3.2 A C´ opula Bi-extremal
3.2.2 C´ opula Condicional A LTDC
C´opulas condicionais s˜ao ´uteis quando temos acesso a um vetor de co-vari´aveis que tem informa¸c˜oes sobre a estrutura de dependˆencia das vari´aveis de interesse e tˆem im- portantes aplica¸c˜oes, quando somos obrigados a estimar as distribui¸c˜oes condicionais ou incondicionais de dados.
´
E interessante estudar a estrutura de dependˆencia da c´opula nas regi˜oes superior ou inferior, ou seja, pr´oximo `a regi˜ao limite (1, 1) ou (0, 0). Este fato torna-se interessante, pois, em muitos casos, esta estrutura limite ´e completamente diferente do todo. Visando a um melhor entendimento sobre esta estrutura, Charpentier introduziu o conceito da LTDC (the lower tail dependence copula) [5], que nada mais ´e do que a c´opula condicional de (U, V ) dada a ocorrˆencia de (U ≤ u, V ≤ v). Al´em desta nova c´opula que reflete a estrutura de dependˆencia condicional, tamb´em podemos estudar o limite desta distribu¸c˜ao quando u e v tende a 1 ou 0, o que permite conhecer exatamente o comportamento das caudas.
Seja (U, V ) o vetor aleat´orio em [0, 1]2 com fun¸c˜ao distribui¸c˜ao C e definido para todo
(u, v) ∈ [0, 1]2 o evento Ξ = {U ≤ u} ∩ {V ≤ v}. A distribui¸c˜ao condicional de (U, V )
dado Ξ, FC|Ξ ´e dada por
FC|Ξ(x, y) = P (U ≤ x, V ≤ y|Ξ) =
C(x, y)
3.2 A C´opula Bi-extremal 50
As distribui¸c˜oes marginais s˜ao dadas por
FU |Ξ(x) = FC|Ξ(x, v) = C(x, v) C(u, v) (3.39) FV |Ξ(y) = FC|Ξ(u, y) = C(u, y) C(u, v). (3.40)
A LTDC, referente a C, denotada por ΦC|Ξ, ´e:
ΦC|Ξ(z, w) = FC|Ξ(FU |Ξ−1(z), FV |Ξ−1(w)) =
C(FU |Ξ−1(z), FV |Ξ−1(w))
C(u, v) . (3.41)
A defini¸c˜ao acima ´e de extrema importˆancia, pois possibilita encontrar o comportamento limite da estrutura de dependˆencia entre as vari´aveis. Para o caso da bi-extremal, esta defini¸c˜ao torna-se ainda mais interessante, visto que ir´a possibilitar entender o compor- tamento dos valores extremos.
Teorema 3.7 A LTDC para c´opula bi-extremal ´e dada por
ΦC|Ξ(z, w) =
(
zw , FV |Ξ−1(w)) ≤ FU |Ξ−1(z)(1 − log(FU |Ξ−1(z)))
z , FV |Ξ−1(w)) > FU |Ξ−1(z)(1 − log(FU |Ξ−1(z))) . (3.42)
Prova:
(i) Quando v ≤ u(1 − log(u)):
FC|Ξ(x, y) = C(x, y) C(u, v) = y + ψ(y) log(x) v + ψ(v) log(u) , y ≤ x(1 − log(x)) x v + ψ(v) log(u) , y > x(1 − log(x)) . (3.43) FU |Ξ(x) = FC|Ξ(x, v) = v + ψ(v) log(x) v + ψ(v) log(u) , v ≤ x(1 − log(x)) x v + ψ(v) log(u) , v > x(1 − log(x)) . (3.44) FV |Ξ(y) = FC|Ξ(u, y) = y + ψ(y) log(u)
v + ψ(v) log(u) , y ≤ u(1 − log(u)) u
v + ψ(v) log(u) , y > u(1 − log(u))
. (3.45)
Vamos calcular as inversas relativas `as distribui¸c˜oes marginais de U e V , isto ´e, FU |Ξ−1 e FV |Ξ−1.
3.2 A C´opula Bi-extremal 51 (3.44), tem-se que z = FU |Ξ(x) ⇒ x = FU |Ξ−1(z) ⇒ exp z(v + ψ(v) log(u)) − v ψ(v) = x. (3.46) A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FV |Ξ−1 em (3.45), tem-se que
w = FV |Ξ(y) ⇒ y = FV |Ξ−1(w) (3.47)
w = y + ψ(y) log(u)
v + ψ(v) log(u) ⇔ (v + ψ(v) log(u))w = y + ψ(y) log(u) (3.48) Substituindo (3.46) e (3.48) em (3.43), tem-se: ΦC|Ξ(z, w) = FC|Ξ(FU |Ξ−1(z), FV |Ξ−1(w)) = y + ψ(y) log exp{z(v+ψ(v) log(u))−vψ(v) } v + ψ(v) log(u) = h v + ψ(v)z(v+ψ(v) log(u))−ψ(v)vψ(v) i w v + ψ(v) log(u) = (ψ(v)v + ψ(v)[zv + zψ(v) log(u)] − ψ(v)v) w ψ(v) v + ψ(v) log(u) = (ψ(v)zv + zψ(v) 2log(u)]) w ψ(v) v + ψ(v) log(u) = (zv + zψ(v) log(u)])w v + ψ(v) log(u) = (v + ψ(v) log(u)])zw v + ψ(v) log(u) = zw.
Portanto, a LTDC da c´opula bi-extremal ´e a c´opula produto quando y ≤ x(1 − log x). Logo, para todo par bivariado (u, v) dado, a LTDC ´e a c´opula produto, o que caracteriza que condicionalmente as vari´aveis s˜ao independentes.
b. Seja y > x(1 − log(x)). A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FU |Ξ−1 em (3.44), tem-se que
z = FU |Ξ(x) =
x
v + ψ(v) log(u) ⇔ x = z(v + ψ(v) log(u)).
3.2 A C´opula Bi-extremal 52
A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FV |Ξ−1 em (3.45), tem-se que
w = FV |Ξ(y) = u v + ψ(v) log(u). Da´ı, ΦC|Ξ(z, w) = z(v + ψ(v) log(u)) v + ψ(v) log(u) = z.
Portanto, a LTDC da c´opula bi-extremal ´e o m´aximo quando y > x(1 − log x). Logo, para todo par bivariado (u, v) dado, a LTDC ´e a c´opula de dependˆencia positiva perfeita, isto ´e min{z, w} = z, o que caracteriza que condicionalmente, no limite, o m´aximo e o segundo maior n˜ao s˜ao diferenciados por ordem. (ii) Quando v > u(1 − log(u)).
FC|Ξ(x, y) = C(x, y) C(u, v) = y + ψ(y) log(x) u , y ≤ x(1 − log(x)) x u , y > x(1 − log(x)) . (3.49) FU |Ξ(x) = FC|Ξ(x, v) = x u (3.50) FV |Ξ(y) = FC|Ξ(u, y) = y + ψ(y) log(u) u , y ≤ u(1 − log(u)) 1 , y > u(1 − log(u)) . (3.51)
Vamos calcular as inversas relativas `as distribui¸c˜oes marginais de U e V , isto ´e, FU |Ξ−1 e FV |Ξ−1.
a. Seja y ≤ x(1 − log(x)). A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FU |Ξ−1 em (3.50), tem-se que
z = FU |Ξ(x) ⇒ x = FU |Ξ−1(z) ⇒ x = uz. (3.52)
A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FV |Ξ−1 em (3.51), tem-se que
w = FV |Ξ(y) ⇒ y = FV |Ξ−1(w) (3.53)
w = y + ψ(y) log(u)
u ⇔ uw = y + ψ(y) log(u) (3.54)
3.2 A C´opula Bi-extremal 53
que, por defini¸c˜ao, est´a contido no intervalo [0, u], portanto:
xw = y + ψ(y) log(x), ∀ x ∈ [0, u] (3.55) Substituindo (3.52) e (3.55) em (3.49), tem-se: ΦC|Ξ(z, w) = FC|Ξ(FU |Ξ−1(z), FV |Ξ−1(w)) = y + ψ(y) log(x) u = xw u = zuw u = zw.
Portanto, a LTDC da c´opula bi-extremal tamb´em ´e a c´opula produto quando y ≤ x(1 − log x).
b. Seja y > x(1 − log(x)). A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FU |Ξ−1 em (3.50), tem-se que
z = FU |Ξ(x) ⇔ x = FU |Ξ−1(z) (3.56)
z = x
u ⇔ x = zu (3.57)
A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional FV |Ξ−1 em (3.51), tem-se que
w = FV |Ξ(y) ⇔ y = FV |Ξ−1(w) (3.58) w = 1 ⇔ y = 1 (3.59) Da´ı, ΦC|Ξ(z, w) = x u = zu u = z.
Portanto, a LTDC da c´opula bi-extremal tamb´em ´e a c´opula de dependˆencia positiva perfeita quando y > x(1 − log x).
Na se¸c˜ao 2.2 foi introduzido o conceito do coeficiente de cauda inferior. Charpentier fez um exemplo interessante onde o coeficiente de cauda inferior ´e igual a zero, por´em, assintoticamente, com uma estrutura para a LTDC [5]. Isto ´e, se λL= 0 ent˜ao X e Y s˜ao
3.2 A C´opula Bi-extremal 54
independentes. Mas n˜ao ´e verdade que λL(C) = 0 ⇒ lim
u,v→0Φ(C, u, v)(x, y) = C⊥.
Consequentemente, X e Y podem ter independˆencia de cauda inferior, por´em (X, Y )|X > x, Y > y n˜ao s˜ao assintoticamente independentes, quando x, y → ∞.
Exemplo 3.2.1 Considere a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao abaixo, H(x, y) = (x + y) log(x + y) − x log x − y log y
2 log 2 , x, y ∈ (0, 1]. Ent˜ao a c´opula C associada ´e a c´opula invariante na diagonal, isto ´e
lim
u→0Φ(C, u, u)(x, y) = C(x, y).
Por outro lado,
λL= lim u→0 C(u, u) u = limu→0 H−1(u) u = 0.
Dessa forma e levando-se em conta o Teorema encontrado em [28], onde foi provado que a c´opula das K-maiores estat´ısticas de ordem, quando padronizadas por constantes afins, converge em distribui¸c˜ao para a c´opula K-extremal, surge uma grande oportunidade na utiliza¸c˜ao desse resultado para a constru¸c˜ao de testes estat´ısticos que verifiquem se valores observados de uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. s˜ao de fato independentes.
55
4
Conclus˜oes e Trabalhos Futuros
Este trabalho apresentou um estudo te´orico acerca da teoria de c´opulas e teoria dos valores extremos com o objetivo de estudar o comportamento da dependˆencia entre os dois maiores eventos. Ou seja, estudar a estrutura de dependˆencia para as duas maiores estat´ısticas de ordem (entre o m´aximo e a segunda maior). Como motiva¸c˜ao para o desen- volvimento e a reprodu¸c˜ao de todos os resultados apresentados nesta monografia tem-se a necessidade crescente de conhecer o comportamento de eventos extremos e, sobretudo, as propriedades associadas `a esses.
O cap´ıtulo 2 foi dedicada aos principais t´opicos da teoria de c´opulas, tais como o Teo- rema 2.1, algumas medidas de associa¸c˜ao; segundo Jogdeo, rela¸c˜oes de dependˆencia entre as vari´aveis aleat´orias ´e um dos temas mais estudados em probabilidade e estat´ıstica. A natureza da dependˆencia pode tomar uma variedade de formas e, a menos que al- guns pressupostos espec´ıficos s˜ao feitos sobre a dependˆencia, nenhum modelo estat´ıstico significativo pode ser contemplado [30]. Foram abordadas, tamb´em, c´opulas importan- tes e fam´ılias de c´opulas, que s˜ao muito utilizadas em problemas pr´aticos, tais como os apresentados na se¸c˜ao 2.4.
O cap´ıtulo 3 apresentou resultados importantes da teoria dos valores extremos, que foram essenciais para obten¸c˜ao da c´opula bi-extremal, que ´e reproduzida e demonstrada na se¸c˜ao 3.2. E tem como principal resultado, o desenvolvimento alg´ebrico da LTDC para a c´opula bi-extremal. Com a prova do Teorema 3.7, fica claro que, para o caso bivariado, as duas maiores estat´ısticas de ordem de uma determinada sequˆencia de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas i.i.d. padronizadas por constantes afins s˜ao independentes quando a imagem da vari´avel geradora do processo converge para +∞ ou −∞. O que ´e um resultado n˜ao intuitivo levando em considera¸c˜ao a rela¸c˜ao de dependˆencia que existe entre as duas maiores estat´ısticas de ordem.
Sanfins, em sua tese, gerou diversas simula¸c˜oes de processos fracamente estacion´arios e verificou que a estrutura de dependˆencia das K-maiores estat´ısticas de ordem desses
4 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros 56
processos fracamente independentes eram diferentes da c´opula K-extremal [29]. Os auto- res tˆem como objetivo futuro formular esse teste e gerar simula¸c˜oes que possam comprovar sua efic´acia. Dependendo do poder desse teste, no qual o mesmo consiga evidenciar que somente a c´opula bi-extremal ´e a capaz de ajustar a estrutura de dependˆencia das duas maiores estat´ısticas de ordem padronizadas por constantes afins, isso implicar´a que o pro- cesso gerador de tais vari´aveis ´e i.i.d.. Com a constru¸c˜ao desse teste e com resultado obtido com a LTDC para a bi-extremal, teremos uma poderosa ferramenta para inferir sobre eventos extremos e sua dependˆencia com rela¸c˜ao a ocorrˆencia, pois, se de fato ficar provado que a estrutura de dependˆencia para as duas maiores estat´ısticas de ordem for a c´opula bi-extremal, ent˜ao a ocorrˆencia de um valor extremo n˜ao implicar´a, por exemplo, na ocorrˆencia da segunda maior observa¸c˜ao extrema.
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