Com esse pano de fundo conceitual, podemos, finalmente, definir l´ogica enquanto uma categoria. Formalmente,
Defini¸c˜ao 4.2.1 A categoria CON das estruturas de consequˆencia consiste em:
(i) Objetos de CON : hX, Cni; (ii) Morfismos de CON : tradu¸c˜oes
Como estamos interessados em definir a contraparte paraconsistente de um sistema n˜ao-paraconsistente, reformularemos a l´ogica paracl´assica P com este novo campo conceitual.
Defini¸c˜ao 4.2.2 Sejam hX, Cni uma estrutura de consequˆencia e A ⊆ X, CnP(A) =[{Cn(A′
) : A′
⊆ A, Cn(A′
) 6= X}. Em particular, a ∈ CnP(A) ⇔existe A′
⊆ A, Cn−Consistente, tal que a ∈ Cn(A′).
O ´ultimo passo ´e definir um m´etodo de paraconsistentiza¸c˜ao de l´ogica. Para isto, utilizaremos o conceito de funtor, visto que “um funtor ´e uma transforma¸c˜ao de uma categoria em outra que ‘preserva’ a estrutura cate- gorial de sua origem”6. Portanto, o Funtor de Paraconsistentiza¸c˜ao ser´a
respons´avel por definir, para uma l´ogica explosiva, sua contraparte paracon- sistente. Formalmente:
Defini¸c˜ao 4.2.3 Definimos o Funtor de Paraconsistentiza¸c˜ao P em CON , denotado por CON −→ CON , tal que:P
(i) P hX, Cni =X, CnP .
(ii) P(t) = t.
Evidenciaremos a constru¸c˜ao da al´ınea (ii). Visto que P(t) = t, mostra- remos que hX, Cni −→t X′
, Cn′P ´e uma tradu¸c˜ao, isto ´e, preserva os ope-
radores de consequˆencia. Assim, precisamos mostrar que para todo A ⊆ X, temos que (t(CnP(A))) = Cn′P(t(A)).
Prova. t(CnP(A)) = t(S{Cn(A′ ) : A′ ⊆ A, Cn − Consistente}) = S{t(Cn(A′ )) : A′ ⊆ A, Cn − Consistente} = S{Cn′ (t(A′ )) : t(A′ ) ⊆ t(A), Cn′− Consistente} = Cn′P(t(A))
Para garantir queP ´e um funtor, note que ele possui as seguintes propri- edades:
(a)P(Ida) = IdP(a)
(b)P(a ◦ b) = P(a) ◦ P(b)
6
Prova. (a)P(IdX) = IdX = IdP(X). (b) Sejam hX, Cni t1 −→ hX′, Cn′i t2 −→ hX′′, Cn′′i. Segue-se que P(t 2 ◦ t1) =
P(t2(Cn′(t1(A)))) = t2(Cn′(t1(A))) = Cn′′(t2(t1(A))) = Cn′′((t2◦ t1)(A)) =
Cn′′
((P(t2) ◦P(t1))(A)).
Com isto, temos uma nova abordagem para estudar a l´ogica paracl´assica. Vimos, no cap´ıtulo anterior, que ela preserva algumas propriedades cl´assicas, como compacidade e monotonicidade. Podemos nos perguntar quais outras propriedades podem ser determinadas do ponto de vista categorial.
Notem que, ao definir o conjunto das consequˆencias de P , n˜ao fizemos referˆencia a uma l´ogica subjacente espec´ıfica. Portanto, o funtor de paracon- sistentiza¸c˜ao P pode ser aplicado, a princ´ıpio, em qualquer sistema l´ogico.
Seria interessante analisar a preserva¸c˜ao de propriedades desse funtor em diversos l´ogicas. Ademais, poder´ıamos aplicar P seguidas vezes numa mesma l´ogica, e estudar as caracter´ısticas das l´ogicas resultantes, ou ainda, descobrir se faz sentido repetir esta opera¸c˜ao, isto ´e, se cada aplica¸c˜ao de P gera uma l´ogica diferente.
Em suma, este cap´ıtulo estabelece as bases para a formula¸c˜ao e inves- tiga¸c˜ao de diversas quest˜oes interessantes referentes `a paraconsistentiza¸c˜ao e preserva¸c˜ao de propriedades de operadores de consequˆencia.
As I told earlier, I never repeat anything.
- Autor desconhecido
A l´ogica paraconsistente, apesar de ter pouco mais de meio s´eculo de existˆencia, constitui-se como um campo bem estabelecido de pesquisa, com v´arios congressos e publica¸c˜oes espalhados pelo mundo . No entanto, tamb´em pela sua pouca idade, ainda h´a muito trabalho a ser feito.
Do ponto de vista filos´ofico, a separa¸c˜ao entre inconsistˆencia e trivialidade ainda n˜ao est´a completamente estabelecida e, com frequˆencia, encontramos fil´osofos recha¸cando determinada posi¸c˜ao simplesmente porque esta cont´em informa¸c˜oes contradit´orias. O mesmo se d´a no campo das teorias cient´ıficas. Isto mostra que o motto “de contradi¸c˜ao, tudo se segue”ainda tem lugar especial nos fundamentos de teorias filos´oficas e cient´ıficas.
Obviamente, n˜ao queremos dizer que contradi¸c˜oes n˜ao constituem pro- blemas. Em determinadas situa¸c˜oes, ´e necess´ario removˆe-las, caso estas apare¸cam na teoria. Imaginem, por exemplo, uma triagem m´edica computa- dorizada que apresenta, para um paciente, o diagn´ostico de que ele corre risco de vida, e que ele n˜ao corre risco de vida. Neste caso, um dos diagn´osticos precisa ser removido. N˜ao obstante, a presen¸ca de contradi¸c˜oes n˜ao pode ser vista como condi¸c˜ao suficiente para rejeitar uma teoria. Afinal, contradi¸c˜oes n˜ao implicam, necessariamente, tudo.
Mesmo no exemplo anterior, o m´edico n˜ao deduz, a partir do diagn´ostico contradit´orio que, se o paciente tomar um copo d’´agua, enquanto salta de paraquedas com os olhos vendados, estar´a curado. Tal dedu¸c˜ao seria v´alida na l´ogica cl´assica mas, obviamente, n˜ao ajudaria em nada. Portanto, mesmo neste caso em que as contradi¸c˜oes devam ser removidas, a melhor forma de analisar as informa¸c˜oes ´e mediante o uso de l´ogicas paraconsistentes.
Essas l´ogicas tamb´em forneceram um novo aparato para estudar os con- ceitos centrais da l´ogica. Se, durante certo tempo, a nega¸c˜ao paraconsistente n˜ao era considerada uma nega¸c˜ao propriamente dita, isto se deu pela falta de entendimento do conceito de nega¸c˜ao, e n˜ao da formula¸c˜ao da l´ogica pa- raconsistente.
Ainda que, no in´ıcio de seu desenvolvimento, a paraconsistˆencia esteve, algumas vezes, erroneamente relacionada com a refuta¸c˜ao da lei de n˜ao- contradi¸c˜ao, este equ´ıvoco tamb´em deu frutos. Por ser considerada a lei mais segura de todas, a possibilidade l´ogica de sua refuta¸c˜ao levou os l´ogicos a questionarem a pr´opria existˆencia de uma lei universal l´ogica, ou ainda, de uma lei universal do pensamento7. Esse questionamento levou ao desen-
volvimento de uma nova e promissora linha de pesquisa, a L´ogica Universal, que aborda a l´ogica de um ponto de vista abstrato inimagin´avel h´a poucas d´ecadas.
Do ponto de vista formal, tamb´em h´a muitas quest˜oes em aberto. Ainda n˜ao h´a uma defini¸c˜ao un´ıvoca de paraconsistˆencia. Tampouco h´a um crit´erio positivo para caracterizar tais l´ogicas. Ademais, falta um estudo pormenori- zado das caracter´ısticas comuns `as m´ultiplas l´ogicas paraconsistentes parti- culares. Este ´e o objetivo da Paraconsistentiza¸c˜ao.
Os dois ´ultimos cap´ıtulos deste trabalho apresentam poss´ıveis pesquisas futuras. O tratamento conjuntista utilizado no terceiro cap´ıtulo pode ser am- pliado, estabelecendo uma dimens˜ao sint´atica para as l´ogicas paracl´assica e
7
Visto que, durante muito tempo, se acreditou que a l´ogica tinha como tarefa estabe- lecer as leis gerais do pensamento.
paracl´assica com inclus˜ao. Assim, seria poss´ıvel estudar outras propriedades l´ogicas, como corre¸c˜ao e completude. Outra pesquisa interessante seria definir a rela¸c˜ao de consequˆencia paracl´assica a partir de outro sistema. Vimos que T |=P α ⇔ existe U ⊆ T , C-Consistente, tal que U |=B α. Poder´ıamos subs-
tituir o crit´erio ‘C-Consistente’ por outra l´ogica, e analisar as propriedades preservadas, bem como as particulares de cada sistema.
O quarto cap´ıtulo constitui-se como uma contribui¸c˜ao promissora para a paraconsistentiza¸c˜ao de l´ogicas. Trata-se de um arcabou¸co te´orico que per- mite definir a contraparte paraconsistente de uma l´ogica explosiva, e estudar a preserva¸c˜ao de propriedades l´ogicas.
Esta abordagem poderia ser utilizada, ainda, para explorar outros pro- blemas filos´oficos e cient´ıficos, como, por exemplo, a teoria atˆomica de Bohr. Isto, pois, “n˜ao h´a ramo das matem´aticas, n˜ao importa qu˜ao abstrato, que n˜ao possa, algum dia, ser aplicado a fenˆomenos do mundo real”8.
8
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