Estudo de dependência de extremos via teoria de cópulas

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Daiane Martins Grugel

Estudo de Dependˆ

encia de Extremos via

Teoria de C´

opulas

Niter´oi - RJ, Brasil abril de 2015

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Universidade Federal Fluminense

Daiane Martins Grugel

Estudo de Dependˆ

encia de Extremos

via Teoria de C´

opulas

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Marco Aur´elio Sanfins

Niter´oi - RJ, Brasil abril de 2015

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Universidade Federal Fluminense

Daiane Martins Grugel

Estudo de Dependˆ

encia de Extremos via

Teoria de C´

opulas

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Estudo de Dependência de Extremos via Teoria de Cópulas”, defendida por Daiane Martins Grugel e aprovada em abril de 2015, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Marco Aur´elio Sanfins Orientador Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Valentin Sisko Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dra. Kelly Cristina Mota Gon¸calves Departamento de Estat´ıstica – UFF

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M539 Grugel, Daiane Martins

Estudo de dependência de extremos via teoria de cópulas /

Daiane Martins Grugel; Marco Aurélio dos Santos Sanfins, orientador. Niterói, 2014.

63 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatísticaa ) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2014.

1. Cópulas. 2. Teoria dos valores extremos. 3. Cópula bi-extremal. 4. Estrutura de dependência. I. Sanfins, Marco Aurélio dos Santos, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

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Resumo

A maior parte das pesquisas investiga a ocorrência de extremos apenas com rela¸cão à maior estat´ıstica de ordem, todavia, verifica-se que a segunda maior observa¸cão também se caracteriza como um evento extremo, principalmente em per´ıodos em que existe aumento da frequência de ocorrência dessas observa¸cões. Este trabalho consiste em estudar a teoria de cópulas – e algumas aplica¸cões em exemplos práticos – e a teoria dos valores extremos, sobretudo, o comportamento da dependência entre os dois maiores eventos, mais especificamente, capturar a rela¸cão de dependência não-linear entre as variáveis, utilizando o conceito de cópulas. Ou seja, estudar a estrutura de dependência para as duas maiores estat´ısticas de ordem (entre o máximo e a segunda maior). Além da apresenta¸cão do desenvolvimento algébrico da LTDC para a cópula bi-extremal, mostrou-se que para o caso bivariado as duas maiores estat´ısticas de ordem de uma determinada sequência de variáveis aleatórias cont´ınuas i.i.d. padronizadas por constantes afins são independentes quando a imagem da variável geradora do processo converge.

Palavras-chaves: Cópulas, Teoria dos Valores Extremos, Cópula bi-extremal, Estrutura de Dependência.

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Abstract

The majority of studies investigating the occurrence of extreme solely to the greater statistical order, however, it appears that the second largest observation is also charac-terized as an extreme event, especially at times when there is increased frequency of occurrence of these observations. This work is to study the copulas theory - and some applications in practical examples - and the theory of extreme values, above all, the beha-vior of the dependence between the two major events, more specifically, to capture the non-linear dependence between the variables using the concept of copula. That is, study the dependence structure for the two largest order statistics (between the maximum and the second largest). Besides the presentation of the algebraic development of LTDC for Bi-extremal copula, it was shown that for the bivariate case the two largest order statistics of a certain sequence of continuous random variables i.i.d. standardized by constant like are independent when the image generating process variable converges.

Keywords: Copulas, Theory of Extreme Value, bi-extremal Copula, Dependency Structure

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Dedicat´

oria

A Deus, que se mostrou criador, que foi criativo. Seu fˆolego de vida em mim me foi sustento e me deu coragem para questionar realidades e propor sempre um novo mundo de possibilidades.

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Agradecimentos

Agrade¸co, primeiramente, a Deus, que me concedeu a vida e as gra¸cas de concluir esta gradua¸c˜ao.

Aos meus pais que sempre acreditaram no meu potencial, me apoiaram, mesmo na dificuldade. Eles deram toda a base da minha educa¸cão e tudo que foi necessário para concluir mais essa fase dos meus estudos, seja material ou imaterial. A toda minha fam´ılia, minha cunhada Adriana, meu irmão Dyone, meus primos(as), tios(as) e todos aqueles que torceram por mim. E aos amigos da fam´ılia, os “Zé’s” da minha vida - rs, Zé Para´ıba, que me mostrou como é interessante analisar o lado simples da vida, e Zé Antônio, que me falou palavras de conforto em momentos dif´ıceis.

Ao professor Marco Aurélio, que me orientou, não só durante a constru¸cão da mono-grafia, mas desde o terceiro per´ıodo da gradua¸cão. Obrigada pela ajuda, pelos conselhos, pelas explica¸cões, pela paciência, pelo apoio, por acreditar e confiar em mim, pelo afeto. Tudo que fez e faz na minha vida é muito importante e me faz tê-lo como um segundo pai.

Aos professores Valentin e Kelly, por aceitarem participar da minha banca e por todas as sugest˜oes feitas para o aperfei¸coamento deste trabalho.

A todos os professores do departamento de Análise e Estat´ıstica. Do departamento de Análise, Haroldo e Nilvaldo, que me ajudaram a ver o mundo e as situa¸cões com uma visão ampla e diferenciada. Do departamento de Estat´ıstica, todos aqueles que tive a oportunidade de assistir aula e, portanto, contribu´ıram na constru¸cão de toda minha forma¸cão estat´ıstica. Em especial aos professores Maria Cristina, Jony e Adrian. Maria Cristina me fez descobrir, no segundo per´ıodo, quando a professora lecionava a disciplina Probabilidade I, que eu estava no curso certo, pois foi quando me apaixonei pela probabilidade. Com o professor Jony tive a honra que ser orientada em dois projetos, um de inicia¸cão cient´ıfica, onde aprendi muitos assuntos que envolviam estat´ıstica, e outro de monitoria, que me mostrou a importância de estar sempre estudando e se aperfei¸coando. Ao professor Adrian, agrade¸co por dois momentos, o primeiro quando lecionou a disciplina de Probabilidade III, que refor¸cou minha paixão pela probabilidade e aprendi a organizar

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meus horários de estudo; obrigada por ter sido rigoroso, gra¸cas a isso me tornei monitora da disciplina por um ano e meio. O segundo momento, quando tive a oportunidade de desenvolver um projeto de consultoria, que reforcei meus conhecimentos em modelos lineares, aperfei¸coei a escrita e a maneira de apresentar análises num relatório técnico.

Aos meus amigos. Primeiramente, os de “longa data”, Percy, Marllon, Evandro, Marina, obrigada pelo incentivo e momentos de descontra¸cões quando eu precisava relaxar. Aos amigos da UFF, são tantos... aqueles que tive o prazer de estudar junto lá no comecinho do curso de gradua¸cão, Tamara, Patr´ıcia, Hernane, Lucas, Guilherme, e que, hoje, o destino trilhou caminhos diferentes. Aos que seguiram no mesmo caminho que eu, Júlio, Camila, Sérgio, Andressa e Larissa, esses, amigos para todas as situa¸cões, para estudar, relaxar, conversar, discutir, sorrir, chorar. Aos amigos da matemática da UFF, que tive a oportunidade de conhecer e compartilhar momentos, André, Jonhny e Diego. Obrigada também aos colegas da UFF que tive a oportunidade de ajudar durante o per´ıodo que fui monitora, gra¸cas a vocês entendi o porquê de alguns professores falarem que também aprendem com seus alunos. Aos amigos da FUCAPE do Esp´ırito Santo, Edvan, Andréia, Lucas, Thawler, Diheyson e Juliana, com os quais aprendi a ter mais concentra¸cão, organiza¸cão, tranquilidade, paciência, irreverência e espontaneidade.

Aos Doutores Marcos Huber, Danilo Soares e Aline Nobre, com os quais tive o prazer de trabalhar e realizar projetos.

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Sum´

ario

Lista de Figuras 1 Introdu¸cão p. 10 2 Cópulas p. 13 2.1 Teoria Básica . . . p. 13 2.2 Medidas de Associa¸cão . . . p. 18 2.3 Cópulas Importantes e Fam´ılias de Cópulas . . . p. 20 2.3.1 Limites de Fréchet Associados a Cópulas . . . p. 30 2.4 Exemplos Práticos Utilizando o R . . . p. 31

3 Dependˆencia de Extremos p. 36

3.1 Teoria dos Valores Extremos . . . p. 36 3.1.1 Modelos Assintóticos . . . p. 36 3.1.1.1 Distribui¸cão Generalizada de Valor Extremo . . . p. 40 3.1.2 O Modelo Para as K−maiores Estat´ısticas de Ordem . . . p. 41 3.2 A Cópula Bi-extremal . . . p. 43 3.2.1 Determina¸cão . . . p. 43 3.2.2 Cópula Condicional - A LTDC . . . p. 49

4 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros p. 55

Referˆencias p. 57

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Lista de Figuras

1 C´opula bivariada independente. . . p. 20 2 Densidade da c´opula Gaussiana (a) e densidade de uma normal bivariada

com ρ = 0.7 (b). . . p. 21 3 Gráficos de dispersão da cópula t bivariada com parâmetros (ρ = 0.8, ν =

1) (a), (ρ = 0.8, ν = 100) (b), (ρ = 0.1, ν = 5) (c) e (ρ = 0.3, ν = 2) (d)

com amostra de tamanho 10000. . . p. 23 4 Gráficos da densidade da cópula t bivariada com parâmetros (ρ = 0.8, ν =

1) (a), (ρ = 0.8, ν = 100) (b), (ρ = 0.1, ν = 5) (c) e (ρ = 0.3, ν = 2) (d)

com amostra de tamanho 10000. . . p. 24 5 Gráfico de dispersão (a) e densidade da cópula Clayton (b) com parâmetro

α = 2 com amostra de tamanho 10000. . . p. 26 6 Gráfico de dispersão (a) e densidade da cópula Frank (b) com parâmetro

α = 10 com amostra de tamanho 10000. . . p. 27 7 Gráfico de dispersão (a) e densidade da cópula Gumbel (b) com parâmetro

α = 4 com amostra de tamanho 10000. . . p. 28 8 Cópula M (a) e Cópula W (b). . . p. 29 9 Curvas de n´ıvel da cópula W (a), cópula independente (b) e cópula M (c). p. 31 10 Gráficos de dispersão de uma amostra proveniente de H (a) e proveniente

de C (b) de tamanho 10.000. . . p. 31 11 Gráfico de dispersão da cópula bivariada C(u, v) = _u+v−uvuv obtida através

do algoritmo – amostra de tamanho 10.000. . . p. 32 12 Kendall plot para diferentes valores de ρ. . . p. 34

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10

1 Introdu¸

c˜

ao

A diminui¸cão da ocorrência de eventos extremos, geralmente relacionados a efeitos das mudan¸cas climáticas globais, são os maiores desafios da humanidade neste in´ıcio de século. O IPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change), no seu 4o _relat´_{orio em}

2004, definiu, do ponto de vista f´ısico, que um evento extremo de tempo é considerado raro quando observado o percentil 10 ou 90 da fun¸cão de densidade de probabilidade [1], ou seja, de pequena probabilidade de ocorrência. Do ponto de vista social, eventos extremos são aqueles que envolvem risco (mortes, desabrigados, danos materiais, etc) e tem rela¸cão com a vulnerabilidade e a resiliência. Onde vulnerabilidade é a susceptibilidade que tem as pessoas, suas atividades, posses e infraestrutura às perdas e danos quando sujeitas a eventos f´ısicos de diferentes ordens de magnitude. Já resiliência corresponde com o tempo de recupera¸cão após um evento extremo – baseado num processo prévio de adapta¸cão e num aprendizado de como lidar com desastres.

Uma das mais importantes questões relacionadas a eventos extremos a curto prazo é se sua ocorrência está aumentando ou diminuindo com o tempo; isto é, se há uma tendência a cenários prop´ıcios à ocorrência desses eventos. A variabilidade e as mudan¸cas na intensidade e frequência de eventos extremos dependem não apenas da taxa de mu-dan¸ca do meio de uma determinada variável, mas também da ocorrência de mudan¸cas nos parâmetros estat´ısticos que determinam a distribui¸cão daquela variável.

As caracter´ısticas do que é chamado de eventos extremos podem variar. Entre estes podemos citar: os altos n´ıveis do mar em Nova Orleans no ano de 2005 [2], a ocorrência de tsunamis no oceano Índico em 2004 [3], o crash do mercado de a¸cões em 2002 e 2008 (Dow Jones), a ocorrência de chuvas intensas que causaram graves inunda¸cões e deslizamentos fatais no Sul do Brasil (no estado de Santa Catarina) em 2008, e em mar¸co de 2004, no mesmo estado, foi detectado o furacão Catarina, segundo Pezza, o primeiro furacão a afetar o continente, que causou perdas da ordem de 1 bilhão de dólares [4]. As secas de 2005 e 2010 na Amazônia, os 47 dias de chuvas consecutivas em São Paulo entre dezembro de 2009 e janeiro de 2010 que marcaram o dobro da média histórica para o mês de janeiro,

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1 Introdu¸c˜ao 11

as fortes chuvas que atingiram a região metropolitana e serrana do Rio de Janeiro em 2010 e 2011 (em 2010, a enchente com desmoronamentos e muitas mortes de pessoas aconteceu em morros de Niterói; em 2011 na região serrana do Rio de Janeiro, atingindo especialmente as cidades de Teresópolis e Nova Friburgo). A ocorrência desses eventos, em sua maioria, é considerada como sendo extrema. Todavia, quando levamos em conta dados históricos, verifica-se, nesses casos, que também a segunda “maior” observa¸cão, que estas também são eventos extremos. Este trabalho consiste em estudar o comportamento da dependência entre os dois “maiores” eventos, mais especificamente, capturar a rela¸cão de dependência não-linear entre as variáveis, utilizando o conceito de cópulas. Ou seja, estudar a estrutura de dependência para as duas maiores estat´ısticas de ordem (entre o máximo e a segunda maior).

A necessidade crescente de conhecer o comportamento de eventos extremos e, sobre-tudo, as propriedades associadas à esses, foi a principal motiva¸cão para o desenvolvimento e a reprodu¸cão de todos os resultados apresentados nesta monografia. O estudo da mo-delagem de dependências via cópulas tem três motiva¸cões principais: primeiramente, como uma maneira de se estudar medidas de dependência invariantes sob transforma¸cões monótonas, em segundo lugar como uma metodologia de se construir fam´ılias de fun¸cões de distribui¸cão multivariadas e, finalmente, como um modo de se extrair a estrutura de dependência de uma fun¸cão distribui¸cão conjunta separando-a do comportamento margi-nal.

Em muitos casos, é interessante estudar a estrutura de dependência da cópula nas regiões superior ou inferior, ou seja, próximo à região limite (1, 1) ou (0, 0). Este fato torna-se interessante, pois esta estrutura limite é completamente diferente do todo. Vi-sando a um melhor entendimento sobre esta estrutura, Charpentier introduziu o conceito da LTDC (the lower tail dependence copula), que nada mais é do que uma cópula con-dicional, que caracteriza a estrutura de dependência no limite da cauda [5]. Além desta nova cópula que reflete a estrutura de dependência condicional, também podemos estudar o limite desta distribui¸cão quando a imagem da variável geradora do processo converge para +∞ ou −∞, o que permite conhecer exatamente o comportamento das caudas. Logo, com base nesse resultado, foi poss´ıvel o desenvolvimento algébrico da LTDC para a cópula bi-extremal. Com a prova do Teorema 3.7, fica claro que, para o caso bivariado, as duas maiores estat´ısticas de ordem de uma determinada sequência de variáveis aleatórias cont´ınuas independentes e identicamente distribu´ıdas, padronizadas por constantes afins são independentes quando a imagem da variável geradora do processo converge para +∞ ou −∞. Este resultado é mais forte do que o encontrado em [6], onde foi demostrado que

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1 Introdu¸c˜ao 12

os valores de λU (dependˆencia de cauda superior) e λL (dependˆencia de cauda inferior)

s˜ao iguais a zero.

O restante desta monografia assim se organiza. O cap´ıtulo 2 é dedicada aos elemen-tos essenciais da teoria de cópulas, que é tecnologia estat´ıstica adequada para estudar a estrutura de dependência entre variáveis aleatórias; apresenta defini¸cões, teoremas e aplica¸cões utilizando o software R [7]. O cap´ıtulo 3 visa expor resultados importantes da teoria dos valores extremos, que são essenciais para obten¸cão da cópula bi-extremal, que é reproduzida e demonstrada na se¸cão 3.2. Inclui, ainda, o desenvolvimento algébrico da LTDC para a cópula bi-extremal. O cap´ıtulo 4 conclui a monografia. Por fim, os códigos do software R necessários para reprodu¸cão dos exemplos listados na se¸cão 2.4, são apresentadas em anexo.

(15)

13

2 C´

opulas

2.1 Teoria B´

asica

A representa¸cão e interpeta¸cão claras da estrutura de dependência de dados multi-variados, em particular de dados bimulti-variados, pode ser feita mais eficientemente usando o conceito de cópulas. Isto é devido ao número incontável de combina¸cões de poss´ıveis tipos de cópulas e de distribui¸cões marginais que podemos assumir.

Nesta se¸cão vamos definir cópulas, bem como suas propriedades. Há duas manei-ras básicas de definir cópula. Primeiramente, cópulas são fun¸cões que ligam fun¸cões de distribui¸cão multivariadas com suas fun¸cões de distribui¸cão marginais univariadas. Al-ternativamente, cópulas são fun¸cões de distribui¸cão multivariadas cujas marginais unidi-mensionais são uniformes no intervalo (0, 1) [8]. Podemos estabelecer duas defini¸cões para cópulas, a defini¸cão 2.1.1 e 2.1.2.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja I = [0, 1] e In _{= [0, 1]}n_{, uma C´}_{opula n-dimensional ´}_{e uma fun¸}_c˜_ao

de distribui¸c˜ao multidimensional C definida em In que assume valores em I, e que possui as seguintes propriedades:

(i) Para todo ui ∈ I C(u1, . . . , ui−1, 0, ui+1, . . . , un) = 0, com i = 1, . . . , n;

(ii) Para todo ui ∈ I C(1, . . . , 1, ui, 1, . . . , 1) = ui, com i = 1, . . . , n;

(iii) Para todos (a1, . . . , an), (b1, . . . , bn) ∈ [0, 1]n com ai ≤ bi tem-se que 2 X i1=1 . . . 2 X in=1 (−1)i1+...+in_C(u 1i1, . . . , unin) ≥ 0, com uj1 = aj e uj2 = bj, j = 1, . . . , n.

(16)

2.1 Teoria B´asica 14

e I2 = [0, 1]2, uma Cópula bidimensional é uma fun¸cão de distribui¸cão multidimensional C definida em I2 que assume valores em I, e que possui as seguintes propriedades:

(i) Para todo u, v ∈ I, C(u, 0) = 0 = C(0, v); (ii) Para todo u, v ∈ I, C(u, 1) = u e C(1, v) = v;

(iii) Para todos u1, u2, v1, v2 ∈ I tal que u1 ≤ u2 e v1 ≤ v2, tem-se que

C(u2, v2) − C(u2, v1) − C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0.

Defini¸cão 2.1.2 Uma cópula é definida como a fun¸cão de distribui¸cão conjunta C(u1, . . . , un) = P (U1 ≤ u1, . . . , Un ≤ un), 0 ≤ ui ≤ 1,

sendo Ui ∼ U (0, 1), i = 1, . . . , n.

Defini¸cão 2.1.3 Seja C uma cópula, a cópula de sobrevivência C associado com C é definida para (u, v) ∈ [0, 1]2 _como:

C(u, v) = C(1 − u, 1 − v) + u + v − 1. (2.1) Defini¸c˜ao 2.1.4 Seja C uma c´opula.

• A c´opula condicional c(u|v) ´e definida como: cv(u) = ∂C(u,v)_∂v = P (U ≤ u|V ≤ v);

• A c´opula condicional c(v|u) ´e definida como: cu(v) =

∂C(u,v)

∂u = P (V ≤ v|U ≤ u).

O Teorema de Sklar [9] é o resultado mais importante na teoria de cópulas e dá a existência e unicidade da fun¸cão C(·).

Teorema 2.1 (Sklar 1959) Seja (X1, . . . , Xn) um vetor aleat´orio em Rn com fun¸c˜ao

de distribui¸cão conjunta F e marginais Fi, i = 1, . . . , n. Então existe uma cópula C

n-dimensional C(·) tal que, ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

F (x1, . . . , xn) = C(F1(x1), . . . , Fn(xn)). (2.2)

Se F1(x1), . . . , Fn(xn) são todas cont´ınuas, então C(·) é única, e determinada pela fórmula

C(u1, . . . , un) = F (F1−1(u1), . . . , Fn−1(un)). (2.3)

(17)

Sem perda de generalidade, considere o caso bivariado do Teorema 2.1. Seja (X, Y ) um vetor aleat´_{orio em R}2 com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta F e marginais Fi, i = 1, 2.

Ent˜ao existe uma c´_{opula C bidimensional C(·) tal que, ∀ (x, y) ∈ R}2_,

F (x, y) = C(F1(x), F2(y)). (2.4)

Se F1(x), F2(y) são cont´ınuas, então C(·) é única, e determinada pela fórmula

C(u, v) = F (F₁−1(u), F₂−1(v)). (2.5)

Caso contr´ario C(·) ´e unicamente determinada no conjunto Im(F1) × Im(F2).

A interpreta¸cão de (2.3) é que podemos estudar o fenômeno de dependência entre as variáveis sem fixar as distribui¸cões marginais.

Além disso, assumindo que F1, . . . , Fn e C são diferenciáveis, então a densidade

con-junta f (x1, . . . , xn) de (X1, . . . , Xn) pode ser escrita como

f (x1, . . . , xn) = c(F1(x1), . . . , Fn(xn)) n Y i=1 fi(xi), (2.6) onde c(u1, . . . , un) = ∂n_C(u 1, . . . , un) ∂u1. . . un ,

é a densidade da cópula, e fi é a fun¸cão de densidade de Xi, i = 1, . . . , n. Em (2.6)

nota-se a decomposi¸c˜ao da densidade conjunta em duas partes. Onde c(F1(x1), . . . , Fn(xn))

descreve a estrutura de dependˆencia e

n

Y

i=1

fi(xi) descreve o comportamento marginal de

cada componente. Percebe-se então que a cópula de um vetor de variáveis aleatórias pode ser interpretada como a estrutura de dependência do vetor aleatório.

Sempre é poss´ıvel fazer a transforma¸cão de variáveis

U = FX(X) e V = FY (Y ) , (2.7)

de forma que U e V possuem ambas distribui¸c˜oes marginais uniformes no intervalo (0, 1).

Exemplo 2.1.5 (Distribui¸c˜ao exponencial bivariada de Gumbel). Seja Hθ uma fun¸c˜ao

de distribui¸c˜ao conjunta dada por:

(18)

. E c´opula associada, dada por:

Cθ(u, v) = u + v − 1 + (1 − u)(1 − v)e−θ log(1−u) log(1−v). (2.8)

Veja que, u = F (x) = 1 − e−x, x ≥ 0 e v = G(y) = 1 − e−y, y ≥ 0. De fato, substituindo em (2.8) temos que,

C(F (x), G(y)) = 1 − e−x+ (1 − e−y) − 1 + [1 − (1 − e−x)][1 − (1 − e−y)]× × e−θ log[1−(1−e−x)] log[1−(1−e−y)]

= 1 − e−x+ 1 − e−y− 1 + e−xe−ye−θ log(e−x) log(e−y) = 1 − e−x− e−y + e−xe−ye−θ(−x)(−y)

= 1 − e−x− e−y + e−xe−ye−θxy = Hθ(x, y).

Exemplo 2.1.6 Se a distribui¸c˜ao conjunta de (X, Y ) ´e dada por

H(x, y) = [1 + exp(−x) + exp(−y)]−1_{, x, y ∈ R = [−∞, +∞],} ent˜ao as marginais s˜ao F (x) = (1 + exp(−x))−1 e G(y) = (1 + exp(−y))−1. Da´ı,

F−1(u) = − log(u−1− 1), u ∈ (0, 1), G−1(v) = − log(v−1− 1), v ∈ (0, 1). De acordo com (2.3), a c´opula C(u, v) associada com H(x, y) ´e

C(u, v) = H(F−1(u), G−1(v)) = (u−1+ v−1− 1)−1_.

Uma vez que, se X1, . . . , Xn s˜ao independentes se e somente se H(x1, . . . , xn) = n

Y

i=1

FXi(xi) para todos (x1, . . . , xn) ∈ R

n _{, o pr´}_{oximo resultado segue da express˜}_{ao (2.3) e}

do Teorema de Sklar.

Teorema 2.2 Seja (X1, . . . , Xn) um vetor de variáveis aleatórias cont´ınuas com cópula

C(·), ent˜ao X1, . . . , Xn s˜ao independentes se e somente se

C(u) = C(u1, . . . , un) = n

Y

i=1

(19)

Exemplo 2.1.7 Considere um vetor aleatório bi-dimensional (X, Y ), com fun¸cão de dis-tribui¸cão conjunta dada por:

FX,Y(x, y) =

(

1 − e−λy− e−λx+ e−λ(x+y) , se x > 0, y > 0

0 , caso contr´ario

Veja que suas marginais s˜ao dadas por: FX(x) = lim

y→∞FX,Y(x, y) = limy→∞(1 − e

−λy_{− e}−λx + e−λ(x+y)) = 1 − e−λx. FY(y) = lim x→∞FX,Y(x, y) = limx→∞(1 − e −λy_{− e}−λx + e−λ(x+y)) = 1 − e−λy.

Isto ´e, X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(λ).

Encontrando x = h(u) (x em fun¸c˜ao de u) e y = g(v) (y em fun¸c˜ao de v), temos que: u = 1 − e−λx u − 1 = −e−λx 1 − u = e−λx log(1 − u) = −λx x = −log(1 − u) λ . Analogamente, y = −log(1−v)_λ .

Da´ı, pode-se encontrar a c´opula associada ao vetor aleat´orio (X, Y ): C(u, v) = F − log(1 − u) λ , − log(1 − v) λ = 1 − eλ log(1−v)λ − e λ log(1−u) λ + eλ( log(1−u)+log(1−v) λ ) = 1 − (1 − v) − (1 − u) + (1 − u)(1 − v) = 1 − 1 + v − 1 + u + 1 − v − u + uv = uv.

(20)

2.2 Medidas de Associa¸c˜ao 18

2.2 Medidas de Associa¸

c˜

ao

(i) Coeficiente de correla¸c˜ao ρ

Seja (X, Y ) um vetor de variáveis aleatórias com variâncias positivas finitas. O coeficiente de correla¸cão linear de (X, Y ) é definido como

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y )

pV ar(X)V ar(Y ) (2.10)

onde Cov(X, Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) é a covariância entre X e Y , e V ar(X),V ar(Y ) são as variâncias de X e Y , respectivamente.

As principais propriedades de ρ s˜ao: 1. −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1;

2. Se X e Y s˜ao independentes, ent˜ao ρ(X, Y ) = 0;

3. ρ(aX + b, cY + d) = sign(ac)ρ(X, Y ) para todos reais a 6= 0, c 6= 0, b e d, sign(x) ´e a fun¸c˜ao sinal de x.

– O coeficiente ρ(X, Y ) é uma medida paramétrica de dependência linear entre as variáveis, sendo invariante sob transforma¸cões lineares estritamente crescentes. – ρ(X, Y ) é uma medida de dependência natural nas distribui¸cões normais mul-tivariadas, e num contexto mais amplo nas fam´ılias de distribui¸cões esférica e el´ıptica.

– A correla¸cão linear tem uma certa deficiência que é ser não-invariante sob tranforma¸cões n˜_{ao lineares estritamente crescentes T : R → R, isto é}

Corr(T (X), T (Y )) 6= Corr(X, Y )

(ii) Coeficientes de correla¸c˜ao baseados em postos: ρS(X, Y ) e ρK(X, Y ).

Seja (X1, Y1), (X2, Y2) e (X3, Y3) três vetores aleatórios independentes com fun¸cão

de distribui¸cão conjunta comum H. Então, o coeficiente de correla¸cão baseado em postos de Spearman, ρS(X, Y ), é definido como:

ρS(X, Y ) = 3(P [(X1 − X2)(Y1− Y3) > 0] − P [(X1− X2)(Y1− Y3 < 0)]). (2.11)

O coeficiente de correla¸c˜ao baseado em postos de Kendall, ρK(X, Y ), ´e definido

como:

(21)

2.2 Medidas de Associa¸c˜ao 19

onde (X, Y ) e (X∗, Y∗) são dois vetores aleatórios independentes e com distribui¸cão comum F .

´

E poss´ıvel escrever ρS e ρK em fun¸c˜ao da c´opula pertinente:

ρS(X, Y ) = 12 Z I2 Z {C(u, v) − uv}dudv (2.13) ρK(X, Y ) = 4 Z I2 Z C(u, v)dC(u, v) − 1. (2.14) Ambos os coeficientes de Spearman e de Kendall medem dependência monótona. Eles não são afetados por transforma¸cões monótonas e dependem apenas da cópula. (iii) Dependência no Quadrante Positivo (DQP).

Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas DQP se

P (X > x, Y > y) ≥ P (X > x)P (Y > y), (2.15)

para todo x, y ∈ R. Em termos de cópulas, se C for a cópula pertinente a (X, Y ), a rela¸cão (2.15) é equivalente a

C C⊥, (2.16)

onde C⊥ é a cópula de marginais independentes (definida na próxima se¸cão).

(iv) Dependˆencia de cauda.

Se existir associa¸cão positiva entre eventos extremos de X e Y , então a probabilidade condicional P (X > F₁−1(1 − α)|Y > F₂−1(1 − α)) é maior que zero. A dependência de cauda superior entre X e Y é definida como:

lim α→0+λU(α) = lim_α→0+P (X > F −1 1 (1 − α)|Y > F −1 2 (1 − α)), (2.17)

se este limite existir. Para α pequeno, esta probabilidade não depende da ordem das duas variáveis X e Y , as quais são assintoticamente dependentes na cauda superior se λU ∈ (0, 1], e assintoticamente independentes se λU = 0.

Similarmente, a dependˆencia de cauda inferior ´e dada por lim α→1−λL(α) = lim_α→1+P (X > F −1 1 (1 − α)|Y > F −1 2 (1 − α)), (2.18)

se este limite existir. Dizemos que existe dependência de cauda inferior entre as variáveis se λL∈ (0, 1]. Independência corresponde a λL = 0.

(22)

exis-2.3 C´opulas Importantes e Fam´ılias de C´opulas 20

tente no canto externo do quadrante superior direito (λU), ou no quadrante inferior

esquerdo (λL) do suporte de (X, Y ). Pode ser expresso em termos da c´opula

perti-nente C:

λU = lim u→1−

C(u, u)

1 − u , (2.19)

se este limite existir, e onde C é a cópula de sobrevivência. λL= lim

u→0+

C(u, u)

u , (2.20)

2.3 C´

opulas Importantes e Fam´ılias de C´

opulas

Nas aplica¸cões em finan¸cas e inferência estat´ıstica pode-se usar fam´ılias de distri-bui¸cões multivariadas constru´ıdas com cópulas parametrizadas por um ou mais parâmetros a serem encontrados através dos métodos estabelecidos de inferência (método dos momen-tos, máxima verossimilhan¸ca, estima¸cão bayesiana de parâmetros, etc). Abaixo algumas fam´ılias conhecidas de cópulas são apresentadas com suas propriedades mais importantes.

(i) C´opula de Marginais Independentes: C⊥

C⊥(u1, . . . , un) = n

Y

i=1

ui

De fato, a distribui¸cão conjunta de variáveis aleatórias independentes é o produto de suas marginais. Neste caso, temos que C⊥ é uniforme no hiperplano.

(23)

2.3 C´opulas Importantes e Fam´ılias de C´opulas 21

(ii) C´opula Normal ou Gaussiana

A distribui¸cão normal multivariada pode ser usada para construir uma fam´ılia de cópulas através da mudan¸ca de variáveis indicada em (2.7). Dessa forma se obtém uma fam´ılia de cópulas parametrizadas pelos n(n − 1)/2 coeficientes independentes da matriz de correla¸cão. A cópula gaussiana ou normal será portanto dada por:

C_Σˆ(u) = 1 (2π)n2| ˆΣ| 1 2 Z Φ−1(u1) −∞ Z Φ−1(u2) −∞ . . . Z Φ−1(un) −∞ exp{−1 2x 0_ˆ Σ−1x}dx1dx2. . . dxn, (2.21) em que: ˆΣ =        1 ρ1,2 · · · ρ1,n ρ2,1 1 · · · ρ2,n .. . ... . .. ... ρn,1 ρn,2 · · · 1        ´

e a matriz de correla¸c˜ao que parametriza a

c´opula e Φ(x) = 1₂ + 1₂ erf√x 2

é a distribui¸cão cumulativa de uma variável com distribui¸cão normal padronizada e erf(x) é a fun¸cão erro.

A cópula normal se reduz à cópula produto quando a matriz de correla¸cão é diagonal, isto é, quando todas as correla¸cões são nulas.

(a) (b)

Figura 2: Densidade da c´opula Gaussiana (a) e densidade de uma normal bivariada com ρ = 0.7 (b).

(iii) C´opula t

Assim como a cópula normal pode ser definida a partir da distribui¸cão normal multivariada, a distribui¸cão t de Student multivariada dá origem à cópula t. A

(24)

c´opula t ´e dada por:

C_Σ,νˆ (u) = Γ ν+d₂ Γ ν₂q (πν)d_{| ˆ}_Σ| Z t−1ν (u1) −∞ dx1 Z t−1ν (u2) −∞ dx2. . . Z t−1ν (un) −∞ dxn " 1 + x 0_Σ_ˆ−1_x ν #−ν+d₂ (2.22) em que ˆΣ é a matriz de correla¸cões, como no caso da cópula normal, ν é o parâmetro conhecido como número de graus de liberdade da distribui¸cão t e tν(x) é a

distri-bui¸cão cumulativa de uma distribui¸cão Student univariada padronizada. Quando o número de graus de liberdade ν é muito grande, a cópula t fica cada vez mais próxima da cópula gaussiana, ficando idêntica à mesma no limite ν → ∞.

Sem perda de generalidade, a c´opula t bivariada ´e dada por: Cν,ρ(u, v) = Tν,ρ(Tν−1(u), T

−1 ν (v)),

onde ρ ∈ [−1, 1], Tν(·) é a fun¸cão de distribui¸cão univariada de uma variável aleatória

que segue a distribui¸cão t-Student com ν graus de liberdade e Tν,ρ(·, ·) é a fun¸cão

de distribui¸c˜ao de um vetor aleat´orio bivariado T = (T1, T2), que segue uma

distri-bui¸cão t-Student bivariada com ν graus de liberdade. Assim, a densidade da cópula t bivariada é dada por:

cν,ρ(u, v) =

tν,ρ(Tν−1(u), Tν−1(v))

tν(Tν−1(u))tν(Tν−1(v))

(25)

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3: Gráficos de dispersão da cópula t bivariada com parâmetros (ρ = 0.8, ν = 1) (a), (ρ = 0.8, ν = 100) (b), (ρ = 0.1, ν = 5) (c) e (ρ = 0.3, ν = 2) (d) com amostra de tamanho 10000.

(26)

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4: Gráficos da densidade da cópula t bivariada com parâmetros (ρ = 0.8, ν = 1) (a), (ρ = 0.8, ν = 100) (b), (ρ = 0.1, ν = 5) (c) e (ρ = 0.3, ν = 2) (d) com amostra de tamanho 10000.

(27)

(iv) C´opulas Arquimedianas

Algumas c´opulas podem ser escritas na forma:

C(u, v) = φ−1(φ(u) + φ(v)) (2.23)

e são chamadas de cópulas arquimedianas com fun¸cão geradora φ(x). Qualquer fun¸cão pode ser a fun¸cão geradora de uma cópula arquimediana se satisfazer os critérios: – φ(1) = 0 – lim x→0 φ(x) = +∞ – dφ_dx < 0 – d_dx2φ2 > 0

Cópulas dessa classe são extremamente usadas por possu´ırem expressões anal´ıticas simples para a maioria de seus momentos e parâmetros de dependência. A cópula produto é uma cópula arquimediana com fun¸cão geradora φ(x) = − log(x).

T´ıpicos exemplos de cópulas Arquimedianas são Clayton, Frank e Gumbel, apresen-tadas na sequência.

1. C´opula de Clayton

A cópula de Clayton é obtida usando a fun¸cão geradora φ(x) = _α1(t−α−1), α ∈ [−1, ∞) \ {0}, e é dada pela expressão:

C(u, v) = max[(u−α+ v−α− 1)−α1, 0]. (2.24)

(28)

(b)

Figura 5: Gráfico de dispersão (a) e densidade da cópula Clayton (b) com parâmetro α = 2 com amostra de tamanho 10000.

2. C´opula de Frank

A cópula de Frank é obtida usando a fun¸cão geradora φ(x) = − logexp(−αt)−1_{exp(−α)−1}, α ∈ (−∞, +∞) \ {0}, e é dada pela expressão:

C(u, v) = −1 αlog 1 + (e −αu_{− 1)(e}−αv _{− 1)} e−α_{− 1} . (2.25) (a)

(29)

(b)

Figura 6: Gráfico de dispersão (a) e densidade da cópula Frank (b) com parâmetro α = 10 com amostra de tamanho 10000.

3. C´opula de Gumbel

A cópula de Gumbel é obtida usando a fun¸cão geradora φ(x) = (− log t)α_{, α ∈}

[1, ∞), e ´e dada pela express˜ao:

C(u, v) = exp{−[(− log u)α+ (− log v)α]1/α}. (2.26)

(30)

(b)

Figura 7: Gráfico de dispersão (a) e densidade da cópula Gumbel (b) com parâmetro α = 4 com amostra de tamanho 10000.

(v) C´opulas de Fr´echet

W (u1, . . . , un) = max(u1+ . . . + un− n + 1, 0)

Para n = 2, W representa a dependência negativa perfeita entre as variáveis, não sendo uma cópula para n ≥ 3;

M (u1, . . . , un) = min(u1, . . . , un)

(31)

(a)

(b)

(32)

2.3.1 Limites de Fr´

echet Associados a C´

opulas

Os limites de Fréchet-Hoeffding, superior e inferior respectivamente, para fun¸cões de distribui¸cão conjuntas são definidos através das fun¸cões com dom´ınio em [0, 1]n_{, M}n_{(u) =}

min(u1, . . . , un) e Wn(u) = max(u1+ . . . + un− n + 1, 0).

A fun¸cão Mn(u) e a cópula de independência Πn(u) =

n

Y

i=1

uis˜ao c´opulas n-dimensionais

para todo n ≥ 2, ao passo que a fun¸c˜ao Wn_{(u) n˜}_{ao ´}_{e uma c´}_{opula para todos n ≥ 3, como}

´e mostrado no exemplo seguinte.

Exemplo 2.3.1 Considere o n-cubo [1/2, 1]n_{⊂ [0, 1]}n_{. Sejam (a}

1, . . . , an) = (1/2, . . . , 1/2)

e (b1, . . . , bn) = (1, . . . , 1). De acordo com a Defini¸c˜ao (2.1.1) temos que para uj1 = aj e

uj2= bj, j ∈ {1, . . . , n}, 2 X i1=1 . . . 2 X in (−1)i1+...+in_Wn_(u 1i1, . . . , unin) = = max(1 + . . . + 1 − n + 1, 0) −n 1 max(1/2 + 1 . . . + 1 − n + 1, 0)+ +n 2 max(1/2 + 1/2 + 1 . . . + 1 − n + 1, 0) − . . . + + max(1/2 + . . . + 1/2 − n + 1, 0) = 1 − n/2 + 0 + . . . + 0 = 1 − n/2.

Portanto, Wn_{(u) n˜}_{ao ´}_{e uma c´}_{opula para n ≥ 3, uma vez que o item (iii) da defini¸}_c˜_ao

2.1.1 (para fun¸cões de distribui¸cão multidimensionais) não est´_{a satisfeita.}

Os limites de Fréchet-Hoeffding são uma consequência do Teorema 2.1.

Teorema 2.3 (Desigualdade de Fréchet-Hoeffding) Se C(u) é uma cópula qualquer, então para todo u ∈ [0, 1]n_,

Wn(u) C(u) Mn(u). (2.27)

O limite inferior de Fr´echet-Hoeffding W2_{(u, v) = max(u + v − 1, 0) ´}_{e menor que}

qualquer cópula bidimensional, e qualquer cópula C(u) é menor que o limite superior de Fréchet-Hoeffding Mn(u).

(33)

2.4 Exemplos Pr´aticos Utilizando o R 31

(a) (b) (c)

Figura 9: Curvas de n´ıvel da cópula W (a), cópula independente (b) e cópula M (c).

2.4 Exemplos Pr´

aticos Utilizando o R

Nesta se¸cão serão apresentados alguns exemplos práticos que refor¸cam a teoria de cópulas introduzida neste cap´ıtulo. Os comandos necessários para reprodu¸cão dos mesmos encontram-se em anexo.

Exemplo 2.4.1 Obtendo a c´opula C(u, v) atrav´es de H(x, y)

Dada uma fun¸cão de distribui¸cão bivariada H(x, y), a correspondente cópula é C(u, v) = P (U ≤ u, V ≤ v) = H(F−1(u), G−1(v)), para todo (u, v) ∈ [0, 1]2. Considere H(x, y) uma distribui¸cão normal bivariada com margnais normal padrão, com matriz de correla¸cão dada por ˆΣ =

"

1 0, 7 0, 7 1

#

e vetor de m´edias dado por µ = "

0 0

#

. Abaixo encontram-se os gráficos de dispersão de uma amostra de tamanho 10.000 proveniente de H e de C -via Teorema 2.1, e com densidade da cópula equivalente à Figura 2(a).

(a) (b)

Figura 10: Gr´aficos de dispers˜ao de uma amostra proveniente de H (a) e proveniente de C (b) de tamanho 10.000.

(34)

Exemplo 2.4.2 C´opula condicional

Considere a cópula bivariada da distribui¸cão Gumbel, apresentada no Exemplo 2.1.6, isto é, C(u, v) = _u+v−uvuv . Então, vamos calcular a c(v|u) da cópula C(u, v).

c(v|u) = ∂ ∂u uv u + v − uv

= v(u + v − uv) − uv(1 − v) (u + v − uv)2

= v

2

(u + v − uv)2.

Para gerar uma observa¸c˜ao da c´opula C(u, v) dada: 1. Gerar u ∼ U (0, 1) e t ∼ U (0, 1);

2. A partir de t = cu(v) obtenha v = c−1u (t), onde c −1 u (t) ´e a inversa de cu(t), isto ´e c−1_u (t) = u √ t 1−(1−u)√t ;

3. (u, v) ´e a observa¸c˜ao requerida de (U, V )

Figura 11: Gráfico de dispersão da cópula bivariada C(u, v) = _u+v−uvuv obtida através do algoritmo – amostra de tamanho 10.000.

Para outra aplica¸c˜ao de c´opulas condicionais veja [10].

Exemplo 2.4.3 Integra¸c˜ao de Monte Carlo usando c´opulas

O método de Monte Carlo, por exemplo, pode ser utilizado para modelar e quantificar a dependência positiva entre distribui¸cões de ocorrências incertas [11]. Integra¸cão de Monte Carlo usando teoria de cópulas pode ser usado para modelar problemas financeiros [12]. Vamos exemplificar quando queremos obter o valor esperado de uma fun¸cão cont´ınua q(x, y) de um vetor aleatório bivariado (X, Y ) com distribui¸cão conjunta H(x, y), isto é,

(35)

2.4 Exemplos Pr´aticos Utilizando o R 33 E(q(x, y)) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ q(x, y)dH(x, y).

Dada a c´opula C(u, v) = H(F−1(u), G−1(v)) e distribui¸c˜oes marginais F (x) = lim

y→∞H(x, y)

e G(y) = lim

x→∞H(x, y), n´os podemos usar o algoritmo abaixo para aproximar o valor de

E(q(x, y)):

1. Gerar n observa¸cões de um vetor aleatório bivariado (X, Y ); 2. Para cada observa¸cão i gerada, calcular qi = q(xi, yi);

3. E(q(x, y)) ≈ _n1

n

X

i=1

qi.

Seja (X, Y ) com distribui¸c˜ao Gumbel bivariada, isto ´e H(x, y) = [1+exp(−x)+exp(−y)]−1. Com marginais inversas dadas por F−1(u) = − log 1−u_u e G−1(v) = − log 1−v_v . Pre-tendemos estimar E(q(x, y)), onde q(x, y) = px2_{+ y}2_{. O algoritmo ´}_{e apresentado na}

sequˆencia.

1. Para i = 1 at´e n, fa¸ca:

(a) gerar ui ∼ U (0, 1) e ti ∼ U (0, 1); (b) calcular vi = ui √ ti 1−(1−ui) √ ti; (c) calcular xi = − log 1−ui ui e yi = − log 1−vi vi ; (d) calcular qi =px2i + yi2. 2. Obtenha E(√X2_{+ Y}2_{) ≈} 1 n n X i=1 qi.

Exemplo 2.4.4 Constru¸c˜ao do K-plot

O Kendall plot (K-plot), introduzido por Genest e Boies [13], avalia a estrutura de de-pendˆencia em uma amostra bivariada e pode ser constru´ıdo com os seguintes passos:

1. Calcular Hi = #{j6=i:Xj

≤Xi,Yj≤Yi}

n−1 para cada i = 1, . . . , n;

2. Ordenar os Hi0_s, tal que H₍₁₎ ≤ . . . ≤ H_(n);

3. Plotar os pares (W1:n, H(i)), 1 ≤ . . . ≤ n, onde W1:n representa o valor esperado

da i–th estat´ıstica de ordem de uma amostra de tamanho n e distribui¸c˜ao K0(w) =

(36)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k)

Figura 12: Kendall plot para diferentes valores de ρ.

Nesta subse¸cão vimos alguns exemplos utilizando a teoria de cópulas. Existem muitos trabalhos que propõem algumas aplica¸cões práticas de cópulas na área de risco e segu-ros, alguns deles são [14, 15, 16, 17]. Alguns autores discutem alguns tipos de cópulas [18, 19, 20, 21, 22, 23]. Apesar de já existir muita literatura sobre cópulas, algumas questões relacionadas a estas fun¸cões são ainda um desafio, devido à maioria das aplica¸cões práticas propostas restringir ao uso de cópulas bivariadas. As cópulas multivariadas mais

(37)

conhecidas e utilizadas são a cópula Gaussiana e a cópula-t. Alguns trabalhos propõem algumas extensões multivariadas de cópulas Arquimedianas: [15, 18, 21, 24].

(38)

36

3 Dependˆ

encia de Extremos

3.1 Teoria dos Valores Extremos

A teoria de Valores Extremos (TVE) é um ramo da probabilidade que estuda o com-portamento assintótico de extremos associados a uma sequência de variáveis aleatórias. Nesta se¸cão faremos uma breve introdu¸cão sobre os resultados da teoria de valores extre-mos para variáveis aleatórias (i.i.d.) que serão relevantes ao nosso estudo.

Os fundamentos básicos da Teoria dos Valores Extremos foram inicialmente expos-tos por Fisher e Tippett [25], que introduziram os três tipos poss´ıveis de distribui¸cão assintótica dos valores extremos, hoje conhecidas como Gumbel, Fréchet e Weibull.

Na última década tem crescido a utiliza¸cão dessa teoria nas áreas de finan¸cas, atuária e engenharia principalmente devido à sua capacidade em melhor quantificar as proba-bilidades de ocorrência de eventos raros e fora dos padrões de normalidade, uma vez que ela estuda o comportamento estocástico de extremos associado a um conjunto de variáveis aleatórias com mesma fun¸cão de distribui¸cão F . A distribui¸cão desses extremos é determinada pelas caudas extremas da distribui¸cão F . Como a modelagem dessas séries requer análises que envolvam distribui¸cões com caudas pesadas, não é pertinente a simples suposi¸cão conveniente de normalidade.

3.1.1 Modelos Assint´

oticos

Sejam Xi, i = 1, 2, ..., n, variáveis aleatórias (i.i.d.), com fun¸cão de densidade comum

f e fun¸cão de distribui¸cão F , e representemos como Mk,n a k-ésima maior estat´ıstica de

ordem de X1, ..., Xn. A densidade fk,n e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Fk,n de Mk,n podem

(39)

3.1 Teoria dos Valores Extremos 37 fk,n(z) = n! (n − k)!(k − 1)![F (z)] n−k [1 − F (z)]k−1f (z), (3.1) e Fk,n(z) = k−1 X j=0 n! j!(n − j)![F (z)] n−j_{[1 − F (z)]}j_, _(3.2) para z no suporte de F .

Posteriormente será necessário conhecer a distribui¸cão conjunta das k−maiores es-tat´ısticas de ordem. Então, o próximo Teorema irá nos fornecer tal distribui¸cão.

Teorema 3.1 (Embrechts, P., Kl¨uppelbeg, C., Mikosch, T. 1997) A densidade con-junta para as k maiores estat´ısticas de ordem, sendo F absolutamente continua com den-sidade f , ´e: fM1,n,...,Mk,n(x1, . . . , xn) = n! (n − k)!F n−k (xk) k Y i=1 f (xi), xk < . . . < x1. (3.3) ´

E fácil verificar que a fun¸cão de distribui¸cão conjunta para as k−maiores estat´ısticas de ordem é dada pela seguinte expressão:

FM1,n,...,Mk,n(x1, . . . , xn) =

k−1

X

j=0

F (xk)n−j[F (xj) − F (xk)]j, xk < . . . < x1. (3.4)

Também será necessário conhecer a fun¸cão de densidade e distribui¸cão conjunta entre a primeira e a segunda estat´ıstica de ordem, ambas são resultados decorrentes do Teorema anterior. Segue-se que, a fun¸cão de densidade conjunta entre M1,n e M2,né dada por

fM1,n,M2,n(z, w) = n(n − 1)f (z)f (w)[F (w)]

n−2_{, 1 ≤ w < z ≤ n.} _(3.5)

E a fun¸cão de distribui¸cão conjunta entre M1,n e M2,né dada por

FM1,n,M2,n(z, w) = n[F (w)]

n−1_{[F (z) − F (w)], 1 ≤ w < z ≤ n.} _(3.6)

´

E f´acil verificar que ∂

2_F

M1,n,M2,n(z,w)

∂z∂w = fM1,n,M2,n(z, w) = n(n − 1)f (z)f (w)[F (w)]

n−2_.

Entretanto, para valores de n pequenos é necessário que se conhe¸ca previamente a distribui¸cão F (que em geral é desconhecida) para que se estabele¸ca a distribui¸cão do máximo e que, para valores de n sufcientemente grandes, a fun¸cão de distribui¸cão do

(40)

3.1 Teoria dos Valores Extremos 38

m´aximo torna-se degenerada, ou seja, FM1,n(x) → 0, quando n → +∞, ∀x ∈ R. A

teoria dos valores extremos fornece um resultado assintótico, a generaliza¸cão do Teorema de Fisher e Tippet [25], em que a fun¸cão de distribui¸cão limite independe da fun¸cão de distribui¸cão primitiva F .

Teorema 3.2 (Fisher-Tippett) Seja {Xn : n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias

i.i.d. com fun¸cão de distribui¸cão F e M1,n o máximo de {Xn}∞n=1. Se existir uma

sequência (an) de termos positivos, uma sequência real (bn) e uma fun¸cão de distribui¸cão

G1 n˜ao degenerada tais que

P (M1,n≤ anz + bn) = P M1,n− bn an ≤ z d → G1(z) quando n → ∞ (3.7)

então as únicas formas poss´ıveis de G1 são as distribui¸cões Gumbel, Fréchet ou Weibull,

tamb´em denominadas distribui¸c˜oes do tipo I, II e III, respectivamente.

Defini¸cão 3.1.1 Se (3.7) se verifica, dizemos que F pertence ao dom´ınio de atra¸cão do máximo da distribui¸cão de valores extremos G1. Nota¸cão: F ∈ M DA(G1).

A seguir estão apresentadas as distribui¸cões limite do máximo (definida como G1),

deno-minadas distribui¸c˜oes extremas ou fam´ılia das distribui¸c˜oes GEV (Generalized Extreme Value): I : G1(z) = exp − exp − z − µ σ , −∞ < z < +∞; II : G1(z) =        0 , z ≤ µ, exp ( − z − µ σ −ξ) , z > µ; III : G1(z) =        exp ( − −z − µ σ −ξ) , z < µ, 1 , z ≥ µ;

(41)

Note que o Teorema de Fisher-Tippett especifica as distribui¸cões extremas limite para as quais há a possibilidade de convergência da distribui¸cão do máximo padronizado

M1,n−bn

an , embora n˜ao estabele¸ca as condi¸c˜oes que F deve satisfazer para que ocorra tal

convergˆencia.

As distribui¸cões I, II e III podem ser estimadas sem que se fa¸ca necessário a utiliza¸cão da distribui¸cão F . Uma vez estimada a distribui¸cão limite, entretanto, inferências acerca da distribui¸cão verdadeira F podem ser feitas, uma vez que de G1(z) = FM1,n(z) obtém-se

F (z) = [G1(z)]1/n.

Segue abaixo um exemplo da convergência da distribui¸cão do máximo proveniente de observa¸cões com fun¸cão de distribui¸cão exponencial unitária para a distribui¸cão Gumbel.

Exemplo 3.1.2 Suponha que F seja a distribui¸cão exponencial unitária, ou seja, F (z) = 1 − exp{−z}. Então [F (z)]n= [1 − exp{−z}]n. Como

P M1,n− bn an

≤ z

= P (M1,n≤ anz + bn) = [F (anz + bn)]n,

tomando an= 1 e bn= log n, temos que

[F (z + log n)]n= [1 − exp[−(z + log n)]]n = [1 − exp[−z − log n]]n = 1 − exp(−z) exp(log n) n = 1 − exp(−z) n n

definindo − exp(−z)_n = _x1, temos

lim n→∞ 1 − exp(−z) n n = lim x→∞ 1 + 1 x x(− exp(−z)) = lim x→∞ 1 + 1 x x− exp(−z) = exp(− exp(−z)).

Ou seja, considerando an = 1 e bn = log n como sequˆencias normalizadoras, temos que

quando n cresce indefinidamente a distribui¸cão do máximo coletado em blocos de tamanho n de observa¸cões com fun¸cão de distribui¸cão unitária será a distribui¸cão Gumbel.

(42)

3.1.1.1 Distribui¸c˜ao Generalizada de Valor Extremo

As distribui¸cões de Gumbel, Fréchet e Weibull podem ser generalizadas em uma firma denominada distribui¸cão de valor extremo (GEV ), que representa uma fam´ılia de fun¸cões de distribui¸cão de um único parâmetro ξ, como segue:

G1ξ(z) =    exp h −(1 + ξz)−1ξ i , ξ 6= 0, 1 + ξz > 0 exp[− exp(−z)] , ξ = 0 . (3.8) Note que:

- se ξ = 0, G1ξ corresponde `a distribui¸c˜ao Gumbel;

- se ξ < 0, G1ξ corresponde `a distribui¸c˜ao Weibull e

- se ξ > 0, G1ξ corresponde à distribui¸cão Fréchet.

Na fun¸cão de distribui¸cão generalizada G1ξ é poss´ıvel substituir z pela transforma¸cão

de escala e loca¸cão T (z) = z−µ_σ _{, µ ∈ R, σ > 0, de modo que a fam´ılia de loca¸cão e escala} G1ξ,µ,σ correspondente é: G1ξ(T (z)) = G1ξ,µ,σ(z) =          exp " − 1 + ξ z − µ σ −1_ξ# , ξ 6= 0, 1 + ξ z−µ_σ > 0 exp − exp − z − µ σ , ξ = 0 . (3.9) A fun¸cão densidade de probabilidade da distribui¸cão generalizada G1ξ pode ser obtida

por diferencia¸c˜ao e aplica¸c˜ao da regra da cadeia e segue abaixo:

fξ(z) =          1 + ξ z − µ σ −1_ξ −1 exp " − 1 + ξ z − µ σ −1_ξ# , ξ 6= 0, µ ∈ R, σ > 0 exp − exp − z − µ σ exp −z − µ σ 1 σ , ξ = 0, µ ∈ R, σ > 0 . (3.10) Por conveniˆencia, vamos reformular o Teorema 3.2 para a forma generalizada.

Teorema 3.3 (Fisher-Tippett) Seja {Xn : n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias

i.i.d. com fun¸cão de distribui¸cão F e M1,n o máximo de {Xn}∞n=1. Se existir uma

sequência (an) de termos positivos, uma sequência real (bn) e uma fun¸cão de distribui¸cão

(43)

3.1 Teoria dos Valores Extremos 41 P (M1,n ≤ anz + bn) = P M_1,n− bn an ≤ z → G1ξ(z) quando n → ∞

ent˜ao G1ξ ´e membro da fam´ılia GEV:

G1ξ(z) = exp ( − 1 + ξ z − µ σ −1_ξ) , (3.11) definida em {z : 1 + ξ(z − µ)/σ > 0}, onde −∞ < µ < +∞, σ > 0 e −∞ < ξ < ∞.

3.1.2 O Modelo Para as K−maiores Estat´ısticas de Ordem

Na se¸c˜ao anterior, conclu´ımos que a distribui¸c˜ao de M1,n converge para G1(z), mas

torna-se necess´ario generalizar para as K-maiores estat´ısticas de ordem, identificando qual o comportamento limite, para K fixo, quando n → ∞. Os resultados a seguir generalizam o Teorema 3.2.

Teorema 3.4 (Leadbetter, M., Lindgren, G., Rootz´en, H. (1983)) Supondo exis-tirem sequˆencias de constantes an > 0 e bn tais que

P M1,n− bn an

≤ z

→ G1(z) quando n → ∞,

onde G1 é uma fun¸cão de distribui¸cão não-degenerada, tal que G1 é uma GEV dada por

(3.11), ent˜ao para m = 1, 2, . . . , P Mm,n − bn an ≤ z → Gm(z) onde Gm(z) =              exp{−Λ(z)} m−1 X j=0 Λ(z)j j! , se ε z−µ σ > −1 para ε 6= 0 ou z ∈ R para ε = 0 0 , se z < µ − σ_ε para ε > 0 1 , se z > µ − σ_ε para ε < 0 . (3.12)

(44)

Derivando a express˜ao (3.12), obtemos a densidade

gm(z) =      exp{−Λ(z)}Λ 0_(z)Λ(z)m−1 (m − 1)! , se ε z−µ σ > −1 para ε 6= 0 ou z ∈ R para ε = 0

0 , caso contr´ario,

.

(3.13) onde Λ(z) = − log(G1(z)), Λ0(z) = dΛ(z)/dz, tamb´em

Λ(z) = Λε,µ,σ(z) =        1 + ε z − µ σ 1/ε , se ε 6= 0 exp −z − µ σ , se ε = 0, (3.14)

para algum −∞ < µ < ∞, σ > 0 e −∞ < ε < ∞. A distribui¸cão enunciada acima é chamada de distribui¸cão Generalized Extreme Value (GEV ), e classificada como sendo do tipo I (Gumbel), II (Fréchet) e III (Weibull) de acordo com os respectivos valores para ε = 0, ε > 0 e ε < 0.

A distribui¸cão conjunta exata de (M1,n, M2,n, . . . , MK,n) também não pode ser usada

para inferências, pois, como no caso anterior, esta depende da distribui¸cão primitiva F . Se F está no dom´ınio de atra¸cão de alguma distribui¸cão de valores extremos G1(ε, µ, σ)

com ε 6= 0 e com sequˆencias de constantes normalizadoras {an > 0} e {bn}, ent˜ao a

distribui¸c˜ao limite quando n → ∞ de M1,n− bn an , . . . ,MK,n− bn an , tem a seguinte fun¸c˜ao de densidade conjunta

˜ g(z1, . . . , zK) = exp ( − 1 + ε zK − µ σ −1/ε) K Y i=1 1 σ 1 + ε zi− µ σ −1/ε−1 , (3.15)

no conjunto dos valores de zi, i = 1, . . . , K, tal que 1 + ε(zi− µ)/σ > 0 e zK ≤ . . . ≤ z1.

Em (3.15), as constantes de escalas desconhecidas são absorvidas pelo parâmetro de forma ε, já que esta fornece a expressão da distribui¸cão limite conjunta para os três tipos de GEV. Quando ε → 0, ˜ g(z1, . . . , zK) = exp − exp − zK − µ σ K Y i=1 1 σexp −zi− µ σ , (3.16)

(45)

3.2 A C´opula Bi-extremal 43

onde µ ∈ R e zK ≤ . . . ≤ z1. Em (3.16), o caso K = 1 se reduz na densidade da fam´ılia

Gumbel. Uma outra expressão mais geral, que inclua os três casos é:

˜ gK(z1, . . . , zK) =        (−1)Kexp{−Λ(zk)} K Y j=1 Λ0(zj) , se(z1, . . . , zK) ∈ Ωε

(3.17) onde Ωε =        RK , se ε = 0 {(z1, . . . , zK) ∈ RK : z1 > . . . > zK > µ − σ/ε} , se ε > 0 {(z1, . . . , zK) ∈ RK : µ − σ/ε > z1 > . . . > zK} , se ε < 0. (3.18)

A distribui¸cão cuja densidade é fornecida em (3.17) com parâmetros −∞ < µ < ∞, σ > 0 e −∞ < ε < ∞ é chamada de distribui¸cão Multivariate Generalized Extreme Value (MGEV).

3.2 A C´

opula Bi-extremal

Nesse cap´ıtulo iremos reproduzir a expressão da cópula pertinente às duas maiores estat´ısticas de ordem, que foi chamada de cópula bi-extremal, conforme [6].

3.2.1 Determina¸

c˜

ao

A distribui¸cão marginal limite do máximo M1,n e da segunda maior M2,n são dadas

por

G1(z) = exp{−Λ(z)} (3.19)

G2(z) = exp{−Λ(z)}[1 + Λ(z)]. (3.20)

Onde, Λ(z) = − log(G1(z)). E as densidades marginais s˜ao dadas por

g1(z) = exp{−Λ(z)}Λ0(z) (3.21)

g2(z) = exp{−Λ(z)}Λ0(z)Λ(z). (3.22)

(46)

3.2 A C´opula Bi-extremal 44 assint´otica ˜ g2(z1, z2) =        (−1)2exp{−Λ(z2)} 2 Y i=1 Λ0(zi) , (z1, z2) ∈ Ωε

. (3.23) Onde Ωε =          R2 , ε = 0 n (z1, z2) ∈ R2 : z1 > z2 > µ − σ ε o , ε > 0 n (z1, z2) ∈ R2 : µ − σ ε > z1 > z2 o , ε < 0 . (3.24) Isto ´e, ˜ g2(z1, z2) =            (−1)2exp{−Λ(z2)} 2 Y i=1 Λ0(zi) , zi ∈ R se ε = 0, z1 > z2 e 1 + εzi > 0 se ε 6= 0; i = 1, 2.

.

(3.25) A partir desse ponto e utilizando os resultados obtidos anteriormente, Mendes e Sanfins [6], obtiveram a densidade cBIX da c´opula bi-extremal e a c´opula CBIX.

Teorema 3.5 (Sanfins e Mendes 2007 - A desnsidade da c´opula CBIX) A fun¸c˜ao

de densidade da cópula bi-extremal, pertinente à distribui¸cão limite das duas maiores es-tat´ısticas de ordem oriundas de uma sequência de variáveis aleatórias (i.i.d.) é dada por: cBIX(u, v) =    ψ(v) u(v − ψ(v)) , 0 ≤ u, v, ψ(v) ≤ 1, ψ(v) ≤ u, ψ(v) ≤ v 0 , caso contrário

. (3.26)

Onde v = ψ(v)(1 − log(ψ(v))). (3.27)

Prova: Substituindo as express˜oes (3.21), (3.22), (3.23) em (2.6), tem-se que: g(z1, z2) = exp{−Λ(z2)}Λ0(z1)Λ0(z2)

= c(u, v) exp{−Λ(z1)}Λ0(z1)(− exp{−Λ(z2)}Λ0(z2)Λ(z2)).

Isto ´e, c(u, v) = _exp{−Λ(z1

1)}Λ(z2). Sabemos que Λ(z1) = − log(G1(z1)). Ent˜ao, isso implica

que exp{−Λ(z1)} = G1(z1) = u. Da´ı, obt´em-se que c(u, v) = _uΛ(z1

2). Defina ψ(v) =

(47)

que v = ψ(v)(1 − log(ψ(v))) ⇔ log(ψ(v)) = −v−ψ(v)_ψ(v) = ψ(v)−v_ψ(v) . Logo, c(u, v) = _u(ψ(v)−v)ψ(v) . Note que se z2 ≤ z1 ⇒ ψ(v) = − exp{−Λ(z2)} e de (3.19), tem-se que ψ(v) ≤ u. Al´em

disso, se G1(z2) < G2(z2) ent˜ao ψ(v) < v, pois G1(z2) = − exp{−Λ(z2)} = ψ(v) e

G2(z2) = v.

A fun¸cão de distribui¸cão bivariada limite das duas maiores estat´ısticas de ordem é dada por ˜ G2(z1, z2) = ( exp{−Λ(z2)}[1 + Λ(z2) − Λ(z1)] , z2 ≤ z1 exp{−Λ(z1)} , z2 > z1 . Prova: (i) z2 ≤ z1 ˜ G2(z1, z2) = 1 − P (M1,n> z1) | {z } a − P (M2,n > z2) | {z } b + P (M1,n > z1, M2,n> z2) | {z } c a. P (M1,n> z1) = 1 − P (M1,n≤ z1) = 1 − G1(z1) = 1 − exp[−Λ(z1)]. b. P (M2,n> z2) = 1 − P (M2,n≤ z2) = 1 − G2(z2) = 1 − exp{−Λ(z2)}[1 + Λ(z2)]. c. P (M1,n> z1, M2,n> z2) = Z +∞ z1 Z +∞ z2 exp[−Λ(z2)]Λ0(z2)Λ0(z1)dz1 dz2 = Z +∞ z1 Z z1 z2 exp[−Λ(z2)]d[−Λ(z2)]d[−Λ(z1)] = Z +∞ z1 {exp{−Λ(z2)}|zz12}d[−Λ(z1)] = Z +∞ z1 exp{−Λ(z1)}d[−Λ(z1)] − Z +∞ z1 exp{−Λ(z2)}d[−Λ(z1)] = {exp{−Λ(z1)}|+∞z1 } − exp{−Λ(z2)}{−Λ(z1)| +∞ z1 } = 1 − exp{−Λ(z1)} − exp{−Λ(z2)}[Λ(z1)].

Note que lim

z1→+∞

exp[−Λ(z1)] = lim z1→+∞

(48)

Juntando a., b. e c., tem-se que: ˜

G2(z1, z2) = 1 − (1 − exp{−Λ(z1)}) − (1 − exp{−Λ(z2)}[1 + Λ(z2)])

+ (1 − exp{−Λ(z1)} − exp{−Λ(z2)}[Λ(z1)])

= exp{−Λ(z2)} + exp{−Λ(z2)}[Λ(z2)] − exp{−Λ(z2)}[Λ(z1)]

= exp{−Λ(z2)}[1 + Λ(z2) − Λ(z1)]. (ii) z2 > z1 ˜ G2(z1, z2) = P (M1,n ≤ z1, M2,n≤ z2) = Z z1 −∞ Z z1 z1 exp{−Λ(z2)}[Λ0(z1)][Λ0(z2)]dz2dz1 = Z z1 −∞ exp{−Λ(z1)}[Λ0(z1)]dz1 = Z z1 −∞ exp{−Λ(z1)}d[Λ(z1)] = exp{−Λ(z1)}|z−∞1 = exp{−Λ(z1)} − lim z1→−∞ exp{−Λ(z1)} = exp{−Λ(z1)} − lim z1→−∞ G1(z1) = exp{−Λ(z1)} = G1(z1) = u.

Do Teorema 2.1, tem-se que CBIX(u, v) = ˜G2(G−11 (u), G −1

2 (v)). Sabe-se que G1(z1) =

exp{−Λ(z1)} = u ⇒ −Λ(z1) = log(u), ent˜ao pode-se escrever z1 = (− log(u))

−ε₋₁

ε = G −1 1 (u)

devido a ´ultima igualdade a seguir

G1(z) = exp{−[1 + εz]−1/ε} ⇔ log(G1(z)) = −[1 + εz]−1/ε ⇔ − log(G1(z)) = [1 + εz]−1/ε ⇔ [− log(G1(z))]−ε= 1 + εz ⇔ z = [− log(G1(z))] −ε_{− 1} ε .

Além disso, sabe-se também que G2(z2) = exp{−Λ(z2)}[1 + Λ(z2)] = v, então pode-se

escrever z2 = (− log(ψ(v)))−ε− 1 ε = G −1 2 (v) (3.28)

(49)

pois ψ(v) = exp{−Λ(z2)} ⇒ Λ(z2) = − log(ψ(v)). Ainda, veja que v = ψ(v)[1 −

log(ψ(v))] ⇔ v−ψ(v)_ψ(v) = − log(ψ(v)). Da´ı, substituindo em 3.28, tem-se que

z2 = v−ψ(v) ψ(v) −ε − 1 ε (3.29) ⇔ εz2 = v − ψ(v) ψ(v) −ε − 1 (3.30) ⇔ (1 + εz2)−1/ε = v − ψ(v) ψ(v) . (3.31) Como v = ψ(v)[1 − log(ψ(v))] (3.32) ⇔ v = ψ(v)[1 + Λ(z2)] (3.33) ⇔ Λ(z2) = v − ψ(v) ψ(v) . (3.34)

Associando (3.31) e (3.34) tem-se que Λ(z2) =

v − ψ(v)

ψ(v) = (1 + εz2)

−1/ε

. (3.35)

Ainda, associando (3.29) e (3.35) tem-se que

Λ(z2) =   1 + ε v−ψ(v) ψ(v) −ε − 1 ε    −1/ε . (3.36)

Assim, tem-se os argumentos necess´arios para se obter a c´opula CBIX.

Teorema 3.6 (Sanfins e Mendes 2007 - A c´opula CBIX) A c´opula bi-extremal CBIX,

pertinente á distribui¸cão limite das duas maiores estat´ısticas de ordem oriundas de uma sequência de variáveis aleatórias (i.i.d.), é dada por

CBIX(u, v) =

(

v + ψ(v) log(u) , v ≤ u(1 − log(u))

u , v > u(1 − log(u)) . (3.37)

Prova:

(50)

v = ψ(v)(1 − log(ψ(v))) ⇒ v ≤ u(1 − log(u)). Para v ≤ u(1 − log(u)), tem-se que ˜ G2(G−11 (u), G −1 2 (v)) = exp −v − ψ(v) ψ(v) 1 + v − ψ(v) ψ(v) + log(u) = exp −v − ψ(v) ψ(v) ψ(v) + v − ψ(v) ψ(v) + log(u) = exp −v − ψ(v) ψ(v) v ψ(v) + log(u) . Mas v = ψ(v)(1 − log(ψ(v))). Ent˜ao,

˜ G2(G−11 (u), G −1 2 (v)) = exp −ψ(v) − ψ(v) log(ψ(v)) − ψ(v) ψ(v) v ψ(v) + log(u) = exp {log(ψ(v))} v ψ(v) + log(u) = v + ψ(v) log(u).

(ii) Se z2 > z1 e para ε > 0, tem-se que exp{Λ(z1)} = G1(z1) = v < ψ(v) = G1(z2) <

G2(z2) = v, logo CBIX = u = min{u, v}.

Segundo a Defini¸cão 2.1.1, a cópula bi-extremal deve satisfazer as três propriedades. Isto é, deve satisfazer:

(i) C(u, 0) = 0 = C(0, v), ∀u, v; (ii) C(u, 1) = u e C(1, v) = v;

(iii) C(u2, v2) − C(u2, v1) − C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0, tal que u1 ≤ u2, v1 ≤ v2.

Prova:

(i) Note que o maior valor que v assume ´e u(1−log(u)). Da´ı, C(u, 0) = 0+ψ(v) log(u) = 0 + 0 log(u) = 0 e C(0, v) = lim

u→0(v + ψ(v) log(u)) ≤ limu→0[u(1 − log(u)) + u log(u)] =

= lim

u→0[u − u log(u) + u log(u)] = limu→0u = 0.

(ii) Veja que C(u, 1) = u(1 − log(u)) + u log(u) = u e C(1, v) = v + ψ(v) log(u) = v + ψ(v) log(1) = v.

(51)

(iii) Sejam a, b, c, d ∈ (0, 1) com a ≤ b e c ≤ d, logo:

C(b, d) − C(b, c) − C(a, d) + C(a, c) = (d + ψ(d) log(b)) − (c + ψ(c) log(b)) − (d + ψ(d) log(a)) + (c + ψ(c) log(a)) = d + ψ(d) log(b) − c − ψ(c) log(b) − d − ψ(d) log(a) + c + ψ(c) log(a)

= ψ(d) log(b) − ψ(c) log(b) − ψ(d) log(a) + ψ(c) log(a) = ψ(d)(log(b) − log(a)) + ψ(c)(log(a) − log(b))

= (ψ(d) − ψ(c))(log(b) − log(a)).

Como (ψ(d) − ψ(c)) ≥ 0 e (log(b) − log(a)) ≥ 0, tem-se que (ψ(d) − ψ(c))(log(b) − log(a)) ≥ 0, isto ´e, C(u2, v2) − C(u2, v1) − C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0.

3.2.2 C´

opula Condicional - A LTDC

Cópulas condicionais são úteis quando temos acesso a um vetor de co-variáveis que tem informa¸cões sobre a estrutura de dependência das variáveis de interesse e têm im-portantes aplica¸cões, quando somos obrigados a estimar as distribui¸cões condicionais ou incondicionais de dados.

´

E interessante estudar a estrutura de dependência da cópula nas regiões superior ou inferior, ou seja, próximo à região limite (1, 1) ou (0, 0). Este fato torna-se interessante, pois, em muitos casos, esta estrutura limite é completamente diferente do todo. Visando a um melhor entendimento sobre esta estrutura, Charpentier introduziu o conceito da LTDC (the lower tail dependence copula) [5], que nada mais é do que a cópula condicional de (U, V ) dada a ocorrência de (U ≤ u, V ≤ v). Além desta nova cópula que reflete a estrutura de dependência condicional, também podemos estudar o limite desta distribu¸cão quando u e v tende a 1 ou 0, o que permite conhecer exatamente o comportamento das caudas.

Seja (U, V ) o vetor aleat´orio em [0, 1]2 _{com fun¸c˜}_{ao distribui¸c˜}_{ao C e definido para todo}

(u, v) ∈ [0, 1]2 _{o evento Ξ = {U ≤ u} ∩ {V ≤ v}. A distribui¸c˜}_{ao condicional de (U, V )}

dado Ξ, FC|Ξ ´e dada por

FC|Ξ(x, y) = P (U ≤ x, V ≤ y|Ξ) =

C(x, y)

(52)

As distribui¸c˜oes marginais s˜ao dadas por

FU |Ξ(x) = FC|Ξ(x, v) = C(x, v) C(u, v) (3.39) FV |Ξ(y) = FC|Ξ(u, y) = C(u, y) C(u, v). (3.40)

A LTDC, referente a C, denotada por ΦC|Ξ, ´e:

ΦC|Ξ(z, w) = FC|Ξ(F_{U |Ξ}−1(z), F_{V |Ξ}−1(w)) =

C(F_{U |Ξ}−1(z), F_{V |Ξ}−1(w))

C(u, v) . (3.41)

A defini¸cão acima é de extrema importância, pois possibilita encontrar o comportamento limite da estrutura de dependência entre as variáveis. Para o caso da bi-extremal, esta defini¸cão torna-se ainda mais interessante, visto que irá possibilitar entender o compor-tamento dos valores extremos.

Teorema 3.7 A LTDC para c´opula bi-extremal ´e dada por

ΦC|Ξ(z, w) =

(

zw , F_{V |Ξ}−1(w)) ≤ F_{U |Ξ}−1(z)(1 − log(F_{U |Ξ}−1(z)))

z , F_{V |Ξ}−1(w)) > F_{U |Ξ}−1(z)(1 − log(F_{U |Ξ}−1(z))) . (3.42)

Prova:

(i) Quando v ≤ u(1 − log(u)):

FC|Ξ(x, y) = C(x, y) C(u, v) =      y + ψ(y) log(x) v + ψ(v) log(u) , y ≤ x(1 − log(x)) x v + ψ(v) log(u) , y > x(1 − log(x)) . (3.43) FU |Ξ(x) = FC|Ξ(x, v) =      v + ψ(v) log(x) v + ψ(v) log(u) , v ≤ x(1 − log(x)) x v + ψ(v) log(u) , v > x(1 − log(x)) . (3.44) FV |Ξ(y) = FC|Ξ(u, y) =      y + ψ(y) log(u)

v + ψ(v) log(u) , y ≤ u(1 − log(u)) u

v + ψ(v) log(u) , y > u(1 − log(u))

. (3.45)

Vamos calcular as inversas relativas às distribui¸cões marginais de U e V , isto é, F_{U |Ξ}−1 e F_{V |Ξ}−1.

(53)

3.2 A C´opula Bi-extremal 51 (3.44), tem-se que z = FU |Ξ(x) ⇒ x = F_{U |Ξ}−1(z) ⇒ exp z(v + ψ(v) log(u)) − v ψ(v) = x. (3.46) A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional F_{V |Ξ}−1 em (3.45), tem-se que

w = FV |Ξ(y) ⇒ y = F_{V |Ξ}−1(w) (3.47)

w = y + ψ(y) log(u)

v + ψ(v) log(u) ⇔ (v + ψ(v) log(u))w = y + ψ(y) log(u) (3.48) Substituindo (3.46) e (3.48) em (3.43), tem-se: ΦC|Ξ(z, w) = FC|Ξ(F_{U |Ξ}−1(z), F_{V |Ξ}−1(w)) = y + ψ(y) log exp{z(v+ψ(v) log(u))−v_ψ(v) } v + ψ(v) log(u) = h v + ψ(v)z(v+ψ(v) log(u))−ψ(v)v_ψ(v) i w v + ψ(v) log(u) = (ψ(v)v + ψ(v)[zv + zψ(v) log(u)] − ψ(v)v) w ψ(v) v + ψ(v) log(u) = (ψ(v)zv + zψ(v) 2_log(u)]) w ψ(v) v + ψ(v) log(u) = (zv + zψ(v) log(u)])w v + ψ(v) log(u) = (v + ψ(v) log(u)])zw v + ψ(v) log(u) = zw.

Portanto, a LTDC da cópula bi-extremal é a cópula produto quando y ≤ x(1 − log x). Logo, para todo par bivariado (u, v) dado, a LTDC é a cópula produto, o que caracteriza que condicionalmente as variáveis são independentes.

b. Seja y > x(1 − log(x)). A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional F_{U |Ξ}−1 em (3.44), tem-se que

z = FU |Ξ(x) =

x

v + ψ(v) log(u) ⇔ x = z(v + ψ(v) log(u)).

(54)

A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional F_{V |Ξ}−1 em (3.45), tem-se que

w = FV |Ξ(y) = u v + ψ(v) log(u). Da´ı, ΦC|Ξ(z, w) = z(v + ψ(v) log(u)) v + ψ(v) log(u) = z.

Portanto, a LTDC da cópula bi-extremal é o máximo quando y > x(1 − log x). Logo, para todo par bivariado (u, v) dado, a LTDC é a cópula de dependência positiva perfeita, isto é min{z, w} = z, o que caracteriza que condicionalmente, no limite, o máximo e o segundo maior não são diferenciados por ordem. (ii) Quando v > u(1 − log(u)).

Vamos calcular as inversas relativas às distribui¸cões marginais de U e V , isto é, F_{U |Ξ}−1 e F_{V |Ξ}−1.

a. Seja y ≤ x(1 − log(x)). A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional F_{U |Ξ}−1 em (3.50), tem-se que

z = FU |Ξ(x) ⇒ x = F_{U |Ξ}−1(z) ⇒ x = uz. (3.52)

A partir da distribui¸c˜ao marginal condicional F_{V |Ξ}−1 em (3.51), tem-se que

w = FV |Ξ(y) ⇒ y = F_{V |Ξ}−1(w) (3.53)

w = y + ψ(y) log(u)

u ⇔ uw = y + ψ(y) log(u) (3.54)