Contrato inflex´ıvel – termo e op¸c˜ ao
5.1 Contrato-a-termo
5.2.1 Op¸c˜ ao: lattice binomial
Nesta se¸c˜ao, apresentam-se os modelos de precifica¸c˜ao de contratos de op¸c˜ao de energia el´etrica baseados no PLD – Pre¸co de Liquida¸c˜ao das Diferen¸cas e resolvidos por meio de lattices binomiais.
A lattice binomial ´e uma t´ecnica muito ´util e popular para precificar op¸c˜ao (Hull, 1998) e representa as diferentes trajet´orias que podem ser seguidas pelo pre¸co da energia durante a vida do contrato de op¸c˜ao.
A estimativa do valor do prˆemio do contrato de op¸c˜ao ´e importante na avalia¸c˜ao de estrat´egias de negocia¸c˜ao de energia el´etrica. Assim, um dos objetivos de nossa an´alise ´e calcular o pre¸co da op¸c˜ao no in´ıcio do contrato. Com este tipo de an´alise o agente do setor el´etrico pode lidar com as incertezas do PLD e gerenciar os riscos.
Sejam:
T Per´ıodo de vencimento da op¸c˜ao n N´umero de semanas em um mˆes r Taxa de juros anual real
R Retorno do contrato livre de risco σ Volatilidade mensal do PLD
P Pre¸co no mercado de curto prazo (PLD) K Pre¸co de exerc´ıcio da op¸c˜ao (strike price)
∆t Tempo entre duas semanas do mˆes t
A lattice binomial usada para avaliar o comportamento dos pre¸cos semanais em cada mˆes contratual t, onde t = 1, 2, . . . , T, ´e constru´ıda da mesma forma que a do
contrato-a-termo, apresentada aqui pela lattice binomial gen´erica representada pela Figura 5.23. A equa¸c˜ao 5.34 ´e utilizada para calcular a evolu¸c˜ao dos pre¸cos.
P¯T
Figura 5.23: Evolu¸c˜ao semanal do PLD paraT meses
O valor esperado do prˆemio da op¸c˜ao ´e obtido com a an´alise de tr´as para frente, um passo por vez, conforme apresenta a Figura 5.24.
F2
Figura 5.24: Valor da op¸c˜ao no mˆes t
Nos n´os intermedi´arios desta lattice s˜ao apresentados os valores esperados do pre¸co da op¸c˜ao e no n´o inicial, o valor da op¸c˜ao de compra. Se o contrato de op¸c˜ao tiver a dura¸c˜ao de 1 ano, o vendedor deve efetuar a soma do valor da op¸c˜ao em cada mˆes, descontada a uma taxa de desconto. E cobrar como prˆemio um valor superior ao encontrado.
O benef´ıcio esperado do contrato de op¸c˜ao de cada mˆes contratual t corresponde ao prˆemio pago por adquirir o direito de exerc´ıcio, conforme apresenta a Figura 5.25:
A op¸c˜ao de venda ´e exercida, no final de cada mˆes contratual, se o pre¸co de exerc´ıcio K for maior do que o valor do PLD. As equa¸c˜oes 5.62 a 5.66 apresentam os benef´ıcios obtidos pelo vendedor com a venda de energia el´etrica devido a queda do PLD (abaixo do pre¸co de
B2
Figura 5.25: Benef´ıcio da op¸c˜ao no mˆest exerc´ıcio). A op¸c˜ao de venda ´e exercida pelo pre¸co de exerc´ıcio K se o benef´ıcio for maior do que zero. Caso contr´ario, n˜ao exerce a op¸c˜ao.
Ftu4t =K, se Btu4t >0 (5.67) Ftu2t =K, se Btu2t >0 (5.68) Ft=K, se Bt>0 (5.69) Ftd2t =K, se Btd2t >0 (5.70) Ftd4t =K, se Btd4t >0 (5.71)
J´a, no caso de uma op¸c˜ao de compra, o benef´ıcio da op¸c˜ao ´e calculado como:
Btu4t = max ( ¯Ptu4t −K,0) (5.72) Btu2t = max ( ¯Ptu2t −K,0) (5.73)
Bt = max ( ¯Pt−K,0) (5.74)
Btd2t = max ( ¯Ptd2t −K,0) (5.75) Btd4t = max( ¯Ptd4t −K,0) (5.76) e a op¸c˜ao de compra ´e exercida pelo pre¸co de exerc´ıcioK se o benef´ıcio for maior do que zero. Caso contr´ario, n˜ao exerce a op¸c˜ao.
Ftu4t =K, se Btu4t >0 (5.77) Ftu2t =K, se Btu2t >0 (5.78) Ft=K, se Bt>0 (5.79) Ftd2t =K, se Btd2t >0 (5.80) Ftd4t =K, se Btd4t >0 (5.81) Trabalhamos de maneira retroativa, um per´ıodo por vez, at´e encontrarmos o valor inicial.
Assim, o pre¸co da op¸c˜ao, nas semanas intermedi´arias, ´e calculado da mesma maneira tanto para a op¸c˜ao de venda como para a de compra:
Btu3t = (qtBtu4t + (1−qt)Btu2t)/R (5.82) Btut= (qtBtu2t + (1−qt)Bt)/R (5.83) Btdt= (qtBt+ (1−qt)Btd2t)/R (5.84) Btd3t = (qtBtd2t + (1−qt)Btd4t)/R (5.85) O pre¸co esperado da op¸c˜ao, nas semanas intermedi´arias, ´e calculado da mesma maneira
tanto para a op¸c˜ao de venda como para a de compra:
Ftu3t = (qtFtu)t4+ (1−qt)Ftu2t)/R (5.86) Ftut = (qtFtu2t + (1−qt)Ft)/R (5.87) Ftdt = (qtFt+ (1−qt)Ftd2t)/R (5.88) Ftd3t = (qFtd2t + (1−qt)Ftd4t)/R (5.89) e assim sucessivamente para as semanas anteriores.
Desta forma, o valor esperado do prˆemio no mˆes t´e obtido no n´o inicial:
Bt= 1
R[qtBtut+ (1−qt)Btdt)] (5.90) e o pre¸co esperado da op¸c˜ao no mˆest tamb´em ´e obtido no n´o inicial:
Ft= 1
R[qtFtut+ (1−qt)Ftdt] (5.91) Cabe assinalar queq ´e probabilidade livre de risco (Luenberger, 1998), dada por:
qt= R−dt ut−dt
(5.92) que ´e valida desde que dt ≤R≤ut.
Logo, o valor da op¸c˜ao de venda, em R$/MWh, ´e calculado como:
F putt =Ft−Bt (5.93)
e o valor da op¸c˜ao de compra, em R$/MWh, ´e calculado como:
F callt=Ft+Bt (5.94)
5.2.2 Estudos de caso
Nesta se¸c˜ao, apresenta-se a aplica¸c˜ao do m´etodo de lattices binomiais para precifica¸c˜ao de contratos de op¸c˜ao, descritos na se¸c˜ao 5.2.1, baseado em cen´arios de PLD do setor el´etrico brasileiro.
Em todos os casos estudados nesta se¸c˜ao, considera-se um horizonte de contrata¸c˜ao de 12 meses, referente ao submercado Sudeste para os anos de 2006 a 2008.
Considerando o PLD inicial mensal como sendo o PLD mensal m´edio previsto dos anos de 2006 a 2008, apresentado no Apˆendice C pelas Tabelas C.1 a C.3, existe a possibilidade de subida e descida dos pre¸cos. As varia¸c˜oes do PLD s˜ao dadas como semanais, obtendo um total de quatro varia¸c˜oes dentro de um mˆes. Considerando as possibilidades de alta e baixa do PLD dentro de um modelo binomial, em cada mˆes, h´a cinco trajet´orias que o pre¸co pode seguir. As diferentes trajet´orias seguidas pelo PLD, no mˆes de 2006 a 2008, s˜ao apresentadas nas Figuras 5.26 a 5.28.
35,74
Figura 5.26: Varia¸c˜oes semanais do PLD em 2006
47,42
Figura 5.27: Varia¸c˜oes semanais do PLD em 2007
299,47
267,41 335,37
299,47 375,58
238,78 420,60
335,37
267,41
213,22
471,03
375,58
299,47
238,78
190,39
Figura 5.28: Varia¸c˜oes semanais do PLD em 2008
As varia¸c˜oes do PLD para meses seguintes dos anos considerados, s˜ao obtidas de forma semelhante, conforme apresentado na Se¸c˜ao 5.2.1.
Utilizando os pre¸cos futuros resultantes das varia¸c˜oes do PLD, alguns modelos de pre-cifica¸c˜ao de op¸c˜oes s˜ao analisados. O primeiro modelo consiste na prepre-cifica¸c˜ao de op¸c˜ao de compra. J´a, o segundo consiste na precifica¸c˜ao de op¸c˜ao de venda. Em todos os estudos de caso, o horizonte de contrata¸c˜ao considerado corresponde ao per´ıodo de um ano.