proporcional à m pois, quanto maior esse parâmetro maior será a quantidade de arestas. Uma quantidade maior de arestas aumenta a densidade da rede, fazendo com que a distância média tenda a ser menor, o que aumenta o rendimento. De forma geral, os resultados, expressos na forma de observa¸cões,

No documento A Influência da observabilidade e da visualização radial no projeto de sistemas de monitoramento de redes de computadores (páginas 60-84)