Espa¸ co vetorial

(1)

Notas de aula de ´ Algebra Linear

Programa de Ver˜ao 2012 B.6 - ´Algebra Linear (turma 2)

Gustavo de Lima Prado - [email protected] v1.1

(2)

Espa¸ co vetorial

Defini¸cão 0.1. Seja X um conjunto não vazio. Uma opera¸cão binária sobre X é uma aplica¸cão

∗:X×X →X

que, a cada par de elementos (x, y)∈X×X, associa um elemento x∗y∈X.

Exemplo 0.2. Seja N := {0,1,2,3, . . .} o conjunto dos n´umeros naturais.

Então a adi¸cão entre números naturais

+ : N×N → N (m, n) 7→ m+n

´

e uma opera¸c˜ao bin´aria sobre N.

Observa¸c˜ao 0.3. Denotaremos N^∗ :=N\ {0}.

Defini¸cão 0.4. Um conjunto não vazio K é um corpo se pudermos definir duas opera¸cões binárias sobre K, + e ·, satisfazendo:

(a1) α+β=β+α, α, β ∈K

(a2) α+ (β+γ) = (α+β) +γ, α, β, γ ∈K (a3) existe 0∈K tal que α+ 0 =α, α∈K

(a4) para todo α∈K, existe −α∈K tal que α+ (−α) = 0 (m1) α.β =β.α, α, β ∈K

(m2) α.(β.γ) = (α.β).γ, α, β, γ ∈K (m3) existe 1∈K tal que α.1 = α, α∈K

(m4) para todo α∈K\ {0}, existe α⁻¹ ∈K tal que α.α⁻¹ = 1

(3)

(d) (α+β).γ =α.γ+β.γ, α, β, γ ∈K

Exemplo 0.5. Seja R o conjunto dos números reais. EntãoR com a adi¸cão entre números reais, +, e a multiplica¸cão entre números reais,·, é um corpo.

Ainda, o conjunto dos números complexos, C :={a+bi : a, b∈ R}, com a adi¸cão e a multiplica¸cão entre números complexos também é um corpo.

Entretanto N com a adi¸cão entre números naturais, +, e a multiplica¸cão entre números naturais, ·, não é um corpo. De fato, já não vale (a4) (na verdade, não valem (a4) e (m4)).

Mostre que o conjunto dos números inteirosZcom a adi¸cão e a multiplica¸cão entre números inteiros não é um corpo.

Observa¸c˜ao 0.6. De agora em diante, procuraremos denotar a multiplica¸c˜ao entre dois elementos α, β ∈K, K um corpo, simplesmente por αβ :=α.β.

Ainda, observamos que, neste texto, os elementos de um corpo s˜ao chamados de escalares.

Defini¸cão 0.7. Um conjunto não vazioV é umespa¸co vetorial sobre(um corpo) K se pudermos definir uma opera¸cão binária,+++++++++, e uma multiplica¸cão por escalar, ·, sobre V:

+++++++++ : V ×V → V (u, v) 7→ u+++++++++v

·: K×V → V (α, v) 7→ α.v satisfazendo:

(A1) u+++++++++v =v+++++++++u, u, v ∈V

(A2) u+++++++++(v+++++++++w) = (u+++++++++v)+++++++++w, u, v, w ∈V (A3) existe ^→0∈V tal que u+++++++++^→0 =u, u∈V

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(A4) para todo u∈V, existe −u∈V tal que u+++++++++(−u) =^→0 (M1) α.(β.u) = (αβ).u, α, β ∈K, u∈V

(M2) 1.u=u, u∈V, onde 1 ´e o elemento dado por (m3) (D1) α.(u+++++++++v) =α.u+++++++++α.v, α∈K, u, v ∈V

(D2) (α+β).u=α.u+++++++++β.u, α, β ∈K, u∈V

Observamos que os elementos de um espa¸co vetorial são chamados de vetores e, em particular, ^→0 é chamado de o vetor nulo de V. Ainda, um espa¸co vetorial sobre K também é chamado de um K-espa¸co vetorial.

Vejamos agora alguns exemplos de espa¸cos vetoriais.

Exemplo 0.8. Todo corpo K ´e K-espa¸co vetorial.

Com efeito, sejaKum corpo. Então temos definidas duas opera¸cões binárias, + e ·, sobre K, satisfazendo as propriedades mencionadas na defini¸cão de corpo. Da´ı, pelas propriedades de (a1) até (a4), verificamos que + satisfaz as propriedades desde (A1) até (A4). Agora, por (m2), notamos que·satisfaz (M1) e, por (m1) e (m3), vemos que 1.u=u.1 =u, para todo u∈K, donde

· satisfaz (M2). Verifique agora que + e · satisfazem (D1) e (D2).

Exemplo 0.9. Sejam K um corpo e n ∈ N^∗ = {1,2,3, . . .}. Ent˜ao Kⁿ :=

{(α₁, . . . , α_n)∈K×· · ·×K:α_i ∈K, i= 1, . . . , n}é um espa¸co vetorial sobre K com a adi¸cão entre vetores e a multiplica¸cão por escalar feitas componente a componente, isto é:

+++++++++ : Kⁿ×Kⁿ → Kⁿ

((a₁, . . . , a_n),(b₁, . . . , b_n)) → (a₁, . . . , a_n)+++++++++(b₁, . . . , b_n) :=

(a₁+b₁, . . . , a_n+b_n)

·: K×Kⁿ → Kⁿ

(α,(b₁, . . . , b_n)) → α.(b₁, . . . , b_n) :=

(αb₁, . . . , αb_n)

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Verifique este fato, ou seja, mostre que +++++++++ e · satisfazem as propriedades mencionadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial.

Exemplo 0.10. C ´e um R-espa¸co vetorial com+++++++++ e · sendo tais que:

(a+bi)+++++++++(c+di) := (a+c) + (b+d)i, α.(c+di) := (αc) + (αd)i, a, b, c, d, α∈R. Verifique isto.

Exemplo 0.11. Seja K um corpo. Para todo m∈N^∗, temos que o conjunto Pm(K) := {p(x) = a_nxⁿ +· · ·+a₁x+a₀ : a₀, . . . , a_n ∈ K,0 6 n 6 m} dos polinômios de grau menor ou igual a m (mais o nulo) com coeficientes em Ké um espa¸co vetorial sobre K com as opera¸cões usuais de adi¸cão entre polinômios e multiplica¸cão por escalar.

Em particular, (a3x³+a2x²+a1x+a0)+++++++++(b1x+b0) = (a3+ 0)x³+ (a2+ 0)x²+ (a₁+b₁)x+ (a₀+b₀) e α.(b₁x+b₀) = (αb₁)x+ (αb₀).

Ainda, com estas mesmas opera¸c˜oes, o conjunto P(K) := {p(x) = a_nxⁿ+

· · ·+a₁x+a₀ :a₀, . . . , a_n∈K, n >0} dos polinômios com coeficientes em K também é um espa¸co vetorial sobre K.

Exemplo 0.12. Sejam X um conjunto não vazio e K um corpo. Então o conjunto das fun¸cões de X em K, F(X,K), ´e um K-espa¸co vetorial com+++++++++ e · sendo tais que:

(f+++++++++g)(x) := f(x) +g(x), (α.f)(x) := αf(x),

α ∈R, f, g ∈ F(X,K). Verifique este fato, isto ´e, veja que+++++++++ e · satisfazem as propriedades mencionadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial.

Exemplo 0.13. Seja K um corpo. O conjunto das matrizes m × n com coeficientes em K, Mm×n(K) ´e um espa¸co vetorial sobre K com a adi¸c˜ao

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entre matrizes e a multiplica¸c˜ao por escalar feitas entrada a entrada. Em particular,

(_a

11a12 a13

a21a22 a23

)+++++++++(_b

11b12b13

b21b22b23

)=(_a

11+b11 a12+b12a13+b13

a21+b21 a22+b22a23+b23

)∈M2×3(K),

α.(_b₁₁ _b₁₂ _b₁₃

b21 b22 b23

)=(_αb₁₁_αb₁₂ _αb₁₃

αb21αb22 αb23

)∈M2×3(K).

A ﬁm de termos mais com o que trabalhar, vejamos agora algumas propriedades de espa¸cos vetoriais.

Proposi¸cão 0.14. Seja V um espa¸co vetorial sobre K. Então o vetor nulo de V é único.

Com efeito, suponhamos que existe ˜0∈V tal queu+˜0 = u, para todou∈V. Então, em particular, tomando u=^→0 , temos que^→0 =^→0 +˜0⁽Â1)= ˜0+ ^→0⁽Â3)= ˜0.

Proposi¸cão 0.15. Sejam V um espa¸co vetorial sobre K e u ∈ V. Então o vetor oposto de u, −u∈V, é único.

De fato, suponhamos que existe ˜u ∈ V tal que u+ ˜u =^→0 . Então −u ⁽Â3)= (−u)+ ^→0 = (−u) + (u+ ˜u)⁽Â2)= ((−u) +u) + ˜u⁽Â1,A4)= ^→0 +˜u⁽Â1,A3)= u.˜

Proposi¸cão 0.16. Sejam V um espa¸co vetorial sobre K, α ∈ K e u ∈ V. Então 0.u=^→0 e α.^→0 =^→0. Ainda, se α.u=^→0, então α = 0 ou u=^→0.

Mostremos que 0.u =^→0 . De fato, por (A4), temos que existe −0.u ∈ V tal que 0.u+ (−0.u) =^→0 . Da´ı, ^→0⁽Â4)= 0.u+ (−0.u) ⁽â3)= (0 + 0).u + (−0.u) ⁽^D2)= (0.u+ 0.u) + (−0.u)⁽Â2)= 0.u+ (0.u+ (−0.u))⁽Â4)= 0.u+^→0⁽Â3)= 0.u.

Mostremos agora que α.^→0 =^→0 . Com efeito, α.^→0⁽Â3)= α.(^→0 +^→0 )⁽^D1)= α.^→0 +α.^→0 , donde ^→0⁽Â4)= α.^→0 +(−α.^→0 ) = (α.^→0 +α.^→0 ) + (−α.^→0 ) ⁽Â2)= α.^→0 +(α.^→0 +(−α.^→0 ))⁽Â4)= α.^→0 +^→0⁽Â3)= α.^→0 .

Finalmente, seja α.u =^→0 . Suponhamos que α ̸= 0. Ent˜ao, por (m4), existe α⁻¹ tal que αα⁻¹ = 1. Da´ı, ^→0 = α⁻¹. ^→0 = α⁻¹.(α.u) ⁽^M= (α¹⁾ ⁻¹α).u ⁽^m1,m4)= 1.u⁽^M2)= u.

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Proposi¸c˜ao 0.17. SejamV um espa¸co vetorial sobreK, α∈Keu, v, w ∈V. Ent˜ao

1. (−α).u=α.(−u) = −(α.u) 2. −(−u) =u

3. u+v =u+w⇒v =w Exerc´ıcio.

Observa¸cão 0.18. Denotaremos u−v := u+ (−v). Ainda, muitas vezes, denotaremos αu:=α.u, isto é, também omitiremos o ponto da multiplica¸cão por escalar.

Base

Defini¸c˜ao 0.19. Seja V um espa¸co vetorial sobre K.

1. um vetor v ∈V ´e uma combina¸c˜ao linear (finita) de vetores v₁, . . . , v_n ∈ V se existem escalares α₁, . . . , α_n ∈ K tais que v = α₁v₁+· · ·+ α_nv_n.

2. Seja G ⊂ V um subconjunto qualquer de V. Dizemos que G gera V (ou que G ´e umconjunto gerador de V) se todo vetor de V for uma combina¸c˜ao linear de elementos de G.

Observa¸cão 0.20. Destaquemos que uma combina¸cão linear sempre é feita com uma quantidade finita de vetores.

Ainda, dizemos que uma combina¸c˜ao linear α₁v₁ +· · · +α_nv_n ´e trivial se α₁ =α₂ =· · ·=α_n= 0 ∈K.

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Observa¸cão 0.21. Se V é um K-espa¸co vetorial e {v₁, . . . , v_n} ⊂V, então o conjunto de todas as combina¸cões lineares de v₁, . . . , v_n é novamente um K-espa¸co vetorial, denotado por[v1, . . . , vn]. Note que[v1, . . . , vn] := {α1v1+

· · ·+α_nv_n:α₁, . . . , α_n∈K}.

Para o caso n = 2, se γ ∈K e (α₁v₁+α₂v₂),(β₁v₁+β₂v₂)∈[v₁, v₂] são ele- mentos quaisquer, então, usando as propriedades deV serK-espa¸co vetorial, obtemos que (α₁v₁+α₂v₂) + (β₁v₁+β₂v₂) = (α₁+β₁)v₁+ (α₂+β₂)v₂ ∈[v₁, v₂] e γ(β₁v₁+β₂v₂) = (γβ₁)v₁+ (γβ₂)v₂ ∈[v₁, v₂]. Conven¸ca-se de que, com esta adi¸cão e com esta multiplica¸cão por escalar, [v1, v2]é um K-espa¸co vetorial.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 0.22. SejamK um corpo en ∈N^∗. Então o conjunto dasn-uplas {(1,0, . . . ,0),(0,1,0, . . . ,0), . . . ,(0, . . . ,0,1)} ⊂ Kⁿ é um conjunto gerador de Kⁿ (sobre K). Com efeito, seja (α₁, α₂, . . . , α_n) ∈ Kⁿ é um elemento qualquer. Como (α1, α2, . . . , αn) = α1.(1,0, . . . ,0) +· · · +αn.(0, . . . ,0,1), segue que um elemento qualquer deKⁿé uma combina¸cão linear de elementos do conjunto acima.

Exemplo 0.23. Consideremos R² como sendo espa¸co vetorial (sobre R).

Ent˜ao C := {(1,0),(0,1),(1,1)} ⊂ R² gera R². De fato, seja (r, s) ∈ R². Como existem α, β, γ ∈ R, γ = ^s₂, β = ^s₂ e α = r − ^s₂, tais que (r, s) = α(1,0) +β(0,1) +γ(1,1), segue que C gera R². Assim, por este exemplo e pelo anterior, vemos que um espa¸co vetorial (sobre algum corpo) pode admitir diferentes conjuntos geradores.

Exemplo 0.24. {1, i} ⊂C ´e um conjunto gerador de C (sobre R).

Exemplo 0.25. {1, x, x², . . . , x^m} ⊂ Pm(K)´e um conjunto gerador dePm(K) (sobre K) e{1, x, x², . . .} ⊂ P(K)´e um conjunto gerador deP(K)(sobre K).

Exemplo 0.26. {(1,0),(0,1)} ⊂ C² n˜ao ´e um conjunto gerador de C² so- bre R, pois existe (i,0) ∈ C² tal que (i,0) ̸= α(1,0) +β(0,1), para todo

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α, β ∈ R. Aqui vemos que a estrutura do espa¸co vetorial (o conjunto não vazio, o corpo e as opera¸cões satisfazendo as propriedades) é essencial na hora de dizermos se um conjunto é ou não gerador dele. Verificamos que {(1,0),(0,1)} não é gerador. Precisamos então de mais ”gente”. Por exem- plo, {(1,0),(0,1),(i,0),(0, i)} já é um conjunto gerador de C² sobre R. Ve- rifique.

Proposi¸cão 0.27. Seja V um K-espa¸co vetorial. Se B ⊂ C ⊂ V e B é um conjunto gerador de V, então C também o é.

De fato, seja u ∈ V. Como B gera V, ent˜ao existem α_i ∈ K, u_i ∈ B, com i = 1, . . . , m, tais que u = α₁u₁ +· · ·+α_mu_m. Mas B ⊂ C. Logo, u_i ∈ C, para todo i= 1, . . . , m. Portanto, C gera V.

Observa¸cão 0.28. Inicialmente, consideremos o espa¸co vetorial unitário {^→0} (defina opera¸cões, + e ·, neste conjunto e conven¸ca-se de que ele é um espa¸co vetorial (sobre qualquer corpo)). Feito isto, temos que conjunto {^→0} ⊂ {^→0} gera o espa¸co vetorial {^→0}, pois sempre é poss´ıvel escrevermos a seguinte combina¸cão linear: ^→0 = 0.^→0.

De um modo mais geral, se V é um espa¸co vetorial sobre K, então o conjunto V ⊂ V sempre é um conjunto gerador do espa¸co vetorial V. De fato, seja v ∈V um vetor qualquer. Desde que, por (M2), v = 1.v, segue que v é uma combina¸cão linear de elementos de V (só precisamos usar o próprio vetor).

Portanto, V sempre gera V. Ser´a que existe G ⊂V tal que G ̸=V e G gera V?

Defini¸cão 0.29. Sejam V um K-espa¸co vetorial e B ⊂ V um subconjunto qualquer. Dizemos que B é linearmente independente (LI) se toda com- bina¸cão linear de vetores deBresultando no vetor nulo for tal que os escalares já sejam todos nulos, isto é, seα1v1+· · ·+αnvn=^→0, comαi ∈K, vi ∈ B, im- plicar que α₁ =· · ·=α_n = 0. E dizemos queBé linearmente dependente (LD) se não for LI.

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Observa¸cão 0.30. Explicitamente, dizemos que B ⊂ V, V um K-espa¸co vetorial, é LD quando o vetor nulo for uma combina¸cão linear não trivial de elementos de B.

Observa¸cão 0.31. Todo conjunto contendo o vetor nulo é LD. Por quê?

SejamV um espa¸co vetorial (sobre algum corpo) ev ∈V um vetor n˜ao nulo.

Então {v} é LI. Por quê?

Exemplo 0.32. Notemos que se consideramos C como C-espa¸co vetorial obtemos que {1, i} ⊂ C é LD e se consideramos C como R-espa¸co vetorial segue que{1, i} ⊂Cé LI. Aqui verificamos que a estrutura do espa¸co vetorial (o conjunto não vazio, o corpo e as opera¸cões satisfazendo as propriedades)

´

e crucial no momento de dizermos se um conjunto ´e ou n˜ao LI.

Exemplo 0.33. {senx,cosx} subconjunto do R-espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas de [0,2π] em R, C([0,2π],R), ´e LI. De fato, sejam α, β ∈ R tais que αsenx+βcosx=^→0. Mas esta igualdade deve valer para todo o dom´ınio das fun¸c˜oes. Logo, tomando orax= 0, ora x=π/2, obtemos queβ= 0 =α.

Proposi¸cão 0.34. Seja V um K-espa¸co vetorial. Se B ⊂ C ⊂ V e C é um conjunto LI, então B também o é.

Com efeito, sejam α_i ∈ K, u_i ∈ B, com i = 1, . . . , m, tais que α₁u₁+· · ·+ αmum =^→0 . Mas B ⊂ C. Logo, ui ∈ C, para todo i= 1, . . . , m. Como C ´e LI, segue que α₁ =· · ·=α_m = 0 ∈K. Portanto, B´e LI.

Defini¸c˜ao 0.35. Seja V um espa¸co vetorial (sobre algum corpo). Dizemos que um subconjunto B ⊂V ´e uma base de V se B for um conjunto gerador de V e LI.

Retomemos alguns exemplos.

Exemplo 0.36. SejamK um corpo en ∈N^∗. Então o conjunto dasn-uplas BC :={(1,0, . . . ,0),(0,1,0, . . . ,0), . . . ,(0, . . . ,0,1)} ⊂Kⁿ é uma base de Kⁿ (sobre K), chamada de base canônica de Kⁿ.

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Exemplo 0.37. {(1,2),(3,1)} ⊂R² é uma base de R² (sobre R). De fato, mostremos inicialmente que A := {(1,2),(3,1)} gera R². Seja (r, s) ∈ R² um elemento qualquer. Escrevendo (r, s) = x(1,2) +y(3,1), com x, y ∈ R, e resolvendo o sistema (em x e y), obtemos que x = ^3s₅⁻^r e y = ^2r₅⁻^s são escalares tais que (r, s)é combina¸cão linear de vetores deA. Vejamos agora que A é LI. Escrevendo (0,0) = α(1,2) +β(3,1), com α, β ∈ R, segue que α + 3β = 0 e 2α +β = 0, donde α = −3β e −5β = 0. Logo, devemos ter α = β = 0. Portanto, A é base. Notemos que, pelo exemplo anterior, BC ={(1,0),(0,1)} também é base deR². Logo, um espa¸co vetorial pode ter mais de uma base.

Exemplo 0.38. {1, i} ⊂ C ´e uma base de C (considerado como R-espa¸co vetorial).

Exemplo 0.39. {1, x, x², . . . , x^m} é uma base de Pm(K) e {1, x, x², . . .} é uma base de P(K), chamadas de bases canˆonicas respectivamente de Pm(K) e P(K). Verifique que {1, x, x²+ 1} ⊂ P2(K) também é uma base de P2(K).

Espa¸ co vetorial finitamente gerado

Defini¸c˜ao 0.40. Dizemos que um espa¸co vetorial (sobre algum corpo) ´e fi- nitamente gerado se admitir um conjunto gerador finito.

Proposi¸cão 0.41. Seja V um K-espa¸co vetorial finitamente gerado por um conjunto {v1, . . . , vm} ⊂V. Então todo subconjunto LI de V tem no máximo m elementos.

Seja A := {u₁, . . . , u_n} ⊂ V, com n > m. Mostremos que A é LD. Seja 16j 6n. Entãou_j =α_1jv₁+· · ·α_mjv_m (*), para algum α_1j, . . . , α_mj ∈K, pois {v₁, . . . , v_m} é gerador. Consideremos uma combina¸cão linear qualquer de vetores de A, λ₁u₁ + · · · + λ_nu_n, com λ_i ∈ K, para todo i =

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1, . . . , n. Ent˜ao λ₁u₁ +· · ·+λ_nu_n = ∑_n

j=1λ_ju_j ⁽=^∗⁾ ∑_n

j=1λ_j(∑_m

i=1α_ijv_i) (D1)

∑n =

j=1

∑m

i=1λ_j(α_ijv_i) ⁽^M1)= ∑n j=1

∑m

i=1(λ_jα_ij)v_i = ∑m i=1

(∑n

j=1(λ_jα_ij))

v_i (**).

Agora, simplesmente, consideremos o seguinte sistema de equa¸c˜oes:











∑n

j=1(λ_jα_1j) = 0

∑n

j=1(λ_jα_2j) = 0 ...

∑_n

j=1(λ_jα_mj) = 0

Como este sistema homogˆeneo tem mais inc´ognitas λ₁, . . . , λ_n do que equa-

¸cões (pois n > m), segue que ele admite uma solu¸c˜ao não trivial, ou seja, existem γ₁, . . . , γ_n ∈Knão todos nulos tais que ∑n

j=1(γ_jα_ij) = 0, para todo i= 1, . . . , m. Logo, tomandoλ_j =γ_j em (**), obtemosγ₁u₁+· · ·+γ_nu_n =^→0 , com γ₁, . . . , γ_n∈K n˜ao todos nulos. Logo, A ´e LD.

Exerc´ıcio 0.42. Usando as propriedades de espa¸co vetorial, verifique que

∑3 j=1

(∑2

i=1(λjαij)vi

)=∑2 i=1

(∑3

j=1(λjαij)) vi.

Corol´ario 0.43. Seja V ̸= {^→0} um K-espa¸co vetorial finitamente gerado.

Então duas bases quaisquer de V têm o mesmo número de elementos.

De fato, sejam C,D duas bases de V. Desde que V é finitamente gerado e C e D são LI, então, pela proposi¸cão anterior, C e D são conjuntos finitos (digamos que com c > 0 e d > 0 elementos respectivamente). Mas C é um conjunto LI num espa¸co vetorial finitamente gerado por D, donde c 6 d.

Analogamente, D ´e um conjunto LI num espa¸co vetorial ﬁnitamente gerado C, donded6c. Portanto, c=d.

Defini¸cão 0.44. SejaV umK-espa¸co vetorial. SeV for finitamente gerado, chamamos o número de elementos de uma base de V simplesmente de di- mensão de V (sobre K). Caso contrário, isto é, se V não for finitamente gerado, dizemos que a dimensão deV (sobreK) é infinita. Nota¸cão: dim_KV.

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Observa¸cão 0.45. Usando a conven¸cão de que o conjunto vazio ∅ é uma base para o espa¸co vetorial unitário U := {^→0}, temos que dim_KU = 0. De fato, os únicos subconjuntos de U são ∅ e {^→0}. Como {^→0} ⊂ U gera U, mas é LD, segue que não pode ser base de U. Da´ı, a única base de U é ∅ e faz sentido escrevermos dim_K{^→0}= 0 (que é o número de elementos de uma base qualquer de {^→0}). Na verdade, dim_KV = 0 se, e somente se,V ={^→0}. Exemplo 0.46.

dim_KK= 1, dim_CC= 1, dim_RC= 2, dim_KKⁿ=n,

dim_KPm(K) =m+ 1, pois {1, x, . . . , x^m} ⊂ Pm(K)´e base, dim_KP(K) = ∞, pois {1, x, . . .} ⊂ P(K) ´e base,

dim_KMm×n(K) = m.n. Por exemplo, para o caso m = n = 2, {(_{1 0}

0 0

), (_{0 1}

0 0

),(_{0 0}

1 0

),(_{0 0}

0 1

)} ⊂M2×2(K)é base, chamada de base canônica deM2×2(K), donde dim_KM2×2(K) = 4 = 2.2. A partir deste exemplo, que subconjunto de M3×2(K) seria a base canônica de M3×2(K)?

Corolário 0.47. Seja V umK-espa¸co vetorial, comdim_KV =n >0. Então 1. todo conjunto de vetores de V com mais do que n vetores é LD.

2. todo conjunto de vetores de V com menos do que n vetores n˜ao gera V.

Exerc´ıcio (use a proposi¸c˜ao anterior).

Proposi¸cão 0.48. Seja V um K-espa¸co vetorial. Seja C ⊂ V, C LI. Se existe v ∈V que não é combina¸cão linear de elementos de C, então C ∪ {v}

´ e LI.

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De fato, sejav ∈V qualquer. Sejac:=α₁v₁+· · ·+α_nv_n+βv uma combina¸cão linear qualquer de vetores de C ∪ {v}. Suponhamos que cé o vetor nulo. Se β ̸= 0, então v = ₋^α¹_βv1+· · ·+ ₋^αⁿ_βvn. Logo, se v não é combina¸cão linear de elementos de C, então β deve ser 0. Da´ı, α₁v₁+· · ·+α_nv_n =^→0 e portanto, como C é LI e v₁, . . . , v_n ∈ C, temos que α₁ =· · ·=α_n = 0. AssimC ∪ {v}é LI.

Teorema 0.49. Todo espa¸co vetorial finitamente gerado possui uma base.

De fato, seja V um K-espa¸co vetorial finitamente gerado. Suponhamos que V é gerado por um conjunto com n > 0 elementos. Então existe v₁ ∈ V, v₁ ̸=^→0 . Temos que {v₁} é LI. Se {v₁} gera V, então {v₁} é base de V e acabou. Caso contrário, então existe v₂ ∈ V tal que v₂ não é combina¸cão linear dev₁ e pela preposi¸cão anterior{v₁, v₂}é LI. Se{v₁, v₂}geraV, então

´

e base e acabou. Senão, como, por uma proposi¸cão anterior, não é poss´ıvel termos um subconjunto LI de V com n+ 1 elementos, então, pelo menos no n-´esimo passo, obteremos um conjunto {v₁, v₂, . . . , v_n} (LI pela preposi¸cão anterior aplicada várias vezes) que deverá gerar V e portanto será base de V (notemos que este processo pode parar antes de n). Finalmente, observemos que se V é gerado por um conjunto com 0 elementos, então V = {^→0} e ∅ é uma base de {^→0}.

Usando a mesma idéia da demonstra¸cão acima, verifiquemos o seguinte re- sultado:

Proposi¸cão 0.50. Seja V um K-espa¸co vetorial finitamente gerado. Seja C ⊂ V, C LI. Então existe uma base de V que contém C.

Com efeito, suponhamos queV ´e gerado por um conjunto comm>0 vetores.

Se C gera V, então C é base de V e acabou. Caso contrário, então existe u₁ ∈ V tal que u₁ não é combina¸cão linear de elementos de C e portanto C ∪{u₁}é LI. SeC ∪{u₁}geraV, entãoC ∪{u₁}é base deV e acabou. Senão,

(15)

desde que não é poss´ıvel termos um subconjunto LI deV comm+ 1 vetores, então, pelo menos nom-ésimo passo, obteremos um conjuntoC∪{u₁, . . . , u_m} (LI pela preposi¸cão anterior aplicada várias vezes) que deverá gerar V e portanto será base de V (notemos que este processo pode parar antes dem).

Exemplo 0.51. Consideremos (1,3,1)∈ R³. Como exibir uma base de R³ que contém C := {(1,3,1)}? Consideremos o conjunto de todas as com- bina¸cões lineares de (1,3,1), isto é, [(1,3,1)] = {(α,3α, α)|α ∈ R}. To- mando, por exemplo,(1,3,0)∈R³, temos que(1,3,0)̸= (α,3α, α), para todo α ∈ R, donde D := C ∪ {(1,3,0)} é LI. Consideremos agora o conjunto de todas as combina¸cões lineares de (1,3,1),(1,3,0), isto é, [(1,3,1),(1,3,0)] = {(α+β,3α+ 3β, α)|α, β ∈ R}. Tomando, por exemplo, (1,0,0) ∈ R³, se- gue que (1,0,0) ̸= (α+ β,3α + 3β, α), para todo α, β ∈ R, donde E :=

C ∪ {(1,3,0),(1,0,0)} é LI. Como existe uma base de R³ que contém E e como toda base de R³ tem exatamente 3 elementos (dim_RR³ = 3), então E é uma base de R³.

Proposi¸cão 0.52. Seja V umK-espa¸co vetorial, comdim_KV =n >0. Seja C ⊂ V. Então as condi¸cões abaixo são equivalentes:

1. C ´e base de V;

2. cada vetor de V se escreve de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear de elementos de C.

De fato, suponhamos inicialmente que C ´e base de V. Como dim_KV = n, podemos escrever C :={v₁, . . . , v_n}. Seja v ∈V qualquer. Desde que C gera V, existemα₁, . . . , α_n∈Ktais quev =α₁v₁+· · ·+α_nv_n. Suponhamos ent˜ao quev =β1v1+· · ·+βnvn, para algumβ1, . . . , βn ∈K. Da´ı,α1v1+· · ·+αnvn= β₁v₁+· · ·+β_nv_n e portanto (α₁ −β₁)v₁+· · ·+ (α_n−β_n)v_n =^→0 . Como C

´

e LI, segue que (α₁−β₁) = · · ·= (α_n−β_n) = 0 e portanto v se escreve de

(16)

forma ´unica como combina¸c˜ao linear de elementos deC.

Reciprocamente, suponhamos que todo vetor deV se escreve de modo único como combina¸cão linear de elementos de C. Da´ı, já obtemos que C gera V. Mostremos que C é LI. Com efeito, consideremos uma combina¸cão linear qualquer, c := γ₁u₁ +· · ·+γ_mu_m, de vetores de C. Suponhamos que c é o vetor nulo, isto é, γ₁u₁+· · ·+γ_mu_m =^→0 . Mas ^→0 = 0u₁+· · ·+ 0u_m. Desde que^→0∈V se escreve de maneira única como combina¸cão linear de elementos de C, entãoγ₁ =· · ·=γ_m = 0. Portanto,C é base de V.

Exemplo 0.53. Consideremos C := {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} ⊂ R³. No- temos que (1,1,0) = 0.(1,0,0) + 0.(0,1,0) + 1.(1,1,0) e tamb´em (1,1,0) = 1.(1,0,0) + 1.(0,1,0) + 0.(1,1,0). Da´ı, (1,1,0) n˜ao se escreve de maneira

´

unica como combina¸cão linear de elementos de C e portanto C não é base de R³.

Exemplo 0.54. Consideremos C := {2, x, 3x+ 5} ⊂ P1(R). Observemos que x+ 1 = ¹₂.222 + 1.xxx+ 0.(3x3x3x+ 5+ 5+ 5) e também x+ 1 = (−2).222 + (−2).xxx+ 1.(3x3x3x+ 5+ 5+ 5). Assim, x+ 1 não se escreve de forma única como combina¸cão linear de elementos de C e portanto C não é base de P1(R).

Coordenadas

Usando a proposi¸cão anterior, vejamos uma forma de identificar umK-espa¸co vetorial finitamente gerado qualquer com Kⁿ, para algum n∈N^∗.

Observa¸c˜ao 0.55. Seja V um K-espa¸co vetorial, com dim_KV = n > 0.

Notemos que, ao considerarmos uma base B := {v₁, . . . , v_n}, então, pela proposi¸cão anterior, dadov ∈V, existem únicos escalaresα₁, . . . , α_n tais que v =α1v1+· · ·+αnvn. Se considerarmos ainda que B é uma base ordenada, isto é, uma base onde a ordem em que os vetores são dados importa, podemos identificar v ∈V com (α₁, . . . , α_n)∈K. Ao considerarmos bases ordenadas,

(17)

temos, por exemplo, que B = {v₁, v₂, v₃, . . . , v_n} ̸= {v₂, v₁, v₃, . . . , v_n} =: B^′ (ambos, B e B’, s˜ao bases, mas vistos como bases ordenadas s˜ao diferentes).

Defini¸cão 0.56. Seja V um K-espa¸co vetorial finitamente gerado. Seja B := {v1, . . . , vn} uma base ordenada de V. Seja v ∈ V. Dizemos que (α₁, . . . , α_n)_B ∈Kⁿ é a n-upla das coordenadas de v com rela¸cão à base B se v =α₁v₁+· · ·+α_nv_n. Nota¸cão: [v]_B := (α₁, . . . , α_n)_B.

Observa¸cão 0.57. Quando não houver risco de confusão, escreveremos sim- plesmente [v]_B := (α₁, . . . , α_n).

Exemplo 0.58. Já vimos queC :={(1,2),(3,1)},BC ={(1,0),(0,1)} ⊂R² são bases de R². Considerando-as ordenadas, temos que Ce:={(3,1),(1,2)}, BfC := {(0,1),(1,0)} ⊂ R² são outras duas bases de R². Consideremos (2,−1)∈ R². Temos que [(2,−1)]_C = (−1,1)_C, pois (2,−1) = (−1).(1,2) + 1.(3,1). Ainda, [(2,−1)]_B_C = (2,−1)_B_C, pois (2,−1) = 2.(1,0) + (−1).(0,1).

Notemos ainda que [(2,−1)]_C_e= (1,−1)_C_e e [(2,−1)]_B_f

C = (−1,2)_B_f

C. Logo, as coordenadas de um dado vetor variam conforme mudamos a base do espa¸co vetorial.

Exemplo 0.59. Seja (α₁, α₂, . . . , α_n) ∈ Kⁿ qualquer. Consideremos BC = {(1,0, . . . ,0),(0,1,0, . . . ,0), . . . ,(0, . . . ,0,1)} ⊂ Kⁿ a base canˆonica de Kⁿ. Desde que (α₁, α₂, . . . , α_n) = α₁(1,0, . . . ,0) + α₂(0,1,0, . . . ,0) + · · ·+ α_n(0, . . . ,0,1), ent˜ao as coordenadas do vetor (α₁, α₂, . . . , α_n) com rela¸c˜ao

`

a BC s˜ao [(α₁, α₂, . . . , α_n)]_B_C = (α₁, α₂, . . . , α_n).

Exemplo 0.60. Seja p(x) := a₂x² +a₁x +a₀ ∈ P2(K) qualquer. Con- sideremos BC = {1, x, x²} ⊂ P2(K) a base canˆonica de P2(K). Como p(x) = a₂.xxx²²²+a₁.xxx+a₀.111, ent˜ao as coordenadas do vetor p(x) com rela¸c˜ao

`

a BC s˜ao [p(x)]_B_C = (a₀, a₁, a₂).

(18)

Subespa¸ co vetorial

Defini¸cão 0.61. Seja V um espa¸co vetorial sobre K. Dizemos que um subconjunto W ⊂ V é um subespa¸co vetorial de V se a restri¸cão das opera¸cões de V a W o tornarem um espa¸co vetorial sobre K.

Observa¸cão 0.62. Ou seja, a restri¸cão das opera¸cões+++++++++e·deV aW devem ser tais que

+++

++++++ : W ×W ∋(u, v) 7→ u+++++++++v ∈W

·: K×W ∋(α, v) 7→ α.v∈W

e as propriedades de espa¸co vetorial sejam satisfeitas (com W no lugar de V).

Exemplo 0.63. Se V é um K-espa¸co vetorial, então {^→0} ⊂V e V ⊂V são subespa¸cos vetoriais de V, chamados de subespa¸cos triviais de V.

Proposi¸cão 0.64. Seja V um K-espa¸co vetorial. Seja W ⊂ V um subcon- junto qualquer. Então W é um subespa¸co vetorial de V se, e somente se, as condi¸cões abaixo valem:

1. se ^→0 é o vetor nulo de V, então ^→0∈W, 2. se u, v ∈W, então u+++++++++v ∈W,

3. se α∈K e u∈W, ent˜ao α.u∈W. Exerc´ıcio.

Observa¸cão 0.65. Se V é um K-espa¸co vetorial e C ⊂V é um subconjunto qualquer de V, então podemos considerar o conjunto de todas as combina¸cões lineares de elementos de C, denotado por [C]. Então [C] é um subespa¸co vetorial de V, chamado de subespa¸co de V gerado por C. Se C é LI, então C

´

e uma base de [C]. Notemos que se C :={v₁, . . . , v_n} (um conjunto finito de vetores), ent˜ao temos que [C] = [v₁, . . . , v_n].

(19)

Proposi¸cão 0.66. SejamV umK-espa¸co vetorial e W₁, W₂ ⊂V subespa¸cos vetoriais de V. Então W₁∩W₂ e W₁+W₂ :={w₁+w₂ :w₁ ∈W₁, w₂ ∈W₂} também são subespa¸cos vetoriais de V.

Exerc´ıcio (use a caracteriza¸c˜ao de subespa¸co vetorial dada pela proposi¸c˜ao acima).

Exemplo 0.67. Consideremos C como R-espa¸co vetorial. Consideremos {1, i} ⊂ C. Então [1]∩[i] e [1] + [i] são subespa¸cos vetoriais de C. Com efeito, [1]∩[i] ={0} e [1] + [i] =C. Verifique isto. Notemos que [1]∪[i]não

´

e subespa¸co vetorial de C, pois, por exemplo, 1 +i̸∈[1] e 1 +i̸∈ [i], donde 1 +i̸∈[1]∪[i]. Na verdade, se W1, W2 são subespa¸cos de V, não segue, em geral, que W₁ ∪W₂ é um subespa¸co de V.

Exemplo 0.68. Consideremos R³ como R-espa¸co vetorial. Consideremos ainda W₁ := [(1,0,0),(0,1,0)] ⊂ R³ e W₂ := [(1,0,0),(0,0,1)] ⊂ R³ su- bespa¸cos vetoriais de R³. Então W₁∩W₂ e W₁+W₂ também o são.

Proposi¸cão 0.69. Sejam V um K-espa¸co vetorial e W ⊂V um subespa¸co vetorial de V, com W ̸=V e dim_KW finita. Então dim_KW <dim_KV. Se W ={^→0}, então, como {^→0} ̸=V, segue que dim_K{^→0}= 0 <dim_KV. Se W ̸= {^→0}, existe B :={v₁, . . . , v_n} ⊂ W base de W, onde n = dim_KW. Da´ı, se dim_KV = ∞, é claro que dim_KW = n < ∞. Suponhamos agora que dim_KV < ∞ (ou seja, que V é finitamente gerado). Como W ̸= V, então B não gera V, donde existe v ∈ V tal que v não é combina¸cão linear de v₁, . . . , v_n. Da´ı, B ∪ {v} ⊂ V é LI e portanto existe uma base de V que contém B ∪ {v}. Logo, dim_KV >n+ 1 > n= dim_KW.

Proposi¸cão 0.70. SejamV umK-espa¸co vetorial e W₁, W₂ ⊂V subespa¸cos vetoriais deV, ambos de dimensão finita. Entãodim_K(W₁+W₂) = dim_KW₁+ dim_KW₂−dim_KW₁∩W₂.

(20)

Primeiramente, comoW₁ é finitamente gerado, entãoW₁∩W₂ ⊂W₁ também o é. Se W₁ ∩W₂ ̸= {^→0}, seja B := {v₁, . . . , v_n} ⊂ W₁ ∩W₂ uma base de W1∩W2. Como B é um conjunto LI contido em W1, então existe B1 ⊂W1

uma base de W₁ que cont´em B, digamos B1 := {v₁, . . . , v_n, w₁, . . . , w_p}. Analogamente, existe B2 ⊂ W₂ uma base de W₂ que cont´em B, digamos B2 :={v₁, . . . , v_n, u₁, . . . , u_m}.

Consideremos agora C := {v₁, . . . , v_n, w₁, . . . , w_p, u₁, . . . , u_m} ⊂ V. Na verdade,C ⊂ W₁+W₂. Mostremos queC é uma base deW₁+W₂. Inicialmente, verifiquemos que é C é LI. Com efeito, seja c := ∑_n

i=1αivi +∑_p

i=1βiwi +

∑m

i=1γ_iu_i uma combina¸c˜ao linear qualquer de elementos deC. Suponhamos que c ´e o vetor nulo, ou seja, ∑n

i=1α_iv_i +∑p

i=1β_iw_i +∑m

i=1γ_iu_i =^→0 (*).

Logo,

W₁ ∋

∑n i=1

α_iv_i+

∑p i=1

β_iw_i =−

∑m i=1

γ_iu_i ∈W₂, isto ´e, −∑_m

i=1γ_iu_i ∈ W₁ ∩ W₂. Logo, como B gera W₁ ∩ W₂, existem λ₁, . . . , λ_n ∈Ktais que −∑_m

i=1γ_iu_i =∑_n

i=1λ_iv_i. Da´ı,

∑n i=1

λ_iv_i+

∑m i=1

γ_iu_i =^→0 .

Comov₁, . . . , v_n, u₁, . . . , u_m ∈ B2 que ´e LI, segue queλ₁ =λ₂ =· · ·=λ_n = 0 e γ₁ =γ₂ =· · ·=γ_m = 0. Substituindo estes valores em (∗), segue que

∑n i=1

α_iv_i+

∑p i=1

β_iw_i =^→0 .

Desde quev₁, . . . , v_n, w₁, . . . , w_p ∈ B1 que é LI, entãoα₁ =α₂ =· · ·=α_n = 0 e β₁ = β₂ = · · · = β_p = 0. Logo, os escalares são todos nulos em (∗) e portantoCé LI. Mostremos agora queCgeraW₁+W₂. Sejad:=(∑_n

i=1α_iv_i+

∑p i=1βiwi

)+(∑_n

i=1λivi+∑m i=1γiui

) ∈ W1 +W2 um elemento qualquer de W₁ +W₂. Como d = ∑n

i=1(α_i +λ_i)v_i +∑p

i=1β_iw_i +∑m

i=1γ_iu_i, ou seja, d se escreve como combina¸c˜ao linear de elementos de C, obtemos que C gera