No Capítulo2é dada uma abordagemresumida dos métodos de otimização,
e posteriormente, éfeitoum detalhamentodoMOT, desta ando-se, uma revisão
bibliográ a sobre OT (Seção 2.2), os on eitos prin ipaisdo MOT (Seção2.3),
e onsiderações sobre o método e seus problemas numéri os, nas Seções 2.5 e
2.6, respe tivamente. NosCapítulos3e4estãodes ritos osprojetosdos MAPse
LOMPs,respe tivamente,ondesãoabordadosomodelodematerial,aformulação
do problema da OT na forma ontínua e dis reta, e os resultados obtidos. Na
Seção3.4sãoapresentadososresultadosnuméri oseexperimentaisdosprotótipos
fabri ados dos atuadores MAPs. Os projetos apresentados nos Capítulos 5 e 6
in luem o on eito MGF na formulação da OT no desenvolvimento dos MAPs
MGFs e Bilaminares MGFs, respe tivamente. Nesses apítulos são des ritos a
formulaçãodeOTutilizadae omoo on eitoMGFfoiapli adonaOT,bem omo
osresultadosobtidos. ComooprojetodosBilaminaresMGFséum asoparti ular
daformulação desenvolvidapara osMAPs MGFs. NoCapítulo6são detalhados
apenas os pontos prin ipais da formulação desse problema. Finalmente, no
Capítulo7 en ontram-seas on lusões e observações gerais sobre essa tese, bem
omo são apresentados propostas de trabalhos futuros.
Os textos omplementares para entendimento da tese são apresentados em
apêndi es. Nos apêndi es A e B estão des ritos os on eitos de piezeletri idade
e do MEF piezelétri o, respe tivamente. No apêndi e C é des rita a formulação
bási a da transdução média utilizada nas formulações des ritas nessa tese. No
apêndi e D está des rito a teoria da PLS (Programação Linear Seqüen ial)
utilizada nos programas desenvolvidos. Os protótipos dos MAPs fabri ados
e não- ara terizados estão ilustrados no apêndi e F, e a des rição da té ni a
interferométri a utilizada,bem omo os pro edimentosde montagem dos MAPs
2 Método de Otimização
Topológi a
A otimização de estruturas me âni as bus a a melhor on guração possível
de maneira a atender uma função objetivo espe i a. Desta forma, onsidere
o exemplo des rito na Figura 2.1 para o problema de otimização estrutural. O
problema onsiste em en ontrar a estrutura otimizada om a máxima rigidez
om o mínimo volume de material, para as mesmas ondições de arregamento
e restrições me âni as, apli adas à estrutura. Existem essen ialmente três
abordagens para solução desse problema de otimização estrutural.
A primeira ategoria de otimização estrutural (ver Figura 2.1(a)) onsiste
em assumir para a estrutura uma forma xa previamente de nida, neste aso,
a estrutura está dis retizada om elementos de treliça, onde as ara terísti as
geométri as, omo por exemplo, a área da se ção transversal de ada elemento
são as variáveis de projeto do problema, ou seja, os parâmetros que podem ser
alterados paraotimizaraestrutura. Essa abordagemé onhe idaporotimização
paramétri a(Vanderplaats1984). Assim,utilizandoumalgoritmo omputa ional
deotimizaçãoparaen ontrarasáreasindividuaisde adaelementodetreliça,que
maximiza a rigidez da estrutura respeitando a restrição de volume, obtém-se o
resultado mostrado na Figura2.1(b).
A segunda ategoria é a otimização de forma (ver Figura 2.1( )), onde os
ontornosexternos einternosdaestrutura são parametrizados por urvassplines
e os parâmetros dessas urvas onstituem as variáveis de projeto. Através de
um algoritmo omputa ional de otimização são determinados os parâmetros
ótimos das urvas splines, e onseqüentemente a forma ótima da estrutura (ver
Figura2.1(d))quemaximizaarigidezparaum dadovolume (Haftkaetal.1990).
Isto aumenta o espaço de solução, sendo um método mais geral do que o
último, e portanto uma maior maximização da função objetivo é esperado. No
entanto, a prin ipal desvantagem da otimização de forma é omo lidar om a
F
(a)DomíniodeProjeto (b)ResultadoObtido
F
( )Domínio deProjeto (d)ResultadoObtido
F
(e)Domínio deProjeto (f)ResultadoObtido
Figura 2.1: Exemplo de 3 ategorias de otimização estrutural: (a)e (b)
otimizaçãoparamétri a; ( ) e (d) otimização de forma,e (e) e (f) otimização
topológi a.
(MEF) (Bathe 1995) é utilizado para analisar a estrutura durante o pro esso
de otimização,sefaz ne essárioutilizaralgoritmosde remalhamento,esehouver
umagrandemudançanaformadodomínio a extremamentedifí ilmanteruma
malha razoável sem elementosmuito deformados.
Finalmente, a última ategoria onsiste em se obter a on guração ótima,
bus andoen ontraradistribuiçãoótimadematerialnointeriordaestrutura(ver
Figura2.1(e)),de talformaa permitira riação de bura os nas regiõesondenão
houverane essidade dematerial(verFigura2.1(f)). Essa abordagemé hamada
de otimização topológi a(OT). As variáveisde projetopodem ser, por exemplo,
medidas que indi am a distribuição de material em ada ponto do domínio. A
OT é a mais genéri a, sendo que a quantidade de material removida e o valor
nal da função objetivo são maiores do que nos outros métodos de otimização,
onseqüentemente, obtém-se a estrutura mais leve e om melhor desempenho.
Existem vários algoritmos para a solução da otimização, disponíveis para
problemas não-lineares om restrições (Vanderplaats 1984, Haftka et al. 1990).
de optimalidade é um algoritmo de otimização que apresenta uma formulação
espe í a desenvolvida para resolver um dado problema de otimização. No
entanto, é e iente omputa ionalmente e foi apli ado nos primeiros problemas
de OT, prin ipalmente no problema de minimização de exibilidade média (ou
maximizaçãoderigidez)(Cheng&Olho1981,Cheng&Olho1982,Bendsøe&
Kiku hi1988, Suzuki &Kiku hi1991). Já osmétodos baseados naprogramação
matemáti aemétodosdeaproximaçãoseqüen ialsãométodos lassi ados omo
genéri os podendoser apli adosnasolução de qualquer problema de otimização.
Os métodos seqüen iais omo os métodos de PLS (Haftka et al. 1990), MMA
(Svanberg 1987, Bruyneel et al. 2002) e o PQS (Haftka et al. 1990) têm sido os
mais apli adospara resolvero problema de OT. Alémdisso, variaçõesdoMMA,
omo oGMMA (Zhangetal.1996), GBMMA eGCMMA(Bruyneel et al.2002)
também podem ser empregados.
Neste apítulo será apresentada uma abordagem introdutória e uma
revisão bibliográ a sobre a OT nas Seções 2.1 e 2.2, respe tivamente. As
prin ipais ara terísti as doMOT são, on eitos prin ipais, modelo de material,
onsiderações, e problemas numéri os, des ritas nas Seções 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6,
respe tivamente.
2.1 Introdução à Otimização Topológi a
O MOT é uma e iente ferramenta de otimização omputa ional. A OT
otimiza estruturas riando bura os lo alizados de forma ótima, de maneira a
extremizarumafunçãoobjetivode nidaesujeitaarestrições, omo,porexemplo,
a redução de volume. Essen ialmente, o MOT distribui material no interior de
um domínio xo, dis retizado emelementos nitos, que permane e xo durante
opro essodeotimização. Omaterialem adapontododomínio xopodevariar,
por exemplo, de um material do tipo A (por exemplo, vazio) a um material do
tipo B (por exemplo, um material sólido), assumindo materiais intermediários
entreAeB dea ordo omumaleidemisturaadotada,denominadade modelode
material. NaOT,asvariáveisdeprojetosãoasvariáveisquede nemomodelode
materialem adapontododomínio xo(Bendsøe&Kiku hi1988,Bendsøe1989).
A OT é um método iterativo que pode ser implementado, por exemplo,
ombinando-se algoritmos de otimização om o MEF, ou seja, a ada iteração
o algoritmo de otimização distribui material no interior do domínio xo, que é
domínioqueatendeàs ondiçõesdeprojeto. AFigura2.2mostraopro edimento
de projeto de atuadores piezelétri os utilizando o MOT desenvolvido neste
trabalho. A OT neste trabalho é apli ada para maximizar a função objetivo,
noqualdeseja-se obtero máximodeslo amentonos movimentosde atuação om
a minimização do movimento a oplado sujeito a restrição de volume, portanto,
trata-se de uma função multi-objetivo.
Primeiramente é gerado um domínio ini ial de projeto, omo mostrado na
Figura 2.2(a), sendo dis retizado em elementos nitos (ver Figura 2.2(b)). A
distribuição de materialno domíniodis retizadoé alteradoa ada iteração,pelo
programa de OT, e após obter a onvergên ia é gerado um arquivo que ontém
adistribuição dematerialotimizadonodomínioini ial(representado porvalores
entre zero e um em ada elemento nito, ver Figura 2.2( )). A imagem da
topologia obtida deve ser interpretada utilizando software de Computer-Aided
Design (CAD), omo mostrado na Figura 2.2(d), e posteriormente é realizada
uma análise da topologia interpretada utilizando o MEF (ver Figura 2.2(e)).
Finalmente,naFigura2.2(f)ilustraoprotótipodoatuadorpiezelétri ofabri ado
utilizando, porexemplo,o pro essode Eletroerosão àFio. Essa interpretaçãodo
resultado pode ser realizadautilizando-se té ni as de pro essamento de imagem
e té ni as de otimização de forma (Bremi ker et al. 1991), ou simplesmente
desenhando-se umanovaestrutura baseada naimagemforne ida peloMOT.São
realizadaspequenasalteraçõesnatopologiadaestruturapara fa ilitaropro esso
de fabri açãoque podem eventualmente alterar oseu desempenho.