Teorema de Sard, generalizac

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Teorema de Sard, generalizac

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Vinicius Coelho dos Santos

Vinicius Coelho dos Santos

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Co-legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientadora: Profa. Dra. Luciana Silva Salgado.

Vinicius Coelho dos Santos. – Salvador: UFBA/IM, 2016. 162 f. : il

Orientadora: Profa. Dra. Luciana Silva Salgado.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2016.

Referˆencias bibliogr´aficas f:

1. Topologia Diferencial. 2. An´alise Funcional e Teoria dos Ope-radores. I. Silva Salgado, Luciana. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. Teorema de Sard, generaliza¸c˜ao em di-mens˜ao infinita e aplica¸c˜oes.

Vinicius Coelho dos Santos

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Co-legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em yyyy de agosto de 2016.

Banca examinadora:

Profa. Dra. Luciana Silva Salgado (Orientadora) UFBA

Prof. Dr. V´ıtor Ara´ujo UFBA

sabemos.”

Neste trabalho, discutimos o Teorema de Sard para variedades em dimens˜ao finita (Sard, 1942) e infinita (Smale, 1965) que afirmam, sob certas condi¸c˜oes, que os valores regulares de uma aplica¸c˜ao entre variedades ´e denso. No caso finito, o Teorema de Sard ´e uma ferramenta essencial para o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer (TPFB) e auxilia na constru¸c˜ao da teoria de Transversalidade no contexto dos Jatos e Topologia de Whitney. Em dimens˜ao infinita, o estudo das propriedades dos operadores e aplica¸c˜oes compactas e de Fredholm motivaram a generaliza¸c˜ao do TPFB devido a Schauder, do Teorema de Sard, e de Transversalidade.

In this work we discuss the Sard’s Theorem for manifolds in finite dimension (Sard, 1942) and infinite (Smale, 1965) which state, under certain conditions, that the set of regular values of an map between manifolds is dense. In the finite case, the Sard’s Theorem is a essential to show the Brouwer’s Fixed Point Theorem (BFPT) and assists in construction of a Transversality’s theory in the context of ths Jets and Whitney’s Toplogy. In infinite dimension, the study of the properties of compact and Fredholm operators and maps led to the generalization of BFPT due to Schauder, the Sard’s Theorem, and the Transversality’s theorem.

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Topologia Geral . . . 3

1.2 Algebra Linear . . . .´ 6

1.3 An´alise . . . 8

1.4 Variedades de dimens˜ao finita . . . 8

1.5 Medida . . . 13

2 Dimens˜ao finita 16 2.1 Teorema de Sard . . . 16

2.1.1 Redu¸c˜ao ao caso Euclideano . . . 16

2.1.2 Caso Euclideano . . . 18

2.2 Teorema do ponto fixo de Brouwer . . . 24

2.3 Teoria do Grau . . . 27

2.3.1 Homotopias e Isotopias . . . 27

2.3.2 Grau m´odulo 2 . . . 31

2.3.3 O grau de Brouwer . . . 36

2.4 Jatos . . . 44

2.5 Topologia de Whitney C∞ _{. . . 51}

2.6 Transversalidade . . . 63

2.7 Teorema do Mergulho de Whitney . . . 76

3 Dimens˜ao infinita 81 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 81

3.1.1 Espa¸cos Normados . . . 81

3.1.2 Espa¸cos de Banach . . . 86

3.1.3 Aplica¸c˜oes Compactas . . . 93

3.1.4 Soma direta e Suplementares . . . 96

3.2 Derivada em Espa¸cos de Banach . . . 118

3.2.1 Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa . . . 129

3.2.2 Derivada Parcial . . . 134

3.2.3 Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita . . . 135

3.3 Variedades de Banach . . . 138

3.3.1 A Derivada . . . 142

3.4 Teorema de Sard-Smale . . . 146

3.4.1 O contra-exemplo de Bonic . . . 146

3.4.2 Aplica¸c˜oes de Fredholm . . . 147

3.4.3 Prova do Teorema e Consequˆencias . . . 152

3.5 Transversalidade . . . 155

A Topologia Diferencial ´e uma sub-´area da Teoria das Variedades que se dedica ao estudo das variedades diferenciais. Nesse contexto a constru¸c˜ao de teorias que via-blizaram o estudo foram not´aveis tais como a teoria de homotopia, do grau, topologias de Whitney, e Transversalidade. Existem tamb´em outros resultados impressionantes tais como o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, o Teorema de Poincar´e-Hopf e a caracter´ıstica de Euler, e o Teorema de Sard.

O objetivo principal desse trabalho ´e o estudo do Teorema de Sard para variedades em dimens˜ao finita (Sard, 1942) e infinita (Smale, 1965) que afirmam, sob certas condi¸c˜oes, que afirma que os valores regulares de uma aplica¸c˜ao entre variedades ´e denso. Em ambos os casos iremos aplic´a-lo para obten¸c˜ao de resultados envolvendo transversalidade.

Em dimens˜ao finita, de imediato o Teorema de Sard nos fornece uma prova ele-gante do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer (TPFB) devido a Hirsch, e o fundamento da Teoria do Grau tanto em m´odulo 2 como pelo Grau de Brouwer. Atrav´es da primeira, a Teoria do Grau m´odulo 2, obtemos uma nova demonstra¸c˜ao para o TPFB; utilizando a segunda, mostramos oTeorema da Bola Cabeluda de Brouwer.

Em um segundo momento, com o surgimento da Teoria de Jatos e da Topologia de Whitney para o espa¸co das fun¸c˜oes suaves entre duas variedades de dimens˜ao finita

X eY, C∞_{(X, Y), al´em do desenvolvimento do conceito de Transversalidade, o qual est´a} muito relacionado com a id´eia de valor regular, como veremos no texto, o Teorema de Sard auxilia o desenvolvimento de teoremas robustos e de grande alcance como oTeorema de Transversalidade para Jatos, Teorema de Transversalidade de Thom, e o Teorema de Transversalidade para Multijatos. Uma das consequˆencias not´aveis dessa teoria ´e o Teorema do Mergulho de Whitney.

Em dimens˜ao infinita, com a inten¸c˜ao de investigar e entender como os teorema em dimens˜ao finita poderiam ser generalizados para dimens˜ao infinita, em nosso caso espa¸cos de Banach, buscamos inicialmente entender o funcionamento de certas aplica¸c˜oes, da derivada, de certos operadores como os operadores compactos e operadores de Fredholm,

das Variedades de Banach e seus teoremas.

Preliminares

Nesta se¸c˜ao apresentamos uma grande variedade de teorias das quais iremos fazer uso nos pr´oximos cap´ıtulos, por isso apresentamos defini¸c˜oes, conceitos e resultados, que foram feitos da maneira mais geral para que fossem ´uteis em diversas situa¸c˜oes ao longo do texto.

1.1

Topologia Geral

Assumiremos conhecidos a no¸c˜ao de topologia e de abertos. Apresentamos as defini¸c˜oes e resultados topol´ogicos, que foram necess´arios para o desenvolvimento dos argumentos.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja X espa¸co topol´ogico.

(i) Dizemos que um conjunto F _⊆ X ´e fechado, se seu complementar com rela¸c˜ao a

X ´e um aberto da topologia.

(ii) Um ponto x∈X ´eponto aderentede A⊆X se para todo abertoV tal quex∈V, temos que A∩V 6=∅.

(iii) Seja A ⊆ X. O fecho de A ´e a intersec¸c˜ao de todos os fechados que cont´em A. Denotamos o fecho de A como A¯.

Pode-se mostrar o seguinte fato que caracteriza o fecho de um conjunto qualquer.

Fato 1.1.2. O fecho de um conjunto A ´e o conjunto dos pontos aderentes de A.

Defini¸c˜ao 1.1.3. Seja X espa¸co topol´ogico com D⊆X. Dizemos que D´e denso em X

se D=X.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Seja (X, τ) um espa¸co topol´ogico. Dizemos que uma cole¸c˜ao B de abertos de X ´e uma base de abertos para o espa¸co topol´ogico X se todo aberto pode ser escrito como uni˜ao de uma subcole¸c˜ao de elementos de B, i.e., para todo V _∈ τ, existe

B′ _{⊆ B tal que V =}S

B′_.

Defini¸c˜ao 1.1.5. SejaX um espa¸co topol´ogico e_S uma cole¸c˜ao de abertos deX. Dizemos que _S ´e uma sub-base de X se o conjunto das intersec¸c˜oes finitas de elementos de _S forma uma base para X.

Podemos tamb´em construir uma topologia sobre X a partir de uma cole¸c˜ao de subcon-juntos de X basta que essa cole¸c˜ao satisfa¸ca a certas condi¸c˜oes, vejamos

Proposi¸c˜ao 1.1.6. Sejam X um conjunto e B uma cole¸c˜ao de subconjuntos de X satis-fazendo as seguintes propriedades:

(i) Para cada U1, U2 ∈ B e cada x∈U1∩U2, existe U ∈ B tal que x∈U ⊆U1∩U2. (ii) Para cada x∈X, existe U ∈ B tal que x∈U.

Ent˜ao a cole¸c˜ao B∗_{, formada pelas uni˜oes de subcole¸c˜oes de B, ´e uma topologia sobre X} e B ´e uma base para o espa¸co topol´ogico (X,B∗_).

Defini¸c˜ao 1.1.7. SejaX um espa¸co topol´ogico. Dizemos que X´econexose n˜ao existem abertos n˜ao-vaziosU e V tais que U _∩V =_∅ e U _∪V =X.

Defini¸c˜ao 1.1.8. Seja (X, τ) espa¸co topol´ogico n˜ao-vazio e x _∈ X. Diremos que uma fam´ılia_Bx ⊆ Ux ´e uma vizinhan¸ca b´asica de x (ou uma base de vinhan¸ca de x) se

cada U ∈ Ux cont´em algum V ∈ Bx, i.e., ∀U ∈ Ux,∃V ∈ Bx tal que V ⊆ U. Onde Ux

denota o conjunto de todas as vizinhan¸cas de x.

Defini¸c˜ao 1.1.9. Seja X um espa¸co topol´ogico.

(i) Diz-se queX ´eprimeiro enumer´avelse cada ponto possui uma vizinhan¸ca b´asica enumer´avel.

(iii) Diz-se queX ´eterceiro enumer´avel(ousepar´avel) seX possui um subconjunto denso enumer´avel.

Defini¸c˜ao 1.1.10. Seja (X, τ) espa¸co topol´ogico e Y ⊆ X. Se τ′ _{= {Y ∩U : U ∈ τ},} ent˜ao dizemos que(Y, τ′_{)´e subespa¸co topol´ogicode X, e que τ}′ _{´e a topologia induzida} por X.

A seguir uma importante caracteriza¸c˜ao para densos:

Proposi¸c˜ao 1.1.11. Seja X espa¸co topol´ogico com D_⊆X. Ent˜ao D ´e denso em X se, e somente se,D_∩V =V, para todo aberto V.

Segue da proposi¸c˜ao anterior, o seguinte resultado:

Fato 1.1.12. Se X ´e um espa¸co topol´ogico separ´avel e Y ´e um subespa¸co aberto de X, ent˜ao Y tamb´em ´e separ´avel, i.e., ser separ´avel ´e heredit´ario para subespa¸cos abertos.

A seguir definiremos espa¸cos T2 e T3, e tamb´em fun¸c˜ao cont´ınua. Atrav´es desses con-ceitos poderemos inferir que certos conjuntos s˜ao fechados. Apresentamos tamb´em uma caracteriza¸c˜ao para espa¸cosT3 que ser´a usada no decorrer do texto.

Defini¸c˜ao 1.1.13. (i) Seja X um espa¸co topol´ogico. X ´eT2, ou Hausdorff, se dados dois pontos distintos x, y ∈ X, existem abertos disjuntos U, V tais que x ∈ U e

y ∈V.

(i) Seja X um espa¸co topol´ogico. Dizemos que X ´e T3 se para cada x ∈ X e cada fechado F _⊆ X tal que x /_∈ F existem U e V abertos disjuntos tais que x _∈ U e

F ⊆V.

(ii) Sejam (X, τ) e (Y, τ′_{) dois espa¸cos topol´ogicos. Uma fun¸c˜ao f de X em Y ´e}

cont´ınua se, e somente se, f−1_{(U)∈τ para cada U ∈τ}′_{, i.e., imagem inversa de} um aberto de Y ´e um aberto de X.

Pode-se mostrar o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 1.1.14. Para cada par f, g de fun¸c˜oes cont´ınuas de um espa¸co topol´ogico X

A seguinte caracteriza¸c˜ao para espa¸cosT3 nos ser´a ´util.

Proposi¸c˜ao 1.1.15. Um espa¸co X ´e T3 se, e somente se, para cada x∈ X e para cada vizinhan¸ca aberta W de x existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tal que x_∈U _⊆U _⊆W.

Proposi¸c˜ao 1.1.16. Seja(M, τ)espa¸co m´etrico comd:M_×M _→R+ _{m´etrica compat´ıvel} com sua topologia. Ent˜ao d ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Seja (x0, y0)∈M ×M fixo e arbitr´ario e a =d(x0, y0), vamos mostrar que d ´e cont´ınua em (x0, y0). Seja ε > 0 e U := (a−ε, a+ε). Defina V := B(x0,₂ε)×

B(y0,ε₂), note queV ⊆d−1(U). De fato, dado (x, y)∈V, usando desigualdade triangular, obtemos que _|d(x, y)₋d(x0, y0)|< ǫ, e temos o desejado.

Defini¸c˜ao 1.1.17. Uma fun¸c˜ao f :X →Y ´e dita pr´opria se para todo K compacto em

Y temos que f−1_{(K) ´e compacto em X, (i.e., imagem inversa de compacto ´e compacto).}

Lema 1.1.18. Se X e Y s˜ao espa¸cos de Hausdorff com Y localmente compacto e f :

X _→Y cont´ınua e pr´opria ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao fechada.

Demonstra¸c˜ao: Seja Z um subconjunto fechado de X, e seja y _∈ f(Z), assim yi → y

quando i _{→ ∞} para yi ∈ f(Z). Seja V uma vizinhan¸ca compacta de y, sem perda

de generalidade podemos supor todos os yi ∈ V. Assim, para todo i em N temos que

yi ∈f(Z)∩V, segue que existem x1, x2, ... ∈Z ∩f−1(V) tais que f(xi) = yi.

Da compacidade def−1_{(V), temos que (x}

n)n possui subsequˆencia convegente emf−1(V).

Digamos que xnj converge para um x em f−

1_{(V). Como (x}

nj)j tamb´em est´a contido em

Z fechado, temos que x _∈ Z. Assim, f(xnj) = ynj converge para f(x). Pela unicidade

do limite, pois os espa¸cos s˜ao de Hausdorff, temos que f(x) = y, dondey _∈Z, e temos o

desejado.

1.2

Algebra Linear

´

Proposi¸c˜ao 1.2.1. Seja Amatrizm_×n, e sejaT a transforma¸c˜ao linear induzida porA, assim T :Rn _→Rm _{onde T(x) =A.x. Temos que o posto de T (ou de A) ´e a dimens˜ao}

de sua imagem. As seguintes asser¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) postoT =α.

(ii) O n´umero m´aximo de linhas L.I. em A ´e α. (iii) O n´umero m´aximo de colunas L.I. em A ´e α.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Seja T : Rn _{→ R}m _{operador linear. Definimos o contra-posto de T}

(ou simplesmentecoposto deT) como a seguinte diferen¸camin{n, m}−posto(T), assim coposto(T) = min{n, m} −posto(T).

Fato 1.2.3. Valem as seguintes propriedaes:

(0) SejamA,B,C eDmatrizes de dimens˜aon×n,n×m, m×n, m×mrespectivamente. Ent˜ao det A B

0 D

!

= det(A).det(D) = det A 0

C D

!

.

(i) SejamA,B,C eDmatrizes de dimens˜aon_×n,n_×m, m_×n, m_×mrespectivamente. SeA´e invers´ıvel, ent˜aodet A B

C D

!

= det(A).det(D−CA−1_{B). SeD´e invers´ıvel,}

ent˜ao det A B

C D

!

= det(D).det(A₋BD−1_C).

(ii) Se T ´e uma matriz quadrada m_×m.

Ent˜ao T ´e invert´ıvel se, e somente se, posto(T) = m. (iii) Seja S matriz m×n e T matriz s×m com posto(T) =m.

Ent˜ao posto(T S) = posto(S).

(iv) Sejam A um matriz m×n e B uma matriz n×k de poston

Demonstra¸c˜ao: Para o item (0), basta observar que

A 0

C D

!

= A 0

C Im !

In 0

0 Im !

Para o item (i), quandoA ´e invers´ıvel, basta observar que:

A B C D

!

= A 0

C Im !

In A−1B

0 D₋CA−1_B

!

Quando D´e invers´ıvel, o racioc´ınio ´e an´alogo.

Os itens (ii), (iii) e (iv) seguem da proposi¸c˜ao 1.2.1.

1.3

An´

alise

Iremos enunciar alguns resultados em an´alise sem demonstra¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. (F´ormula de Taylor) Seja f : U → Rn _{com U ⊆ R}m _{aberto em que}

a, a+v _∈U a F´ormula de Taylor se escreve como

f(a+v) =f(a) +P

1≤α≤k Dα_f(a)

α! (v)

α_+r k(v)

ondeα ∈NN _{e |α|=α}

1+...+αn com Dαf = ∂

|α|f

∂xα1

1 ···xαnn em que |α| ≤k, v

α _=vα1

1 · · ·vnαn,

e vale lim

v→0

rk(v)

|v|k = 0.

Demonstra¸c˜ao: Ver [21] p. 261 e 262.

Defini¸c˜ao 1.3.2. Sejam U, V ⊆ Rn_{. A bije¸c˜ao f :U →V ´e um difeomorfismo de U}

sobre V se f e f−1 _{s˜ao diferenci´aveis.}

Teorema 1.3.3. (Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa)

Sejam f : U → Rm _{definida no aberto U ⊆ R}m _{com f de classe C}1 _{e p ∈ U. Se df}

p ´e

isomorfismo ent˜ao existemV eW vizinhan¸cas abertas depef(p)emRm _{respectivamente}

tal que f_|V _→W ´e um difeomorfismo.

Demonstra¸c˜ao: Ver [21] p. 282.

1.4

Variedades de dimens˜

ao finita

(i) U ´e um aberto de X, e φ(U) ´e um aberto deRn_.

(ii) φ :U _→Rn _{´e um homeomorfismo sobre sua imagem φ(U).}

A aplica¸c˜ao φ:U _→Rn _{´e chamada de parametriza¸c˜ao da carta.}

Defini¸c˜ao 1.4.2. Um atlas de dimens˜ao n _∈ N∗ _{e classe C}∞ _{de X ´e uma cole¸c˜ao}

A=_{(Uα, φα) :α∈A} de carta de X de dimens˜ao n e classe C∞ tal que

(i) S

α∈AUα =X

(ii) Para todo α e β em A tais que Uα∩Uβ 6=∅ temos que

φβ◦φ−α1 :φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ) ´e de classe C∞.

As aplica¸c˜oes φβ◦φ−α1 s˜ao chamadas de mudan¸ca de coordenadas.

Defini¸c˜ao 1.4.3. Dois atlas _A e _B de X de dimens˜ao n e classe C∞ _{s˜ao compat´ıveis} se _{A ∪ B} ´e um atlas de X e classe C∞

Pode se mostrar que a rela¸c˜ao dada por _{A ∼ B} se, e somente se, _A e _B s˜ao compat´ıveis ´e de equivalˆencia.

Defini¸c˜ao 1.4.4. Uma variedade de dimens˜ao n _∈ N∗ _{e classe C}∞ _{´e um par (X,[A])} onde X ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff que satisfaz o segundo axioma de enumera-bilidade e[_A]´e a classe de equivalˆencia de um atlas de dimens˜ao n e classe C∞_.

Escreveremos X em vez de (X,[A]).

Defini¸c˜ao 1.4.5. Seja p _∈ U _⊆ X onde (U, φ) ´e uma carta de X dizemos ent˜ao que (U, φ) ´e uma carta de p.

O pr´oximo teorema nos fornece um jeito pr´atico de descrever variedades.

Teorema 1.4.6. (Variedades e Inje¸c˜oes) Sejam M um conjunto e _{Uα}α∈A uma fam´ılia

de conjuntos de M, e {φα : Uα → Rn|α ∈ A} uma fam´ılia de aplica¸c˜oes injetoras.

Suponha que

(i) S

α∈Aφα(Uα) = M;

(iii) Para todos α e β em A tais que Uα∩Uβ 6=∅ a aplica¸c˜ao φβ ◦φ−α1 :φα(Uα∩Uβ)→

φβ(Uα∩Uβ) ´e suave;

(iv) Para todos pontospeq distintos deM existem conjuntos UαeUβ disjuntos contendo

p e q respectivamente.

ent˜ao existe uma ´unica topologia (e consequentemente uma ´unica estrutura de Variedade) no conjuntoM relativamente a qual A:={(Uα, φα) :α∈A} ´e um atlas.

Demonstra¸c˜ao: Ver em [20], Lema 1.23, p. 21 e 22.

Defini¸c˜ao 1.4.7. SejamX e Y duas variedades de dimens˜ao m e n respectivamente com

f : X _→ Y uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Dizemos que f ´e suave ou de classe C∞ _se para toda carta (U, φ) de X e (V, ψ) de Y tal que U _∩f−1_{(V) 6= ∅ a aplica¸c˜ao dada por}

ψ_◦f_◦φ−1 _{:φ(U ∩f}−1_(V))→Rn _{´e de classe C}∞_.

Sejam X e Y duas variedades de dimens˜ao m e n respectivamente com f : X _→ Y

uma aplica¸c˜ao suave. Considere p ∈ X e f(p) ∈ Y, e sejam (U, φ) carta de p e (V, ψ) cartas de f(p) em X e Y respectivamente. Mostra-se que a matriz da aplica¸c˜ao linear

dfp :TpM →Tf(p)Y ´e dada pela matriz jacobiana de d(ψ◦f◦φ−1)φ(p).

Defini¸c˜ao 1.4.8. SejamX e Y duas variedades de dimens˜ao m e n respectivamente com

f : X _→ Y uma aplica¸c˜ao bijetiva. Dizemos que f ´e difeomorfismo se f e f−1 _s˜ao suaves.

Defini¸c˜ao 1.4.9. Seja f :X _→Y uma aplica¸c˜ao suave.

(i) Dizemos que p_∈X ´e ponto regular para f se dfp :TpM →Tf(p)Y ´e sobrejetiva. (ii) Um ponto q ∈Y ´e um valor regular para f se para todo p∈ f−1_{(q) temos que p}

´e um ponto regular.

(iii) Dizemos que p_∈X ´e ponto cr´ıtico paraf se p n˜ao ´e um ponto regular. (iv) Um ponto q∈Y ´e um valor cr´ıtico para f se q n˜ao ´e valor regular.

Segue da defini¸c˜ao que seq ∈Y e f−1_{(q) =∅ ent˜ao q ´e um valor regular.} Teorema 1.4.10. (Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa para variedades)

SejamXn _{e Y}n _{variedades suaves, considere uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f :X}n_→Yn _e

um ponto p _∈ X tal que a diferencial dfp : TpX → Tf(p)Y seja um isomorfismo. Ent˜ao existe um aberto W de X tal que p_∈W com f(W)´e aberto em Y e f_|W :W →f(W)´e

Demonstra¸c˜ao: Como trata-se de um resultado local, basta aplicar o Teorema da Aplica¸c˜ao

Inversa do Rn_.

Lema 1.4.11. SejaX uma variedade suave n˜ao-compacta eKi ⊆intKi+1 uma sequˆencia de compactos tais que X = S

i∈NKi. Dadas sequˆencias εi > 0 e ωi > 0 de n´umeros

positivos onde i _∈ N ent˜ao existem fun¸c˜oes f;g : X _→ R+ _{suaves tais que para todo}

x∈Ki+1\intKi temos que 0< f(x)≤εi e ωi ≤g(x)

Demonstra¸c˜ao: Veja em [26] lema 2.13, p. 46.

Proposi¸c˜ao 1.4.12. Se X ´e uma variedade suave ent˜ao existe uma fun¸c˜ao pr´oria de X

em R.

Demonstra¸c˜ao: Veja em [15] proposi¸c˜ao 5.11, p. 25.

Proposi¸c˜ao 1.4.13. Sejam X e Y variedades de mesma dimens˜ao onde X ´e uma vari-edade compacta e f : X → Y cont´ınua. Se y ´e um valor regular de f ent˜ao #f−1_{(y) ´e} finito.

Demonstra¸c˜ao: Suponha y valor regular de f. Se f−1_{(y) vazio, ´otimo. Suponha que}

f−1_{(y) ´e n˜ao-vazio.}

Afirma¸c˜ao 1: f−1_{(y) ´e um subespa¸co discreto.}

Tomex_∈f−1_{(y) fixo e arbitr´ario, da´ıx´e ponto regular, assimdf}

x ´e um isomorfismo, pois

dimens˜ao deX eY s˜ao iguais. Pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, existe uma vizinhan¸ca aberta U (em X) dex tal quef|U ´e um difeomorfismo. Assim, U ∩f−1(y) ´e um aberto

de f−1_{(y). Note que x ´e um ponto isolado em f}−1_{(y). De fato, caso contr´ario existiria} ˜

x ∈ U ∩f−1_{(y) com x 6= ˜x, e logo f(˜x) = y = f(x), mas f ´e um difeomorfismo em U,} contradi¸c˜ao. Vale a afirma¸c˜ao.

Afirma¸c˜ao 2: f−1_{(y) ´e um subespa¸co compacto.} Note que f−1_{(y) ´e fechado, seja x}

n → x onde xn ∈ f−1(y) para todo n ∈ N. Basta

mostrarmos que x _∈ f−1_{(y) e teremos o desejado. Mas f ´e cont´ınua, segue que quando}

n_{→ ∞} obtemos que f(xn)→f(x), da´ıy →f(x) no que segue que f(x) =y, e portanto

x_∈f−1_{(y), como desejado. Segue quef}−1_{(y) ´e compacto pois ´e um conjunto fechado em} um compacto, X.

Agora, se um espa¸co topol´ogico ´e um compacto e discreto, segue que ele ´e finito, o que

Proposi¸c˜ao 1.4.14. SejamX e Y variedades de mesma dimens˜ao onde X ´e uma varie-dade compacta e f :X _→Y cont´ınua. A fun¸c˜ao #f−1_{(y)´e localmente constante quando}

y percorre os valores regulares y de f.

Demonstra¸c˜ao: Seja y um valor de f, pela proposi¸c˜ao anterior, temos que #f−1_{(y) ´e} finito. Assim podemos considerar f−1_{(y) ={p}

1, ..., pr}. Como X e Y possuem a mesma

dimens˜ao, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, para cada pi ∈ f−1(y) existe Ui aberto

no qual f_|Ui ´e um difeomorfismo com sua imagem f(Ui) = Vi aberto em Y para cada

i _{∈ {}1, ..., r_}. Como estamos supondo a variedade como sendo de Haudorff, podemos supor sem perda de generalidade esses abertos Ui’s como sendo dois-a-dois disjuntos.

Tome y∈V˜ ⊆Tri=1Vi com ˜V aberto.

Seja w ∈V˜, segue que w∈ Tri=1f(Ui), logo existe um ´unico wi ∈ Ui tal que f(wi) = w

(poisf ´e um difeomorfismo em Ui) para cadai∈ {1, ..., r}, segue quef−1(w) possui pelo

menosr pontos. Note que poderiam existir pontos de f−1_{(w) que n˜ao est˜ao em nenhum}

Ui para todo i ∈ {1, ..., r}. Vamos mostrar que existe y ∈ V ⊆ Tr_i=1Vi tal que isso n˜ao

ocorre.

Afirma¸c˜ao: Existe V _∋ y aberto contido em Tr_i=1Vi tal que para todo w em V temos

quef−1_(w)⊆Sr i=1Ui.

Suponha, por absurdo, que a afirma¸c˜ao n˜ao vale. Podemos tomar _{Vn}∞n=1 a vizinhan¸ca b´asica enumer´avel de y (pois as variedades diferenci´aveis satisfazem o segundo axioma de enumerabilidade, e portanto satisfazem o primeiro axioma de enumerabilidade), assim, para todaVn vizinhan¸ca aberta deyexistewn ∈Vntal quexn ∈/ Sri=1Ui comf(xn) =wn.

Assim, wn →yquando n→ ∞. Como xn ∈X para todo n ∈Ncom X compacto, existe

uma subsequˆencia convergentexk →x quando k→ ∞. Agora, note que:

f(x) =f(lim xk) = limf(xk) = lim wk=y

Da´ıx_∈f−1_{(y), segue que existe j ∈ {1, ..., r} tal que x =p}

j ∈ Uj. Como xn →x existe

n0 ∈N tal que para n ≥n0 temos quexn ∈Uj, um absurdo, pois tomamos xn ∈/ Sr_i=1Ui

para todo n_∈N. Logo vale a afirma¸c˜ao, e f−1_{(w) possui exatamente r pontos se w∈V.}

O que termina a prova.

Iremos definir agora definir variedade com bordo. Considere o semi-espa¸co fechado

Hm _={(x

1, ..., xm)∈Rm :xm ≥0}

Afronteira (ou o bordo)∂Hm _{´e definido como sendo o hiperplanoR}m−1_{× {0} ⊆R}m_.

Defini¸c˜ao 1.4.15. Um subconjunto X _⊆Rk _{´e chamado devariedade m-dimensional}

possui uma vizinha¸ca abertaUx∩X em X e um difeomorfismohx :Ux∩X →V ∩Hm em

que V _∩Hm _{´e um aberto de H}m _{com V ´e um aberto de R}m_{. A fronteira (ou o bordo)}

∂X ´e o conjunto de todos os pontos deX os quais correspondem aos pontos de ∂Hm _sobre

cada difeomorfismo. Ou seja, ∂X ={x∈X|hx(x)∈∂Hm}.

Pode-se mostrar que ∂X ´e uma variedade suave bem definida de dimens˜ao (m₋1). O interior X_\∂X ´e uma variedade suave m-dimensional.

Lema 1.4.16.Sejaf :X _→Y uma aplica¸c˜ao suave ondeX´e uma variedade de dimens˜ao

m e com bordo, eY ´e uma variedade de dimens˜ao n em quem > n. Se y∈Y ´e um valor regular para f e f|∂X : ∂X → Y ent˜ao f−1(y) ´e uma subvariedade suave de dimens˜ao

(m₋n) com bordo. Mais ainda, o bordo ∂f−1_{(y) = f}−1_(y)∩∂X.

Demonstra¸c˜ao: Veja em [27], lema 4, p. 13.

Proposi¸c˜ao 1.4.17. SejamX eY variedades suaves onde X´e uma variedade sem bordo, e Y ´e uma variedade com bordo. Ent˜ao a variedade produto X_×Y ´e uma variedade com bordo onde seu bordo ´e dado por ∂(X_×Y) =X_×∂Y.

Teorema 1.4.18. Qualquer variedade suave, compacta e 1-dimensional ´e difeomorfa a esfera S1 _{ou a algum intervalo fechado.}

Demonstra¸c˜ao: Veja [27] p.55-57.

1.5

Medida

Defini¸c˜ao 1.5.1. Dizemos que X _⊆ Rm _{possui medida nula em R}m_{, dizemos tamb´em}

que X ´e m-dimensional nulo, e escrevemos med. X = 0 quando para todo ε > 0 existe uma cobertura enumer´avel deX por cubos abertosCi com i∈Ntal que P∞_i∈Nvol. Ci < ε.

Proposi¸c˜ao 1.5.2. Valem as seguintes propriedades

(i) Todo subconjunto de um conjunto de medida nula possui medida nula.

(ii) A uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida nula em Rm _{possui medida nula em}

Rm_.

(iii) Seja A _⊆Rm _{um bloco. Dado qualquer cobertura enumer´avel A ⊆}S

iBi por blocos

abertos Bi tem-se que Pvol. Bi ≥vol. A > 0.

(v) Seja X _⊆Rm _{tal que med X = 0 ent˜ao R}n_{\X ´e denso em R}m_.

Demonstra¸c˜ao: Veja em [21] ´ıtens (A),(B) e (C), p. 352 e 353. Note que (i) e (iii) implicam (iv); e (v) ´e uma consequˆencia de (iv).

Proposi¸c˜ao 1.5.3. Valem os seguintes resultados:

(i) Seja f :U _→Rm _{de classe C}1 _{no aberto U ⊆R}m_{. Se X ⊆U tem medida nula em}

Rm _{ent˜ao f(X)⊆R}m _{tem medida nula.}

(ii) Se m < n e f : U _→ Rn _{de classe C}1 _{no aberto U ⊆ R}m _{ent˜ao f(U) ⊆ R}n _tem

medida nula.

Demonstra¸c˜ao: Veja em [21] ´ıtens (H) e (I), p. 357.

Teorema 1.5.4. (Teorema de Fubini - modificado1₎

SejaA ⊆Rp _=R×Rp−1 _{um subconjunto compacto ( e portantop-dimensional mensur´avel)} onde p ≥ 2. Se para todo t ∈ R temos que A∩({t} ×Rp−1_{) ´e p−1-dimensional nulo} ent˜ao A ´ep-dimensional nulo.

Demonstra¸c˜ao: Veja em [34] p. 51-52.

Defini¸c˜ao 1.5.5. SejaX uma variedade de dimens˜aomcomA_⊆X subconjunto qualquer n˜ao-vazio.

(i) Seja A_⊆ U onde (U, φ) ´e uma carta de X dizemos que A tem medida nula em

X se med(φ(A)) = 0 em Rm_.

(ii) Seja A⊆X dizemos queA tem medida nula em X se para toda carta (U, φ) de

X temos que A∩Utem medida nula em X, ou seja, φ(A∩U)tem medida nula em

Rm_.

Note que pelo ´ıtem (i) da proposi¸c˜ao 1.5.3 temos que a defini¸c˜ao acima ´ıtem (i) est´a bem definida, ou seja, independe da carta escolhida. De fato, suponha que A ⊆ U onde (U, φ) ´e uma carta de X onde A tem medida nula em X, assim med(φ(A)) = 0 em Rm_{. Por outro lado, suponha que A ⊆ V onde (V, ψ) ´e uma carta de X, devemos}

mostrar quemed(ψ(A)) = 0 em Rm_{. Assim, A ⊆V ∩U como X ´e variedade temos que}

nula em Rm_{, logo pelo ´ıtem (i) da proposi¸c˜ao 1.5.3 segue que ψ ◦φ}−1_{φ(A) = ψ(A) tem} medida nula em Rm_.

Em variedades, os conjuntos de medida nula tamb´em possuem propriedades an´alogas aos conjuntos de medida nula doRm_{, por exemplo:}

Proposi¸c˜ao 1.5.6. Seja X uma variedade suave de dimens˜ao m.

(i) Todo subconjunto de um conjunto de medida nula em X possui medida nula em X. (ii) A uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida nula em X possui medida nula em X. (iii) Seja A ⊆ X um aberto de X. Dado qualquer cobertura enumer´avel A ⊆S

iBi por

abertos b´asicos ent˜ao med.A6= 0.

(iv) Se A⊆X tal que med A= 0 ent˜ao intA=∅.

(v) Seja A_⊆X tal que med A= 0 ent˜ao X_\A ´e denso em X.

Demonstra¸c˜ao: Imediato, pois basta usar as propriedades dos conjuntos de medida nula doRm _{e a defini¸c˜ao de medida nula em uma variedade.}

Proposi¸c˜ao 1.5.7. SejamX eY variedades suaves com dimens˜oesm enrespectivamente com m < n. Seja f :X _→Y suave ent˜ao f(X) possui medida nula em Y.

Dimens˜

ao finita

2.1

Teorema de Sard

Teorema 2.1.1. (Teorema de Sard)

Sejam X e Y variedades de dimens˜ao m e n respectivamente com f : X → Y uma aplica¸c˜ao suave. Ent˜ao os valores cr´ıticos de f constituem um conjunto de medida nula em Y.

Em consequˆencia, o conjunto dos valores regulares ´e denso em Y.

Iremos fazer algumas simplifica¸c˜oes.

2.1.1

Redu¸c˜

ao ao caso Euclideano

Sejam X e Y variedades de dimens˜ao m e n respectivamente com f : X → Y uma aplica¸c˜ao suave, e C∗ _{:= {x ∈ X : x ´e ponto cr´ıtico de X pela f}. Sabemos que para} todo a _∈X existeUa vizinhan¸ca aberta de a em X, logo X ⊆ S_a∈XUa. Como X ´e um

aberto em si mesmo e possui a propriedade de Lindelof temos que X _⊆ S

n∈NUn. Mas

C∗ _{⊆X logo C}∗ ₌S

n∈NUn∩C∗. Assim, f(C∗) =f(Sn∈NUn∩C∗) =Sn∈Nf(Un∩C∗),

e portantof(C∗_{) =}S

n∈Nf(Un∩C∗).

Note que Un ∩C∗ ´e o conjunto dos pontos cr´ıticos da aplica¸c˜ao f|Un : Un → Y. Se

mostrarmos que para todo n ∈ N temos que f(Un∩C∗) tem medida nula em Y ent˜ao

f(C∗_{) possui medida nula em Y, pois ser´a a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida} nula. Para provar o Teorema de Sard bastaria mostrar a seguinte

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Seja U _⊆X subconjunto aberto emX e considere f :U _→Y suave. Ent˜ao os valores cr´ıticos de f constituem um conjunto de medida nula em Y.

Considere C∗∗ _{:= {x ∈ U : x ´e ponto cr´ıtico de U pela f} e seja a ∈ U ⊆ X fixo e} arbitr´ario. Existem cartas (Ua, φa) e (Vf(a), ψf(a)) de a e f(a) respectivamente tais que

Ua ⊆U ef(Ua)⊆Vf(a). LogoU =

S

a∈XUaondef(Ua)⊆Vf(a) para todoaem U. Como

U ´e um aberto de X e esse possui a propriedade de Lindelof temos que U ⊆ S n∈NUn

com f(Un) ⊆ Vn para todo n ∈ N. Mas C∗∗ ⊆ U logo C∗∗ = Sn∈NUn∩C∗∗. Assim,

f(C∗∗_{) =f(}S

n∈NUn∩C∗∗) =S_n∈Nf(Un∩C∗∗), e portanto f(C∗∗) =S_n∈Nf(Un∩C∗∗)

com f(Un)⊆ Vn e Un ⊆ U para todo n onde {(Un, φn)}∞n=1 s˜ao cartas de X que cobrem

U e _{(Vn, ψn)}∞n=1 cartas de Y que cobrem f(U).

Note que Un∩C∗∗ ´e o conjunto dos pontos cr´ıticos da aplica¸c˜ao f|Un : Un → Y onde

f(Un)⊆ Vn e (Un, φn) ´e uma carta de X e (Vn, ψn) carta de Y. Se mostrarmos que para

todo n _∈ N temos que f(Un∩C∗∗) tem medida nula em Y ent˜ao f(C∗∗) possui medida

nula em Y, pois ser´a a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida nula. Para provar o Teorema de Sard bastaria mostrar a seguinte

Proposi¸c˜ao 2.1.3. Seja U ⊆ X subconjunto aberto em X e f : U → Y suave em que (U, φ) ´e uma carta de X tal que f(U) ⊆ V onde (V, ψ) carta de Y. Ent˜ao os valores cr´ıticos de f constituem um conjunto de medida nula em Y.

Observa¸c˜ao 2.1.4. Considere as hip´oteses da proposi¸c˜ao acima. Seja C∗∗∗ _{o conjunto} dos pontos cr´ıticos de f. Devemos mostrar que f(C∗∗∗_{) tem medida nula em Y. Como}

f(U)_⊆ V segue que f(C∗∗∗_{)⊆ V onde (V, ψ) carta de Y. Pela defini¸c˜ao 1.5.5 para que}

f(C∗∗∗_{) tenha medida nula em Y basta mostrar que ψ(f(C}∗∗∗_{)) tem medida nula em R}n_.

Agora, segue da defini¸c˜ao da derivada de f no ponto p_∈X o seguinte

Fato 2.1.5. Seja U _⊆ X subconjunto aberto em X e f : U _→ Y suave em que (U, φ) ´e uma carta de X tal que f(U)⊆V onde (V, ψ) carta de Y. Como f ´e suave temos que a aplica¸c˜ao ψ◦f ◦φ−1 _:φ(U)→Rn _{´e suave onde φ(U)⊆R}m_{. Sejam C}∗∗∗ _{o conjunto dos} pontos cr´ıticos de f e C˜ o conjunto dos pontos cr´ıticos de ψ◦f◦φ−1 _ent˜aoφ(C∗∗∗_{) = ˜C.}

Pela observa¸c˜ao acima e o fato anterior para provar o teorema de Sard basta apenas provar o caso euclideano:

Teorema 2.1.6. Seja U _⊆ Rn _{subconjunto aberto e considere f :U → R}p _{suave. Ent˜ao}

os valores cr´ıticos def constituem um conjunto de medida nula em Rp_.

De fato, supondo o teorema para o caso euclideano. Considere a aplica¸c˜ao ψ_◦f _◦φ−1 _:

Pelo teorema de Sard para o caso euclideano, temos que ψ _◦f _◦φ−1_{( ˜C) possui medida} nula em Rn_{. Mas φ(C}∗∗∗_{) = ˜C, assim ψ◦f◦φ}−1_(φ(C∗∗∗_{)) =ψ◦f(C}∗∗∗_{) possui medida} nula emRn_{, como desejado.}

2.1.2

Caso Euclideano

Devemos mostrar o seguinte

Teorema 2.1.7. Seja U _⊆ Rn _{subconjunto aberto e considere f :U → R}p _{suave. Ent˜ao}

os valores cr´ıticos def constituem um conjunto de medida nula em Rp_.

Demonstra¸c˜ao: Seja C o conjunto dos pontos cr´ıticos de f. Note que o enunciado faz sentido quando n ≥ 0 e p ≥ 1 (por defini¸c˜ao R0 _{={0}). Provaremos por indu¸c˜ao em n} para n≥0 que para todo p∈N com p≥1 temos que med(f(C)) = 0 em Rp_.

Primeiro passo de indu¸c˜ao: n = 0. Seja n = 0 logo U ⊆ R0 _{= {0} assim U = {0}.} Como f : U → Rp _{´e uma aplica¸c˜ao temos que f(C) ⊆ f(U) = {f(0)} finito, e portanto}

med(f(C)) = 0 em Rp _{para todo p≥1.}

Segundo passo de indu¸c˜ao. Suponha que at´en−1 temos que qualquer que sejag :V →Rp

suave comV _⊆Rn−1 _{aberto eC}

g seu conjunto de pontos cr´ıticos temos quemed(g(Cg)) =

0 emRp _{para todo p≥1.}

Seja U _⊆ Rn _{um aberto e considere a aplica¸c˜ao suave f : U → R}p _{onde C ´e o conjunto}

dos pontos cr´ıticos de f.

SejaC1 ⊆ C o conjunto dos pontos x∈U tal que a primeira derivada de dfx ´e nula. De

maneira geral, seja Ci o conjunto dos pontos x ∈ U tal que todas as derivadas parciais

def de ordem ≤ i se anulam em x. Assim, temos a sequˆencia decrescente de conjuntos fechados:

C⊇C1 ⊇C2 ⊇C3 ⊇...

Note que C ´e fechado, pois U \ C ´e um conjunto aberto. De fato, como o posto ´e uma aplica¸c˜ao semi-cont´ınua, localmente n˜ao-diminui, portanto dado um pontox∈U\C

regular existe uma vizinhan¸ca aberta dextal que todos os pontos s˜ao regulares, e portanto est´a contido em U _\C, o que prova que U _\C ´e aberto. Note que C1 ´e fechado, pois

C1 =T_i,j(_∂x∂fi_j)−1(0) ´e a intersec¸c˜ao de fechados onde 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ n. De modo an´alogo, C2 =C1∩(Ti,j(

∂2_f

i

∂xk∂xj)

e assim por diante.

A prova ser´a dividida em trˆes passos:

Passo 1: A imagem f(C\C1) possui medida nula.

Passo 2: A imagem f(Ci\Ci+1) possui medida nula para i≥1.

Passo 3: A imagem f(Ck) possui medida nula para k suficientemente grande.

Note que C= (C_\C1)_∪(C1\C2)∪...∪(Ck−1\Ck)∪Ck. Assim, temos que

f(C) =f(C_\C1)_∪f(C1\C2)∪...∪f(Ck−1\Ck)∪f(Ck) e portanto

med(f(C)) = med(f(C_\C1)) +med(f(C1\C2)) +...+med(f(Ck−1\Ck)) +med(f(Ck))

Observe que uma vez provado os passos 1,2 e 3 teremos imediatamente quemed(f(C)) = 0 o que termina o segundo passo de indu¸c˜ao e prova o teorema.

(Passo 1) Devemos mostrar que med(f(C _\C1)) = 0 em Rp _{para todo p ≥ 1. Note}

que para p = 1, temos que C = C1, logo C _\C1 = ∅ e portanto f(C \ C1) = ∅ da´ı

med(f(C_\C1)) = 0. Falta provar parap≥2.

Iremos mostrar que para cadax_∈C_\C1 existe uma vizinhan¸ca abertaVxdexonde temos

queVx ⊆Rnemed(f(Vx∩C)) = 0. Assim,C\C1 ⊆Sx∈C\C1Vxem quemed(f(Vx∩C)) =

0 para todo x ∈ C \C1. Mas pela propriedade de Lindelof existe uma subcobertura enumer´avel logo C\C1 ⊆ S_n∈NVn onde med(f(Vn∩C)) = 0 para todo n ∈ N. Segue

que C _\C1 = S_n∈NVn ∩C, portanto f(C \ C1) = S_n∈Nf(Vn∩ C) o que implica que

med(f(C_\C1)) = 0 pois ´e a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida nula.

Seja ˜x _∈ C _\C1 assim para alguma derivada parcial, digamos _∂x∂f1₁, n˜ao se anula em ˜x, assim ∂f1

∂x1x˜6= 0.

Considere a seguinte aplica¸c˜ao ˜h : U _→ Rn _{definida como ˜h(x) = (f1(x), x}

2, x3, ..., xn)

onde U _⊆ Rn_{. Note que det(d˜h}

˜

x) = ∂f_∂x1₁x˜ 6= 0. Assim, d˜hx˜ ´e um isomorfismo, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, temos queh:= ˜h_|V :V →V′ ´e um difeomorfismo onde V

eV′ _{s˜ao vizinhan¸cas abertas de ˜xe de h(˜x) respectivamente. Sem perda de generalidade} podemos suporV e V′ _{bolas abertas centradas em ˜x e de h(˜x) respectivamente.}

Considere a aplica¸c˜aog :=f◦h−1 _:V′ _→Rp _{e sejaC}′ _⊆V′ _{o conjunto dos pontos cr´ıticos} deg, logoC′ _{´e limitado. Note queC}′ _{´e fechado pela mesma raz˜ao que faz C ser fechado,} portanto C′ _{tamb´em ´e compacto.}

Afirma¸c˜ao 1: Para todoy _∈V′ _{temos que posto(dg}

y) = posto(dfh−1_(y))

Sejay_∈V′_{, comoh´e um difeomorfismo, edh}−1

Note que dfh−1_(y) ´e uma matriz p×n. dg_y =d(f◦h−1)_y =df_h−1_(y)·dh−_y1.

Mas o fato 1.2.3 nos diz que:

“SejamA um matrizp_×n e B uma matriz n_×k de poston ent˜ao postoAB = postoA”.

TomandoA=dfh−1_(y) matrizp×neB =dh−_y1 matrizn×nde posto(dh−_y1) =nsegue que

posto(dgy) = posto(dfh−1_(y)·dh−_y1) = posto(df_h−1_(y)) e temos o desejado. Vale a afirma¸c˜ao.

Afirma¸c˜ao 2: C′ _{=h(V ∩C)}

(_⊆) Seja y _∈ C′ _{⊆ V}′ _{logo h}−1_{(y) ∈ V e y ´e ponto cr´ıtico de g. Como posto(dg}

y) =

posto(dfh−1_(y)) e as matrizes de dg_y e df_h−1_(y) s˜ao p×n temos que h−1(y) ´e um ponto

cr´ıtico de f. Assim, h−1_{(y)∈V ∩C e portanto y∈h(V ∩C).}

(⊇) Seja y ∈ h(V ∩C) ⊆ V′ _{assim existe um ´unico x ∈ V ∩ C tal que h(x) = y} logo h−1_{(y) = x, segue que h}−1_{(y) ∈ V ∩C. Logo h}−1_{(y) ´e ponto cr´ıtico de f como} posto(dgy) = posto(dfh−1_(y)) e as matrizes de dg_y e df_h−1_(y) s˜ao ambas p×n temos que y

´e um ponto cr´ıtico de g, logo y_∈C′_{, e temos o desejado. Vale a afirma¸c˜ao.} Segue da afirma¸c˜ao 2 queg(C′_{) =g(h(V ∩C)) =f ◦h}−1_{(h(V ∩C)) =f(V ∩C).} Afirma¸c˜ao 3: Seja g :=f _◦h−1 _:V′ _→Rp _{com g = (g}

1, ..., gp) onde gi’s s˜ao as fun¸c˜oes

coordenadas. Ent˜ao para todoy _∈V′ _{onde y= (y}

1, ..., yn) temos que g1(y) = y1.

De fato, note que g1(y) = π1◦g(y) =π1◦f◦h−1(y) =f1 ◦h−1(y). Agora, como y∈ V′ existe um ´unico x _∈ V tal que h(x) = y da´ı h(x) = (f1(x), x2, x3, ..., xn) = (y1, ..., yn) e

portanto f1(x) = y1. Logo g1(y) = f1◦h−1(y) = f1(x) = y1 e temos o desejado. Vale a afirma¸c˜ao.

Fixado t ∈ R arbitr´ario segue da afirma¸c˜ao 3 que qualquer que seja (t, x2, ..., xn) ∈ V′

temos queg(t, x2, ..., xn)∈ {t} ×Rp−1 ⊆Rp.

Defina gt_:=g|

{t}×Rn−1_∩V′ :{t} ×Rn−1∩V′ → {t} ×Rp−1. Seja At o conjunto dos pontos cr´ıticos de gt_.

Note que dim(dom(gt_{)) = n−1 segue da hip´otese de indu¸c˜ao que g}t_(At_{) possui medida}

nula emRp−1_.

Sub-afirma¸c˜ao: At _=C′_{∩ {t} ×R}n−1

Temos queg :=f_◦h−1 _:V′ _→Rp _{definida porg(x}

1, x2, ..., xn) = (x1, g2(x), ..., gp(x)) para

x_∈V′_{, eg}t _:=g|

{t}×Rn−1_∩V′ :{t} ×Rn−1∩V′ → {t} ×Rp−1 onde n ≥1,p≥2. Parax= (x1, x2, ..., xn)∈V′ temos que (dg)x =

        

1 0 ... ... 0 0 0

∂g2

∂x1x

∂g2

∂x2x ... ... ... ...

∂g2

∂xnx

∂g3

∂x1x

∂g3

∂x2x ... ... ... ...

∂g3

∂xnx

... ... ... ... ... ... ...

∂gp

∂x1x

∂gp

∂x2x ... ... ... ...

∂gp

∂xnx

        

(p×n)

Parax= (x1, x2, ..., xn)∈ {t}×Rn−1∩V′, (dgt)x =       ∂g2

∂x2x ... ... ... ...

∂g2

∂xnx

∂g3

∂x2x ... ... ... ...

∂g3

∂xnx

... ... ... ... ... ...

∂gp

∂x2x ... ... ... ...

∂gp

∂xnx

     

(p−1×n−1) .

Portanto posto(dgx) = posto(dgt)x+ 1. Observe que:

x_∈C′_{∩ {t} ×R}n−1 _{⇔ x´e ponto cr´ıtico da g e x∈ {t} ×R}n−1_∩V′_.

⇔posto(dgx)< min{n, p}e x∈ {t} ×Rn−1∩V′ .

⇔posto(dgt₎

x+ 1< min{n, p} ex∈ {t} ×Rn−1∩V′.

⇔posto(dgt₎

x < min{n, p}-1 e x∈ {t} ×Rn−1∩V′.

⇔posto(dgt₎

x < min{n−1, p−1} ex∈ {t} ×Rn−1∩V′.

⇔x ´e ponto cr´ıtico da gt

Obtemos a igualdadeAt_=C′ _{∩ {t} ×R}n−1_{, e vale a sub-afirma¸c˜ao.} Vamos mostrar quegt_(At_{) = g(C}′_{)∩ {t} ×R}p−1_.

(⊆) Seja z ∈ gt_(At_{) assim existe x ∈ A}t _{tal que g}t_{(x) = z. Mas A}t _{= C}′ _{∩ {t} ×R}n−1_, logo x _∈ C′ _{∩ {t} ×R}n−1_{. Como x ∈ C}′_{, temos g(x) ∈ g(C}′_{); e x ∈ {t} ×R}n−1 _logo

g(x) = gt_{(x)∈ {t} ×R}p−1_{. Temos que z =g}t_{(x) =g(x)∈g(C}′_{)∩ {t} ×R}p−1 (_⊇) Seja z _∈ g(C′_{)∩ {t} ×R}p−1 _{existe x ∈ C}′ _{tal que g(x) = z e z = (t, z}

2, ..., zp). Mas

g(x) = (x1, g2(x)..., gp(x)) =z = (t, z2, ..., zp) logox1 =t ex= (t, x2, ..., xn)∈ {t} ×Rn−1

portanto gt_{(x) = g(x). Assim, x ∈ C}′ _{∩ {t} ×R}n−1 _{= A}t_{, e x ∈ A}t _{obtemos assim que}

z=gt_(x)∈gt_(At_{), como desejado. Vale a afirma¸c˜ao.}

Como C′ _{´e compacto e g ´e cont´ınua segue que g(C}′_{) ´e compacto. Como g}t_(At_{) possui}

em Rp−1_{, segue do Teorema de Fubini 1.5.4 que g(C}′_{) possui medida nula em R}p_{. Mas}

g(C′_{) = f(V ∩C) logo med(f(V ∩C)) = 0 em R}p_{, o que prova o passo 1.}

(Passo 2)Devemos mostrar que a imagemf(Ck\Ck+1) possui medida nula para k ≥1.

Iremos mostrar que para cada x_∈Ck\Ck+1 existe uma vizinhan¸ca aberta Vx de x onde

temos que Vx ⊆ Rn e med(f(Vx ∩Ck)) = 0. Assim, Ck\Ck+1 ⊆ S_x∈Ck\Ck+1Vx em que

med(f(Vx∩Ck)) = 0 para todo x∈Ck\Ck+1. Mas pela propriedade de Lindelof existe uma subcobertura enumer´avel logoCk\Ck+1 ⊆Sn∈NVn ondemed(f(Vn∩Ck)) = 0 para

todon∈N. Segue queCk\Ck+1 ⊆Sn∈NVn∩Ck, portantof(Ck\Ck+1)⊆Sn∈Nf(Vn∩Ck)

o que implica quemed(f(Ck\Ck+1)) = 0 pois ´e a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida

nula.

Seja ˜x _∈ Ck \ Ck+1 segue que existe alguma derivada parcial de ordem k + 1 tal que

∂k+1_f

r

∂xs₁···x_sk+1x˜ 6= 0. Como ˜x ∈ Ck temos que

∂k_f r

∂xs₂···x_sk+1x˜ = 0, suponha sem perda de

generalidade que s1 = 1. Defina w(x) = ∂

k_f r

∂xs₂···x_sk+1x, segue que w(x) = 0 para todo

x_∈Ck e _∂x∂w₁x˜6= 0.

Defina ˜h : U _→ Rn _{onde U ´e um aberto de R}n _{como ˜h(x) = (w(x), x}

2, ..., xn). Note que

det(d˜hx˜) = _∂x∂w₁x˜6= 0. Assim, d˜hx˜ ´e um isomorfismo, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, temos queh:= ˜h_|V :V →V′ ´e um difeomorfismo ondeV eV′ s˜ao vizinhan¸cas abertas de

˜

xe deh(˜x) respectivamente. Note queh(Ck∩V)⊆ {0} ×Rn−1. De fato, sejax∈Ck∩V

assim w(x) = 0 e h(x) = (0, x2, ..., xn)∈ {0} ×Rn−1.

Considere a aplica¸c˜aog :=f◦h−1 _:V′ _→Rp _{e sejaC}′ _⊆V′ _{o conjunto dos pontos cr´ıticos} deg. Note que C′ _{´e fechado pela mesma raz˜ao que faz C ser fechado.}

Defina g :=g|({0}×Rn−1_)∩V′({0} ×Rn−1)∩V′ →Rp. Seja Ao conjunto dos pontos cr´ıticos deg. Note que dim(dom(g)) = n₋1 segue da hip´otese de indu¸c˜ao queg(A) possui medida nula emRp_{, pois ({0} ×R}n−1_)∩V′ _{´e um aberto de R}p_.

Note queh(Ck∩V)⊆A. De fato, sejax∈h(Ck∩V) segue que existez ∈Ck∩V tal que

h(z) = x_∈V′ _{e x∈ {0} ×R}n−1_{, assim x ∈dom(g). Logog(x) = g(h(z)) =f(z). Como}

z_∈Ck temos quedgx =dfz = 0, segue quex∈A.

Temos queg(A) tem medida nula em Rp_{. Mas f(C}

k∩V) = g(h(Ck∩V)) =g(h(Ck∩V))

eg(h(Ck∩V))⊆g(A) logo f(Ck∩V) possui medida nula em Rp, o que prova o passo 2.

(Passo 3)Devemos provar que a imagemf(Ck) possui medida nula paraksuficientemente

grande.

Tome a ∈ U assim existe um cubo aberto In

a tal que a ∈ Ian ⊆ U. Logo U = S

como estamos noRn _{vale a propriedade de Lindelof da´ıU =}S

m∈NImn onde Imn ⊆U.

Obtemos que Ck =S_m∈NCk∩Imn onde Ian ⊆U. Assim, f(Ck) = S_m∈Nf(Ck∩Imn) onde

In m ⊆U.

Iremos mostrarmed(f(Ck∩Imn)) = 0 qualquer que seja o m∈Nda´ımed(f(Ck)) = 0 pois

´e a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida nula. Sejam fixo e arbitr´ario, e considere In

m ⊆U onde Imn ´e um cubo aberto (iremos suprimir

o ´ındice m para n˜ao carregar a nota¸c˜ao). Seja δ > 0 o comprimento da aresta do cubo

In m =In.

Sejax_∈Ck∩Infixo e arbitr´ario. Sejah∈Rntal que x+h∈In. Pela F´ormula de Taylor

1.3.1 comox∈Ck temos que f(x+h) =f(x) +rk(h) com lim h→0

rk(h)

|h|k = 0.

Considere y =x+h ∈In assim h= y−x logo f(y)−f(x) = rk(y−x) onde y, x ∈In.

Segue querk(y−x) ´e cont´ınua, e portanto r_|k_y(₋y−_x|xk) ´e cont´ınua com y6=x . Comoy, x∈In

compacto, existec > 0 tal que |rk(y−x)| ≤ c|y−x|k para todo y ∈In. Obtemos assim

que_|rk(h)| ≤c|h|k onde x+h∈In.

Dividamos as arestas do cuboIn_{de comprimentoδem rpartes iguais. Obtemos assimr}n

subcubos com comprimento de aresta δ

r tais queI

n ₌Srn

s=1Js ondeJs s˜ao esses subcubos de comprimento de aresta δ

r. Segue que Ck∩I

n ₌Srn

s=1Ck∩Js. Note tamb´em que δr

√

n

´e o comprimento da diagonal de cada subcubo Js de In.

Seja J1 o subcubo de In com aresta δ_r tal que x ∈J1. Note que para todo y ∈J1 existe

h∈Rn _{tal que x+h =y, assim |x−y| ≤} δ r

√

n e portanto |h| ≤ δ r

√

n. SejaCubo(b, β) o cubo aberto de centrob _∈Rp _{e raio 0< β ∈R.}

Afirma¸c˜ao:f(Ck∩J1)⊆Cubo(f(x),_rak) onde a= 2c(δ

√

n)k_.

x_∈Ck∩J1. Segue que existe h∈Rn tal que x+h=y de onde |h| ≤ δ_r√n.

Agora,

|f(x)−z|=|f(x)−f(y)|=|f(x)−f(x+h)|=|rk(h)| ≤c|h|k ≤c(δ_r√n)k

|f(x)−z| ≤c(δ_r√n)k₌ 2c(δ√n)k

2rk =

a

2rk ≤

a rk

|f(x)−z| ≤ a

rk, e vale a afirma¸c˜ao.

Segue da afirma¸c˜ao quemed(f(Ck∩J1))≤med(Cubo(f(x),_rak)) = (

a rk)p

MasCk∩In=Sr

n

s=1Ck∩Js logo f(Ck∩In) =Sr

n

s=1f(Ck∩Js). Portanto

med(f(Ck∩In)) =Pr

n

s=1med(f(Ck∩Js))≤Pr

n

s=1(rak)p =rn(_rak)p =aprn−kp.

Logo med(f(Ck∩In))≤aprn−kp

Tomandok grande tal que kp > n. Sejaε >0 arbitr´ario, segue que existe rε >0 tal que

ap_rn−kp

ε < εpois rn−kp <1. Assimmed(f(Ck∩In)) = 0, e temos o desejado, o que prova

o passo 3, o segundo passo de indu¸c˜ao, e prova o teorema.

2.2

Teorema do ponto fixo de Brouwer

SejaBn+1 _{a bola fechada de raio unit´ario e centrada na origem do R}n+1_{. O Teorema do} Ponto Fixo de Brouwer diz que:

Teorema 2.2.1. (Teorema do ponto fixo de Brouwer)

Se f :Bn+1 _→Bn+1 _{´e cont´ınua ent˜ao f possui pelo menos um ponto fixo.}

Como conjuntos convexos e compactos s˜ao homeomorfos a bola fechada em dimens˜ao finita, uma vez provado o teorema anterior, obtemos a seguinte generaliza¸c˜ao:

Teorema 2.2.2. ( Teorema do ponto fixo de Brouwer - Generalizado)

Seja K compacto convexo de Rn+1_{. Se f :K →K ´e cont´ınua ent˜ao f possui pelo menos} um ponto fixo.

f, logo f(h(x)) = h(x). Da´ıh_◦f _◦h−1_{(h(x)) = h(x), donde h(f(x)) = h(x) e portanto}

f(x) =x, como desejado.

Para provar o teorema do ponto fixo primeiro note que:

Proposi¸c˜ao 2.2.3. S˜ao equivalentes:

(i) Se f :Bn+1 _→Bn+1 _{´e cont´ınua ent˜ao f possui pelo menos um ponto fixo.} (ii) Se f :Bn+1 _→Bn+1 _{´e suave ent˜ao f possui pelo menos um ponto fixo.}

Demonstra¸c˜ao: (i) _⇒ (ii) Suponha que f : Bn+1 _{→ B}n+1 _{´e suave, em particular, ´e} cont´ınua. Pela hip´otese f possui pelo menos um ponto fixo e temos o desejado.

(ii) _⇒ (i) Seja f : Bn+1 _{→ B}n+1 _{cont´ınua, e suponha, por absurdo, sem ponto fixo.} Defina g : Bn+1 _{→ R por g(x) = |x−f(x)| segue que para todo x ∈ B}n+1 _{temos que}

g(x)>0. Como Bn+1 ´e compacto existe x0 m´ınimo de g tal que g(x0) = µ >0. Pelo teorema de aproxima¸c˜ao de Weierstrass, dado ε= µ₂ existek0 tal que

|Φ(x)−f(x)|< _k1₀ < µ₂ onde Φ :Bn+1 _→Rn+1 _{´e um polinˆomio. Note que}

|Φ(x)| ≤ |Φ(x)−f(x)|+|f(x)|< _k1₀ + 1 =M

µ_{≤ |}x₋f(x)_{| ≤ |}x₋Φ(x)_|+_|Φ(x)₋f(x)_|<_|x₋Φ(x)_|+µ₂

µ≤ |x−Φ(x)|+ µ₂ 0< µ₂ ≤ |x−Φ(x)|.

Defina Ψ : Bn+1 _{→ R}n+1 _{dada por Ψ(x) =} Φ(x)

M , assim |Ψ(x)| < 1 para todo x ∈ Bn+1.

Logo Ψ :Bn+1 _→Bn+1 _{tamb´em ´e um polinˆomio, e portanto ´e suave.} Afirma¸c˜ao: Ψ :Bn+1 _→Bn+1 _{n˜ao possui pontos fixos.}

Suponha que sim, logo existex∈Bn+1 _{tal que Ψ(x) =} Φ(x)

M =xe logo Φ(x) =M x. Mas

0< µ₂ ≤ |x−Φ(x)|=|x−M x|=|x||(1−M)|=|x||(1− 1

k0 + 1)|=|x|

1

k0 ≤

1

k0 mas

1

k0 <

µ

2, o que ´e um absurdo. Logo vale a afirma¸c˜ao.

Da afirma¸c˜ao temos que Ψ :Bn+1_→Bn+1 _{n˜ao possui pontos fixos e ´e suave, o que ´e um} absurdo pela hipot´ese. Portantof : Bn+1 _{→ B}n+1 _{´e cont´ınua e f possui pelo menos um}

ponto fixo.

Iremos mostrar uma equivalˆencia do teorema do ponto fixo de Brouwer.

Proposi¸c˜ao 2.2.4. S˜ao equivalentes:

(i) Se f :Bn+1 _→Bn+1 _{´e cont´ınua ent˜ao f possui pelo menos um ponto fixo.} (ii) N˜ao existe retra¸c˜ao cont´ınua r :Bn+1 _→Sn_.

Demonstra¸c˜ao: (i) _⇒ (ii) Suponha, por absurdo, que exista uma retra¸c˜ao cont´ınua

r : Bn+1 _{→ S}n_{. Defina f : B}n+1 _{→ B}n+1 _{como f(y) = −r(y) para todo y ∈ B}n+1_. Claramente, f ´e cont´ınua. Segue da hip´otese, que existe y0 ∈ Bn+1 tal que f(y0) =y0 =

−r(y0).

Note quey0 ∈/ Sn. De fato, sey0 ∈Sn, ter´ıamos quer(y0) = y0. Masf(y0) =y0 =−r(y0), da´ır(y0) =−r(y0), e portantor(y0) = 0∈/Sn_{, contradi¸c˜ao.}

Note que y0 ∈/ Bn+1\Sn. Suponha que n˜ao, assim y0 ∈ Bn+1\Sn logo |y0| < 1. Mas

f(y0) =y0 =−r(y0)∈Sn logo |y0|= 1 contradi¸c˜ao.

Assimy0 ∈/ domf, o que ´e um absurdo. Portanto n˜ao existe retra¸c˜ao cont´ınuar:Bn+1 →

Sn_{, e temos o desejado.}

(ii) _⇒(i) Seja f : Bn+1 _{→ B}n+1 _{cont´ınua e suponha, por absurdo, sem pontos fixos, ou} seja, para todo x_∈Bn+1 _{temos que f(x)6=x.}

Para cada x e f(x) em Bn+1 _{existe a semi-reta com origem em f(x) que passe por x,} denotamos por f(x)x. Agora a semi-reta f(x)x sai da bola Sn+1 _{por um ´unico ponto,} sejar(x) o ponto da semi-reta f(x)x que pertence a esfera Sn_{, assim |r(x)|= 1.}

Note que r:Bn+1 _→Sn _{definida desse jeito ´e cont´ınua (pois a f ´e cont´ınua) e deixa fixo}

os pontos de Sn_{. Assim, r ´e uma retra¸c˜ao, o que ´e um absurdo pela hip´otese. Da´ı, f}

possui pelo menos um ponto fixo, como desejado.

Observamos que a demonstra¸c˜ao acima tamb´em prova que s˜ao equivalentes: (i) Sef :Bn+1 _→Bn+1 _{´esuave ent˜ao f possui pelo menos um ponto fixo.} (ii) N˜ao existe retra¸c˜ao suave r:Bn+1 _→Sn_.

Assim para mostrar que o teorema do ponto fixo de Brouwer para fun¸c˜oes cont´ınuas, basta mostrar que n˜ao existe retra¸c˜ao suaver:Bn+1 _→Sn_{. Vejamos antes o seguinte}

Lema 2.2.5. Seja X uma variedade compacta com fronteira. Ent˜ao n˜ao existe uma fun¸c˜ao suavef :X _→∂X que deixa fixo os pontos de ∂X.

que y tamb´em ´e valor regular para f_|∂X = Id∂X. Pelo lema 1.4.16, temos que f−1(y) ´e

uma variedade suave compacta 1-dimensional em que ∂(f−1_{(y)) = f}−1_{(y)∩∂X = {y}} poisf_|∂X =Id∂X.

Como f−1 _{´e uma variedade compacta de 1-dimensional temos que f}−1_{(y) possui um} n´umero finito de componentes conexas homeomorfas a c´ırculos ou a intervalos fechados, assim∂f−1_{(y) possui um n´umero par de pontos, o que ´e um absurdo, pois∂(f}−1_{(y)) ={y},}

o que prova o lema.

Corol´ario 2.2.6. (Hirsch) N˜ao existe retra¸c˜ao suave r:Bn+1 _→Sn

Demonstra¸c˜ao: No lema anterior basta tomar X =Bn+1 _{e temos o desejado.} E temos o desejado, vale o teorema do ponto fixo de Brouwer para fun¸c˜oes cont´ınuas.

2.3

Teoria do Grau

2.3.1

Homotopias e Isotopias

Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. Duas fun¸c˜oes f, g : X _→ Y dizem-se homot´opicas quando existir uma fun¸c˜ao cont´ınuaF com

F :X_×[0,1]_→Y tal que F(x,0) =f(x) e F(x,1) =g(x) para todo x_∈X.

Neste caso,F chama-se umahomotopia entre f eg. Para indicar quef ´ehomot´opica ag escrevemos f _≃g.

Quando aF for suave dizemos quef eg s˜ao suavemente homot´opicase F ´e chamada dehomotopia suave.

SejaYX _{o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas de X em Y.}

Proposi¸c˜ao 2.3.1. A rela¸c˜ao de homotopia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em YX_.

Demonstra¸c˜ao: Devemos verificar que

(i) (Reflexividade) para toda f _∈YX _{temos que f ≃f.}

(ii) (Simetria) Sejam f, g _∈YX_{. Se f ≃g ent˜ao g ≃f.}