Como vimos, um tipo de operador que age em nosso espaço L2 são operadores
diferenciais. Da forma mais geral possível, um operador diferencial linear, agindo no espaço das funções de quadrado integrável tem a forma tem a forma
^ L = a0(x) + a1(x) d dx + a2(x) d2 dx2+ ::: = m X n=0 an(x) dn dxn (56)
onde m é chamado a ordem do operador. Estes operadores são lineares ^
L (c1 1+ c2 2) = c1L ^ 1+ c2L ^ 2 ; c1; c22 C
se exigirmos que ^L i2 L2.
Obviamente nem todas as funções em L2possuem sua derivada de ordem m
em L2, além disso, como vimos no exemplo anterior, condições de contorno (ou
considerações físicas) podem impor certas restrições nas funções nas fronteiras, i.e., …xar o valor de (a) e (b). Assim, geralmente, um operador não atua em todo L2, mas sim num subconjunto D (L) L2.
Remark 27 Para especi…carmos um operador ^L devemos sempre informar sua expressão diferencial (56) e seu domínio de atuação.
Uma equação diferencia linear tem a forma ^
L = f (x) : O caso com f 0 é chamado de equação homogênea.
Pela condição de linearidade, vemos que, se 1e 2são soluções da equação
homogênea para o operador ^L então qualquer combinação c1 1+ c2 2também
será solução da equação homogênea de ^L. De forma mais geral, uma combinação arbitrária de soluções da equação homogênea também é uma solução. Este é o princípio da superposição.
O hermitiano conjugado de um operador ^L, chamado de ^L+, é de…nido
através do produto interno e através da expressão (??) h 2j ^L+j 1i = h 1j ^L j 2i ;
ou seja, dado um operador ^L de…nimos o seu conjugado pela expressão Z b a [L+ 1(x)] 2(x) dx Z b a 1 (x)hL ^ 2(x) i dx : Exemplo: Se ^ L = d dx
e D (L) são as funções 2 L2(a; b) com 0 2 L2 e (a) = (b) = 0 encontre
^
L+. Este é o mesmo exemplo que resolvemos acima. Pela de…nição temos
h 1j ^L j 2i = Z b a 1 (x)hL ^ 2(x) i dx = Z b a 1 (x) d dx 2(x) dx se nossas funções são absolutamente contínuas, i.e., podem ser integradas por partes, temos Z b a 1 (x) d dx 2(x) dx = [ 1(x) 2(x)] b a Z b a d dx 1(x) [ 2(x)] dx = Z b a d dx 1(x) [ 2(x)] dx = Z b a h ^ L+ 1(x) i 2(x) dx assim ^ L+= d dx
Esta é a forma diferencial de ^L+. Para de…nirmos completamente este operador
precisamos ainda especi…car D (L+). Exemplo: O operador
^
Novamente h 2j ^L+j 1i = Z b a h ^ L+ 1(x) i 2(x) dx h 1j ^L j 2i = Z b a 1(x) [c 2(x)] dx = Z b a [c 1(x)] 2(x) dx = Z b a h ^ L+ 1(x) i 2(x) dx ; assim ^ L+= c :
A princípio o domínio de ^L+pode ser todos o espaço L2(e, é claro, a restrição
^
L+ 2 L2). Entretanto, podemos impor certas característica no operador ^L
(e.g., hermiticidade) que, para serem mantidas, restringem também o domínio de ^L+.
Exemplo: Como vimos anteriormente, o operador ^
L = i d
dx ; D ^L = ;
02 L2(a; b) ; (a) = (b) = 0; a:c:
é hermitiano, mas não é auto-adjunto. Pois
D ^L+ = f; f02 L2(a; b) ; a:c: 6= D ^L : Vamos agora de…nir o operador
^ Lc= i
d
dx ; D ^Lc = ;
02 L2(a; b) ; a:c: ; (a) = c (b)
; c 2 C Usando o procedimento usual temos
h 1j ^Lc 2 E = [ 1(x) 2(x)]ba+ D ^ L 1 2i = 1(b) 2(b) 1(a) 2(a) + D ^ L 1 2i = [ 1(b) c 1(a)] 2(b) + D ^ L 1 2i 6=DL^c 1 2i
Para tentar simetrizar este operador, vamos tentar de…nir o domínio de D ^L+
como
com isso, h 1j ^L 2 E = [ 1(b) c 1(a)] 2(b) + D ^ L 1 2i = [ 1(b) cc 1(b)] 2(b) + D ^ L 1 2i = [1 cc ] 1(b) 2(b) + D ^ L 1 2i =h1 jcj2i 1(b) 2(b) + D ^ L 1 2i
Vemos então que nosso operador será simétrico se (e somente se) jcj2= 1 =) c = ei ; 2 R :
ou seja, se de…nirmos o operador ^
L = i d
dx ; D ^L = ;
0 2 L2(a; b) ; a:c: ; (a) = ei (b) ;
2 R : Assim, o novo operador ^L , diferente de ^L, é um operador auto-adjunto.
A fase , apesar de não possuir um análogo clássico (i.e., não é possível especi…car esta fase apenas olhando o sistema clássico), pode in‡uenciar nos resultados esperados (e.g., níveis de energia) para certos potenciais. Assim, para estes potenciais esta fase pode ser determinada experimentalmente através da medido do espectro de energia do sistema.
Dos exemplos acima vemos que, no primeiro caso o D ^L+ é maior que
o D ^L , D ^L+ D ^L , enquanto no segundo caso D ^L+ = D ^L . É possível provar que D ^L D ^L+ , i.e., o domínio de ^L nunca é maior que
o domínio de ^L+. O que …zemos no segundo exemplo foi restringir o domínio
de ^L+, que chamamos de D ^L+ . Obviamente D L+ D (L+). Assim,
se D (L+) 6= D (L), como no primeiro exemplo, as vezes (mais nem sempre)
é possível reduzir o domínio do adjunto de forma que o novo operador seja auto-adjunto.
Vemos assim que todo operador auto-adjunto é, por de…nição, hermitiano, mas o contrário não é verdade. Esta diferença, que a primeira vista parece uma tecnicalidade, possui importantes conseqüências tanto matemáticas quanto físicas.
7
Postulados da Mecânica Quântica
A MQ pode ser construída através de algumas regras ou postulados. Como um primeiro postulado temos:
Remark 28 O estado de um sistema físico é completamente descrito por um vetor (normalizado) no espaço de Hilbert
j i 2 H :
E vetores que di…ram apenas por uma fase representam o mesmo estado físico. Sabendo-se agora qual vetor representa o sistema, sabemos todas as caracterís- ticas físicas deste sistema.
Neste momento não podemos falar muito sobre este postulado, mas voltare- mos a isso no futuro. Contudo, precisamos começar por ele uma vez que todo o desenvolvimento depende desta associação.
Uma vez preparado um sistema no laboratório, este sistema “será”um vetor no espaço de Hilbert. Precisamos agora saber como descrever (dentro da teoria) a manipulação, a evolução temporal e as possíveis medidas que fazemos neste sistema.
Quando um sistema no estado j i sofre qualquer tipo de modi…cação ele passa a ser descrito por um novo vetor j 0i. Ou seja (qualquer) modi…cações
no sistema são transições
j i ! j 0i
Estas transições podem ser descritas por operadores agindo em H, j 0i = ^M j i
Assim, tudo que acontece com o sistema pode ser representado por um operador agindo emH.
Um tipo muito especial destes operadores são exatamente as medidas que podemos fazer no sistema (e.g., sua energia), ou seja, tudo o que podemos observardo sistema. Estas quantidades são chamadas de observáveis.
Outro postulado da MQ a…rma que :
Remark 29 A todas quantidades clássicas mensuráveis (e.g., H) estão associ- ados operadores auto-adjuntos ( ^H) agindo nos vetores de H: H ! ^H .
Para sistemas de dimensão …nita podemos de…nir os observáveis como operadores hermitianos. Assim, na maior parte do que segue pense neste observáveis como matrizes simétricas.
Para entendermos melhor este postulado, precisamos ainda de um terceiro postulado.
(Valores são auto-valores)
Se ^M é um operador (hermitiano) relacionado com um observável m (i.e., m é o valor que o aparelho que mede esta quantidade pode marcar), e se no laboratório efetuarmos uma medida deste observável os únicos valores pos- síveis de se obter são os auto-valores do operador ^M (ou seja, o valor m marcado no aparelho é necessáriamente um autovalor de ^M ). Ou seja:
Remark 30 Uma medida do observável ^M pode fornecer apenas autovalores deste operador e, logo após uma medida em que se obteve o valor mn o sistema
estará no estado j ni.
Assim, se ^H é o operador que representa a energia do sistema, sabemos que este operador possui uma série de auto-vetores e auto-valores.
^
H j ni = Enj ni
O que o postulado acima sobre os autovalores nos diz é que, numa medida da energia do sistema, podemos obter apenas um dos valores En acima.
7.1
Interpretação probabilística
Problem 31 Mas qual é a física por trás de toda esta descrição matemática? Esta física está descrita pela chamada interpretação probabilística. A qual a…rma que:
Se um sistema se encontra num determinado estado, dado por um vetor j i, a probabilidade de que este sistema seja encontrado num estado j i é dado por:
jh j ij2= ( PN i=1 i i ; j i ; j i 2 RN Rb a (x) (x) dx ; j i ; j i 2 L 2(a; b) :
Problem 32 Mas o que signi…ca o sistema estar num estado e ser encontrado em outro?
Este é o ponto principal de tudo que …zemos até aqui e a maior diferença entre a teoria clássica e quântica. Lembre-se que um operador hermitiano ^H possui um conjunto de autovetores e autovalores reais
^
H j ni = Enj ni ; En2 R :
Além disso, o conjunto de seus auto-vetores formam uma base do espaçoH. Isso signi…ca que qualquer vetor j i pode ser escrito como
j i =
N
X
i=1
cnj ni ; cn2 C :
Podemos também fazer a a…rmação inversa e dizer que a todo vetor temos associado um estado físico. Assim, por exemplo, imagine que o sistema está num estado j i cuja decomposição é dada por
j i = c1j 1i + c2j 2i
Problem 33 Qual a energia deste estado?
Pelo postulado sobre a medida e os autovalores, sabemos que, numa medida da energia do sistema, podemos obter apenas os valores En. Isso é geral. Para
sabermos o que iremos obter numa medida do estado j i acima, lembramos que, logo após uma medida, o sistema se encontra no auto-estado do auto-valor correspondente. Assim, podemos fazer a pergunta: qual a probabilidade P (E1) de, numa medida da energia, obtermos o valor E1. Neste
caso, logo após a medida, o sistema se encontrará no estado (observe que a medida modi…cou o sistema9) j 1i. Assim, pela interpretação probabilística, a
resposta a nossa pergunta vale:
P (E1) = jh 1j ij2 :
Para cálcular efetivamente este valor, lembramos que os auto-estados de um operador hermitiano são ortogonais (i.e., eles formam uma base ortonormal)
h 1j i = h 1j (c1j 1i + c2j 2i)
= c1
e a quantidade procurada vale
P (E1) = jh 1j ij2= jc1j2 :
Assim, o módulo quadrado do coe…ciente da expansão de um vetor numa certa base de um observável é a probabilidade de se obter o autovalor corre- spondente na medida deste observável.
Da mesma forma a quantidade
h 2j ^A j 1i 2
(57) (i.e., o módulo quadrado do produto interno de dois vetores no espaço de Hilbert), deve ser interpretado como a probabilidade de um sistema que se encontrava inicialmente no estado j 1i, mudar para o estado …nal j 1i após a
ação do operador ^A.
Remark 34 Um ponto importante é que esta descrição probabilística não é uma ignorância nossa sobre o sistema (como ocorre na teoria clássica), mas uma característica intrínseca do sistema. Por exemplo, classica- mente você pode produzir uma partícula e, por uma ignorância no processo de construção, você não sabe exatamente qual a energia desta partícula. Assim, usando uma certa descrição clássica (por exemplo, usando o ferramental da mecânica estatística) você é capaz de fazer uma previsão desta energia e calcu- lar qual a probabilidade da partícula ter energia E1. Mas então você faz uma
9Dizemos assim que o sistema que estava numa superposição de ondas (ou num pacote de ondas) colapsou para uma das ondas do pacote. Este efeito é chamado de colapso da função de onda.
medida da energia e obtém (porque é tudo uma probabilidade) uma energia E2.
Suponha agora que você seja capaz de produzir com este mesmo equipamento, exatamente sobre as mesmas condições (o que é possível em teoria), uma segunda partícula idêntica a primeira (ou você construiu dois equipamentos exatamente iguais). Neste caso, dentro das condições ideais colocadas, pelo re- sultado da primeira partícula você sabe que, para esta segunda, P (E1) = 0 e
que, numa medida da energia, você obterá certamente o valor E2. Quantica-
mente isso não é necessariamente verdade. Se você produzir duas partículas idênticas no estado j i acima (e isso é possível!) e efetuar uma medida da energia destas duas partículas você poderá obter valores diferentes com probabil- idade P (E1) = jc1j2 e P (E2) = jc2j2.
Remark 35 Outro ponto a se notar é que sob certas condições (como vimos no átomo de Bohr) observáveis como energia podem assumir apenas valores discretos. Não existe nenhum análogo clássico para este comportamento.