Lógicas Paraconsistentes de um Ponto de Vista Filosófico MESTRADO EM FILOSOFIA

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PUC-SP

Diogo Henrique Bispo Dias

Lógicas Paraconsistentes de um Ponto de Vista Filosófico

MESTRADO EM FILOSOFIA

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PUC-SP

Diogo Henrique Bispo Dias

Lógicas Paraconsistentes de um Ponto de Vista Filosófico

MESTRADO EM FILOSOFIA

Dissertação apresentada à Banca Examinadora como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Filosofia pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob a orientação do Prof. Dr. Edelcio Gonçalves de Souza.

(3)

Banca Examinadora

__________________________________________

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do que a minha tenra idade

permitia aprender; `

A v´o Vanay e v´o Lusia,

por continuarem me ensinando

muito mais do que minha idade

(5)

Gostaria de agradecer `a minha fam´ılia, pelo apoio e incentivo durante

minha vida acadˆemica.

`

A CAPES, por permitir que, nos ´ultimos anos, minhas principais

preo-cupa¸c˜oes fossem restritas ao campo da L´ogica.

Ao Prof. Dr. Edelcio Gon¸calves de Souza, pela orienta¸c˜ao cuidadosa

e sempre presente, pela amizade, e por me ajudar a entender como uma

demonstra¸c˜ao formal pode ser elegante.

Ao Prof. Dr. Lafayette de Moraes e Prof. Dr. Alexandre Costa-Leite,

que participaram da minha banca de qualifica¸c˜ao, pela leitura minuciosa do

texto preliminar deste trabalho, e pelas valiosas cr´ıticas e sugest˜oes.

Ao Lucas Alessandro Duarte Amaral, Arthur Heller Brito e `a Renata

Karla Magalh˜aes, por lerem vers˜oes iniciais deste trabalho, pelas cr´ıticas,

sugest˜oes e, principalmente, discuss˜oes sobre o tema.

Aos demais amigos e amigas que, sempre que necess´ario, me lembravam

que há vida para além da lógica.

`

A Ellen Cristine Borges, pela revisão de inumeráveis versões desta

dis-serta¸cão, pela paciência infinita em me ouvir falar de paradoxos, contradi¸cões

(6)

I stand before you and sit behind you

to tell you something I know nothing about.

Next Thursday, which is Good Friday,

there’s a Mother’s Day meeting for fathers only;

wear your best clothes if you haven’t any.

Please come if you can’t; if you can, stay at home.

Admission is free, pay at the door;

pull up a chair and sit on the floor.

It makes no difference where you sit,

the man in the gallery’s sure to spit.

The show is over, but before you go,

let me tell you a story I don’t really know.

One bright day in the middle of the night,

two dead boys got up to fight.

The blind man went to see fair play;

the mute man went to shout ”hooray!”

Back to back they faced each other,

drew their swords and shot each other.

A deaf policeman heard the noise,

and came and killed the two dead boys.

A paralysed donkey passing by

kicked the blind man in the eye;

knocked him through a nine-inch wall,

into a dry ditch and drowned them all.

If you don’t believe this lie is true,

ask the blind man; he saw it too,

through a knothole in a wooden brick wall.

And the man with no legs walked away.

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Este trabalho abordará os aspectos filosóficos das lógicas

paraconsisten-tes. Analisaremos a hist´oria dos princ´ıpios l´ogicos fundamentais para esta

lógica, a saber: a lei de não-contradi¸cão e o princ´ıpio de explosão, bem como

a hist´oria do surgimento da paraconsistˆencia. Ademais, discutiremos uma

interpreta¸cão da paraconsistência que defende a existência de contradi¸cões

verdadeiras, denominadadialeteismo, e as poss´ıveis cr´ıticas aodialeteismoe, de forma geral, `as l´ogicas paraconsistentes.

O caráter filosófico do trabalho não significa que o texto estará isento de

teoremas, fórmulas, demonstra¸cões e outras questões formais. Porém, este

aspecto formal n˜ao ser´a tratado como um fim em si mesmo. O formalismo

ser´a utilizado para apresentar dois sistemas proposicionais paraconsistentes

- lógica paraclássica e lógica paraclássica com inclusão - e compará-los com a lógica proposicional clássica. O arcabou¸co teórico constru´ıdo para tal fim

´

e filosoficamente relevante para discutir questões centrais à lógica, como a

existência de leis lógicas, seu carátera priorie, até mesmo, a própria defini¸cão de lógica.

Por fim, ser´a apresentado um m´etodo para encontrar, a partir de uma

lógica dada, sua versão paraconsistente. Face à multiplicidade de sistemas

l´ogicos paraconsistentes, este estudo ´e importante, pois permite explorar as

poss´ıveis caracter´ısticas gerais das l´ogicas paraconsistentes, suas

especificida-des e, principalmente, m´etodos abstratos para gerar l´ogicas paraconsistentes.

(8)

This master´s thesis comprehends the philosophical aspects of

paracon-sistent logic. It will analyze the history of the fundamental logical principles

to this particular logic, namely: the law of non-contradiction and the

prin-ciple of explosion, as well as the history of paraconsistency. Moreover, an

interpretation of paraconsistency that defends the existence of true

contra-diction, known as dialetheism, will be discussed, as well as the criticism to this position, and, in general, to paraconsistent logics.

The philosophical character of this thesis does not mean that the text

will be exempt from theorems, formulas, demonstrations and other formal

questions. But this formal aspect will not be treated as a end in itself. The

formalism will be used to present two proposicional paraconsistent systems,

namely: paraclassical logic andparaclassical logic with inclusion, and to com-pare them with classical logic. The theoretical framework built for such aim

is philosophically relevant, for the discussion on central points in logic, such

as the existence of logical laws, its a priori character, and even the very definition of logic.

Finally, a method will be proposed in order to find, from a given logic,

its paraconsistent version. Due to the multiplicity of paraconsistent systems,

this study is important in order to explore the general features of

paracon-sistent logics, their specificities and, mainly, abstract methods for generation

of paraconsisent logic.

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Introdu¸c˜ao 3

1 Breve Hist´orico Conceitual 7

1.1 Princ´ıpio de Explos˜ao . . . 8

1.1.1 Explos˜ao na L´ogica Antiga . . . 8

1.1.2 Explos˜ao na Idade M´edia . . . 10

1.1.3 Explos˜ao na L´ogica Moderna . . . 16

1.2 Lei de n˜ao-contradi¸c˜ao . . . 20

2 Aspectos Filosóficos 24 2.1 Independência formal entre a lei de não-contradi¸cão e o princ´ıpio de explosão . . . 24

2.1.1 Linguagem Proposicional . . . 25

2.1.2 L´ogica de Paradoxos (LP) . . . 26

2.1.3 L´ogica de Lacunas (gaps) (LG) . . . 28

2.2 Paraconsistˆencia . . . 29

2.2.1 Dialeteismo . . . 32

2.2.2 Paradoxos . . . 34

2.2.3 Cr´ıticas ao Dialeteismo . . . 39

(10)

2.2.4 Cr´ıticas `a Paraconsistˆencia . . . 40

2.3 Consequências Filosóficas das Lógicas Paraconsistentes . . . . 43

3 Lógica Proposicional Paraclássica 52 3.1 Modelo e Valora¸cões . . . 52

3.1.1 Propriedades de (X,|=K) . . . 55

3.2 L´ogica Proposicional Cl´assica . . . 56

3.2.1 Propriedades de C . . . 56

3.2.2 Inconsistˆencia e Trivialidade em C . . . 59

3.3 L´ogica Proposicional Paracl´assica . . . 60

3.3.1 Propriedades da L´ogica Paracl´assica . . . 61

3.3.2 Inconsistˆencia e Trivialidade em P . . . 64

3.4 Lógica Paraclássica com Inclusão . . . 65

3.4.1 Propriedades de P∗ . . . 65

3.4.2 Inconsistˆencia e Trivialidade em P∗ . . . 67

4 Paraconsistˆencia e Categoria 70 4.1 Categoria . . . 71

4.2 L´ogica via Categorias . . . 76

Considera¸c˜oes Finais 79

(11)

Let contradictions prevail!

Let one thing contradict another!

and let one line of my poem contradict another!

- Walt Whitman, Leaves of Grass

Este trabalho tem um objetivo duplo. Em primeiro lugar, pretende-se apresentar as lógicas paraconsistentes de um ponto de vista filosófico, isto é, analisando as poss´ıveis contribui¸cões do surgimento desses sistemas for-mais para a filosofia e, em particular, para a epistemologia. Além disso, serão apresentados dois sistemas proposicionais paraconsistentes espec´ıficos, estabelecendo suas propriedades particulares e comparando-as com a lógica clássica.

Por se tratar de lógicas não-clássicas precisamos, em primeira instância, caracterizar precisamente o que se entenderá, neste trabalho, por lógica. Sua defini¸cão formal será apresentada no segundo cap´ıtulo. Em linhas gerais, qualquer sistema que contenha um conjunto (de fórmulas) e uma rela¸cão de consequência será considerado uma lógica.

Para compreender o que são lógicas paraconsistentes, retomemos a de-fini¸cão clássica de validade. Um argumento é válido se e somente se não existe situa¸cão em que suas premissas sejam verdadeiras, e sua conclusão falsa. Na lógica clássica, essa defini¸cão tem uma consequência particular. Tomemos o seguinte exemplo, chamado de argumento independente de Lewis:

(12)

Hoje chove.

Hoje chove ou h´a vida em Marte.

Hoje n˜ao chove.

Portanto, h´a vida em Marte.

Este argumento usa dois princ´ıpios aceitos pela lógica clássica: Adi¸cão (α|=α∨β) e Silogismo Disjuntivo (¬α, α∨β |=β). Ainda que as premissas não tenham a menor relevância para a conclusão - isto é, tratam de assuntos completamente diferentes - como não existe situa¸cão em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa, este é um argumento válido, ainda que contraintuitivo. Dito de outra forma, na lógica clássica, a partir de premis-sas contraditórias, pode-se deduzir qualquer conclusão, isto é, o sistema se torna trivial. Esta propriedade era chamada, pelos latinos, de ex contradic-tione quodlibet, que significa “de uma contradi¸cão, tudo se segue”. Na lógica contemporânea, esta é chamada de explosão, e uma lógica que contenha tal propriedade é considerada explosiva.

O objetivo das lógicas paraconsistentes, portanto, é constituir-se como um sistema formal subjacente a teorias que contenham informa¸cões contra-ditórias sem, no entanto, permitir que qualquer informa¸cão seja deduzida. Neste sentido, há diversas formas de caracterizar uma lógica paraconsis-tente. Podemos defini-la como um sistema inconsistente (ou contraditório), mas não-trivial1_{; ou como uma lógica que contenha um operador unário não}

explosivo2_.

O ponto central é que, numa lógica paraconsistente, o princ´ıpio de ex-plosão deve ser refutado. Isso garante que, a partir de premissas contra-ditórias, seja poss´ıvel fazer inferências, sem deduzir qualquer conclusão. Sen-do assim, neste trabalho, aceitaremos a simples defini¸cão de lógicas paracon-sistentes como lógicas não-explosivas, ou seja, quando temos (α,¬α2β).

1

Cf. [19], [39].

2

(13)

Não obstante, esta defini¸cão não é de todo isenta de problemas. Tome, por exemplo, a lógica minimal3_{. Ainda que esta seja paraconsistente, a}

in-ferência (α,¬α |= ¬β) é válida. Isto significa que, de premissas contra-ditórias, pode-se concluir a nega¸cão de qualquer senten¸ca, o que parece ir contra a motiva¸cão paraconsistente. Outras formula¸cões de paraconsistência foram oferecidas. Mas, como todas apresentam algum tipo de problema, manteremos a defini¸cão anunciada, pela sua simplicidade e elegância.

Notem que, ao definir paraconsistência, a expressão lógicas paraconsis-tentes está sendo usada no plural. Isto significa que há mais de um sistema lógico que refute o princ´ıpio de explosão4_.

Do ponto de vista formal, é simples construir uma lógica paraconsistente. Basta, por exemplo, tomar a lógica clássica sem, no entanto, assumir que verdade e falsidade são exclusivas, isto é, sem rejeitar a possibilidade de uma mesma senten¸ca ser verdadeira e falsa. Para tanto, basta entender uma valora¸cão não como uma fun¸cão de uma senten¸ca em um valor de verdade - Verdadeiro e Falso - mas como uma rela¸cão entre senten¸cas e os valores. Mantendo a defini¸cão clássica de validade, este sistema paraconsistente refuta o argumento de Lewis, mas mantém a lei de não-contradi¸cão como verdade lógica. Este sistema chama-se LP, lógica de paradoxo, e foi formulado por Graham Priest5_.

Voltemos à defini¸cão de lógica paraconsistente. Pode parecer que, à pri-meira vista, rejeitar a explosão implicaria rejeitar a lei de não-contradi¸cão, que afirma que, de duas senten¸cas contraditórias, uma deve ser falsa6_{. A}

despeito das poss´ıveis formula¸cões diferentes - e não exatamente equivalentes - esta lei e a ideia de explosão são formal e historicamente independentes.

Para discutir tais assuntos, este trabalho será dividido em quatro cap´ıtulos. O primeiro apresentará o desenvolvimento histórico da lei de não-contradi¸cão

3

Trata-se da l´ogica intuicionista, sem a explos˜ao.

4

De fato, podem existir infinitas l´ogicas paraconsistentes.

5

Cf. [52].

6

(14)

e princ´ıpio de explos˜ao, evidenciando os diferentes momentos nos quais tais princ´ıpios se tornaram aceitos de forma hegemˆonica.

O segundo cap´ıtulo constitui o cerne da disserta¸cão. Primeiro, serão de-finidas duas lógicas diferentes, com o intuito de demonstrar a independência formal entre a lei de não-contradi¸cão e o princ´ıpio de explosão. Em seguida, será exposto brevemente a origem da ideia de paraconsistência, bem como sua motiva¸cao. Outrossim, será apresentada uma posi¸cão metaf´ısica defendida a partir da lógica paraconsistente, que afirma a existência de contradi¸cões ver-dadeiras, chamada de dialeteismo. Analisaremos, então, algumas cr´ıticas às lógicas paraconsistentes - e, em particular, aodialeteismo- e, principalmente, a importância filosófica destas.

O terceiro e quarto cap´ıtulo terão um caráter mais formal. Come¸caremos com uma conceitua¸cão abstrata de Lógica - explorando algumas proprieda-des derivadas proprieda-deste conceito -, que será subjacente à constru¸cão das lógicas proposicionais clássica e paraclássica. A partir destes dois sistemas, analisa-remos quais propriedades são invariantes, e quais dependem das defini¸cões lógicas utilizadas.

O último cap´ıtulo consiste em uma tentativa inicial de abordar o pro-blema da paraconsistentiza¸cão de lógicas7 _{a partir da teoria de categorias.}

Será discutida a possibilidade de, a partir de uma dada lógica, construir sua contraparte paraconsistente. O cap´ıtulo encerra com comentários acerca da importância de tal procedimento, bem como as poss´ıveis ramifica¸cões desta abordagem.

7

(15)

Breve Hist´

orico Conceitual

O in´ıcio da sabedoria est´a em chamar as coisas pelos seus nomes corretos.

- Prov´erbio chinˆes

Comecemos nossa análise pelos dois conceitos centrais à discussão sobre paraconsistência, a saber: a lei de não-contradi¸cão e o princ´ıpio - ou lei - de explosão. Como vimos, estes dois conceitos são frequentemente confundidos. O desenvolvimento das lógicas paraconsistentes permitiu um entendimento mais profundo dessas ideias, analisando as poss´ıveis rela¸cões e distin¸cões entre as mesmas, tanto do ponto de vista formal, histórico quanto filosófico. Primeiro, vejamos como as duas ideias são historicamente independentes.

´

E fundamental ressaltar que a discussão se limitará à rela¸cão lógica entre tais conceitos. Isso significa que não discutiremos os poss´ıveis aspectos me-taf´ısicos ou psicológicos dessa distin¸cão. Em particular, não discutiremos as ideias de alguns pré-socráticos (como Heráclito e Parmênides), bem como as de Hegel, sobre contradi¸cão, visto que estas extrapolam o campo puramente lógico do presente trabalho.

(16)

1.1 Princ´ıpio de Explos˜

ao

1.1.1 Explos˜

ao na L´

ogica Antiga

A primeira formaliza¸cão conhecida da lógica é a silog´ıstica aristotélica. Ainda que Aristóteles não discuta expressamente o princ´ıpio de explosão, a silog´ıstica é paraconsistente. Para ver isto, tome a seguinte inferência:

Nenhum planeta ´e objeto vermelho Algum planeta ´e objeto vermelho.

Todo objeto vermelho ´e objeto vermelho. ∴

Mesmo com premissas contraditórias, o silogismo não é válido, visto que ele refuta uma de suas regras, a saber: se uma premissa é negativa, a conclusão deve ser negativa. Portanto, de premissas contraditórias, não é poss´ıvel deduzir tudo1_.

Aristóteles não formalizou uma lógica proposicional. Há poucos e esparsos comentários sobre inferência proposicional em sua obra. Não obstante, é poss´ıvel afirmar que tampouco esta lógica seria explosiva. Nos Primeiros Anal´ıticos, o Estagirita afirma que uma mesma conclusão não pode seguir de uma proposi¸cão e de sua nega¸cão2_.

A primeira lógica proposicional foi desenvolvida pelos estoicos. Estes estabelecem cinco formas indemonstráveis de argumentos válidos, a saber:

(i) Se p, ent˜ao q; p; portanto q (modus ponens);

(ii) Se p, então q; não q; portanto, não-p (modus tollens);

(iii) Não é o caso que (p e q); p; portanto não-q;

1

O fato de que, neste exemplo, dois termos são iguais, não significa que não se trata de um silogismo. O próprio Aristóteles utiliza esse recurso. Cf. [3], vol. 1, 63b23-64a16. Ademais, poder´ıamos ainda considerar o caso em que os termos são diferentes, mas com extensões equivalentes como, por exemplo, ‘homem’ e ‘animal racional’.

2

(17)

(iv) Ou p ou q; p; portanto n˜ao-q;

(v) Ou p ou q; n˜ao-p; portanto q;

Entre a documenta¸cão dispon´ıvel, não há nenhuma men¸cão à explosão. Mas podemos conjecturar se esta seria uma propriedade aceita desse sistema lógico. Sabemos que os estoicos aceitavam claramente o Silogismo Disjuntivo (¬α, α∨β |=β). Como vimos, esta regra é utilizada no Argumento de Lewis para demonstrar a explosão. Sendo assim, era de se esperar que, mesmo sem nenhum comentário espec´ıfico sobre esse assunto, este argumento fosse válido na lógica estoica. Mas não é.

Al´em do silogismo disjuntivo, o argumento de Lewis usa a adi¸c˜ao (α |=α∨

β). Essa regra não é aceita pelos estoicos em consequência da interpreta¸cão do conectivo “ou”em sua lógica. Segundo Lukasiewicz, “é evidente a partir do quarto silogismo que a disjun¸cão é concebida como um conectivo ‘ou...ou’ exclusivo”3_{. Ou seja, para os estoicos, uma disjun¸cão é verdadeira quando}

apenas um de seus disjuntos for verdadeiro. Desta forma, a adi¸cão é inválida e, por consequência, o argumento de Lewis também o é.

Mas isso seria suficiente para afirmar que a lógica estoica também é paraconsistente? A explosão pode ser estabelecida por outros meios. Por exemplo, se aceitarmos a defini¸cão moderna de implica¸cão como implica¸cão material, de premissas contraditórias podemos inferir qualquer coisa. For-malmente:

H´a vida em Marte.

Se a Lua não é feita de queijo, então há vida em Marte. Não há vida em Marte.

Ent˜ao, a Lua ´e feita de queijo.

No entanto, não podemos afirmar que a implica¸cão estoica seguia esta defini¸cão. Segundo Sexto Emp´ırico, há, entre os estoicos, um debate acerca da natureza dos condicionais, com quatro tratamentos diferentes poss´ıveis:

3

(18)

[1] Filo diz que uma frase declarativa condicional perfeita é uma que não come¸ca com uma verdade e acaba com uma falsidade, p. ex., quando é dia e eu estou a conversar, a frase ‘Se é dia estou a conversar’. [2] Mas Diodoro diz que é uma que nem podia nem pode come¸car com uma verdade e acabar com uma falsidade. Para ele a frase declarativa condicional citada parece ser falsa, uma vez que quando for dia e eu estiver calado come¸cará com uma verdade e acabará com uma falsidade. Mas a frase seguinte parece ser verda-deira: ‘Se os elementos atômicos das coisas não existem, então os elementos atômicos das coisas existem’. Diodoro defende que come¸cará sempre com o falso antecedente ‘Os elementos atômicos das coisas não existem’ e aca-bará com o consequente verdadeiro ‘Os elementos das coisas existem’. [3] E aqueles que introduzem a no¸cão de conexão dizem que uma frase declarativa condicional é perfeita quando a contraditória de seu consequente é incom-pat´ıvel com o seu antecedente. De acordo com estes as frases declarativas condicionais acima mencionadas não são perfeitas mas a seguinte é verda-deira ‘Se é dia, é dia’. [4] E aqueles que julgam pela implica¸cão dizem que uma frase declarativa condicional verdadeira é aquela cujo consequente está contido potencialmente no seu antecedente. Para estes a frase ‘Se é dia, é dia’ e todas as frases condicionais que forem repetitivas serão, ao que parece, falsas; porque é imposs´ıvel para uma coisa estar contida em si própria4

.

Visto que não há um conceito bem estabelecido de implica¸cão na lógica estoica, não podemos utilizar o argumento anterior para chegar à explosão. Sendo assim, ao que parece, a lógica estoica também é paraconsistente.

1.1.2 Explos˜

ao na Idade M´

edia

A inven¸cão (ou descoberta) do argumento de Lewis é incerta. Alguns a atribuem ao lógico francês William de Soissons, no século XII5_{; outros}

ar-gumentam que as primeiras discuss˜oes sobre o tema aparecem nas obras de Garlando Compotista e Pedro Abelardo6_{. O que sabemos, a partir dos}

docu-mentos dispon´ıveis, é que a propriedade da explosão - à época chamada deex

4

[41], p.128-9. A numera¸c˜ao ´e de Kneale e Kneale.

5

Cf. [54], p. 294.

6

(19)

contradictione quolibet, ou ex impossibili sequitur quodlibet, foi amplamente discutida durante o s´eculo XIV. Vejamos por que.

A lógica medieval é responsável pela primeira tentativa de sistematizar teorias de consequências, isto é, determinar em que consiste um argumento válido. Com este propósito, há uma ampla discussão a respeito da validade de regras de inferências fundamentais; do comportamento dos conectivos lógicos e, principalmente, da própria no¸cão de consequência lógica. Por algum motivo desconhecido (já que o assunto ainda é motivo de disputa entre os especialistas), no século XIV, come¸caram a surgir vários tratados sobre este ´

ultimo tema espec´ıﬁco.

Uma hipótese poss´ıvel é a de que se trata de uma tradi¸cão que remonta ao quinto livro doOrganon, de Aristóteles, intitulado “Tópicos”, que aborda os padrões de racioc´ınio válidos que não são reduzidos ao silogismo. No entanto, não há nenhum ind´ıcio na literatura do século XIII, sobre os “Tópicos”, da discussão acerca de consequência que surgiria no século seguinte. Por outro lado, a discussão a respeito dos conectivos lógicos “e”, “ou”, “se...então”, indica uma poss´ıvel influência dos estoicos - considerados os primeiros a dis-cutir o que hoje chamamos de lógica proposicional. No entanto, ainda que elementos comuns possam ser encontrados nos textos medievais, não há re-ferência direta alguma aos estoicos. Portanto, tal influência ainda precisa ser estabelecida - ou refutada.

O princ´ıpio de explosão não é uma propriedade hegemônica na Idade Média essencialmente por três motivos7_{. Em primeiro lugar, há uma confusão}

acerca da no¸cão de consequência lógica, uma vez que o conceito consequen-tia é usado tanto para consequência lógica, quanto para condicionais8_{. Em}

segundo lugar, não há um consenso a respeito da defini¸cão de consequência lógica. Ora, se não há tal consenso, segue-se que as propriedades decor-rentes da no¸cão escolhida também variam. E, por fim, os lógicos medievais

7

Quatro, se contarmos a escassez de documenta¸c˜ao deste per´ıodo.

8

(20)

distinguem tipos diferentes de consequência lógica, fazendo uso dos mesmos conceitos, mas com significados diferentes.

A lógica contemporânea distingue diversas rela¸cões poss´ıveis entre pro-posi¸cões. A rela¸cão de derivar uma proposi¸cão de outras proposi¸cões dadas é chamada de inferência; a rela¸cão entre o antecedente e o consequente em um proposi¸cão do tipo “se...então”é chamada de implica¸cão9_{; há outra rela¸cão}

que determina que uma proposi¸cão não pode ser verdadeira, e outra falsa, e é chamada de implica¸cão lógica (entailment). Claramente, são três rela¸cões distintas. No entanto, durante a Idade Média, as três eram chamadas de consequentiae.

Assim, alguns lógicos medievais apresentam dificuldades em classificar umaconsequentiacomovera (verdadeira), ou comovalet (válida). Da mesma forma, ora dividem uma consequentia em antecedente e consequente, ora em premissas e conclusão. Ademais, havia, neste per´ıodo, uma ampla discussão sobre os tipos - ou subtipos - de consequentiae, a saber10_:

(i)Simplices vs. ut nunc;

Umaconsequentia simplex é necessária e atemporal, isto é, “o antecedente não pode, em qualquer tempo, ser verdadeiro sem que o consequente o seja”11_,

ao passo que uma consequentia ut nunc vale em um momento espec´ıfico ou de acordo com hipóteses espec´ıficas. Por exemplo, a consequência ‘Sócrates é um homem e, portanto Sócrates é um homem ou Sócrates é um asno’ é simplex, de acordo com Pseudo-Scotus, que defendia que de uma proposi¸cão, segue uma proposi¸cão disjuntiva, tal que a primeira inicial é um dos disjuntos da segunda. Já a proposi¸cão ‘Sócrates está correndo, portanto um homem está correndo’ não apresenta uma rela¸cão de necessidade lógica entre suas partes, mas depende de outra proposi¸cão contingente, a saber: ‘Sócrates é

9

Note que há varios tipos de implica¸cão, tais como implica¸cão relevante, intuicionista, linear, contrafactual etc. Para uma introdu¸cão ao tema, Cf. [64].

10

Estas divisões não são necessariamente subdivisões de consequências. A hierarquia -ou a falta dela - varia de acordo com o autor.

11

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um homem’; sendo assim, esta ´e uma consequentia ut nunc.

Esta defini¸cão tem formula¸cões similares nos diferentes autores deste per´ıodo. A diferen¸ca entre eles está na posi¸cão hierárquica deste tipo de consequência. Para Buridan e Pseudo-Scotus, esta distin¸cão só se aplica a consequências materiais. Outros autores, como Peter de Mantua, aceitam este tipo de consequência como primário, e estabelecem consequências for-mais e materiais como subdivisões de consequentia simplex.

ii) Formal vs. Material12_;

Esta distin¸c˜ao aparece, pela primeira vez, em Ockham13_{. Segundo tal}

au-tor, uma consequência é formal quando há a necessidade de um intermédio adicional validando a consequência. Caso não haja esse intermédio, e a consequência vale apenas por causa de seus termos, trata-se de uma con-sequência material. Assim, a concon-sequência ‘Sócrates não corre, portanto um homem não está correndo’ é formal, pois depende da informa¸cão adicional de ‘Sócrates é um homem’.

A passagem de Ockham que define uma consequência material é consi-derada espúria por muitos estudiosos14_{. Sendo assim, contamos apenas com}

dois exemplos de consequência material dados pelo autor: ‘Um homem está correndo, portanto Deus existe’ (ou seja, uma proposi¸cão necessária segue de tudo); e ‘O homem é um asno, portanto Deus não existe’ (ou seja, do imposs´ıvel, tudo se segue ou, ainda, ex impossibili sequitur quodlibet)15_.

Como, na lógica medieval, a conjun¸cão de duas senten¸cas contraditórias é o caso paradigmático de impossibilidade, este segundo exemplo é bem próximo do que chamamos, hoje, de princ´ıpio de explosão.

12

Além disso, há outra distin¸cão, ora impl´ıcita, ora expl´ıcita, que é a distin¸cãobona de forma vs. Bona de materia. Em alguns autores, esta distin¸cão coincide com a formal vs. material, mas isto tampouco é um consenso.

13

[51], p. 474.

14

Cf. [41], p. 290, para uma poss´ıvel corre¸c˜ao de um erro das primeiras vers˜oes do texto de Ockham.

15

(22)

Em Buridan, por sua vez, a defini¸cão de consequência formal e mate-rial segue a tradi¸cão Aristotélica da no¸cão de forma e matéria. Assim, uma consequência formal vale em virtude de sua forma (seus termos sincatego-remáticos), ao passo que uma consequência material depende do significado de seus elementos (seus termos categoremáticos). Assim, a consequência formal segue o princ´ıpio de substitui¸cão, isto é, a consequência vale para qualquer substitui¸cão uniforme de seus termos16_.

Pseudo-Scotus apresenta a distin¸c˜ao mais clara - neste per´ıodo - entre consequˆencia formal e material, a saber:

Uma consequência formal é aquela que vale para todos os termos, desde que o arranjo e forma dos termos permane¸cam iguais em todos os aspectos. (...) Uma consequência material é aquela que não vale para todos os termos, desde que o arranjo e forma sejam mantidos similares em todos os respeitos, de forma que não haja mudan¸ca senão nos termos17

.

Ao analisar as consequências dessa defini¸cão, Pseudo-Scotus apresenta uma prova de que, em uma consequência formal, tudo se segue de proposi¸cões contraditórias:

A partir da proposi¸cão ‘Sócrates existe e Sócrates não existe’, que implica uma contradi¸cão formal, segue-se ‘Um homem é um asno’ ou ‘Há um bastão na esquina’, ou qualquer outra coisa. Prova: ‘Sócrates existe e Sócrates não existe; portanto, Sócrates não existe’ é um argumento válido, já que há uma consequência formal entre uma proposi¸cão conjuntiva e qualquer uma de suas partes. Deixemos essa consequência em reserva. Seguindo, te-mos que ‘Sócrates existe e Sócrates não existe; portanto, Sócrates existe’ é válido pela mesma regra. E de ‘Sócrates existe’ segue que ‘Portanto Sócrates existe ou um homem é um asno’, já que qualquer proposi¸cão implica formal-mente na combina¸cão dela mesma com qualquer outra proposi¸cão em uma

16

Para aqueles que aceitam o critério de substitui¸cão, a distin¸cão entre bona de forma e bona de materia é equivalente à distin¸cão formal e material. Outros, como Ockham e Paul de Venice, definemconsequentia bona de formacomo aquela que vale de acordo com seus termos sincategoremáticos.

17

(23)

´

unica proposi¸cão disjuntiva. Então, a partir do consequente, argumentamos que ‘Sócrates existe ou um homem é um asno, mas Sócrates não existe (de acordo com a consequência reservada anteriormente); portanto, um homem é um asno’. Um argumento deste tipo pode ser feito com qualquer outra proposi¸cão, já que todas as consequências são formais18

.

Ainda que esta formula¸cão seja bem próxima da atual, esta defini¸cão de consequência formal não era hegemônica no século XIV. Os três autores an-teriormente citados defendem a ideia de que do imposs´ıvel, tudo se segue. No entanto, em Ockham, esta é uma propriedade da consequência mate-rial, ao passo que, para Buridan e Pseudo-Scotus, isto segue da defini¸cão de consequência formal19_.

Passemos ao estabelecimento da validade de uma consequência. A mai-oria dos autores do século XIV aceita a defini¸cão clássica de consequência (o antecedente não pode ser verdadeiro e o consequente falso20_{) como uma}

condi¸cão necessária para a validade da consequência. No entanto, nem todos aceitavam isto como condi¸cão suficiente.

Havia outra formula¸cão presente nos tratados de Albert de Saxony e Mar-silius de Inghen, que pode ser chamada de critério de inclusão (containment notion):

uma consequência é formal se e somente se o consequente está contido no antecedente, de tal forma que quem quer que entenda o antecedente neces-sariamente entende o consequente21

.

Temos, portanto, além da no¸cão substitucional de consequência formal, uma no¸cão epistêmica de consequência formal22_.

18

[41], p. 762.

19

Há, ainda, outra distin¸cão, a saber: natural vs. acidental, que não será discutida, já que, ainda que seja importante nas primeiras discussões medievais sobre consequência, no século XIV, ela aparece apenas em Burley.

20

Cf. [41], p. 472, para formula¸c˜oes equivalentes.

21

[51], p. 476.

22

(24)

Pseudo-Scotus, além de analisar as defini¸cões anteriores, apresenta outra formula¸cão para consequência, a saber:

uma consequência é válida se e somente se é imposs´ıvel que o antecedente seja verdadeiro e o consequente, falso, quando ambos são formulados conjun-tamente23

.

O resultado de diferentes no¸cões de consequência é claro: há diferentes regras válidas de inferência, de acordo com a no¸cão de consequência estabe-lecida. O princ´ıpio de explosão resulta naturalmente da defini¸cão modal de consequência como uma condi¸cão suficiente para sua validade. Isto é, dado que β é consequência de α se e somente se é imposs´ıvel para α ser verda-deira, e β falsa, segue-se que, sempre queα for imposs´ıvel de ser verdadeira, a consequência é válida independente de β.

No entanto, outros lógicos refutam a defini¸cão modal como um critério suficiente para uma consequência válida. Drukken de Dácia e Richard Fer-rybridge, bem como os filósofos da Cologne School, do final do século XV, exigem uma rela¸cão de relevância entre o antecedente e o consequente. Isto é, o critério de inclusão (containment) deve ser necessário e suficiente para todas as consequências válidas. Ademais, estes últimos rejeitavam expressa-mente o silogismo disjuntivo e a adi¸cão - justaexpressa-mente as regras que permitem inferir qualquer conclusão a partir de premissas contraditórias.

Em suma, o princ´ıpio de explosão - aqui tratado como a ideia de que do imposs´ıvel tudo se segue - não era aceito de forma hegemônica durante este per´ıodo. Esta propriedade só torna parte essencial da lógica após o estabelecimento, a partir do século XIX, do que se chama, hoje, de lógica clássica.

1.1.3 Explos˜

ao na L´

ogica Moderna

A explos˜ao s´o se tornou uma propriedade aceita de forma praticamente

23

(25)

hegemônica no final do século XIX, com o desenvolvimento formal da lógica moderna, levada a cabo, principalmente, por Boole, Frege e Russell. Segundo Priest24_{, há dois motivos essenciais para esta mudan¸ca.}

Em primeiro lugar, temos a jun¸cão de duas ideias fundamentais para o lógica clássica, a saber, o conceito de nega¸cão e o de validade lógica. Boole formulou o tratamento clássico da nega¸cão, hoje chamada de nega¸cão boole-ana. Porém, esta nega¸cão não é a mesma da lógica proposicional moderna. A nega¸cão booleana comporta-se como um operador de complementa¸cão de conjuntos.

O operador booleano de complementa¸cão não tem o efeito de reverter o valor de verdade de uma proposi¸cão, qualquer que ela seja, à qual o operador é aplicado (...). Em vez disso, o operador booleano para complementa¸cão N OT aplica-se apenas aos s´ımbolos de predicado, distinguindo uma classe complementar de propriedades25

.

Tomemos a seguinte proposi¸cão como exemplo: “Algumas pessoas são felizes”. Aplicando o operador de nega¸cão como complementa¸cão de classe, temos “Algumas pessoas não são felizes”. Isso significa que a nega¸cão de-termina a classe de objetos que não tem dede-terminada propriedade, isto é, que pertencem à classe complemento desta propriedade. No entanto, este tratamento da nega¸cão não é, necessariamente, funcional-veritativo. Se acei-tarmos a proposi¸cão “algumas pessoas são felizes”como falsa, isso significa que “algumas pessoas não são felizes”é verdadeira. No entanto, se conside-rarmos a mesma proposi¸cão como verdadeira, nada sabemos sobre o valor de verdade de “algumas pessoas não são felizes”.

Neste per´ıodo estabelece-se também a no¸cão clássica de validade, que de-termina que um argumento é valido se e somente se não existir situa¸cão em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão, falsa. Nenhuma dessas ideias - nega¸cão booleana e validade clássica - é, per se, explosiva. Porém,

24

[53], p. 135.

25

(26)

se tomadas conjuntamente, elas levam à explosão. Como consequência da nega¸cão booleana, temos que α, ou ¬α vale em cada situa¸cão. Dada a de-fini¸cão clássica de validade, segue-se que não há situa¸cão em que αe ¬α são verdadeiras, e β é falsa. Portanto, essa lógica é explosiva.

O segundo fator foi estabelecido, essencialmente, por Frege e Russell, que foram responsáveis pela redu¸cão da análise dos conectivos lógicos a uma análise funcional-veritativa. Frege é responsável pela defini¸cão moderna dos conectivos lógicos como fun¸cões tais que o valor de verdade de uma senten¸ca formada a partir destas fun¸cões é determinado puramente a partir do valor de verdade de seus componentes26_.

Esta formula¸cão é adotada pois, segundo o filósofo alemão,

no que diz respeito à matemática, estou convencido de que nela não ocorrem pensamentos compostos com outra forma¸cão. Também em f´ısica, qu´ımica e astronomia, dificilmente será diferente27

.

Tendo em mente que, em Frege, o pensamento ´e o sentido de uma sen-ten¸ca assertiva28_{, podemos reformular a tese do par´agrafo anterior utilizando}

o vocabulário lógico contemporâneo, afirmando que todas as proposi¸cões ma-temáticas - e cient´ıficas - são formadas a partir de conectivos funcionais-veritativos.

Ainda que este tratamento dos conectivos apare¸ca j´a noBegriffsschrift29_,

encontramos sua formula¸c˜ao mais precisa nos textos Fun¸c˜ao e Conceito30

e Pensamentos compostos. Uma investiga¸c˜ao l´ogica31_{. Nos dois primeiros}

textos, o autor toma a nega¸c˜ao e a implica¸c˜ao como conectivos primitivos,

26

Russell é responsável por definir esse tipo de fun¸cão comofun¸cão de verdade (truth function).

27

[30], pp.85-6.

28

[31], p. 137.

29

[28].

30

[29].

31

(27)

e define os demais a partir destes. No último texto, a nega¸cão e a con-jun¸cão são aceitas como primitivas. Do ponto de vista lógico-formal, ambas as formula¸cões são equivalentes.

Vejamos o caso da implica¸cão e da disjun¸cão. Como vimos, não havia um consenso a respeito do tratamento deste conectivo na lógica estoica. O mesmo se dá durante a Idade Média. Porém, ao definir o condicional como funcional-veritativo, estes autores adotam o que chamamos de implica¸cão material32_{. Assim, uma implica¸cão é verdadeira quando o antecedente for}

falso, ou o consequente verdadeiro33_.

De acordo com Frege, ainda que esta defini¸cão não seja reflexo do uso de “se...então...”na linguagem natural, é a mais adequada para o rigor necessário em demonstra¸cões lógicas e matemáticas . Portanto, a implica¸cão (α →β) é definida como uma disjun¸cão (¬α ∨β). Percebam que, dessa forma, a inferência modus ponens (α, α → β |= β) torna-se logicamente equivalente ao silogismo disjuntivo (¬α, α∨β |=β).

Uma disjun¸cão, por sua vez, é verdadeira quando ao menos um dos disjun-tos é verdadeiro. Obviamente, a adi¸cão, (α |=α∨β), torna-se uma regra de inferência válida. A partir dessas duas regras, temos novamente o argumento de Lewis. Portanto, ainda que contra-intuitivo, (α,¬α|=β).

H´a uma anedota curiosa sobre Russell a este respeito34_{. Ao aﬁrmar para}

um colega que, de premissas contradit´orias, tudo pode ser deduzido, este pediu a Russell que provasse, a partir do fato de que 2=3, que Russell era o Papa. Ao que Russell replicou: ‘subtraindo 1 dos dois lados da equa¸c˜ao, temos que 1=2. Eu e o Papa somos dois. Como 1=2, eu e o Papa somos um. Portanto, eu sou o Papa’.

Por motivos já conhecidos, esta lógica tornou-se o paradigma de sistema lógico-formal e, com ela, a explosão foi aceita como uma propriedade lógica

32

Este denomina¸c˜ao foi cunhada por Russell.

33

Ainda que os estoicos não tivessem uma formula¸cão única de implica¸cão, esta defini¸cão coincide com a posi¸cão defendida por Filo de Mégara (300 a.C). Cf. [41], pp. 128-32.

34

(28)

elementar.

1.2 Lei de n˜

ao-contradi¸c˜

ao

A discussão sobre a lei de não-contradi¸cão é, do ponto de vista lógico-formal, menos controversa ao longo da história. Esta lei foi aceita como evidente - ou uma verdade universal e necessária - por quase toda a história da lógica.

A formula¸c˜ao - e a defesa desta - remonta a Arist´oteles35_{. No entanto,}

a caracteriza¸cão e a validade destes argumentos são altamente duvidosas. Deste modo, é notável que, desde então, não haja nenhum outro trabalho significativo que justifique adequadamente a lei de não-contradi¸cão e que, até o in´ıcio do século XX, esta lei seja aceita como princ´ıpio mais evidente e fundamental da lógica36_.

Por curiosidade, note o que Avicena aﬁrma sobre aquele que pretende refutar tal lei:

Quanto ao obstinado, deve-se atirá-lo ao fogo, já que o fogo e o não-fogo são idênticos. Deixe-o sofrer, já que o sofrimento e o não-sofrimento são iguais. Deixe-o sem comer e beber, já que comer e beber são idênticos à abstinência37

.

Uma das primeiras cr´ıticas à lei de não-contradi¸cão está em um artigo intitulado Sobre a Lei da contradi¸cão em Aristóteles38_{, publicado em 1910,}

pelo lógico e filósofo polonês Lukasiewicz. Segundo este autor, o avan¸co da lógica moderna permite uma análise pormenorizada das chamadas leis fundamentais da lógica e, da mesma forma que uma análise cuidadosa da

35

Os argumentos a seu favor encontram-se naMetaf´ısica, livroγ. Cf. [3], vol. 2.

36

Arist´oteles afirma que “esse princ´ıpio ´e o mais seguro de todos”. Cf. [3], vol. 2, 1005b19-20.

37

[37].

38

(29)

geometria euclidiana deu origem às geometrias não-euclidianas, esta análise possibilita o surgimento de sistemas lógicos não-aristotélicos.

Caso tais leis fossem provadas fundamentais, ao menos seriam estabeleci-das as rela¸cões - de dependência ou outras - entre elas. Além disso, o autor questiona quais as justificativas para aceitar uma lei como fundamental ou irrefutável.

Esse artigo se propõe a analisar a defini¸cão e defesa da lei de contradi¸cão apresentada por Aristóteles, principalmente, no livro γ daMetaf´ısica. Luka-siewicz afirma que há três formula¸cões diferentes para a lei de não contradi¸cão na Metaf´ısica de Aristóteles, a saber: psicológica, ontológica e lógica. Foca-remos na formula¸cão lógica.

De acordo com o Estagirita, esta lei ´e fundamental e indemonstr´avel.

Portanto, todo os que demonstram alguma coisa remetem-se a essa no¸c˜ao ´

ultima porque, por sua natureza, constitui o princ´ıpio de todos os outros axiomas39

.

No entanto, após afirmar isto, Aristóteles apresenta vários argumentos para demonstrar tal lei.

Além dessa argumenta¸cão aristotélica não ser suficiente para defender sua posi¸cão inicial, essa lei não é a mais fundamental nem mesmo na silog´ıstica aristotélica. O princ´ıpio do silogismo é independente e anterior a tal lei, e isto é evidenciado pelo próprio filósofo grego:

Que seja imposs´ıvel simultaneamente afirmar e negar, isso não é pressuposto por nenhuma demonstra¸cão [silogismo], a menos quando a própria conclusão devesse demonstrar tal coisa. Isso, então, demonstra-se na medida em que se supõe ser verdadeiro predicar o primeiro termo do termo médio e n˜ ao-verdadeiro não predicá-lo. Mas, no que diz respeito ao termo médio e também ao terceiro termo, não faz qualquer diferen¸ca supor que ele é e não é. Seja dado um objeto qualquer [por exemplo, Cálias], do qual se possa dizer com

39

(30)

verdade que ele é homem, apenas sendo homem um animal e não um n˜ ao-animal; será, então, verdadeiro predicar de Cálias que ele é um animal e não é um não-animal, ainda que homem fosse não-homem e Cálias fosse não-Cálias. A razão disso é que o primeiro termo vale não apenas do termo médio, mas também de outros objetos, uma vez que ele tem um âmbito de aplica¸cão maior [do que o termo médio], de modo que não faz qualquer diferen¸ca para a conclusão que o termo médio seja e não seja o mesmo40

.

Portanto, um silogismo pode ser válido, mesmo que refute a lei de não-contradi¸cão. Lukasiewicz conclui dizendo que

deve-se rejeitar de uma vez por todas a opinião falsa, ainda que muito di-fundida, segundo a qual a lei da contradi¸cão é o princ´ıpio mais superior de toda demonstra¸cão!41

O lógico polonês vai além, e defende que, tomada irrestritamente, a lei de nao-contradi¸cão é simplesmente falsa. Seguindo Meinong, afirma que ob-jetos imposs´ıveis podem conter propriedades contraditórias. A esse respeito, Meinong declara que

Russell põe a verdadeira ênfase em que, através da aceita¸cão de tais objetos [imposs´ıveis], a lei da contradi¸cão perderia sua validade ilimitada. Natural-mente, eu não posso de modo algum deixar passar essa consequência. (...) De fato, a lei da contradi¸cão nunca foi aplicada por ninguém a outra coisa que o real e o poss´ıvel42

.

Em seguida, Lukasiewicz ressalva que, por um lado, nunca teremos certeza de que constru¸cões conceituais são isentas de contradi¸cão - como mostra, por exemplo, o paradoxo de Russell - e, por outro, tampouco somos capazes de afirmar que nenhum objeto real contenha contradi¸cão43_.

40

[3], vol. 1, 77a10-22. Citado por [44], p. 17.

41

[44], p. 19.

42

[48], p. 16. Citado por [44], p. 24.

43

(31)

Este artigo, que pode parecer como uma cr´ıtica irremediável à lei de não-contradi¸cão termina, não obstante, de forma desapontadora. Ainda que não se trate de uma lei lógica fundamental e irrefutável, seria a “única arma contra o engano e a mentira”44_{, visto que, se fosse refutada completamente,}

um acusado de assassinato não conseguiria provar sua inocência, já que provar que não cometeu o assassinato não seria suficiente para refutar a acusa¸cão de que ele é o assassino.

Posteriormente, analisaremos outra cr´ıtica à lei de não-contradi¸cão. Esta posi¸cão é denominada dialeteismo, e defende a existência de contradi¸cões verdadeiras. Portanto, ao menos uma formula¸cão da lei de não-contradi¸cão, que assevera que toda contradi¸cão é falsa, é considerada errônea.

44

(32)

Aspectos Filos´

oficos

In formal logic, a contradiction is the signal of defeat, but in the evolution of real knowledge it

marks the first step in progress towards a victory.

- Alfred North Whitehead

Este cap´ıtulo constitui o centro do trabalho. Come¸caremos demons-trando, no n´ıvel proposicional, a independência dos conceitos discutidos an-teriormente. Ainda que se trate de uma prova formal, este resultado tem importantes consequências filosóficas, como veremos adiante. O restante do cap´ıtulo lidará com os aspectos filosóficos das lógicas paraconsistentes.

2.1 Independˆ

encia formal entre a lei de n˜

ao-contradi¸c˜

ao e o princ´ıpio de explos˜

ao

Iremos demonstrar que os princ´ıpios de não-contradi¸cão e de explosão são logicamente independentes. Para isso, apresentaremos dois sistemas

(33)

lógicos. O primeiro refuta o princ´ıpio de explosão, mas mantém a lei de não-contradi¸cão como uma verdade lógica. O segundo, por sua vez, é explosivo e, no entanto, refuta a lei de não-contradi¸cão. Esse resultado é fundamental, pois a rela¸cão entre essas duas ideias é comumente confundida no estudo das lógicas paraconsistentes, e boa parte das cr´ıticas a esses sistemas é fruto desta confusão.

Em primeiro lugar, estabeleceremos as no¸cões comuns aos dois sistemas. Em seguida, definiremos os conceitos particulares de cada sistema e, por fim, demonstraremos a independência dos princ´ıpios estudados.

2.1.1 Linguagem Proposicional

Os s´ımbolos primitivos deL s˜ao os seguintes:

1. Operadores L´ogicos:

(i) Nega¸c˜ao: ¬ ;

(ii) Conjun¸c˜ao: ∧;

(iii) Disjun¸c˜ao: ∨ ;

2. Vari´aveis Proposicionais

Utilizaremosx1, x2, x3..., y1, y2, y3...para vari´aveis proposicionais.

Con-sideraremos V ar o conjunto de todas essas vari´aveis.

3. (S´ımbolos Auxiliares)

Utilizaremos parênteses para evitar poss´ıveis ambiguidades e indicar, de forma análoga às opera¸cões matemáticas, a ordem a ser seguida nas opera¸cões lógicas. Quando não houver risco de confusão, os parênteses serão omitidos1_.

1

(34)

Defini¸cão 2.1.1 Uma lógica L é uma estrutura L=hFL,|=Li tal que: (i) FL é um conjunto, cujos elementos são chamados fórmulas de L; (ii)|=L é uma rela¸cão em℘(FL)×FL chamada rela¸cão de consequˆ en-cia2 _de _L_.

Notem que estamos utilizando uma no¸cão abstrata de lógica3_{. Não}

esta-mos fixando um conjunto espec´ıfico, tampouco estaesta-mos imponto restri¸cões à rela¸cão de consequência. Esta defini¸cão permite-nos estabelecer um pano de fundo comum para estudar sistemas lógicos diferentes.

Defini¸cão 2.1.2 (i) Toda variável proposicional éfórmula;

(ii) Se α e β são fórmulas4_{, então} _¬_α,₍_α_∧_β₎_,₍_α_∨_β₎_{, também o são.}

Passemos, ent˜ao, `as caracter´ısticas particulares de cada sistema

2.1.2 L´

ogica de Paradoxos (

LP

)

Esta l´ogica foi criada por Priest5_{como uma forma de lidar com o paradoxo}

do mentiroso, e como a l´ogica subjacente ao dialeteismo6_{. A formaliza¸c˜ao de}

LP ´e constru´ıda a partir dos seguintes conceitos.

Defini¸cão 2.1.3 Seja {1,0} o conjunto cujos elementos são ditos valores de verdade7 _e _F _{o conjunto das fórmulas. Uma} _valora¸c˜_ao _{é uma rela¸cão}

2

Esta rela¸c˜ao determina, a partir de um conjunto de senten¸cas, quais as senten¸cas que formam o conjunto de consequˆencias do conjunto original.

3

Esta defini¸cão abstrata de lógica pertence ao escopo da Lógica Universal, que será discutida adiante, e foi formulada por Beziau. Cf. [9].

4

As letras gregas denotam variáveis metalingu´ısticas para fórmulas. Da mesma forma, ∆ denota um conjunto qualquer de fórmulas. Os s´ımbolos⇔e⇒representam, respecti-vamente, equivalência e implica¸cão metalingu´ıstica.

5

Cf. [52].

6

Ambos ser˜ao discutidos adiante.

7

(35)

v ⊂ V ar × {1,0}, tal que dom(R) = F. Isso significa que, para uma dada f´ormula α, podemos ter v(α,1), v(α,0), ou ambos8_.

Defini¸cão 2.1.4 A defini¸cão de consequência lógica de LP é a mesma que a da lógica clássica, isto é, uma inferência éválida se e somente se não há valora¸cão em que suas premissas são verdadeiras, e a conclusão falsa. Formalmente, dados um conjunto ∆ de fórmulas, e uma fórmula α, temos que ∆ |=LP α se e somente se, para todo v (se v(β,1), para todo β ∈ ∆, então v(α,1)).

Cada fórmula pode ter seu valor de verdade definido recursivamente, a partir das seguintes condi¸cões:

(i) v(¬α,1)⇔v(α,0); (ii) v(¬α,0)⇔v(α,1);

(iii) v(α∧β,1)⇔v(α,1) e v(β,1);

(iv) v(α∧β,0)⇔v(α,0) ouv(β,0), ou ambos; (v) v(α∨β,1)⇔v(α,1) ou v(β,1);

(vi) v(α∨β,0)⇔v(α,0) e v(β,0).9

Com esse aparato, podemos provar que esta lógica não é explosiva e, no entanto, preserva a lei de não-contradi¸cão.

Proposi¸cão 2.1.1 O Princ´ıpio de não-contradi¸cão não implica o princ´ıpio de explosão.

Prova. Suponha que v(α,1), v(¬α,1) e v(β,0). Sendo assim, temos que v(α∧ ¬α,1)10_{, mas} _v₍_β,_{0). Isso ´e o suﬁciente para mostrar que o princ´ıpio}

8

Quando v(α,1) ev(α,0), dizemos queα´e verdadeira e falsa.

9

Notem que as condi¸cões para os conectivos são as mesmas da lógica clássica. As valora¸cões são diferentes apenas porque não aceitamos o pressuposto - impl´ıcito na lógica clássica - de que verdade e falsidade são exclusivas. Em outras palavras, LP aceita a possibilidade de uma mesma fórmula ser verdadeira e falsa.

10

(36)

de explosão não vale, ou seja, (α,¬α) 2LP β. No entanto, pelo comporta-mento da nega¸cão, se v(α∧ ¬α,0), então v(¬(α∧ ¬α),1)11_{. Isso significa}

que a lei de não-contradi¸cão continua sendo uma verdade lógica (ainda que algumas de suas instâncias também sejam falsas). Portanto, o princ´ıpio de não-contradi¸cão não implica o princ´ıpio de explosão ou, dito de outra forma, refutar a explosão não implica refutar o princ´ıpio de não contradi¸cão.

2.1.3 L´

ogica de Lacunas (

gaps

) (

LG

)

Este sistema lógico foi criado apenas como um instrumento para estabe-lecer o objetivo desta se¸cão. Trata-se de uma restri¸cão da lógica FDE (first degree entailment)12_.

A principal diferen¸ca conceitual entre essa lógica e aLP está na defini¸cão de valora¸cão. No sistema LG, uma uma valora¸cão é uma rela¸cão v ⊂

V ar × {1,0}, tal que se v(α,u) e v(α,v), então u = v. Isso significa que podemos ter v(α,1), v(α,0), ou nenhuma13_{, mas não ambas}14_.

A defini¸cão de consequência lógica, bem como as defini¸cões recursivas dos conectivos mantém-se as mesmas do sistema anterior.

Proposi¸cão 2.1.2 O princ´ıpio de explosão não implica o princ´ıpio de não-contradi¸cão.

Prova. Para provarmos o enunciado acima, devemos mostrar queLG é um sistema explosivo e, no entanto, refuta o princ´ıpio de não-contradi¸cão. Su-ponha que v(α,∅)15_{. Sendo assim,} _v₍_¬_α,_∅_{). Portanto, (}_α,_¬_α₎ _|₌

LG β, para qualquerβ. Isso mostra queLGé explosiva, i.é., de premissas contraditórias,

11

Bem comov(¬(α∧ ¬α),0).

12

Cf. [27].

13

Neste caso,αpode ser interpretada como n˜ao sendo verdadeira, nem falsa.

14

EmFDE, não é exclu´ıda a possibilidade de uma mesma fórmula ser verdadeira e falsa. Neste sentido, LGé uma restri¸cão deFDE.

15

(37)

é poss´ıvel deduzir qualquer conclusão pois, visto que não há valora¸cão em que as premissas sejam verdadeiras, e a conclusão, falsa, o argumento é válido, independende deβ. No entanto, a mesma valora¸cão demonstra que¬(α∧¬α) não é tautologia, já que v(¬(α∧ ¬α),∅). Logo, em LG vale o princ´ıpio de explosão, mas não vale a lei de não-contradi¸cão.

Em resumo, no sistema LP, vale a lei de não-contradi¸cão, mas não vale o princ´ıpio de explosão. Em LG, por sua vez, vale a explosão, mas a lei de não-contradi¸cão é preservada. A constru¸cão desses dois sistemas prova que os princ´ıpios lógicos em questão são independentes.

2.2 Paraconsistˆ

encia

Apesar da cr´ıtica à lei de não-contradi¸cão apresentada no cap´ıtulo ante-rior, Lukasiewicz não formula um sistema lógico que a refute. As origens da ideia de paraconsistência são dúbias16_.

Em 1910, Vasiliev, aluno de Lukasiewicz, criou a l´ogica imagin´aria17_,

para lidar com mundos imaginários, ou seja, mundos nos quais a lei de não-contradi¸cão seria inválida. Ainda que esta lógica seja paraconsistente, isto se dá indiretamente, da mesma forma que a silog´ıstica aristotélica é para-consistente. Isso significa que Vasiliev não criou deliberadamente uma lógica não-explosiva, mas que esta propriedade é uma mera consequência de sua lógica imaginária.

As primeiras lógicas evidentemente paraconsistentes surgiram pratica-mente de formas simultânea e independente. Em 1948, o lógico Polonês Jaskowski desenvolveu o que ele chamou de lógica discursiva18_{, para lidar}

16

Cf. [45], pp. xxiii-vi, para uma análise da polêmica acerca dos criadores da lógica paraconsistente

17

O nome é uma referência à geometria imaginária - ou não-euclidiana - desenvolvida por Lobatchevski. Cf. [4].

18

(38)

com situa¸cões que envolviam informa¸cões inconsistentes. No final da década de 50, o americano David Nelson também discute a importância de lógicas inconsistentes e não-triviais, e contrói um sistema que modele tais situa¸cões19_.

Em 1963, o lógico brasileiro Newton da Costa publica Sistemas Formais Inconsistentes20_{, também apresentando uma lógica paraconsistente, chamada}

de C1. No entanto, com o passar dos anos, da Costa desenvolveu extens˜oes

deC1 para a l´ogica de primeira ordem e teoria de conjuntos. Isto porque este

considera que

um sistema lógico, para realmente constituir uma lógica, deve ser desenvol-vido ao menos até incluir quantifica¸cão e igualdade, dado o papel da lógica na articula¸cão de sistemas conceituais. E, nesse ponto, (...) [da Costa] parece ter sido o primeiro lógico a fazer isto com lógica paraconsistente21

.

A dúvida a respeito do criador da lógica paraconsistente surge, em parte, pela própria carência de uma defini¸cão precisa de paraconsistência. Geral-mente, ao definir tal lógica, determina-se uma propriedade negativa que esta deve possuir, como não-explosão22_{; não-consistência e não-trivialidade}23_{; ou}

possuindo uma nega¸cão não-explosiva24_{. Sendo assim, não há uma defini¸cão}

positiva de paraconsistˆencia25_.

Desta forma, chega-se a resultados estranhos, como a afirma¸cão de que a silog´ıstica aristotélica é paraconsistente ou, ainda, que a lógica minimal também o é. Isto permite, também, que alguns lógicos defendam que não existem lógicas paraconsistentes26_.

Enquanto não se encontrar uma defini¸cão positiva e precisa para tais lógicas, estes problemas permaneceram abertos e, entre eles, a discussão

19

[50].

20

[19].

21

[16], p. 112.

22

Cf. [53].

23

Cf. [39], [19].

24

Cf. [10].

25

Para algumas poss´ıveis defini¸c˜oes positivas da l´ogica paraconsistente, cf. [10], pp.7-12.

26

(39)

acerca do primeiro inventor da l´ogica paraconsistente.

A discussão se torna filosoficamente interessante quando se leva em conta as razões para se utilizar - ou defender - uma lógica paraconsistente. E essas motiva¸cões estão presentes na própria nomenclatura desta lógica.

O prefixo ‘para’ em inglês tem dois significados: ‘quase’ (...) ou ‘além de’. Quando o termo ‘paraconsistente’ foi cunhado por Miró Quesada, (...) em 1976, ele parece ter tido o primeiro sentido em mente. Muitos lógicos para-consistentes, no entanto, entenderam o termo na sua segunda acep¸cão27

.

Há vários exemplos de situa¸cão em que o uso da lógica paraconsistente é desejável. Basta que tenhamos uma teoria - ou conjunto de informa¸cões - inconsistente e precisemos - ou desejemos - fazer inferências não-triviais a partir deste conjunto. Isso ocorre comumente em bancos de dados de um sistema computacional.

Temos, também, teorias cient´ıficas notadamente inconsistentes. A Teoria Atômica de Bohr prevê que haja elétrons orbitando o núcleo de um átomo sem radiar energia. No entanto, de acordo com as equa¸cões de Maxwell - que são explicitamente incorporadas na teoria de Bohr - um elétron orbitante deve radiar energia. Claramente, trata-se de uma teoria inconsistente que, ainda assim, não permite inferir que elétrons sejam bolas de gude coloridas (o que seria poss´ıvel, caso a lógica utilizada fosse clássica e, portanto, explosiva). Destarte, esta teoria exige o uso de uma lógica paraconsistente. De forma análoga, a mecânica newtoniana é inconsistente com os dados observacionais acerca do periélio de Mercúrio.

Encontramos outros exemplos também na história da matemática. As primeiras formula¸cões do cálculo de Newton e Leibniz eram inconsistentes - e isto era reconhecido na época, como mostram as cr´ıticas de Berkeley a essas teorias. Ao calcular derivadas, os infinitesimais eram considerados ora como nulos, ora como não-nulos28_.

27

[59].

28

(40)

Apesar disto, é fundamental notar que, em nenhum desses casos, as con-tradi¸cões são interpretadas como essenciais. Dito de outra forma, a princ´ıpio, é poss´ıvel exclu´ı-las dos bancos de dados; assim como rever ou rejeitar as teorias cient´ıficas inconsistentes. Não obstante, nem sempre é claro como excluir ou remodelar as informa¸cões inconsistentes. Ademais, como con-sistência não é decid´ıvel em teorias complexas, tampouco teremos a certeza de ter alcan¸cado o objetivo proposto. Portanto, nesses casos, o uso de lógica paraconsistente é altamente desejável.

Em suma, um lógico paraconsistente pode utilizar este tipo de lógica por questões práticas, por falta de uma melhor op¸cão ou, até mesmo, pelo interesse intr´ınseco de algumas teorias cient´ıficas consideradas falsas, sem considerar as informa¸cões inconsistentes verdadeiras. Nesses casos, a mo-tiva¸cão está relacionada ao primeiro sentido da palavra paraconsistência, ou seja, uma lógica paraconsistente é quase consistente.

2.2.1 Dialeteismo

Outrossim, há lógicos que defendem a existência de contradi¸cões verda-deiras; estas são chamadas de dialeteias. Esta posi¸cão é conhecida como dialeteismo. Esses termos foram criados por Priest e Routley29_.

A inspira¸c˜ao para o nome foi uma passagem deRemarks on the Foundations of Mathematics, do Wittgenstein, onde ele descreve a senten¸ca do mentiroso (...) como uma figura de Janus cujas cabe¸cas voltam-se tanto para a verdade quanto para a falsidade. Assim, uma di-aleteia ´e uma verdade de duas vias30

.

Vejamos, precisamente, o que significa dialeteia. Afirmar que há con-tradi¸cões verdadeiras significa, essencialmente, defender que há proposi¸cões α,¬α, tal que ambas são verdadeiras (e falsas). A partir da conjun¸cão, te-mos que (α ∧ ¬α) é verdadeira. Se uma proposi¸cão α tivesse apenas um

29

[57], p. xx.

30

(41)

valor de verdade, sua nega¸cão também teria apenas um valor e, pela regra da conjun¸cão, a proposi¸cão (α∧ ¬α) não poderia ser verdadeira. Portanto, defender que há contradi¸cões verdadeiras é uma consequência da cren¸ca na existência de senten¸cas tais que elas e suas respectivas nega¸cões são ambas verdadeiras (e falsas).

´

E fundamental perceber que dialeteismo é diferente de trivialismo. O primeiro afirma que algumas contradi¸cões são verdadeiras, ao passo que um trivialista defende que todas as contradi¸cões são verdadeiras ou, de forma análoga, que tudo é verdade. Boa parte das cr´ıticas ao dialeteismo incorre nessa falta de distin¸cão.

Apesar de defender a existência de contradi¸cões, uma lógica dialeteica não refuta, necessariamente, a lei de não-contradi¸cão. Basta notar que, na lógica LP, apresentada acima, esta lei é uma verdade lógica. Não obstante, odialeteismo refuta a interpreta¸cão da lei de não-contradi¸cão que afirma que é imposs´ıvel uma contradi¸cão ser verdadeira.

´

E claro que, se um lógico defende o dialeteismo, ele utilizará algum tipo de lógica paraconsistente; o inverso, porém, não é necessário. Assim, o dia-leteismo se apóia na segunda acep¸cão de paraconsistência, isto é, se propõe a ir além da consistência.

Novamente, as coisas ficam interessantes quando analisamos as motiva¸cões para o dialeteismo. Há algumas situa¸cões que indicariam a existência de dialeteias. Essas situa¸cões podem ser divididas, de forma geral, em duas categorias: reais e abstratas.

O primeiro caso envolveria a existência de contradi¸cões verdadeiras no mundo real. Por exemplo, ao sentar, há um exato momento em que estou sentado e de pé, isto é, não-sentado. Ou ainda, ao entrar em uma sala, em determinado momento, estou dentro e fora dela.

(42)

2.2.2 Paradoxos

Tome M como o nome da seguinte senten¸ca: “A senten¸ca M é falsa”. M é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, então o que ela afirma é o caso. Mas, como ela afirma que ela própria é falsa,M é falsa. Por outro lado, seM for falsa, então o que ela afirma não é o caso. Sendo assim, M é verdadeira. Ou seja, seM é verdadeira, é falsa; seM é falsa, é verdadeira. Este paradoxo é conhecido como paradoxo do Mentiroso, atribu´ıdo a Eubulides, do século IV a.C.

Vejamos outro paradoxo: alguns conjuntos são elementos de si mesmo, outros não. Assim, o conjunto das ideias abstratas é elemento de si mesmo, ao passo que o conjunto de bolas de gude não o é. Tomemos, agora, o conjunto Rdos conjuntos que não são elementos de si mesmo. Formalmente, R = {x : x /∈ x}. R pertence ou não a este conjunto? Se R é elemento de si mesmo, ele não pertence a este conjunto, pois seus elementos não são elementos de si mesmo. Por outro lado, se R não é elemento de si mesmo, ele preenche os requisitos para pertencer a R, isto é, não ser elemento de si mesmo. Destarte, se R pertence a R, R não pertence a R; e, se R não pertence a R, então ele pertence a R. Portanto, R ∈ R ⇔ R /∈ R. Este paradoxo foi formulado por Russell e, dessa forma, recebe o nome de seu autor31_.

Alguns autores dividem esses paradoxos em duas categorias: paradoxos da teoria de conjuntos e paradoxos semˆanticos. A despeito do que eles possam ter de diferentes, vejamos suas semelhan¸cas.

Todos esses casos partem de princ´ıpios aparentemente evidentes e, por meio de argumentos válidos, chegam a contradi¸cões. O que há de errado com eles? Essa pergunta foi feita durante toda a história, e várias solu¸cões foram propostas.

31

(43)

Comecemos nossa análise pela própria defini¸cão de paradoxo. Segundo Sainsbury, trata-se de “uma conclusão aparentemente inaceitável, derivada através de argumentos aparentemente aceitáveis, de premissas aparentemente aceitáveis”32_.

Há várias tentativas de resolver esses paradoxos. Fixemos-nos no para-doxo do mentiroso. De acordo com o dialeteismo, o paradoxo do mentiroso é válido, isto é, suas premissas, regras de inferências e conceitos envolvidos devem ser aceitos. Sendo assim, como o dialeteismo pode considerar o para-doxo do mentiroso como, de fato, um parapara-doxo, visto que não o resolve do modo tradicional? Ademais, o que significa resolver um paradoxo?

Segundo Armour-Garb33_{, toda solu¸c˜ao proposta implica em diagnosticar}

o paradoxo, isto é, identificar e rejeitar as premissas ou regras de inferência inválidas envolvidas na argumenta¸cão, ou realizar uma análise conceitual que evidencie um mau uso dos conceitos envolvidos que nos levou a uma conclusão inaceitável, e reformule tais conceitos. O autor segue a classifica¸cão de Schif-fer34 _{sobre os poss´ıveis diagnósticos de um paradoxo usualmente propostos:}

i)Happy-face solution

Partindo do pressuposto que as proposi¸cões envolvidas no paradoxo são mutuamente incompat´ıveis, deve-se identificar as premissas ou regras de in-ferência a serem rejeitadas; explicar por que elas devem ser rejeitadas, além de esclarecer por que fomos levados a aceitá-las.

O paradoxo do barbeiro35_{, por exemplo, recebe este tipo de solu¸c˜ao. Neste}

caso, prova-se que a existência do barbeiro é logicamente imposs´ıvel, ou seja, identifica-se a premissa a ser rejeitada.

32

[63], p. 1.

33

Cf. [2].

34

Cf. [65].

35