Ortogonalidade e Operadores - Teorema do Mergulho de Whitney

2.7 Teorema do Mergulho de Whitney

3.1.5 Ortogonalidade e Operadores

Seja X um espa¸co normado e X′_{o espa¸co dual de X, se M ´e um subespa¸co de X, definimos} M⊥ ₌_{{f ∈ X}′ _{: f (x) = 0,}_{∀x ∈ M}}

e dizemos que ´e complemento ortogonal de M . De maneira dual, seja N subespa¸co de X′_{, definimos} N⊥ ₌_{{x ∈ X : f(x) = 0, ∀f ∈ N}}

e dizemos que ´e complemento ortogonal de N .

Para M _{⊆ X e N ⊆ X}′ _{sempre temos que M}⊥ _{e N}⊥ _{s˜ao fechados, e (M}⊥₎⊥ _{= M e} (N⊥₎⊥_{⊇ N.}

Teorema 3.1.62. Seja M subespa¸co de X com X espa¸co de Banach. Então (i) X′_/(M⊥_{) ∼}_{= M}′ _{(via bije¸cão linear isométrica)}

(ii) Se M é subespa¸co fechado, então (X/M )′ ∼_{= M}⊥ _{(via bije¸cão linear cont´ınua)} em que ∼= quer dizer que existe uma bije¸cão linear.

Demonstra¸c˜ao: (i) Defina ψ : X′_/(M⊥₎ _{→ M}′ _{dada por ψ([f ]) = f}_|

M onde [f ] ∈ X′_/(M⊥_{), ψ ´e claramente injetiva e linear. Para mostrar a sobrejetividade e a isometria,} basta usar o Corol´ario do Teorema de Hahn-Banach 3.1.25.

(ii) Defina φ : M⊥_{→ (X/M)}′_{dada por φ(f )([x]) := f (x) para f} _{∈ M}⊥_{e todo [x]}_{∈ X/M.} Segue que φ ´e claramente linear e injetiva, vejamos a sobrejetividade. Seja f _{∈ (X/M)}′_, defina g : X → K por g(x) = 0 para todo x ∈ M e g(x) = f([x]) caso x /∈ M.

Afirma¸c˜ao: g ´e linear e cont´ınua

(Linear) Se x e y estão em M , temos que g(x + γy) = 0 = 0 + 0 = g(x) + γg(y). Se x e y não estão em M temos que g(x + γy) = f ([x + γy]) = f ([x] + γ[y]) = f ([x]) + γf ([y]) = g(x) + γg(y). Vejamos o último caso:

Suponha que x∈ M e y /∈ M. Note que x + γy /∈ M (caso contrário x + γy ∈ M, e como x _{∈ M temos que y ∈ M, pois M é subespa¸co, o que é uma contradi¸cão pois supomos} y /_{∈ M). Assim,}

g(x + γy) = f ([x] + γ[y]) = f ([x]) + γf ([y]), agora x _{∈ M ent˜ao [x] = [0] e portanto} f ([x]) = 0, segue que

g(x + γy) = f ([x]) + γf ([y]) = 0 + γg(y) = g(x) + γg(y) Em qualquer dos casos temos o desejado, logo g ´e linear.

(Continuidade) Primeiro lembre que _||.||X/M está bem definida, pois M é fechado. Veja que _{||g(x)|| = 0 ≤ ||x|| se x ∈ M. Suponha agora que x /}_{∈ M temos que ||g(x)|| =} ||f([x])|| ≤ ||[x]||X/M = dist(x, M )≤ ||x|| já que 0 ∈ M. Donde g é cont´ınua, e portanto

g ∈ X′_{, e segue que φ(g) = f , e temos o desejado.}

Vejamos o seguinte fato:

Fato 3.1.63. Seja T _{∈ B(X, Y ) com X e Y espa¸cos de Banach. Ent˜ao} (a) ker(T ) = (Im(T∗₎₎⊥

(b) ker(T∗_{) = (Im(T ))}⊥ (c) (ker(T ))⊥ _{⊇ Im(T}∗₎ (d) (ker(T∗₎₎⊥ _{= Im(T )}

Demonstra¸c˜ao: (a) e (b) seguem diretamente da defini¸c˜ao. Usando que para M _{⊆ X} temos que (M⊥₎⊥ _{= M , de (b), obtemos que (ker(T}∗₎₎⊥ _{= Im(T ).}

De (a) e usando que para N _{⊆ X}′ _{temos que (N}⊥₎⊥ _{⊇ N segue que (ker(T ))}⊥ _{⊇ Im(T}∗_).

Proposi¸cão 3.1.64. Seja T _{∈ B(X, Y ) com X e Y espa¸cos de Banach. As seguintes} afirma¸cões são equivalentes:

(i) (ker(T∗₎₎⊥ _{= Im(T )} (ii) Im(T ) ´e fechada (iii) (ker(T ))⊥ _{= Im(T}∗₎

(iv) Im(T∗_{) ´e fechada}

Demonstra¸cão: (i)⇔ (ii) Sempre vale que (ker(T∗₎₎⊥_{= Im(T ). Suponha que (ker(T}∗₎₎⊥ ₌ Im(T ), como (ker(T∗₎₎⊥ _{é fechado, segue que Im(T ) é fechado.}

(ii) ⇒ (iii) Temos que (ker(T ))⊥ _{⊇ Im(T}∗_{), em particular Im(T}∗₎ _{⊆ (ker(T ))}⊥_{. Pela} observa¸cão 3.1.58, temos que X/ ker(T ) ∼= Im(T ) (via homeomorfismo linear), pois Im(T ) é fechado, e portanto (X/ ker(T ))′ ∼_{= Im(T )}′ _{(via homeomorfismo linear), e sempre temos} que e Y′_{/ ker(T}∗_{) ∼}_{= Im(T}∗_{) (via bije¸cão linear cont´ınua).}

Digamos que γ : X/ ker(T )_{→ Im(T ) dada por γ([x]) = T (x) ´e o homeomorfismo linear, e} ˆ

γ : (X/ ker(T ))′ _{→ Im(T )}′_{´e o homeomorfismo linear com ˆ}_{γ(f ) = f}_◦γ−1_{e (ˆ}_γ)−1_{(g) = g}_◦γ; e θ : Y′_{/ ker(T}∗₎_{→ Im(T}∗_{) θ([g]) = T}∗_{(g) para g} _{∈ Y}′_.

Temos que φ : ker(T )⊥ _{→ (X/ ker(T ))}′ _{dada por φ(f )([x]) := f (x) para f} _{∈ ker(T )}⊥ _e todo [x]∈ X/ ker(T ) é uma bije¸cão linear cont´ınua; e ψ : Y′_{/(Im(T )}⊥₎_{→ Im(T )}′ _dada por ψ([f ]) = f_|Im(T ) onde [f ]∈ Y′/(Im(T )⊥) é uma bije¸cão linear isométrica.

Afirma¸c˜ao: (ker(T ))⊥_{⊆ Im(T}∗₎

Tome f ∈ ker(T )⊥_{, temos que φ(f )} _{∈ (X/ ker(T ))}′_{. Assim, ˆ}_{γ(φ(f ))} _{∈ Im(T )}′_{, logo}

ψ−1_(ˆ_{γ(φ(f )))} _{∈ Y}′_{/(Im(T )}⊥_{) = Y}′_{/ ker(T}∗_{) pois ker(T}∗_{) = (Im(T ))}⊥_{. Assim, θ(ψ}−1_(ˆ_{γ(φ(f ))))}_∈ Im(T∗_).

Note que θ(ψ−1_(ˆ_{γ(φ(f )))) = f . De fato, veja que ˆ}_{γ(φ(f )) = φ(f )}_{◦ γ}−1 _{onde φ(f )}_{◦ γ}−1 _∈ Im(T )′ _{estendendo tal funcional para Y}′ _{pelo Corol´ario 3.1.25 do Teorema de Hahn-} Banach, obtemos que φ(f )_{◦ γ}−1 _{∈ Y}′ _{donde ψ}−1_{(φ(f )}_{◦ γ}−1_{) = [φ(f )}_{◦ γ}−1_{]. Segue que} θ([φ(f )◦ γ−1_{]) = T}∗_{(φ(f )}_{◦ γ}−1_{). Devemos mostrar que T}∗_{(φ(f )}_{◦ γ}−1_{)(x) = f (x) para} todo x∈ X. Mas T∗_{(φ(f )}_{◦ γ}−1_{)(x) = φ(f )}_{◦ γ}−1_{(T (x)) = φ(f )}_{◦ γ}−1_{(T (x)) = φ(f )[x] =} f (x), como quer´ıamos.

Assim f ∈ Im(T∗_{), e vale a afirma¸c˜ao, e mostra que (ii) implica (iii).}

Im(T∗_{) ´e fechado.}

(iv) _{⇒ (ii) Suponha que Im(T}∗_{) é fechado em X}′_{. Defina Z = Im(T ) subespa¸co de Y} e considere o operador S : X _{→ Z definido como S(x) = T (x) para cada x ∈ X. Note} que Im(S) = Im(T )_{⊆ Im(T ). Seja f ∈ Z}′_{, pelo Corolário 3.1.25 do Teorema de Hahn-} Banach, existe f _{∈ Y}′ _{extensão de f , ou seja, f}_|

Z = f . Considere S∗ : Z′ → X′ assim S∗_{(f )(x) = f (S(x)) = f (T (x)) = T}∗_{(f )(x) para todo x} _{∈ X, e portanto S}∗_{(f ) = T}∗_{(f ).} Da´ı Im(S∗_{) = Im(T}∗_).

Afirma¸c˜ao: S∗ _{: Z}′ _{→ X}′ _{´e injetiva}

Sejam f, g∈ Z′ _{e suponha que S}∗_{(f ) = S}∗_{(g) então f (T (x)) = g(T (x)) para todo x}_{∈ X.} E portanto (f−g)(T (x)) = 0 para todo x ∈ X, donde Im(T ) ⊆ ker(f −g), como ker(f −g) é fechado, temos que Z = Im(T ) _{⊆ ker(f − g), assim f|}Z = g|Z, logo f = g, e vale a afirma¸cão.

Agora, S∗ _{: Z}′ _{→ X}′ _{é injetora com Im(S}∗_{) fechada, restrigindo S}∗ _{: Z}′ _{→ Im(S}∗₎ temos que S∗ _{é invers´ıvel (e portanto linear) e aberta, pelo teorema da aplica¸cão aberta,} logo (S∗₎−1 _{: Im(S}∗₎ _{→ Z}′ _{é linear e cont´ınua, ou seja, existe c > 0 tal que para todo} y∈ Im(S∗_{) temos que} _||(S∗₎−1_(y)_{|| ≤ c||y||, como y = S}∗_{(f ), segue que d}_{||f|| ≤ ||S}∗_{(f )}_|| para todo f ∈ Z′ _{com d = 1/c.}

Temos que S : X → Z e Im(S) = Im(T ) ⊆ Im(T ). Queremos mostrar que Im(T ) = Im(T ). Usando o fato 3.1.12, basta mostrarmos que B_{Im(T )} ⊆ Im(T ). Como Im(S) = Im(T ), basta mostrar que B_{Im(T )}_{⊆ Im(S), onde B}_{Im(T )}´e uma bola qualquer de Im(T ).

Pelo lema da aplica¸c˜ao aberta 3.1.22, basta mostrar que existem R, r > 0 tais que B_{Im(T )}(0, r)_{⊆ S(B}X(0, R)) e teremos que B_{Im(T )}(0,₂r)⊆ S(BX(0, R)).

Afirma¸c˜ao: _{{y ∈ Im(T ) : ||y|| < d} ⊆ S(B}X[0, 1])

Seja y _{∈ Im(T ) tal que ||y|| < d, e suponha, por absurdo, que y /}_{∈ S(B}X[0, 1]). Note que_{{y} e S(B}X[0, 1]) est˜ao contidos em Im(T ) = Z′. Segue do teorema da Separa¸c˜ao de

Hahn-Banach 3.1.27 que existe φ_{∈ Im(T )}′ = Z′ _{tal que}

φ(w)_{≤ a < b ≤ φ(y) para todo w ∈ S(B}X[0, 1]). Em particular, temos que φ(w)_{≤ a < b ≤ φ(y) para todo w ∈ S(B}X[0, 1]), temos que

φ(S(x))≤ a < b ≤ φ(y) para todo x ∈ BX[0, 1], e portanto

sup{|φ(S(x))| : ||x|| = 1} ≤ sup{|φ(S(x))| : x ∈ BX[0, 1]} ≤ a < b ≤ φ(y) Agora, note que φ(S(x)) = S∗_{(φ)(x) e} _||S∗_(φ)_{|| = sup}

||x||=1|S∗(φ)(x)|, e portanto

||S∗_(φ)_{|| = sup{|φS(x)| : ||x|| = 1} ≤ a < b ≤ φ(y), lembre que d||f|| ≤ ||S}∗_{(f )}_{|| para} toda f ∈ Z′_{, da´ı}

d||φ|| ≤ ||S∗_(φ)_{|| = sup{|φS(x)| : ||x|| = 1} ≤ a < b ≤ φ(y) ≤ ||φ||||y|| então ||y|| > d, o} que é um absurdo, e vale a afirma¸cão.

Tomando R > 1, temos o desejado, o que termina a prova.

3.1.6 Operadores Compactos

Operadores compactos são importantes na teoria da Análise Funcional, pois o estudo do seu espectro é bem desenvolvido, e além disso estes possuem caracter´ısticas interessantes como iremos ver.

Defini¸cão 3.1.65. Um operador linear T : X → Y entre dois espa¸cos normados é dito compacto se T (BX) é compacto em Y , onde BX é a bola unitária fechada de X.

Denotamos o conjunto dos operadores lineares e compactos de X em Y por K(X, Y ), e por_{K(X) os operadores lineares e compactos de X em X. Vejamos alguns resultados:} Proposi¸c˜ao 3.1.66. (i) Todo operador compacto ´e cont´ınuo

(ii) Todo operador linear e cont´ınuo de posto finito ´e compacto

(iii) Um espa¸co vetorial X possui dimens˜ao finita se, e somente se, a identidade em X ´e um operador compacto.

Demonstra¸cão: (i) Suponha T : X _{→ Y operador compacto e seja x ∈ B}X. Temos que T (BX) ⊆ T (BX) com T (BX) compacto. Como todo conjunto compacto em um espa¸co metrizável é limitado, temos que T (BX) é limitado. Assim, existe C > 0 tal que

||T (x)||Y ≤ C para todo x ∈ BX, segue da caracteriza¸c˜ao de continuidade para operadores lineares que T ´e cont´ınuo.

(ii) Temos que T (BX) ⊆ Im(T ) onde Im(T ) é um espa¸co vetorial de dimensão finita. Agora, T (BX) é fechado e limitado (pela continuidade do operador), logo compacto. (iii) Como as bolas fechadas são compactas se, e somente se, o espa¸co possui dimensão

finita, temos o desejado.

Proposi¸cão 3.1.67. O conjunto _{K(X, Y ) dos operadores compactos é um subespa¸co fe-} chado de _{B(X, Y ) se Y é um espa¸co de Banach, e portanto K(X, Y ) é um espa¸co de} Banach com a norma do operador.

Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Proposi¸c˜ao 7.2.5 p. 189 e 190.

Como_{K(X, Y ) ´e fechado, o seguinte resultado ´e imediato}

Corolário 3.1.68. Se T é o limite na norma do operador de uma sequência de operadores de posto finito então T é compacto.

Proposi¸c˜ao 3.1.69. (Propriedade de Ideal) Dados T _{∈ B(X, Y ) e S ∈ B(Y, Z) ent˜ao} T _{∈ K(X, Y ) ou S ∈ K(Y, Z) garante que S ◦ T ∈ K(X, Z).}

Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Teorema 7.2.6 p. 190.

Teorema 3.1.70. (de Schauder) Sejam X, Y espa¸cos normados e T _{∈ B(X, Y ). Ent˜ao} T _{∈ K(X, Y ) se, e s´o se, T}∗ _{∈ K(Y}′_{, X}′₎

Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Teorema 7.2.7 p. 190 e 191.

Lema 3.1.71. Seja T : X → Y operador compacto e seja F subconjunto fechado de Y . Se A⊆ X tal que T (A) ⊆ F ent˜ao T |A: A→ F ´e compacto.

Demonstra¸cão: Seja BAa bola unitária de A e BX a bola unitária de X. Como A⊆ X temos que BA ⊆ BX, e portanto T (BA) ⊆ T (BX). Segue que T (BA) ⊆ T (BX). Como T é compacto, temos que T (BX) é compacto em Y . Mas T (BA) é fechado no compacto T (BX), logo T (BA) é compacto em Y . Lembre que T (A) ⊆ F assim T (BA) ⊆ F (pois F é fechado) logo T (BA) é compacto em F , e portanto T|A : A → F é compacto, como

desejado.

Proposi¸c˜ao 3.1.72. Seja T : X _{→ Y operador compacto com X e Y espa¸cos de Banach} ent˜ao para todo subespa¸co fechado F de Y temos que dim F <_∞.

Demonstra¸cão: Seja F subespa¸co fechado de Y . Como T é linear, temos que T−1_{(F )} é subespa¸co de X; como T é cont´ınua temos que T−1_{(F ) é fechado em X, logo T}−1_{(F )} é subespa¸co fechado de X. Mas T (T−1_{(F ))} _{⊆ F com F fechado em Y então, pelo lema} anterior, temos que T|T−1_{(F )}: T−1(F ) → F é compacto.

Agora, T_|T−1_{(F )} : T−1(F ) → Y ´e linear e cont´ınua. Considere T |_T−1_{(F )} : T−1(F ) → F

linear, cont´ınua e sobrejetora. Como T−1_{(F ) e F são fechados, em particular, são espa¸cos} de Banach, pois X e Y são espa¸cos de Banach. Segue do teorema da aplica¸cão aberta que T_|T−1_{(F )}: T−1(F )→ F é aberta.

Temos que T_|T−1_{(F )} : T−1(F ) → F ´e aberta e defina A := T−1(F ), e seja B_A a bola

unitária de A. Como T_|A é uma aplica¸cão aberta, temos que TA(BA) é aberto em F . Seja y _{∈ T}A(BA) assim existe ε > 0 tal que BF(y, ε)⊆ TA(BA), logo BF(y, ε)⊆ TA(BA). Como TA(BA) é compacto, pois TAé compacto, temos que BF(y, ε) é compacto em F , já que é um fechado em um compacto. Mas todas as bolas são homeomorfas, assim uma vez que uma é compacta, temos que a bola unitária também é compacta, e portanto o espa¸co

F possui dimens˜ao finita, como desejado.

Corolário 3.1.73. Seja T : X → Y operador cont´ınuo e linear tal que Im(T ) é um subespa¸co fechado em Y . Então T é operador compacto se, e somente se, T possui posto finito.

Demonstra¸cão: Suponha que T é compacto com Im(T ) fechado em Y , pela proposi¸cão anterior, temos que dim Im(T ) <_{∞, logo T possui posto finito.} Com esse resultado o corolário 3.1.61 fica assim:

Corolário 3.1.74. Seja T : X _{→ Y operador linear e cont´ınuo entre X e Y espa¸cos de} Banach tal que dim ker(T ) <_{∞ e dim Y/Im(T ) < ∞. Então Im(T ) = T (X) é fechado} em Y e as seguintes condi¸cões são equivalentes:

(i) dim X <∞ (ii) dim Y <∞

(iii) T possui posto finito (iv) T ´e operador compacto

Teorema 3.1.75. (Alternativa de Fredholm) Seja T ∈ K(X) com X espa¸co de Banach. Ent˜ao

(i) dim ker(T _{− Id) < ∞}

(ii) Im(T _{− Id) = ker(T}∗_{− Id)}⊥_{, em particular Im(T} _{− Id) ´e fechado.} (iii) ker(T − Id) = {0} ⇔ Im(T − Id) = X

(iv) dim ker(T − Id) = dim ker(T∗_{− Id)}

Demonstra¸c˜ao: Ver [6] Teorema V I.6, p. 92, 93 e 94.

3.1.7 Operadores de Fredholm

Os operadores de Fredholm são grande importância para a teoria dos operadores, sendo aplicados para obten¸cão de solu¸cões para EDP’S e obten¸cão de resultados elegantes. Antes uma defini¸cão que aparece em alguns livros, e que usaremos quando for tradi¸cão. Defini¸cão 3.1.76. Seja T : X → Y um operador linear onde X e Y são espa¸cos vetoriais. O cokernel de T é o espa¸co quociente Y /Im(T ), e indicamos por Coker(T ), assim Coker(T ) = Y /Im(T ).

Usualmente, chama-se de a dim Coker(T ) = dim Y /Im(T ) de defeito de T . Possivelmente, isso quer dizer que quanto menor for o defeito (a dimensão de Y /Im(T )), mais o operador tende a ser sobrejetor, pois a dim Im(T ) vai tender a a dimensão de Y , já que Y = Im(T )_{⊕ H com H ∼}= Y /Im(T ) (via bije¸cão linear). Indicamos o defeito do operador T por d(T ), ou seja, d(T ) = dim Y /Im(T ).

Defini¸cão 3.1.77. Seja T _{∈ B(X, Y ) onde X e Y são espa¸cos de Banach. Dizemos que} T é um operador de Fredholm se

(i) dim(ker(T )) <_∞

(ii) dim Coker(T ) = dim Y /Im(T ) <_∞

Proposi¸cão 3.1.78. Seja T _{∈ B(X, Y ) com T é um operador de Fredholm então Im(T )} é fechada em Y .

Demonstra¸cão: Pela proposi¸cão 3.1.55 segue que Im(T ) é fechada. Defini¸cão 3.1.79. Seja T _{∈ B(X, Y ) onde X e Y são espa¸cos vetoriais. Se tivermos} que dim ker(T ) <_{∞ ou dim Y/Im(T ) < ∞ definimos o ´ındice do operador T como o} i(T ) = dim ker(T )_{− dim Y/Im(T )}

Note que quando T é um operador de Fredholm, temos que i(T ) é sempre um número inteiro.

Lema 3.1.80. Seja T ∈ B(X, Y ) e T∗ _{∈ B(Y}′_{, X}′_{) tal que Im(T ) ´e fechada.} (A) dim ker(T∗_{) = dim(Y /Im(T ))}′

(B) dim ker(T )′ _{= dim X}′_/Im(T∗₎

Demonstra¸cão: Como Im(T ) é fechada, pela proposi¸cão 3.1.64 temos que (ker(T ))⊥ ₌ Im(T∗_).

(A) Pelo fato 3.1.63 temos que ker(T∗_{) = (Im(T ))}⊥_{. Usando que Im(T ) é fechada,} temos pelo teorema 3.1.62 temos que Im(T )⊥∼_{= (Y /Im(T ))}′ _{(via bije¸cão linear cont´ınua),} portanto ker(T∗_{) ∼}_{= (Y /Im(T ))}′ _{(via bije¸cão linear cont´ınua), e portanto temos que a} dim ker(T∗_{) = dim(Y /Im(T ))}′_{, e temos o desejado.}

(B) Pelo teorema 3.1.62 temos que ker(T )′ ∼_{= X}′_{/(ker(T )}⊥_{) (via bije¸cão linear isométrica).} Mas (ker(T ))⊥ _{= Im(T}∗_{), assim, ker(T )}′ ∼_{= X}′_{/(ker(T )}⊥_{) = X}′_/Im(T∗_{), e portanto} ker(T )′ ∼_{= X}′_/Im(T∗_{) (via bije¸cão linear isométrica) da´ı dim ker(T )}′ _{= dim X}′_/Im(T∗_{), o}

que prova o lema.

Observa¸c˜ao 3.1.81. Al´em disso, note que seja X espa¸co normado sobre o corpo completo K. Se dim X < ∞, temos que dim X′ _< _{∞, basta considerar a base dual, nesse caso} obtemos que dim X = dim X′_.

Por outro lado, se dim X′ _< _{∞ então pelo mesmo argumento anterior dim X}′′ _< _∞. Considerando a aplica¸cão canônica J : X _{→ X}′′ _{isometria linear, logo injetora, temos} que dim X _{≤ dim X}′′_{, donde a dim X é finita, e estamos nas condi¸cões do caso anterior,} logo dim X = dim X′_.

Teorema 3.1.82. Seja T _{∈ B(X, Y ) então T é um operador de Fredholm se, e somente} se, T∗ _{é um operador de Fredholm. Além disso, temos que}

(i) dim ker(T∗_{) = dim Y /Im(T )} (ii) dim ker(T ) = dim X′_/Im(T∗₎

Demonstra¸c˜ao: (_{⇒) Suponha que T ´e um operador de Fredholm. Iremos mostrar que} dim ker(T∗_{) <}_{∞ e dim X}′_/Im(T∗_{) <} _∞.

Como dim Y /Im(T ) < _{∞, temos que Y/Im(T ) ∼}= (Y /Im(T ))′ (via bije¸cão linear), da´ı dim Y /Im(T ) = dim(Y /Im(T ))′_{. Como T é de Fredholm segue que Im(T ) é fechada,} e estamos nas condi¸cões do lema 3.1.80, logo dim ker(T∗_{) = dim(Y /Im(T ))}′_{, e assim} dim ker(T∗_{) = dim(Y /Im(T )) <}_{∞. Como dim ker(T ) < ∞ temos que ker(T ) ∼}_{= (ker(T ))}′ (via bije¸cão linear), e portanto dim ker(T ) = dim(ker(T ))′_{, ainda estamos nas condi¸cões} do lema, logo dim ker(T )′ _{= dim X}′_/Im(T∗_{), donde dim ker(T ) = dim X}′_/Im(T∗_{) <} _∞. Logo T∗ _{é operador de Fredholm.}

Note que com isso, j´a provamos (i),(ii) e (iii).

(_{⇐) Suponha T}∗ _{operador de Fredholm, assim Im(T}∗_{) é fechada. Pela proposi¸cão 3.1.64} temos que Im(T ) é fechada, assim estamos nas condi¸cões do lema anterior, e usando que T∗ _{é de Fredholm, temos}

dim ker(T∗_{) = dim(Y /Im(T ))}′ _<_∞ dim ker(T )′ _{= dim X}′_/Im(T∗_{) <}_∞

Agora, pela observa¸c˜ao anterior, uma vez que dim(Y /Im(T ))′ _< _{∞ e dim ker(T )}′ _< _∞, temos que dim(Y /Im(T ))′ _{= dim(Y /Im(T )) e dim ker(T )}′ _{= dim ker(T ), o que mostra}

que T ´e de Fredholm, e prova o teorema.

A composi¸cão de operadores de Fredholm é também um operador de Fredholm e o ´ındice da composi¸cão é a soma dos ´ındices dos operadores. Este é resultado é conhecido como Teorema do ´ındice.

Teorema 3.1.83. (O Teorema do ´ındice) Seja T ∈ B(X, Y ) e S ∈ B(Y, Z) em que X, Y e Z s˜ao espa¸cos de Banach. Ent˜ao

(i) Se S e T são ambos operadores de Fredholm então ST é também operador de Fredholm e i(ST ) = i(S) + i(T )

(ii) Se ST é operador de Fredholm então T é operador de Fredholm se, e somente se, S é operador de Fredholm.

Demonstra¸cão: Antes de provar o teorema, analisemos um pouco. A chave para prova está em considerar o seguinte subespa¸co N1 = Im(T )∩ ker(S) de Y . Note que N1 é um

subespa¸co de ker(S), assim existe N2 um subespa¸co de Y tal que ker(S) = N1⊕ N2. Da´ı dim ker(S) = dim N1 + dim N2 (*).

Note tamb´em que N1 ´e um subespa¸co de Im(T ), assim existe Y1 subespa¸co de Y tal que Im(T ) = N1⊕ Y1.

Temos que ker(S) _{⊆ Y e Im(T ) ⊆ Y em que ker(S) = N}1 ⊕ N2 e Im(T ) = N1 ⊕ Y1. Note que N2 ∩ Y1 = {0}. De fato, seja x ∈ N2 ∩ Y1, logo x ∈ ker(S) ∩ Im(T ) = N1, assim x _{∈ N}1 ∩ N2 = {0}, donde x = 0. Assim, existe Y2 subespa¸co de Y tal que Y = Y1 ⊕ Y2⊕ N1 ⊕ N2. Segue que dim Y = dim Y1+ dim Y2+ dim N1+ dim N2. Como dim Y = dim Im(T ) + dim(Y /Im(T )) e Im(T ) = N1⊕ Y1, temos que

dim Y /Im(T ) = dim Y2 + dim N2 (**)

Note que ker(T )⊆ ker(ST ), assim existe um subespa¸co vetorial X1de X tal que ker(ST ) = X1⊕ ker(T ). Assim,

X1⊕ ker(T ) = ker(ST ) = T−1(ker(S)) = T−1(Im(T )∩ ker(S)) = T−1(N1). Afirma¸c˜ao: T|X1 : X1 → N1 ´e um isomorfismo linear.

(Injetiva) Seja x, z_{∈ X}1 assim x−z ∈ X1 com T (x) = T (z) logo x−z ∈ ker(T ) e portanto x− z ∈ X1∩ ker(T ) = {0} logo x = z.

(Sobrejetiva) Seja y ∈ N1 = Im(T )∩ ker(S) assim existe x ∈ X tal que T (x) = y com S(y) = S(T (x)) = 0, logo x ∈ ker(ST ) = X1 ⊕ ker(T ). Logo x = w + z com w ∈ X1 e z _{∈ ker(T ), segue que w = x − z ∈ X}1 com T (w) = T (x) pois z ∈ ker(T ), donde T é sobrejetora. Assim, T_|X1 é um isomorfismo linear, e vale a afirma¸cão.

Como ker(ST ) = X1⊕ ker(T ) e T |X1 : X1 → N1 ´e um isomorfismo linear temos que

dim ker(ST ) = dim ker(T ) + dim N1 (***)

Como ker(S) = N1 ⊕ N2 e Y = Y1 ⊕ Y2 ⊕ N1 ⊕ N2, temos que S ´e injetora em Y1⊕ Y2. Da´ı

Im(S) = S(Y1⊕ Y2) = S(Y1)⊕ S(Y2) = S(Y1⊕ N1)⊕ S(Y2) pois N1 ⊆ ker(S). Im(S) = S(Y1⊕ N1)⊕ S(Y2) = S(Im(T ))⊕ S(Y2) = Im(ST )⊕ S(Y2)

Assim, Im(S) = Im(ST )⊕ S(Y2). Seja Z1 subespa¸co de Z tal que Z = Z1 ⊕ Im(S). Note que dim Z/Im(S) = dim Z1 . temos que Z = Z1 ⊕ Im(ST ) ⊕ S(Y2). Logo dim Z/Im(ST ) = dim Z1+dim S(Y2). Como S ´e injetiva em Y1⊕Y2, temos que dim S(Y1) =

dim Y1 e usando que dim Z/Im(S) = dim Z1 temos que dim Z/Im(ST ) = dim Z/Im(S) + dim Y2 (****) Estamos prontos para provar o teorema. Relembre que

dim ker(S) = dim N1 + dim N2 (*). dim Y /Im(T ) = dim Y2 + dim N2 (**) dim ker(ST ) = dim ker(T ) + dim N1 (***) dim Z/Im(ST ) = dim Z/Im(S) + dim Y2 (****)

(i) Suponha S e T operadores de Fredholm então todos os subespa¸co que aparecem em (*),(**),(***) e (****) possuem dimensão finita, e portanto ST é um operador de Fredholm. Usando (*),(**) e (***) temos que

dim Y2 = dim Y /Im(T )− dim N2 = dim Y /Im(T )− dim ker(S) + dim N1 = = dim Y /Im(T )− dim ker(S) + dim ker(ST ) − dim ker(T ) =

= dim ker(ST )− dim ker(S) − i(T ) logo dim Y2 = dim ker(ST )− dim ker(S) − i(T ) usando (_{∗ ∗ ∗∗) temos que}

i(ST ) = dim ker(ST )_{− dim Z/Im(ST ) =}

= (dim Y2 + dim ker(S) + i(T ))− (dim Z/Im(S) + dim Y2)

= i(T ) + dim ker(S)_{− dim Z/Im(S) = i(T ) + i(S), e portanto i(ST ) = i(T ) + i(S), o que} prova (i).

(ii) Suponha que ST e T s˜ao operadores de Fredholm. Isso implica que por (**) temos que dim Y2 < ∞ e dim N2 < ∞, e por (***) que dim N1 < ∞ logo dim ker(S) < ∞ por (*) e dim Z/Im(S) <∞ por (****), o que mostra que S ´e de Fredholm.

Suponha agora que ST e S são operadores de Fredholm. Por (*) temos que dim N1 <∞ e dim N2 <∞, logo (***) implica que dim ker(T ) < ∞. Temos também que (****) implica que dim Y2 <∞ logo por (**) segue que dim Y/Im(T ) < ∞. E portanto T é Fredholm.

O que prova o ´ıtem (ii), e prova o teorema.

Proposi¸c˜ao 3.1.84. Seja T _{∈ B(X, Y ) onde X e Y s˜ao espa¸cos de Banach com T um} operador de Fredholm. Se vale qualquer uma das alternativas abaixo

(i) dim X =_∞ (ii) dim Y =_∞ (iii) dim Im(T ) =_∞

então T não é um operador compacto.

Demonstra¸c˜ao: Segue diretamente do corol´ario 3.1.74.

Pela proposi¸c˜ao para que T _{∈ B(X, Y ) onde X e Y s˜ao espa¸cos de Banach com T um} operador de Fredholm seja um operador compacto devemos ter dim X <∞ e dim Y < ∞.

Teorema 3.1.85. Seja K : X → X um operador compacto com X espa¸co de Banach ent˜ao K− I ´e um operador de Fredholm com ´ındice nulo.

Demonstra¸cão: Pela Alternativa de Fredholm 3.1.75 temos que dim ker(K−I) = dim ker(K∗₋ I∗_{) <}_{∞ e Im(K −I) é fechada. Iremos mostrar que K}∗_−I∗_{é um operador de Fredholm,} (e portanto K_{− I será de Fredholm).}

Já temos que dim ker(K∗ _{− I}∗_{) <} _{∞. Agora, Im(K − I) é fechada, pelo lema 3.1.80,} temos que dim ker(K _{− I)}′ _{= dim X}′_/(Im(K∗_{− I}∗_{)). Agora, dim ker(K} _{− I) < ∞ logo} dim ker(K_{−I) = dim ker(K −I)}′_{, portanto dim ker(K}_{−I) = dim X}′_/(Im(K∗_−I∗_{)) <}_∞. Da´ı dim ker(K∗ _{− I}∗_{) = dim ker(K} _{− I) = dim X}′_/(Im(K∗ _{− I}∗_{)) <} _{∞, logo K}∗ _{− I}∗ é operdaor de Fredholm com i(K∗ _{− I}∗_{) = 0. Mas i(K} _{− I) = −i(K}∗ _{− I}∗_{), segue que} i(K_{− I) = 0.}

Portanto K− I é o operador de Fredholm com ´ındice nulo, o que prova o teorema. O próximo resultado devido a F. V. Atkinson caracteriza os operdaores de Fredholm. Teorema 3.1.86. (Atkinson) Seja T ∈ B(X, Y ) com X e Y espa¸cos de Banach. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(i) T ´e um operador de Fredholm

(ii) Existem um operador S _{∈ B(Y, X) e duas proje¸c˜oes de posto finito P}1 ∈ B(X) e P2 ∈ B(Y ) tais que ST = IX − P1 e T S = IY − P2.

(iii) Existem operadores compactos K1 ∈ B(X) e K2 ∈ B(Y ) e S ∈ B(Y, X) tais que ST = IX − K1 e T S = IY − K2.

(iv) Existem operadores compactos K1 ∈ B(X) e K2 ∈ B(Y ) e S1, S2 ∈ B(Y, X) tais que S1T = IX − K1 e T S2 = IY − K2.

Demonstra¸cão: (i) _{⇒ (ii) Suponha que T seja um operador de Fredholm. Então pela} proposi¸cão 3.1.59 temos que podemos escrever X e Y como X = ker(T )_{⊕V e Y = Im(T )⊕} W com ker(T ), V, W, Im(T ) subespa¸cos fechados em que W possui dimensão finita. Sejam PN : X → ker(T ) e PW : Y → W proje¸cões cont´ınuas já que ker(T ), V, W, Im(T ) são subespa¸cos fechados. Note que PN e PW possuem posto finito, pois dim ker(T ) < ∞ e dim W <_∞.

Tome S1 := T|V : V → Im(T ) = T (V ) bije¸cão linear e cont´ınua. Como Im(T ) é fechado, temos que S₁−1 : T (V ) _{→ V é cont´ınua e linear pelo Teorema da Aplica¸cão Aberta, assim} S−1_{(T (v)) = v é cont´ınua. Defina S := S}−1

1 (IY − PW)∈ B(Y, X). Assim, para x = n + v ∈ X = ker(T ) ⊕ V temos que

ST (x) = ST (n + v) = S(T (v)) = S1−1(IY − PW)(T (v)) = v = (IX − PN)(n + v) = (IX − PN)(x)

Agora, para y = w + T (v)∈ Y = W ⊕ Im(T ) com v ∈ V temos que T S(y) = T S₁−1(IY − PW)(w + T (v)) = T S1−1(T (v)) = T (v) = (IY − PW)y Ent˜ao ST = (IX − PN) e T S = (IY − PW), o que mostra o ´ıtem (ii).

(ii)⇒ (iii) Basta lembrar que todo operador de posto finito ´e compacto, e temos (iii). (iii)⇒ (iv) Tome S2 = S1 = S no ´ıtem (iii), e obtemos (iv).

(iv) ⇒ (i) Suponha que existam operadores compactos K1 ∈ B(X) e K2 ∈ B(Y ) e S1, S2 ∈ B(X, Y ) tais que S1T = IX − K1 e T S2 = IY − K2.

Como K1é operador compacto pelo teorema 3.1.85 anterior temos que dim ker(IX−K1) < ∞, como S1T = IX − K1 temos que dim ker(S1T ) < ∞. Mas ker(T ) ⊆ ker(S1T ) logo dim ker(T ) < _{∞. Agora, K}2 é compacto então IY − K2 é um operador de Fredholm, e portanto I∗

Y − K2∗ ´e um operador de Fredholm, segue que dim ker(IY∗ − K2∗) < ∞. Como T S2 = IY − K2 segue que S2∗T∗ = IY∗ − K2∗ da´ı dim ker(S2∗T∗) < ∞, e note que ker(T∗₎_{⊆ ker(S}∗

2T∗) donde dim ker(T∗) < ∞. Afirma¸c˜ao: Im(T ) ´e fechado em Y

Temos que IY −K2é um operador de Fredholm, assim existe um Z subespa¸co de dimensão finita de Y tal que Im(IY−K2)⊕Z = Y . Como T S2 = IY−K2 temos que Im(IY −K2) = Im(T S2) ⊆ Im(T ) segue que Z + Im(T ) = Y . Assim, existe Z1 ⊆ Z (e portanto dim Z1 <∞) tal que Y = Z1⊕ Im(T ). Pelo corolário 3.1.56 temos que Im(T ) é fechada

em Y , o que prova a afirma¸c˜ao.

Estamos nas condi¸c˜oes do lema 3.1.80 segue que dim ker(T∗_{) = dim(Y /Im(T ))}′ _<_{∞, e} portanto dim(Y /Im(T )) < _{∞. Assim dim ker(T ) < ∞ e dim(Y/Im(T )) < ∞, T ´e um}

operador de Fredholm , o que mostra (i) e termina a prova.

Uma pertuba¸cão do operador T pelo operador S é T _{− S. Nosso próximo resultado} afirma que a pertuba¸cão de um operador de Fredholm por operador compacto continua a ser um operador de Freholm e não muda seu ´ındice.

Corolário 3.1.87. Seja T _{∈ B(X, Y ) um operador de Fredholm então para cada K ∈} K(X, Y ) temos que T + K é um operador de Fredholm e i(T + K) = i(T )

Demonstra¸c˜ao: Seja T ∈ B(X, Y ) operador de Fredholm e fixe K ∈ K(X, Y ) operdaor compacto. Pelo teorema 3.1.86 temos que existem S1, S2 ∈ B(Y, X) e dois operadores compactos K1 ∈ B(X) e K2 ∈ B(Y ) tais que S1T = IX − K1 e T S2 = IY − K2. Segue que

S1(T + K) = S1T + S1K = (IX − K1) + S1K = IX − (K1− S1K), e (T + K)S2 = T S2+ KS2 = (IY − K2) + KS2 = IY − (K2− KS2)

Agora, (K1− S1K)∈ K(X) e (K2− KS2)∈ K(Y ) pois o conjunto dos operadores é um subespa¸co e gozam da propriedade de ideal. Observe que T + K está nas condi¸cões do ´ıtem (iv) do teorema 3.1.86 segue que T + K é um operdor de Fredholm.

Pelo Teorema do Índice ´ıtem (ii) temos que S1 é operador de Fredholm pois S1(T + K) = IX− (K1− S1K) é operador de Fredholm com ´ındice nulo (já que K1− S1K é compacto) e (T + K) é operador de Fredholm, e portanto

i(S1(T + K)) = i(S1) + i(T + K) = i(IX − (K1− S1K)) = 0 segue i(T + K) =−i(S1). Considerando S1T = IX − K1. Como K1 é compacto temos que IX − K1 é operador de Fredholm com ´ındice nulo. Mas T e S1 também são operadores de Fredholm, pelo Teorema do Índice, temos que

i(S1) + i(T ) = i(S1T ) = i(IX − K1) = 0 e portanto i(T ) =−i(S1)

Assim, i(T + K) = i(T ) e temos o desejado.

Denotamos por F red(X, Y ) o conjunto dos operadores de Fredholm de X em Y . Quando X = Y escrevemos simplesmente F red(X) em vez de F red(X, X). A fun¸cão ´ındice i : F red(X, Y ) _{→ Z é definida por i(T ) para cada T ∈ F red(X, Y ). Nosso próximo}

resultado mostra que F red(X, Y ) é um conjunto aberto de _{B(X, Y ) e a fun¸cão ´ındice é} cont´ınua quando Z está munido da topologia discreta.

Teorema 3.1.88. Sejam X e Y espa¸cos de Banach então F red(X, Y ) é um subconjunto aberto de _{B(X, Y ) e a fun¸cão ´ındice i : F red(X, Y ) → Z é cont´ınua.}

Demonstra¸c˜ao: (Caso 1) Suponha que X possui dimens˜ao finita.

Se dimensão de Y também finita temos que X e Y são espa¸cos finitos, logo F red(X, Y ) = B(X, Y ), que é aberto em B(X, Y ). Suponha agora que dimensão de X é finita e a dimensão de Y é infinita então F red(X, Y ) = ∅, que também é aberto. De fato, caso existisse T ∈ F red(X, Y ) operador de Fredholm com X dimensão finita e Y de dimensão infinita ter´ıamos pela proposi¸cão 3.1.84 que dimensão de Y também seria finita, o que é uma contradi¸cão.

(Caso 2) Suponha que X possua dimens˜ao infinita.

Seja T _{∈ F red(X, Y ) operador de Fredholm pelo teorema 3.1.86 existem um operador} S_{∈ B(Y, X) e dois operadores compactos K}1 ∈ K(X) e K2 ∈ K(Y ) tais que

ST = IX − K1 e T S = IY − K2 (*)

Como K1 é operador compacto temos que IX − K1 é operdaor de Fredholm com ´ındice nulo. Segue que ST = IX − K1 é operador de Fredholm, como T também é operador de Fredholm, temos pelo Teorema do Índice que S também é operdaor de Fredholm, e segue que i(S) + i(T ) = i(ST ) = i(IX − K1) = 0, logo

i(T ) =_{−i(S) (**)}

Como S é um operador de Fredholm e X possui dimensão infnita segue que S _{6= 0. De} fato, caso S ≡ 0 ter´ıamos que ker(S) = X e portanto dim ker S = ∞, o que não ocorre pois S é de Fredholm.

Lembre que Pelo corolário 3.1.32 temos que para Z um espa¸co de Banach, e A∈ B(Z) um operador linear cont´ınuo tal que ||A|| < 1 temos que IZ+ A é invert´ıvel e portanto IZ+ A é um isomorfismo.

Seja C _{∈ B(X, Y ) tal que ||C|| <} _||S||1 . Então os operadores SC _{∈ B(X) e CS ∈ B(Y )} satisfazem_{||CS|| < 1 e ||SC|| < 1. Então I}X+ SC ∈ B(X) e IY + CS ∈ B(Y ) são ambos isomorfismos e portanto são ambos operadores de Fredholm de ´ındice nulo. Pelo corolário 3.1.87 temos que IX + SC − K1 e IY + CS− K2 são ambos operadores de Fredholm de

´ındice nulo. Mais ainda por (*) temos que

S(T + C) = ST + SC = (IX − K1) + SC = IX + SC− K1 e (T + C)S = T S + CS = (IY − K2) + CS = IY + CS − K2

Como S é de Fredholm o Teorema do Índice garante que (T + C) é um operador de Fredholm com ´ındice dado por

i(S) + i(T + C) = i(S(T + C)) = i(IX + SC − K1) = 0 logo i(T + C) = −i(S) segue de (**) que i(T + C) = i(T )

N´os mostramos que dado T _{∈ F red(X, Y ) existe S ∈ B(X, Y ) tal que para todo C ∈} B(X, Y ) tal que ||C|| < 1

||S|| temos que (T + C) é operador de Fredholm e i(T + C) = i(T ). Isto mostra que F red(X, Y ) é um conjunto aberto de _{B(X, Y ) e que a fun¸cão ´ındice é}

cont´ınua. O que termina a prova.

No documento Teorema de Sard, generalizac (páginas 113-129)