Otimização de Estruturas

Os engenheiros devem sempre tomar decisões tecnológicas e gerenciais durante o desenvolvimento, execução e manutenção de um projeto de engenharia. Deve-se buscar um ótimo rendimento nas etapas do projeto, assim como criar as condições mais favoráveis, isto é, otimizar a estrutura projetada atendendo todas as solicitações e requisitos e com isso gerar um produto final que maximize o benefício desejado, tornando-o ótimo ou ideal.

CASTRO (2001) faz uma abordagem sobre a importância da otimização uma vez que envolve, acima de tudo, capital e custos – fatores decisivos para estimular a competição do mercado. Por isso, as técnicas de otimização estão sempre em demanda e são aplicadas em

alguns problemas na engenharia civil, entre eles, otimização de redes de abastecimento, dosagem de materiais, projetos de estruturas, entre outros.

Em uma abordagem matemática, os problemas de otimização possuem o objetivo de encontrar pontos de maximização ou minimização de uma função de uma ou mais variáveis pertencentes a um determinado domínio, possuindo restrições ou não. De acordo com a Figura 14, a solução x encontrada corresponde ao mínimo de f(x) e ao máximo de –f(x). A otimização pode ser definida como a relação entre uma série de variáveis que não podem mais ser melhoradas. Quando esta relação for encontrada, o resultado será ótimo.

Figura 14 – O mínimo de f(x) é o mesmo máximo de –f(x).

Fonte: GUERRA(2008)

Matematicamente, podemos expor a definição clássica de otimização por:

Encontrar X = { 𝑥1 𝑥2 … 𝑥3 } ∈ [𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑚𝑎𝑥] que minimize f(x) (3.1)

onde X é um vetor n-dimensional (vetor projeto), que possui variáveis de projetos a serem dimensionadas, pertencentes aos limites xmin = { xmin,1, xmin,2, ..., xmin,n } e xmax = { xmax,1, xmax,2, ..., xmax,n }, e a função f(x) a ser minimizada é chamada de função objetivo.

2.3.1 Classificação dos problemas de otimização em relação aos tipos de variáveis

As variáveis de projeto podem representar a propriedade mecânica ou física do material, a topologia da estrutura, a configuração geométrica da estrutura, as dimensões das seções transversais e os comprimentos dos elementos. Os problemas de otimização podem ser classificados de acordo com o grau de relação entre as variáveis tanto na função objetivo quanto nas restrições, da seguinte forma:

 Contínuos: aqueles problemas em que as variáveis variam linearmente em relação à função objetivo e/ou às restrições, ou seja, admite assumir qualquer valor dentro de um intervalo, uma escala contínua;

 Discretos: aqueles problemas em que as variáveis variam de forma não-linear seja na função objetivo, nas restrições ou em ambos. Estas variáveis são classificadas como discretas, assumindo valores finitos e pré-estabelecidos, na maioria das vezes, referem- se a valores disponíveis comercialmente.

2.3.2 Classificação dos problemas de otimização em relação aos tipos de restrições

Existem três tipos de restrições ou limitações impostas às variáveis de projeto, que são: restrição lateral, definidas por um intervalo (ximin ≤ xi ≤ ximax); restrição de desigualdade (gj ≤ 0; j = 1, 2, ..., m); e restrição de igualdade (lk = 0; k = 1, 2, ..., p). Os problemas de otimização

também podem ser classificados de acordo com a presença ou não de restrições, seguem abaixo:  Restringidos: quando possuem restrições;

 Não-restringidos: quando não possuem restrições.

2.3.3 Classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização

No campo da engenharia de estruturas, os métodos de otimização são classificados da seguinte forma:

 Topológico: é o problema de otimização que busca um melhor arranjo entre os nós e posicionamentos dos elementos. Também atua retirando material da estrutura gerando uma nova topologia, ou seja, é caracterizada como uma otimização de layout;

 Paramétrico: é o problema de otimização que otimiza a estrutura, isoladamente ou em conjunto, os parâmetros relacionados às características constitutivas (tipo do material,

módulo de elasticidade, entre outros) e os parâmetros geométricos (área da seção transversal, por exemplo), sem modificar a geometria inicial da estrutura;

 De forma: é o problema de otimização que altera o contorno da estrutura, variando a posição de seus nós até encontrar uma solução ótima. Muitas vezes, é confundida com a otimização paramétrica.

A Figura 15 exemplifica a classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização.

Figura 15 – Classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização

(a) Topológico (b) Paramétrico (c) De forma Fonte: SOUZA (2009)

2.3.4 Classificação dos métodos de otimização

Os métodos de otimização, em geral, são classificados em duas vertentes de acordo com suas formulações matemáticas, condições de processamento e os seus resultados obtidos.

Os Métodos Determinísticos são aqueles que se baseiam em um conjunto de ações sistemáticas e uso de teoremas que geram resultados ótimos ou próximos do ideal, com uma dada precisão. Eles possuem um melhor funcionamento em variáveis de projeto contínuas, devido ao uso de pelo menos a primeira derivada da função objetivos em relação às variáveis. Em problemas, que possuem variáveis discretas, é preciso fazer um tratamento no resultado para conseguir a restrição desejada. Na Tabela 1 observa-se a organização realizada por SILVA (2001) de uma classificação geral dos principais métodos determinísticos existentes.

Os Métodos Probabilísticos são aqueles que se baseiam em análises probabilísticas das possíveis soluções do problema, ou seja, determinam apenas a probabilidade de ocorrência de um dado fenômeno a partir de conhecimento dos que antecedem. OLIVIERI (2004) aborda que esse tipo de método se baseia em técnicas que imitam fenômenos encontrados na natureza, sendo por isso denominado de Computação Natural. As ramificações deste tipo de método estão organizadas na Figura 16.

Tabela 1 – Classificação dos Principais Métodos Determinísticos

Fonte: SILVA (2001)

Figura 16 – Ramificações da Computação Natural

Fonte: OLIVIERI (2004)

Método de Fibonacci Método da Seção Áurea (Golden Section)

Método DSC-Powell Método da Bisseção Método da Secante Método de Newton Hooke e Ieeves Rosembrock Powell (Direções Conjugadas)

Nelder Derivadas 1ª Ordem Derivadas 2ª Ordem Métodos Quase-Newton Métodos de Direções Conjugadas Métodos com cálculo de

derivadas Métodos

Multidimensionais Programação

Não-Linear

Programação Quadrática Sequencial Programação

Linear Método Simplex

Método do Gradiente Projetado (Rosen) Método do Gradiente Reduzido (Wolfe)/Generalizado Programação Linear Sequencial (Método do Corte dos Planos) Métodos das Direções Viáveis Minimização com Restrição Minimização sem Restrição Pertence, segundo Vanderplaats, a uma classe

maior, correspondendo às técnicas de minimização não restringida sequêncial

(SUMT)

Método das Penalidades Método das Barreiras Método do Langrangeano Aumentado Métodos das Penalidades Métodos das Barreiras Diretas Métodos de Redução Sucessivas

de Intervalos Aproximação para Polimônios

Métodos sem cálculo de derivadas