Ortogonalidade

⟨(x₁, x₂, x₃),(y₁, y₂, y₃)⟩∗ = 17x₁.y₁+ 13x₂.y₂+ 11x₃.y₃

(verifique que de fato ⟨, ⟩∗ ´e um produto interno). Ent˜ao ||(x₁, x₂, x₃)||∗ =

√17x²₁+ 13x²₂+ 11x²₃ e portanto ||(1,0,0)||∗ = √

17, ||(0,1,0)||∗ = √ 13 e

||(0,0,1)||∗=√

11. Da´ı, ||(√¹

17,0,0)||∗=1, ||(0,√¹

13,0)||∗=1 e ||(0,0,√¹

11)||∗=1.

Consideremos agora R³ com o produto interno canˆonico. Ent˜ao ||(1,0,0)||= 1, ||(0,1,0)||= 1 e ||(0,0,1)||= 1.

Exemplo 0.215. SejaV um espa¸co vetorial com produto interno⟨, ⟩. Sejam u, v ∈V tais que:

a) ||u|| = 3, ||v|| = 4 e ||u+v|| = 7. Calculemos ⟨u, v⟩ e ||u−v||. Como 7² =||u+v||² =⟨u+v, u+v⟩=⟨u, u⟩+⟨u, v⟩+⟨v, u⟩+⟨v, v⟩= 3²+2⟨u, v⟩+4², ent˜ao ⟨u, v⟩= 12. Da´ı, como ||u−v||² =⟨u−v, u−v⟩=⟨u, u⟩+⟨u,−v⟩+

⟨−v, u⟩+⟨−v,−v⟩= 3²−2.12 + 4² = 1, ent˜ao ||u−v||= 1.

b) ||u||= 3, ||v||= 4 e ||u−v||= 5. Calculemos⟨u, v⟩ e ||u+v||. Desde que 5² =||u−v||² = 3² −2⟨u, v⟩+ 4², ent˜ao ⟨u, v⟩= 0. Da´ı, como ||u+v||² = 3²+ 2.0 + 4² = 25, ent˜ao ||u+v||= 5.

c)||u||= 0e||v||= 1. Calculemos ⟨u, v⟩e||u−v||e||u+v||. J´a que||u||= 0, ent˜ao u=^→0, donde ⟨u, v⟩=⟨^→0, v⟩ = 0, ||u−v||=|| −v||=| −1|||v||= 1 e

||u+v||=||v||= 1.

d) ||u−v|| = 2 e ||u+v|| = 4. Calculemos ⟨u, v⟩. Temos que ⟨u, v⟩ =

1

4||u+v||²+¹₄||u−v||² = ¹₄4²− ¹₄2² = 3.

Observa¸c˜ao 0.216. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩. Se, para todo v ∈ V, ⟨u, v⟩ = 0, ent˜ao u =^→0. Com efeito, tomando em particular v =u, obtemos que ⟨u, u⟩= 0 e portanto u=^→0.

2. Um subconjunto S de V ´e chamado de ortogonal se ⟨u, v⟩ = 0, para todo u̸=v, u, v ∈ S

3. Um subconjunto S de V ´e chamado de ortonormal se for ortogonal e

||u||= 1, para todo u∈ S

Observa¸c˜ao 0.218. Notemos que, se V ´e um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩, ent˜ao o vetor nulo de V ´e ortogonal a todos os vetores de V, pois ⟨^→0, v⟩ = 0, para todo v ∈V. Al´em disto, mostramos que se ⟨u, v⟩ = 0, para todo v ∈V, ent˜ao u=^→0, donde ^→0 ´e o ´unico vetor de V que ´e ortogonal a todos os vetores de V.

Exemplo 0.219. A base canˆonica deRⁿ (este com o produto interno canˆ o-nico) ´e ortonormal.

A base canˆonica de Mm×n(R) (este com o produto interno canˆonico) ´e or-tonormal. De fato, para m = n = 2, lembremos que ⟨(^aa¹¹21^aa¹²22),(_b

11 b12

b21 b22

)⟩ = a₁₁.b₁₁+a₁₂.b₁₂+a₂₁.b₂₁+a₂₂.b₂₂ e BC ={(^{1 0}_{0 0}),(^{0 1}_{0 0}),(^{0 0}_{1 0}),(^{0 0}_{0 1})}. Como

⟨(^{1 0}_{0 0}),(^{1 0}_{0 0})⟩= 1.1 + 0.0 + 0.0 + 0.0 = 1, ent˜ao ||(^{1 0}_{0 0})|| =√

1 = 1. Analo-gamente, ||(^{0 1}_{0 0})||= 1, ||(^{0 0}_{1 0})||= 1 e ||(^{0 0}_{0 1})||= 1. Logo, os quatro vetores de BC s˜ao unit´arios. Agora, desde que, ⟨(^{1 0}_{0 0}),(^{0 1}_{0 0})⟩ = 1.0 + 0.1 + 0.0 + 0.0 = 0, ent˜ao (^{1 0}_{0 0}) e (^{0 1}_{0 0}) s˜ao ortogonais. Analogamente, obtemos que

⟨(^{1 0}_{0 0}),(^{0 0}_{1 0})⟩ = 0,⟨(^{1 0}_{0 0}),(^{0 0}_{0 1})⟩ = 0,⟨(^{0 1}_{0 0}),(^{0 0}_{1 0})⟩ = 0,⟨(^{0 1}_{0 0}),(^{0 0}_{0 1})⟩ = 0 e

⟨(^{0 0}_{1 0}),(^{0 0}_{0 1})⟩= 0, donde BC ´e ortonormal.

Proposi¸c˜ao 0.220. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩. SejaS um subconjunto ortogonal deV formado por vetores n˜ao nulos. Ent˜ao:

1. Se v ∈[v1, v2, . . . , vn], com v1, v2, . . . , vn∈ S, segue que v = _||^⟨v,v_v ^1⟩

1||²v1 +

⟨v,v2⟩

||v2||²v₂ + · · · + ^⟨_||^v,v_v ^n⟩

n||²v_n 2. S ´e LI

De fato, se v ∈[v₁, v₂, . . . , v_n], ent˜ao existem escalaresα₁, α₂, . . . , α_n tais que v =α₁v₁+α₂v₂+· · ·+α_nv_n. Mas⟨v_i, v_j⟩= 0, sei̸=j, poisv₁, v₂, . . . , v_n∈ S e S ´e ortogonal. Da´ı, ⟨v, v1⟩=⟨α1v1+α2v2+· · ·+αnvn, v1⟩^(P=¹⁾α1⟨v1, v1⟩+ α₂⟨v₂, v₁⟩+· · ·+α_n⟨v_n, v₁⟩ = α₁⟨v₁, v₁⟩. Como v₁ ̸=^→0 , ent˜ao ⟨v₁, v₁⟩ ̸= 0, donde α₁ = _⟨^⟨_v^v,v1⟩

1,v1⟩ = ^⟨_||^v,v_v ^1⟩

1||². Da mesma forma, α₂ = ^⟨_||^v,v_v ^2⟩

2||², . . . , α_n = ^⟨_||^v,v_v ^n⟩

n||². Logo, v = α₁v₁ +α₂v₂ +· · ·+ α_nv_n = ^⟨_||^v,v_v ^1⟩

1||²v₁ + ^⟨_||^v,v_v ^2⟩

2||²v₂ + · · ·+ ^⟨_||^v,v_v ^n⟩

n||²v_n. Mostremos (2). Seja c:=β₁u₁+β₂u₂+· · ·+β_mu_m uma combina¸c˜ao linear qualquer de vetores de S (com u₁, u₂, . . . , u_m ∈ S e β₁, β₂, . . . , β_m ∈ R).

Suponhamos que c ´e o vetor nulo. Da´ı, ^→0 = β1u1 + β2u2 +· · · +βmum. Pela prova de (1), como ^→0∈ [u₁, u₂, . . . , u_m], obtemos que β₁ = ^⟨

→0,u1⟩

||u1||², β₂ =

⟨^→0,u2⟩

||u2||², . . . , β_m = ^⟨

→0,um⟩

||um||² , dondeβ₁ =β₂ =· · ·=β_m = 0 e portanto S ´e LI.

Corol´ario 0.221. SejaV um espa¸co vetorial com produto interno⟨, ⟩. Seja B := {v₁, v₂, . . . , v_n} uma base ortonormal de V. Ent˜ao, para cada v ∈ V, v =⟨v, v₁⟩v₁+⟨v, v₂⟩v₂+· · ·+⟨v, v_n⟩v_n.

Com efeito, desde que B´e uma base de V, ent˜ao [v₁, v₂, . . . , v_n] =V. Agora, comoB´e, em particular, um subconjunto ortogonal deV formado por vetores n˜ao nulos, ent˜ao, pelo resultado anterior,v = ^⟨_||^v,v_v ^1⟩

1||²v₁+^⟨_||^v,v_v ^2⟩

2||²v₂+· · ·+^⟨_||^v,v_v ^n⟩

n||²v_n, para todo v ∈ [v₁, v₂, . . . , v_n] = V. Finalmente, desde que ||v₁|| = ||v₂|| =

· · ·=||v_n||= 1, poisB ´e ortonormal, ent˜ao o resultado segue.

O pr´oximo resultado nos fornece um modo de obtermos um conjunto orto-gonal a partir de um conjunto LI.

Teorema 0.222. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩. Se S:={v₁, v₂, . . ., v_n}´e um subconjunto LI deV, ent˜ao existe Se:={w₁, w₂, . . ., w_n} um subconjunto ortogonal de V tal que [Se] = [S].

Fa¸camos por indu¸c˜ao em n.

Se n = 2, tomemos w₁ := v₁ e w₂ := v₂ − ^⟨_||^v_w^2,w_1||¹2^⟩w₁. Notemos que w₂ ̸=^→0 , pois v₂ n˜ao ´e um m´ultiplo dew₁ =v₁, j´a que {v₁, v₂}´e LI. Como⟨w₁, w₂⟩=

⟨v₁, v₂⟩ − ^⟨_||v^v2₁^,v_||^12⟩⟨v₁, v₁⟩ = ⟨v₁, v₂⟩ − ⟨v₂, v₁⟩ = 0, ent˜ao {w₁, w₂} ´e ortogo-nal. Ainda, como w₁, w₂ ∈ [v₁, v₂], ent˜ao [w₁, w₂] ⊂ [v₁, v₂]. Da´ı, desde que dim_R[w1, w2] = 2 = dim_R[v1, v2] (pois {w1, w2}´e base para [w1, w2] e {v1, v2}

´

e base para [v₁, v₂]), segue que [w₁, w₂] = [v₁, v₂].

Suponhamos por hip´otese de indu¸c˜ao (HI) que o resultado vale para n−1.

Seja S :={v₁, v₂, . . . , v_n} um subconjunto LI deV. Como {v₁, v₂, . . . , v_n−1}

´

e LI, ent˜ao, por (HI), existe {w₁, w₂, . . . , w_n−1} um subconjunto ortogonal de V tal que [v₁, v₂, . . . , v_n−1] = [w₁, w₂, . . . , w_n−1] (*). Tomemos w_n :=

vn−∑_n−1

i=1

⟨vn,wi⟩

||wi||² wi. Seja Se:={w1, w2, . . ., wn}. Notemos que wn ̸=^→0 , pois vn

n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de v₁, . . . , v_n−1, j´a que S ´e LI, e portanto tamb´em n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de w₁, . . . , w_n−1, por (*). Agora, para todo j = 1,2, . . . , n−1,

⟨w_n, w_j⟩ = ⟨v_n−∑n−1 i=1

⟨vn,wi⟩

||wi||² w_i, w_j⟩

= ⟨vn, wj⟩ −∑n−1 i=1

⟨vn,wi⟩

||wi||² ⟨wi, wj⟩

= ⟨v_n, w_j⟩ −^⟨v_||ⁿ_w^,w_j||^j2⟩⟨w_j, w_j⟩

= 0,

pois⟨w_i, w_j⟩= 0, se i̸=j, uma vez que{w₁, w₂, . . . , w_n−1}´e ortogonal. Da´ı, Se´e ortogonal. Ainda, como, pela constru¸c˜ao dew_ne por (*),w₁, w₂, . . . , w_n∈ [v1, v2, . . . , vn], segue que [Se] ⊂ [S]. Da´ı, desde que dim_R[Se] = n = dim_R[S] (pois Se´e base para [Se] eS ´e base para [S]), segue que [Se] = [S].

Observa¸c˜ao 0.223. A constru¸c˜ao feita na prova acima ´e chamada de pro-cesso de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt.

Observa¸c˜ao 0.224. Se V ´e um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩ e v ∈ V \ {^→0}, ent˜ao o vetor _||^v_v|| ´e um m´ultiplo por escalar de v tal que

||_||^v_v||||= 1, pois ||_||^v_v||||=|_||¹_v|||.||v||= _||¹_v||.||v||= 1.

Corol´ario 0.225. Todo espa¸co vetorial (de dimens˜ao finita maior do que 0) com produto interno tem uma base ortonormal.

De fato, sejaV um espa¸co vetorial com produto interno, com dim_RV =n >0.

Seja B := {v₁, v₂, . . . , v_n} uma base de V. Pelo resultado anterior, existe Be := {w1, w2, . . . , wn} um subconjunto ortogonal de V tal que [Be] = [B].

Tomemos C :={_||^w_w¹_1||,_||^w_w²

2||, . . . ,_||^w_wⁿ

n||}. Como C ´e LI, pois ´e um subconjunto ortonormal de V, e gera V, pois [C] = [Be] = [B] = V, segue que C ´e uma base ortonormal de V.

Exemplo 0.226. Consideremos R² com o produto interno canˆonico ⟨, ⟩. Temos que {(1,1),(1,2)} ´e uma base de R². Vamos construir uma base ortonormal de R². Sejam v₁ := (1,1) e v₂ := (1,2). Tomemos w₁ := v₁. Temos que ||w1||² =⟨w1, w1⟩= 1.1 + 1.1 = 2 e ⟨v2, w1⟩= 1.1 + 2.1 = 3. Da´ı, tomemos w₂ := v₂ − ^⟨_||^v_w^2,w_1||¹2^⟩w₁ = (1,2)− ³₂(1,1) = (1− ³₂,2− ³₂) = (−¹₂,¹₂).

Logo, {w₁, w₂} ´e ortogonal (pelo processo acima). Da´ı, {_||^w_w¹_1||,_||^w_w²

2||} ´e uma base ortonormal de R² (pois ´e um conjunto LI com dois vetores). Notemos que _||^w_w¹

1|| = ^(1,1)√

2 = (^√₂²,^√₂²) e _||^w_w²

2|| = ⁽⁻

1 2,¹₂)

√2 2

= (^−√₂²,^√₂²).

Defini¸c˜ao 0.227. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩. Seja S um subconjunto de V. Chamamos de ortogonal a SSS ao conjunto S^⊥ :=

{v ∈V|⟨v, u⟩= 0, para todou∈ S}.

Proposi¸c˜ao 0.228. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno⟨, ⟩. Se S ´e um subconjunto de V, ent˜ao S^⊥ ´e um subespa¸co de V.

De fato, ^→0∈ S^⊥, pois ⟨^→0, u⟩= 0, para todo u∈V. Sejam λ ∈R,v, w∈ S^⊥. Como ⟨λv+w, u⟩ =λ⟨v, u⟩+⟨w, u⟩=λ.0 + 0 = 0, para todo u∈V, ent˜ao λv+w∈ S^⊥. Assim, S^⊥ ´e um subespa¸co de V.

Observa¸c˜ao 0.229. Notemos que S^⊥ ´e sempre um subespa¸co de V, mesmo que S n˜ao o seja.

Ainda, se S = {^→0}, ent˜ao, para todo v ∈ V, ⟨v,^→0⟩ = 0, donde V ⊂ S^⊥ e portanto S^⊥=V.

Se S cont´em uma base ortogonal {u₁, u₂, . . . , u_n}de V, ent˜aoS^⊥={^→0}. De

fato, se v ∈ S^⊥, existem escalares α₁, α₂, . . . , α_n tais que v =α₁u₁+α₂u₂+

· · ·+α_nu_n. Da´ı,0 = ⟨v, u⟩=α₁⟨u₁, u⟩+α₂⟨u₂, u⟩+· · ·+α_n⟨u_n, u⟩, para todo u ∈ S. Em particular, 0 = ⟨v, u1⟩ = α1⟨u1, u1⟩, donde, como ⟨u1, u1⟩ > 0, segue que α₁ = 0. Analogamente, obtemos que α₂ =· · ·=α_n= 0. Portanto, neste caso, se v ∈ S^⊥, ent˜ao v =^→0, isto ´e, S^⊥ ={^→0}.

Exemplo 0.230. Consideremos R³ com o produto interno canˆonico ⟨, ⟩. SejaS :={(1,1,1),(1,1,2)}. CalculemosS^⊥e mostremos queR³ = [S]⊕S^⊥. Se (x, y, z)∈ S^⊥, ent˜ao ⟨(x, y, z),(1,1,1)⟩ = 0 e ⟨(x, y, z),(1,1,2)⟩= 0, isto

´

e, {

1x+ 1y+ 1z = 0 1x+ 1y+ 2z = 0

Logo, z = 0 e y=−x, donde S^⊥={(x,−x,0)|x∈R}= [(1,−1,0)].

Agora, [S] = [(1,1,1),(1,1,2)] = {α(1,1,1) +β(1,1,2)|α, β ∈ R} = {(α+ β, α+β, α+ 2β)|α, β ∈ R}. Se (α+β, α+β, α+ 2β) = (x,−x,0), ent˜ao α +β = x = −(α+β) e α+ 2β = 0. Da´ı, β = 0 e α = 0, donde (α+ β, α+β, α+ 2β) = (0,0,0) e portanto [S]∩ S^⊥ = {(0,0,0)}. Ainda, como {(1,1,1),(1,1,2),(1,−1,0)} gera R³ (verifique), segue que R³ = [S] +S^⊥. Portanto, R³ = [S]⊕ S^⊥.

O pr´oximo resultado nos d´a uma caracteriza¸c˜ao dos vetores do ortogonal a um subespa¸co.

Proposi¸c˜ao 0.231. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩. Sejam W um subespa¸co de V e B :={w₁, w₂, . . . , w_k} um conjunto gerador de W. Ent˜ao v ∈W^⊥ se, e somente se, ⟨v, wi⟩= 0, para todo i= 1, . . . , k. De fato, se w ∈ W, ent˜ao existem escalares α₁, α₂, . . . , α_k tais que w = α1w1+α2w2+· · ·+αkwk. Da´ı, se v ∈V, ent˜ao⟨v, w⟩=⟨v, α1w1+α2w2+

· · · + α_kw_k⟩ = α₁⟨v, w₁⟩ + α₂⟨v, w₂⟩+ · · · + α_k⟨v, w_k⟩. Por um lado, se

⟨v, w_i⟩ = 0, para todo i = 1, . . . , k, ent˜ao ⟨v, w⟩ = 0, para todo w ∈ W, e

portanto v ∈ W^⊥. Por outro lado, se v ∈ W^⊥, ent˜ao, para todo w ∈ W,

⟨v, w⟩= 0 e da´ı⟨v, w_i⟩= 0, para todo i= 1, . . . , k, pois w₁, w₂, . . . , w_k∈W.

Observa¸c˜ao 0.232. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩. Se S ´e um subconjunto de V, ent˜ao [S]^⊥ = S^⊥. De fato, por um lado, se w ∈[S]^⊥, ent˜ao, em particular, ⟨w, u⟩= 0, para todo u ∈ S, donde w ∈ S^⊥ e portanto [S]^⊥ ⊂ S^⊥. Por outro lado, se w ∈ S^⊥, ent˜ao ⟨w, u⟩ = 0, para todo u∈ S. Da´ı, comoS ´e um conjunto gerador de[S], ent˜ao, pelo resultado anterior, w∈[S]^⊥ e portanto S^⊥ ⊂[S]^⊥. Logo, [S]^⊥=S^⊥.

Proposi¸c˜ao 0.233. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩ de dimens˜ao finita. Se W ´e um subespa¸co de V, ent˜ao V =W ⊕W^⊥.

Com efeito, se V = {^→0}, ent˜ao {^→0} = {^→0} ⊕ {^→0} e o resultado segue.

Seja ent˜ao V ̸= {^→0}. Seja W um subespa¸co de V. Se W = {^→0}, ent˜ao W^⊥ = V e portanto V = {0} ⊕V. Seja ent˜ao W ̸= {0}. Como W ´e um subespa¸co de dimens˜ao finita maior do que 0, segue queW possui uma base ortonormal B :={w₁, w₂, . . . , w_k}. Como B ´e LI, existe uma base de V que cont´em B, digamos {w₁, w₂, . . . , w_k, v₁, v₂. . . , v_n}. Aplicando o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt, obtemosC :={u₁, u₂, . . . , u_k+n}, com

u₁ := w₁,

u₂ := w₂− ^⟨_||^w_u²₁^,u_||^12⟩u₁ =w₂ ...

u_k := w_k−∑_k−1

i=1

⟨wk,ui⟩

||ui||² u_i =w_k,

pois ⟨w_j, w_i⟩= 0, para todoj ̸=i. Verifiquemos que W^⊥= [u_k+1, . . . , u_k+n].

De fato, como ⟨u_k+1, w_i⟩ = 0, para todo i = 1, . . . , k, pois C ´e ortogo-nal, ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior segue que u_k+1 ∈ W^⊥. Da mesma forma, uk+2, . . . , uk+n ∈ W^⊥, donde, como W^⊥ ´e um subespa¸co, segue que [u_k+1, . . . , u_k+n]⊂W^⊥. Mas sew∈W^⊥, ent˜ao sabemos quew=∑k+n

i=1

⟨w,ui⟩

||ui||²u_i,

pois em particular w∈[u₁, . . . , u_k+n] = [C] eC ´e um conjunto ortogonal for-mado por vetores n˜ao nulos. Da´ı, desde que, ⟨w, w_i⟩ = 0, pois w ∈ W^⊥ e wi ∈ W, para todo i = 1, . . . , k, ent˜ao w = ∑_k+n

i=k+1

⟨w,ui⟩

||ui||²ui e portanto w ∈ [u_k+1, . . . , u_k+n]. Logo, W^⊥ = [u_k+1, . . . , u_k+n]. Finalmente, notemos que V = W +W^⊥ pois C gera V, e W ∩W^⊥ = {^→0} pois C ´e LI. Portanto, V =W ⊕W^⊥.

Observa¸c˜ao 0.234. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨, ⟩ de dimens˜ao finita. Se S ´e um subconjunto de V, ent˜ao, pelos resultados anteriores, V = [S]⊕ S^⊥, pois V = [S]⊕[S]^⊥ e [S]^⊥ =S^⊥.

Exemplo 0.235. Consideremos R² com o produto interno canˆonico ⟨, ⟩. Seja S:={(11,13)}. CalculemosS^⊥. Se(x, y)∈ S^⊥, ent˜ao⟨(x, y),(11,13)⟩= 0, isto ´e, 11x+ 13y= 0. Logo, y=−¹¹₁₃x, donde S^⊥={(x,−¹¹₁₃x)|x∈R}= [(1,−¹¹₁₃)]. Pela observa¸c˜ao anterior, R² = [S]⊕ S^⊥ = [(11,13)]⊕[(1,−¹¹₁₃)].

Corol´ario 0.236. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno ⟨,⟩ de dimens˜ao finita. Se W ´e um subespa¸co de V, ent˜ao dim_RV = dim_RW + dim_RW^⊥.

Com efeito, seja W um subespa¸co de V. Ent˜ao, pelo resultado anterior, V = W ⊕W^⊥. Da´ı, dim_RV = dim_RW + dim_RW^⊥ −dim_R(W ∩W^⊥) = dim_RW + dim_RW^⊥−0 = dim_RW + dim_RW^⊥.

No documento Espa¸ co vetorial (páginas 72-80)