NÚCLEO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MARLLON VICTOR SOARES CABRAL
OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS TRELIÇADAS UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO
Caruaru 2016
OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS TRELIÇADAS UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil do Centro Acadêmico do Agreste (CAA), da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), como requisito para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Área de Concentração: Estruturas
Orientadora: Profa. Dra. Giuliana Furtado Franca Bono
Caruaru 2016
Catalogação na fonte:
Bibliotecária – Simone Xavier CRB/4 - 1242
C117o Cabral, Marllon Victor Soares.
Otimização de estruturas treliçadas utilizando algoritmo genético. / Marllon Victor Soares Cabral. – 2016.
71f. il. ; 30 cm.
Orientadora: Giuliana Furtado Franca Bono
Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso) – Universidade Federal de Pernambuco, CAA, Engenharia Civil, 2016.
Inclui Referências.
1. Algoritmos genéticos. 2. Elementos finitos. 3. Otimização estrutural. I. Bono, Giuliana Furtado Franca (Orientadora). II. Título.
620 CDD (23. ed.) UFPE (CAA 2016-148)
OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS TRELIÇADAS UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil do Centro Acadêmico do Agreste (CAA), da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), como requisito para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Área de Concentração: Estruturas
A banca composta pelos professores abaixo, considera O ALUNO MARLLON VICTOR SOARES CABRAL APROVADO COM NOTA ______.
Caruaru, 05 de agosto de 2016.
Banca Examinadora:
__________________________________________________ Profa. Dra. Giuliana Furtado Franca Bono
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE (Orientadora)
__________________________________________________ Prof. Dr. Gustavo Bono
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE (Avaliador)
__________________________________________________ Profa. Dr. Alessandro R. E. Antunes
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE (Avaliador)
__________________________________________________ Prof. Dr. Artur Paiva Coutinho
Dedico este trabalho, primeiramente, a Deus, por ser essencial em minha vida, pois sem ele não teria forças para essa longa jornada. Aos meus pais, pelo cuidado e dedicação, que em alguns momentos, deram a esperança para seguir. E ao meu irmão, pela paciência e apoio.
A Deus que permitiu que tudo isto acontecesse, ao longo de minha vida, e não somente nestes anos como universitário. E por ter me ensinado o melhor modo de usufruir a vida.
A minha mãe, Marluce, heroína que me deu amor, carinho, apoio, incentivo nas horas difíceis, de desânimo e cansaço. Além disso, por ter colocado na minha vida a educação como prioridade.
Ao meu pai, Nazareno, pelo apoio que para mim foi muito importante. Ao meu irmão, Matheus, pelo incentivo e apoio incondicional.
A universidade, seu corpo docente, por me proporcionar o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação de caráter e ética no processo de formação profissional.
A minha orientadora, Giuliana, pela orientação, incentivo, paciência e dedicação durante o desenvolvimento de todas as etapas deste trabalho.
Aos meus amigos (Manoel, Edmilton, Sillas, Murilo e Nicolas), companheiros de trabalhos e irmãos de amizade que fizeram parte da minha formação e vão continuar presentes em minha vida.
A minha família e amigos, por compreenderem minha ausência durante esse período de aprendizagem.
A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, meu muito obrigado.
"Que os vossos esforços desafiem as impossibilidades, lembrai-vos de que as grandes coisas do homem foram conquistadas do que parecia impossível."
As treliças constituem um campo bastante fértil ao emprego de técnicas de otimização, em função da grande diversidade de configurações possíveis, seja para superar um determinado vão, seja para resistir a um certo carregamento. O projeto estrutural ótimo consiste na escolha dos materiais, da topologia e da geometria a serem utilizados no sistema, de forma a atender os requisitos de desempenho, economia e segurança. O mesmo concentra-se na determinação de uma combinação convenientemente obtida através de várias análises, visando à concepção ou determinação de uma estrutura de melhor desempenho global dentro dos objetivos estabelecidos. Como técnica recente, o Algoritmo Genético (AG) tem sido investigado como uma alternativa viável e muito versátil, apresentando ferramentas robustas a serem empregadas na solução de problemas de otimização. Este trabalho teve como objetivo a aplicação de técnicas de Algoritmos Genéticos na otimização de treliças planas utilizadas no mercado da construção civil. As implementações foram realizadas sobre um programa computacional, atualmente em desenvolvimento no grupo LECOM (UFPE/CAA/NT), em linguagem de programação MATLAB e utilizando o Método dos Elementos Finitos, sendo este método amplamente utilizado na resolução de problemas de engenharia. Neste programa de otimização, a função objetivo considerada é o volume, com restrições de tensões e deslocamentos. As variáveis de projeto consideradas são as áreas das seções transversais dos elementos unifilares (elementos de barras). Foi implementada uma interface entre o programa de otimização, utilizando a linguagem de programação MATLAB e o programa de pós processamento GiD para a visualização dos resultados. Por fim, valida-se o programa implementado, comparando os resultados do mesmo com os apresentados na literatura.
The trusses are a very fertile ground to the use of optimization techniques, due to the wide variety of possible configurations, is to overcome a certain will, is to withstand a certain load. The great structural design is the choice of materials, topology and geometry to be used in the system in order to meet the performance requirements, economy and security. The same focuses on determination of a combination conveniently obtained via several tests aimed at determining or designing a better overall performance structure within the stated objectives. As a new technique, the genetic algorithm (GA) has been investigated as a viable and versatile alternative, with robust tools to be used in solving optimization problems. This work aims at the development and application of genetic algorithms in flat trusses optimization applied in the construction market. The implementations were done on a computer program, currently under development in the LECOM group (UFPE/CAA/NT) in MATLAB programming language and using the Finite Element Method, which is widely used method in solving engineering problems. In this optimization program, the objective function is considered the volume with stress and displacement constraints. project variables considered are the areas of the cross sections of the single-line elements (bar elements). an interface between the optimization program was implemented using the MATLAB programming language and post GiD processing program for displaying the results. Finally, validates the program implemented by comparing the results of the same with those presented in the literature.
Figura 1 – Cobertura treliçada de galpões industriais...18
Figura 2 – Torres de transmissão de energia elétrica...18
Figura 3 – Pontes treliçadas...19
Figura 4 – Torre de antena...19
Figura 5 – Estrutura de sustentação...19
Figura 6 – Fluxograma para o processo de um projeto convencional...21
Figura 7 – Fluxograma para o processo de um projeto otimizado...21
Figura 8 – Barra sob tração...27
Figura 9 – Discretização de uma barra sob tração...27
Figura 10 – Elemento de barra...27
Figura 11 – Forças nodais do elemento de barra...28
Figura 12 – Equilíbrio nos nós...29
Figura 13 – Elemento de barra inclinado em relação ao eixo x...30
Figura 14 – O mínimo de f(x) é o mesmo máximo de –f(x)...33
Figura 15 – Classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização...35
Figura 16 – Ramificações da computação natural...36
Figura 17 – Aplicabilidade em problemas x eficiência de resolução dos métodos...39
Figura 18 – Correspondência entre a genética e o AG...40
Figura 19 – Esquema do algoritmo genético...41
Figura 20 – Representação de um cromossomo...42
Figura 21 – Representação da função aptidão...43
Figura 22 – Cruzamento uniponto (genitores)...45
Figura 23 – Cruzamento uniponto (descendentes)...45
Figura 24 – Fluxograma do programa desenvolvido para otimização de treliças...48
Figura 25 – Treliça com 4 barras...53
Figura 26 – Melhores resultados para os seis melhores tamanhos de população - Problema 1 (CASO 02)...55
Figura 27 – Configuração otimizada do problema 1 (CASO 02)...55
Figura 28 – Treliça de 10 barras...56
Figura 29 – Resultados do problema 2...57
Figura 30 – Configuração otimizada do problema 2...59
Figura 34 – Treliça de 47 barras...64 Figura 35 – Resultados do problema 4...65 Figura 36 – Configuração otimizada do problema 4...66
Tabela 1 – Classificação dos principais métodos determinísticos...36
Tabela 2 – Configuração paramétrica do AG...52
Tabela 3 – Especificações e limites de projeto para o problema 1...53
Tabela 4 – Comparativo de áreas iniciais x áreas otimizadas – Problema 1 (CASO 01)...54
Tabela 5 – Resultados do problema 1 (CASO 02)...54
Tabela 6 – Comparação do resultado obtido do problema 1 (CASO 02) com a literatura...56
Tabela 7 – Especificações e limites de projeto para o problema 2...57
Tabela 8 – Comparação dos volumes iniciais e otimizados do problema 2...59
Tabela 9 – Comparação do resultado obtido do problema 2 (CASO 01) com a literatura...60
Tabela 10 – Especificações e limites de projeto para o problema 3...61
Tabela 11 – Comparação dos volumes iniciais e otimizados do problema 3...62
Tabela 12 – Comparação do resultado obtido do problema 3 com a literatura...63
Tabela 12 – Especificações e limites de projeto para o problema 4...65
Tabela 13 – Comparação dos volumes iniciais e otimizados do problema 4...66
L Comprimento da barra
A Seção transversal de barra
P Carga axial
P1 Carga nodal 1 P2 Cargas nodal 2
ux1 Grau de liberdade associada à força nodal P1 ux2 Grau de liberdade associada à força nodal P2 σxx Tensão axial
εxx Deformação axial
E Módulo de Elasticidade
սx(x) Função de deslocamento axial
ΔL Variação do comprimento do elemento
S Coordenada ao longo do eixo centroidal do elemento de barra
us Deslocamento ao longo do elemento de barra us1 Deslocamento nodal 1
us2 Deslocamento nodal 2
Θ Ângulo entre o eixo s e o eixo x
ux Componente do deslocamento us na direção x uy Componente do deslocamento us na direção y P1x Componente da carga nodal P1 em x
P1y Componente da carga nodal P1 em y P2x Componente da carga nodal P2 em x P2y Componente da carga nodal P2 em y Ki Matriz de rigidez
Pi Vetor de carga
ui Vetor de deslocamento nodais em relação ao sistema de coordenadas globais X Vetor n-dimensional (vetor de projeto)
f(x) Função objetivo
xmin Limite de variável mínimo xmax Limite de variável máximo
Li Comprimento da barra i
Ai Área da seção transversal da barra i, onde os sobrescritos max e min indicam,
respectivamente, os limites de máximos e mínimos para tal variável
σi Tensão atuante da barra i, onde o sobrescrito adm indica o valor máximo admissível
para a tensão naquela barra;
δj Deslocamento do nó j, e o sobrescrito adm indica o valor máximo admissível para esta
variável;
Pi Carga de flambagem atuante na barra i, devendo ser menor que o valor da carga crítica
de Euler daquela barra, indica por Picrit N Tamanho da população
Pc Taxa ou probabilidade de cruzamento Pm Taxa ou probabilidade de mutação
1 INTRODUÇÃO...18 1.1 Justificativa...22 1.2 Motivação...22 1.3 Objetivos...23 1.3.1 Objetivo Geral...23 1.3.2 Objetivos Específicos...23 2 REFERENCIAL TEÓRICO...24
2.1 Histórico e Revisão Bibliográfica...24
2.2 Método dos Elementos Finitos...26
2.2.1 Formulação Direta do Elemento de Barra...26
2.2.2 Transformação de Coordenadas...30
2.3 Otimização de Estruturas...32
2.3.1 Classificação dos Problemas de Otimização em Relação aos Tipos de Variáveis...34
2.3.2 Classificação dos Problemas de Otimização em Relação aos Tipos de Restrições...34
2.3.3 Classificação dos Problemas de Otimização em Relação ao Critério de Otimização...34
2.3.4 Classificação dos Métodos de Otimização...35
2.4 O Problema de Otimização para Treliças...37
2.5 Vantagens e Desvantagens dos Algoritmos Genéticos...38
2.6 Algoritmos Genéticos...39
2.6.1 Esquema dos Algoritmos Genéticos...41
2.6.2 Parâmetros de Influência e Configurações...41
2.6.2.1 Tamanho da População – N...42
2.6.2.2 Função Aptidão...43
2.6.2.3 Método de Penalização...43
2.6.2.4 Seleção...43
2.6.2.5 Taxa ou Probabilidade de Cruzamento – Pc...44
2.6.2.6 Taxa ou Probabilidade de Mutação – Pm...45
4.1 Problema 1: Treliça com 4 barras...53
4.2 Problema 2: Treliça com 10 barras...56
4.3 Problema 3: Treliça com 23 barras...60
4.4 Problema 4: Treliça com 47 barras...63
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS...67
6 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS...68
1 INTRODUÇÃO
A Engenharia Civil possui diversas áreas de atuação. Entre elas a Engenharia Estrutural, focada no projeto e análise de estruturas. Para realizar o dimensionamento dos elementos estruturais (treliças, vigas, pilares, pórticos, entre outros), faz-se necessário a aplicação de conceitos de Mecânica dos Sólidos, o conhecimento das características dos materiais (madeira, aço, concreto, outros materiais ou combinação entre eles) de acordo com a necessidade do projeto e o uso de ferramentas computacionais.
Denominam-se treliças o conjunto de elementos lineares interligados entre si, com finalidade de resistir predominantemente aos esforços axiais. Possuem uma diversidade de soluções estaticamente seguras para vencer determinados vãos ou suportar determinados carregamentos, favorecendo ao uso de técnicas de otimização. Conforme observado nas Figuras 1, 2, 3, 4 e 5, as estruturas treliçadas são bastante utilizadas em cobertas de edifícios industriais, em torres de transmissão de energia elétrica, em torres de antenas de telecomunicação, em pontes, em sinalização rodoviária e em diversos outros arranjos estruturais.
Figura 1 – Cobertura treliçada de galpões industriais
Fonte: http://www.lax.ind.br/en/opcoes-de-produto/cobertura-metalica/ (2016)
Figura 2 – Torres de transmissão de energia elétrica
Fonte: http://www.gazetadopovo.com.br/vida-e-cidadania/falta-de-backup-espanta-especialistas-bzhcsk0oqwwpqqxke9l170hfy (2016)
Figura 3 – Pontes treliçadas
Fonte: https://miliauskasarquitetura.wordpress.com/tag/ponte-de-quebec/ (2016)
Figura 4 – Torre de Antena
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Torres_e_antenas_de_rádio (2016)
Figura 5 – Estrutura de sustentação
O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ela será projetada, satisfazendo os requisitos de segurança, economia, durabilidade, condições construtivas e restrições impostas. Além disso, o projeto deve utilizar, de forma racional e sustentável, os recursos naturais, gerando um menor impacto ambiental. Se algum desses requisitos não for contemplado, o projeto é descaracterizado e perde sua funcionalidade. No caso específico das treliças, a prática consiste na determinação da geometria (topologia, pontos nodais e seção transversal das barras), escolha do material a ser empregado e determinados esforços solicitantes.
Porém, existe uma grande diferença entre um dimensionamento convencional e um dimensionamento otimizado. O primeiro busca uma solução de projeto aceitável e adequado aos requisitos funcionais, regidos por uma regulamentação (norma), e sofre influência da habilidade e experiência do projetista, podendo gerar uma solução que não seja a mais econômica. Por outro lado, um projeto otimizado consiste em obter uma solução que atenda aos requisitos de desempenho, segurança e economia, através de várias análises de combinação de algumas características (material, topologia e geometria) para determinação de uma estrutura de melhor desempenho global e econômico dentre os objetivos estabelecidos. Nas Figuras 6 e 7, observam-se os fluxogramas dos métodos de dimensionamento convencional e otimizado, respectivamente.
Com o avanço da tecnologia, foram introduzidas técnicas de otimização de estruturas, com a finalidade de obter a melhor solução para um problema ou a condição mais favorável de um parâmetro, que pode aparecer de diferentes formas: seja por situações em que se procura o máximo, e em outras, por um mínimo. Portanto, o processo de otimização nos problemas de engenharia baseia-se como um procedimento de maximizar e minimizar variáveis. A busca por melhores soluções é quase sempre de caráter econômico, ou seja, consiste em reduzir o peso ou volume, e consequentemente o custo final da estrutura analisada, gerando uma maior produção e facilidade de transportes, itens que possuem grande importância na competitividade do mercado. Dentre os diversos métodos de otimização, destaca-se o método do Algoritmo Genético (AG). Esse método trata-se de algoritmos de busca, não-determinísticos, que funcionam como amostra de conjuntos de solução e possuem inspiração na Teoria da Evolução das Espécies (Seleção Natural) para resolver o problema. Esta técnica, por possuir ferramentas robustas, está sendo investigada como uma alternativa versátil e segura, para ser empregada nos problemas de otimização.
Figura 6 – Fluxograma para o processo de um projeto convencional
Fonte: SOUZA (2009)
Figura 7 – Fluxograma para o processo de um projeto otimizado
1.1 Justificativa
O presente trabalho se justifica diante da necessidade de buscar soluções otimizadas para o dimensionamento das estruturas treliçadas, entre elas cobertas de galpões industriais. Estes que, por sua vez, estão sendo construídos em grandes quantidades devido ao crescimento da industrialização no Brasil, inclusive no Estado de Pernambuco, que possui um dos maiores desenvolvimentos econômicos do Nordeste, e sua economia passa por um processo de modernização, o que acaba por atrair investimentos nacionais e estrangeiros.
Segundo a Associação Comercial e Empresarial de Caruaru (ACIC), os segmentos têxteis e de moda, no polo do Agreste, torna Pernambuco o segundo maior produtor têxtil e de confecção da região Norte e Nordeste e o oitavo principal produtor do Brasil. Três cidades agregam os negócios deste segmento: Caruaru, Toritama e Santa Cruz do Capibaribe. A grande maioria da produção desse polo têxtil é realizada em galpões industriais (fábricas e lavanderias). A escolha pelo método do Algoritmo Genético (AG) decorreu, primeiramente, do uso das variáveis discretas e por sua facilidade de implementação numérica, descomplicando as mudanças de parâmetros durante a concepção e execução do projeto. Outra vantagem que reafirmou essa escolha é a utilização de conjuntos de soluções, o que permite um espaço de busca maior que os métodos convencionais de otimização.
1.2 Motivação
A otimização de estruturas é uma área bastante explorada na Engenharia Civil para a racionalização de projetos estruturais. A otimização de estruturas treliçadas vem sendo bastante analisada a fim de que seja encontrada a combinação do material a ser utilizado, da seção transversal das barras e do arranjo do posicionamento das barras e pontos nodais, tornando a mais econômica possível. O interesse por esse tema no grupo de pesquisa do LECOM teve-se início por MARTINS (2011), em seu trabalho de conclusão de curso, desenvolvendo um programa computacional de otimização de treliças, utilizando o MEF para análise estrutural e, para otimização, o algoritmo de programação linear existente no MATLAB. Com os avanços dos estudos, no emprego do Algoritmo Genético para otimização de estruturas, surgiu a curiosidade pelo tema objeto do desenvolvimento desse trabalho.
A aplicação das teorias da Mecânica dos Sólidos possui muitas vezes obstáculos que geram restrições a análise de problemas que possuem elementos com medidas padronizadas, deslocamentos máximos permitidos, tensões admissíveis de tração e compressão, entre outros.
Assim, a busca da melhor solução deve atender a todas as restrições impostas, bem como aos critérios das Normas Técnicas.
As técnicas de otimização necessitam de algumas informações que, muitas vezes, não são fáceis de serem implementadas. Atualmente, buscam-se técnicas que sejam mais flexíveis para concepção dos projetos e adaptáveis as mudanças que possam ocorrer ao decorrer do dimensionamento e da análise dos resultados. O método do Algoritmo Genético foi baseado nos processos observados na evolução natural das espécies, estudada por Charles Darwin. Para que, em cada nova geração, sejam criados indivíduos com melhores aptidões, o método necessita de operadores genéticos para realizar transformações em cada população, contribuindo para evolução da mesma. Existem vários operadores genéticos, entre eles, o tamanho da população, função de aptidão, função de mutação, cruzamento, seleção, critérios de parada e fator de penalização. No decorrer do presente estudo esses parâmetros serão alterados, procurando um bom desempenho do AG para obter um projeto estrutural mais eficiente.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo Geral
Utilizar as técnicas de Algoritmo Genético (AG) para otimização de treliças planas com restrições de tensões e deslocamentos, empregando o Método dos Elementos Finitos (MEF).
1.3.2 Objetivos Específicos
- Modificar o código computacional do programa em desenvolvimento no grupo de pesquisa do Laboratório de Engenharia Computacional – LECOM (UFPE/CAA), melhorando seu desempenho, como também, a interface com os arquivos de entrada e saída de dados.
- Validar o programa desenvolvido, realizando um estudo comparativo dos resultados obtidos com os apresentados na literatura para diferentes técnicas de otimização.
- Realizar um estudo paramétrico, analisando as possibilidades de otimização que esta técnica oferece com a mudança dos parâmetros utilizados.
- Implementar a interface entre o programa de otimização e o pós-processador, utilizando a linguagem de programação MATLAB. O programa GiD será utilizado para etapa de pós-processamento.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Histórico e Revisão Bibliográfica
John Holland, professor da Universidade de Michigan nos Estados Unidos, foi o precursor das primeiras pesquisas relacionadas ao tema. HOLLAND (1975) publicou o livro de sua autoria – “Adaptation in Natural and Artificial Systens” – onde apresenta um modelo matemático que permite a não-linearidade de tais interações complexas que, por sua vez, consistem nos ciclos de adaptação (processo biológico) em que os organismos evoluem, reorganizando seus materiais genéticos para sobreviveram em seu habitat. Ele demonstrou a universalidade do modelo, aplicando à economia, psicologia fisiológica, a teoria dos jogos e inteligência artificial e, em seguida, descreveu como essa abordagem modificaria as visões tradicionais da matemática que descreve os sistemas genéticos. Desde então, o AG tem sido empregado, em diversos problemas de otimização e aprendizado de máquinas.
COHN (1994) fez um estudo sobre trabalhos e teses desenvolvidas, entre os anos de 1960 a 1994, a respeito de otimização estrutural e percebeu que, em sua maioria, àqueles tratavam de otimização matemática. Os trabalhos levantados em seu estudo foram organizados de acordo com os seguintes critérios: o tipo do grau de incerteza da abordagem (determinística ou probabilística); parâmetros e características das variáveis, como por exemplo, geometria, carregamentos e tipo de material; e a formulação do problema, tipo de restrição adotada e a função objetivo. Segundo Cohn, apesar do surgimento e desenvolvimento de diversas pesquisas na área de otimização estrutural, a prioridade era dada a matemática ao invés de concentrarem esforços nos detalhes do processo de otimização. Isso acabou por gerar uma grande distância entre a teoria e a prática, muitas vezes, necessitando de uma simplificação da formulação matemática, restringindo a aplicação com bons resultados para caso específico.
Depois desse período muitas pesquisas e diversos trabalhos da literatura tem testado a utilização do AG para otimização das variáveis de projeto. GHASEMI, et. al. (1997) demonstrou que a otimização, através da técnica do AG, é um método viável e eficiente no caso de estruturas treliçadas, com variáveis contínuas ou discretas. Neste artigo, se analisaram treliças bidimensionais, submetidas às restrições de tensão e deslocamento, com o objetivo de minimizar a massa das estruturas – um dos problemas mais recorrentes na otimização dos projetos estruturais. Além disso, concluíram que o método do AG conseguiu melhores resultados quando comparado ao método da Programação Quadrática Sequencial (SQP).
CASTRO (2001) apresentou uma abordagem da programação matemática e o método AG, abrangendo seus fundamentos, parâmetros de configuração, vantagens e desvantagens. Implantaram o Algoritmo Genético para problemas de otimização multi-objetivo (mais de uma função objetivo), com a finalidade de desenvolver um conjunto de soluções uniformemente distribuídas para determinação do conjunto ótimo para o problema de acordo com as opções e características definidas na implementação do AG. Um dos problemas investigados foi uma treliça submetida a dois carregamentos, cuja otimização paramétrica possuía o objetivo de reduzir a massa da estrutura e minimizar o deslocamento vertical devido ao primeiro e segundo carregamento. Concluiu que, na implantação do AG para os problemas multi-objetivos, são obtidos resultados próximos da fronteira ótima e verificou-se a importância do emprego do elitismo para armazenar as soluções não-dominadas correntes do processo evolutivo.
DÉB e GULATI (2001) relataram que o objetivo de minimizar a massa de uma estrutura é um dos temas mais estudados na área de otimização de estruturas treliçadas. Neste trabalho, os autores implementaram o AG para os problemas com treliças 2D e 3D em busca de uma área ótima para seção transversal, podendo-se modificar sua topologia (geometria) trocando as coordenadas dos nós e fixando o comprimento das barras. Além disso, consideraram as restrições de tensões, deslocamentos e estabilidade cinemática.
CROCE (2004) procurou abordar o uso do AG para otimização topológica e paramétrica com o objetivo de reduzir a massa em estruturas metálicas treliçadas planas, de coberturas de indústrias com geometria retangular, submetidas às restrições de tensões e deslocamentos. As variáveis envolvidas no projeto foram: número de pórticos conectados pelas terças, alturas dos montantes extremos e centrais, número de nós das treliças e área da seção transversal das barras. Com isso, obtiveram um bom resultado: uma estrutura mais leve e que atendia os requisitos da norma.
FONSECA e NEVES (2004) apresentaram a aplicação do AG na sua forma básica, quando da otimização de estruturas treliçadas planas e espaciais, visando a validação dos resultados obtidos com os da literatura, bem como atender as restrições de tensão e deslocamento. Além de mostrar os passos da implementação computacional, investigaram o método AG através dos seguintes parâmetros: tamanho da população, taxa de cruzamento
crossover, taxa de mutação e o fator de penalização da função objetivo. Concluíram que o
método foi eficiente, obtendo uma redução de 12% da massa da estrutura.
O Algoritmo Genético ainda não é uma técnica abordada por muitos pesquisadores devido ao fato de possuir uma característica probabilística na otimização estrutural. No Brasil, é uma área de pesquisa em desenvolvimento, e vários receios estão sendo quebrados, gerando
uma grande quantidade de trabalhos que estudam, verificam e analisam todos os parâmetros característicos do método.
2.2 Método dos Elementos Finitos
Existem grandes problemas da engenharia estrutural para os quais não são conhecidas as soluções analíticas, devido à complexidade do comportamento do material, da geometria, das cargas ou condições de fronteira. Na grande maioria, recorre-se a métodos numéricos que permitem a obtenção de soluções aproximadas, entre eles, o Método dos Elementos Finitos. Tal método permite a análise dos deslocamentos e tensões de peças mecânicas, barragens, minas, estruturas em geral (torres, edifícios e coberturas), determinação da percolação, adensamento, fluxo de calor e muitas outras análises utilizadas na engenharia.
ALVES (2007) descreve o Método dos Elementos Finitos (MEF), como uma ferramenta numérica que subdivide, inicialmente, o domínio do problema (meio contínuo), em subdomínios de dimensões finitas, chamados de Elementos Finitos, de tal forma que, o conjunto dos subdomínios seja igual ao domínio original. Entretanto, para cada subdomínio isoladamente adota-se um comportamento local aproximado para as incógnitas do problema, gerando soluções aproximadas das equações diferenciais que representam o problema.
De acordo com SORIANO (2009), existem três métodos para determinação das matrizes elementares do Método dos Elementos Finitos: o método direto (foram os primeiros procedimentos empregados, baseados na interpretação física do problema, e que se limitaram a problemas simples); o método variacional ou da formulação energética (baseado em formulações integrais da mecânica do contínuo com enfoque energético); e o método residual. No presente trabalho, foi adotada a abordagem do método direto, uma vez que é o mais adotado para obter a equação carregamento-deslocamento de barras. As abordagens descritas nos itens 2.2.1 e 2.2.2 são baseadas nas deduções apresentadas por FONSECA (2002).
2.2.1 Formulação Direta do Elemento de Barra
Considere uma barra de comprimento L e área de seção transversal A, engastada e submetida à ação de uma carga axial P, conforme mostrado na Figura 8.
Figura 8 – Barra sob tração
Fonte: FONSECA (2002)
A barra é constituída de um material isotrópico, homogêneo e linear. Deseja-se estudar esta estrutura simples usando um processo de discretização, que pode ser o Método dos Elementos Finitos. Para tal, a barra da Figura 8 é modelada conforme apresentado na Figura 9, onde a mesma é subdividida em trechos denominados elementos de barra.
Figura 9 – Discretização de uma barra sob tração
Fonte: FONSECA (2002)
O elemento de barra usado tem dois nós (1 e 2), área de seção transversal A, comprimento L e dois graus de liberdade por nó ux1 e ux2 (aos quais poderiam ser associadas
forças nodais P1 e P2, respectivamente). Este elemento é mostrado na Figura 10 de duas
maneiras. A primeira apresenta o elemento da maneira como foi feita a discretização da barra sob tração (Figura 10ª), e a segunda apresenta a maneira mais comum de representar o elemento de barra de dois nós, uma vez que o comportamento da barra é representado pelo comportamento de seu eixo axial. (Figura 10b).
Figura 10 – Elemento de barra
(a) (b) Fonte: FONSECA (2002)
Considere a Figura 11, com as forças nodais aplicadas ao elemento de barra. A equação de equilíbrio de forças na direção x fornece:
𝑃2 = − 𝑃1 (2.1)
Figura 11 – Forças nodais do elemento de barra
Fonte: FONSECA (2002)
O estudo de barras sob carregamento axial realizado em Resistência dos Materiais mostra que a equação constitutiva (equação tensão – deformação), para este caso, é a lei de Hooke para tensões axiais na sua forma mais simples (unidimensional), isto é,
𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥𝑥 (2.2)
onde, σxx é tensão axial, E é módulo de elasticidade longitudinal e εxx é a deformação axial que
é dada em função do deslocamento axial սx (x) ao longo do elemento por:
𝜀𝑥𝑥 =𝑑𝑢𝑥(𝑥)
𝑑𝑥 (2.3) A equação referente à deformação-deslocamento (2.3) pode ser reescrita, considerando que a deformação εxx é constante ao longo do elemento, como:
𝜀𝑥𝑥 =∆𝐿
𝐿 (2.4)
onde, ΔL é a variação do comprimento do elemento, devido à ação das forças nodais. Utilizando os deslocamentos nodais ux1 e ux2, pode-se escrever a equação deformação-deslocamento por:
𝜀𝑥𝑥 =𝑢𝑥2− 𝑢𝑥1
Note que, para um elemento de área de seção transversal constante esta expressão é exata, o que implica que a tensão axial também é constante ao longo do elemento. Considerando o equilíbrio dos nós 1 e 2, com auxílio da Figura 12, obtém-se, respectivamente, as equações (2.6) e (2.7).
𝑃1 = − 𝐴 𝜎𝑥𝑥 (2.6) 𝑃2 = 𝐴 𝜎𝑥𝑥 (2.7)
Substituindo-se a equação (2.2) nas expressões (2.6) e (2.7), tem-se:
𝑃1 = − 𝐸𝐴 𝜀𝑥𝑥 (2.8) 𝑃2 = 𝐸𝐴 𝜀𝑥𝑥 (2.9)
Figura 12 – Equilíbrio nos nós
Fonte: FONSECA (2002)
e a subsequente substituição da equação (2.5) nas expressões obtidas acima obtem-se às seguintes equações:
𝑃1 = −𝐸 𝐴𝑢𝑥2−𝑢𝑥1
𝐿 (2.10) 𝑃2 = 𝐸 𝐴𝑢𝑥2−𝑢𝑥1
𝐿 (2.11)
Essas equações podem ser reescritas na forma matricial como: 𝐸𝐴 𝐿 [ 1 −1 −1 1 ] { 𝑢𝑥1 𝑢𝑥2} = { 𝑃1 𝑃2} (2.12)
Esta é a equação do elemento de barra, na forma da equação fundamental de elementos finitos, ou seja, a equação carregamentos-deflexões ou carregamentos-deslocamentos.
2.2.2 Transformação de Coordenadas
Na seção 2.2 foi usado o elemento de barra referenciado a um sistema de coordenadas
x coincidente com seu eixo axial. Porém, a matriz de rigidez e o vetor de carga podem ser
referenciados a um sistema de coordenadas global, não coincidente com o eixo axial do elemento de barra. Portanto, considere o elemento de barra inclinado em relação ao eixo x (ver Figura 13).
Figura 13 – Elemento de barra inclinado em relação ao eixo x
Fonte: FONSECA (2002)
Observe que a coordenada ao longo do eixo axial do elemento de barra é s e que o deslocamento ao longo do elemento de barra é dado por us, sendo us1 e us2 os deslocamentos
nodais, θ é o ângulo entre o eixo axial s e o eixo global x. A relação entre o deslocamento us ao
longo do elemento e suas componentes ux e uy nas direções x e y, respectivamente, é
𝑢𝑠 = 𝑢𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑢𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 (2.13)
Uma força axial P pode ser decomposta em componentes nas direções globais x e y como:
𝑃𝑥 = 𝑃 𝑐𝑜𝑠𝜃 (2.14) 𝑃𝑦 = 𝑃 𝑠𝑒𝑛𝜃 (2.15)
Pode-se então escrever as relações entre os deslocamentos nodais (eixo axial s) e suas componentes globais nas direções x e y como:
{𝑢𝑠1 𝑢𝑠2} = [ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 ] { 𝑢𝑥1 𝑢𝑦1 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2 } (2.16)
e entre as forças nodais e suas componentes nas direções x e y como:
{ 𝑃1𝑥 𝑃1𝑦 𝑃2𝑥 𝑃2𝑦 } = [ 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 ] {𝑃1𝑃2} (2.17)
Introduzindo as relações (2.16) e (2.17) na equação (2.12) correspondente ao elemento de barra, agora reescrita em termos de us1 e us2, ou seja,
𝐸𝐴 𝐿 [ 1 −1 −1 1 ] { 𝑢𝑠1 𝑢𝑠2} = { 𝑃1 𝑃2} (2.18) obtém-se: [ 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 ]𝐸𝐴 𝐿 [ 1 −1 −1 1 ] [ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 0 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃] { 𝑢𝑥1 𝑢𝑦1 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2 } = { 𝑃1𝑥 𝑃1𝑦 𝑃2𝑥 𝑃2𝑦} (2.19)
Após as multiplicações obtém-se:
𝐸𝐴 𝐿 [ 𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 ] { 𝑢𝑥1 𝑢𝑦1 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2 } = { 𝑃1𝑥 𝑃1𝑦 𝑃2𝑥 𝑃2𝑦} (2.20)
A equação 2.20 é usada para o elemento de barra em relação a um sistema de coordenadas global x-y que não passa pelo seu eixo axial, o qual está inclinado em relação ao eixo x de um ângulo 𝜃. Na equação (2.20), observam-se a matriz de rigidez e o vetor de carga usados para a resolução de problemas de treliças, considerando elementos de barra. Nesta equação, a matriz obtida:
Ki = 𝐸𝐴 𝐿 [ 𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 ] (2.21)
é denominada de matriz de rigidez Ki do elemento de barra em relação ao sistema de
coordenadas global. O vetor Pi:
𝑃𝑖 = { 𝑃1𝑥 𝑃1𝑦 𝑃2𝑥 𝑃2𝑦} (2.22)
é denominado de vetor de carga do elemento de barra em relação ao sistema de coordenadas global. E o vetor ui: 𝑢𝑖 = { 𝑢𝑥1 𝑢𝑦1 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2 } (2.23)
é denominado vetor de deslocamentos nodais em relação ao sistema de coordenadas global. Assim a equação (2.20) pode ser escrita de forma compacta como:
𝐾𝑖 𝑢𝑖 = 𝑃𝑖 (2.24)
2.3 Otimização de Estruturas
Os engenheiros devem sempre tomar decisões tecnológicas e gerenciais durante o desenvolvimento, execução e manutenção de um projeto de engenharia. Deve-se buscar um ótimo rendimento nas etapas do projeto, assim como criar as condições mais favoráveis, isto é, otimizar a estrutura projetada atendendo todas as solicitações e requisitos e com isso gerar um produto final que maximize o benefício desejado, tornando-o ótimo ou ideal.
CASTRO (2001) faz uma abordagem sobre a importância da otimização uma vez que envolve, acima de tudo, capital e custos – fatores decisivos para estimular a competição do mercado. Por isso, as técnicas de otimização estão sempre em demanda e são aplicadas em
alguns problemas na engenharia civil, entre eles, otimização de redes de abastecimento, dosagem de materiais, projetos de estruturas, entre outros.
Em uma abordagem matemática, os problemas de otimização possuem o objetivo de encontrar pontos de maximização ou minimização de uma função de uma ou mais variáveis pertencentes a um determinado domínio, possuindo restrições ou não. De acordo com a Figura 14, a solução x encontrada corresponde ao mínimo de f(x) e ao máximo de –f(x). A otimização pode ser definida como a relação entre uma série de variáveis que não podem mais ser melhoradas. Quando esta relação for encontrada, o resultado será ótimo.
Figura 14 – O mínimo de f(x) é o mesmo máximo de –f(x).
Fonte: GUERRA(2008)
Matematicamente, podemos expor a definição clássica de otimização por:
Encontrar X = { 𝑥1 𝑥2 … 𝑥3 } ∈ [𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑚𝑎𝑥] que minimize f(x) (3.1)
onde X é um vetor n-dimensional (vetor projeto), que possui variáveis de projetos a serem dimensionadas, pertencentes aos limites xmin = { xmin,1, xmin,2, ..., xmin,n } e xmax = { xmax,1, xmax,2, ..., xmax,n }, e a função f(x) a ser minimizada é chamada de função objetivo.
2.3.1 Classificação dos problemas de otimização em relação aos tipos de variáveis
As variáveis de projeto podem representar a propriedade mecânica ou física do material, a topologia da estrutura, a configuração geométrica da estrutura, as dimensões das seções transversais e os comprimentos dos elementos. Os problemas de otimização podem ser classificados de acordo com o grau de relação entre as variáveis tanto na função objetivo quanto nas restrições, da seguinte forma:
Contínuos: aqueles problemas em que as variáveis variam linearmente em relação à função objetivo e/ou às restrições, ou seja, admite assumir qualquer valor dentro de um intervalo, uma escala contínua;
Discretos: aqueles problemas em que as variáveis variam de forma não-linear seja na função objetivo, nas restrições ou em ambos. Estas variáveis são classificadas como discretas, assumindo valores finitos e pré-estabelecidos, na maioria das vezes, referem-se a valores disponíveis comercialmente.
2.3.2 Classificação dos problemas de otimização em relação aos tipos de restrições
Existem três tipos de restrições ou limitações impostas às variáveis de projeto, que são: restrição lateral, definidas por um intervalo (ximin ≤ xi ≤ ximax); restrição de desigualdade (gj ≤ 0; j = 1, 2, ..., m); e restrição de igualdade (lk = 0; k = 1, 2, ..., p). Os problemas de otimização
também podem ser classificados de acordo com a presença ou não de restrições, seguem abaixo: Restringidos: quando possuem restrições;
Não-restringidos: quando não possuem restrições.
2.3.3 Classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização
No campo da engenharia de estruturas, os métodos de otimização são classificados da seguinte forma:
Topológico: é o problema de otimização que busca um melhor arranjo entre os nós e posicionamentos dos elementos. Também atua retirando material da estrutura gerando uma nova topologia, ou seja, é caracterizada como uma otimização de layout;
Paramétrico: é o problema de otimização que otimiza a estrutura, isoladamente ou em conjunto, os parâmetros relacionados às características constitutivas (tipo do material,
módulo de elasticidade, entre outros) e os parâmetros geométricos (área da seção transversal, por exemplo), sem modificar a geometria inicial da estrutura;
De forma: é o problema de otimização que altera o contorno da estrutura, variando a posição de seus nós até encontrar uma solução ótima. Muitas vezes, é confundida com a otimização paramétrica.
A Figura 15 exemplifica a classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização.
Figura 15 – Classificação dos problemas de otimização em relação ao critério de otimização
(a) Topológico (b) Paramétrico (c) De forma Fonte: SOUZA (2009)
2.3.4 Classificação dos métodos de otimização
Os métodos de otimização, em geral, são classificados em duas vertentes de acordo com suas formulações matemáticas, condições de processamento e os seus resultados obtidos.
Os Métodos Determinísticos são aqueles que se baseiam em um conjunto de ações sistemáticas e uso de teoremas que geram resultados ótimos ou próximos do ideal, com uma dada precisão. Eles possuem um melhor funcionamento em variáveis de projeto contínuas, devido ao uso de pelo menos a primeira derivada da função objetivos em relação às variáveis. Em problemas, que possuem variáveis discretas, é preciso fazer um tratamento no resultado para conseguir a restrição desejada. Na Tabela 1 observa-se a organização realizada por SILVA (2001) de uma classificação geral dos principais métodos determinísticos existentes.
Os Métodos Probabilísticos são aqueles que se baseiam em análises probabilísticas das possíveis soluções do problema, ou seja, determinam apenas a probabilidade de ocorrência de um dado fenômeno a partir de conhecimento dos que antecedem. OLIVIERI (2004) aborda que esse tipo de método se baseia em técnicas que imitam fenômenos encontrados na natureza, sendo por isso denominado de Computação Natural. As ramificações deste tipo de método estão organizadas na Figura 16.
Tabela 1 – Classificação dos Principais Métodos Determinísticos
Fonte: SILVA (2001)
Figura 16 – Ramificações da Computação Natural
Fonte: OLIVIERI (2004)
Método de Fibonacci Método da Seção Áurea (Golden Section)
Método DSC-Powell Método da Bisseção Método da Secante Método de Newton Hooke e Ieeves Rosembrock Powell (Direções Conjugadas)
Nelder Derivadas 1ª Ordem Derivadas 2ª Ordem Métodos Quase-Newton Métodos de Direções Conjugadas Métodos com cálculo de
derivadas Métodos
Multidimensionais Programação
Não-Linear
Programação Quadrática Sequencial Programação
Linear Método Simplex
Método do Gradiente Projetado (Rosen) Método do Gradiente Reduzido (Wolfe)/Generalizado Programação Linear Sequencial (Método do Corte dos Planos) Métodos das Direções Viáveis Minimização com Restrição Minimização sem Restrição Pertence, segundo Vanderplaats, a uma classe
maior, correspondendo às técnicas de minimização não restringida sequêncial
(SUMT)
Método das Penalidades Método das Barreiras Método do Langrangeano Aumentado Métodos das Penalidades Métodos das Barreiras Diretas Métodos de Redução Sucessivas
de Intervalos Aproximação para Polimônios
Métodos sem cálculo de derivadas
2.4 O Problema de Otimização para Treliças
A otimização em engenharia consiste na busca de uma solução ótima ou ideal dentro das várias configurações possíveis, introduzidas pelos parâmetros de entrada, de um algoritmo genético. O analista pode avaliar e julgar se a solução imposta pelo algoritmo é ótima. Não sendo satisfatória a resposta, deverá realizar uma nova busca, introduzindo novos parâmetros iniciais. A otimização de treliças, planas ou espaciais, consiste em reduzir seu volume, massa ou peso, sujeita a restrições de áreas das barras, tensão, flambagem e deslocamento.
Matematicamente, o problema pode ser declarado da seguinte forma:
Minimizar:
F = ∑𝑛 𝜌𝑖 °𝑒𝑙𝑒𝑚
𝑖=1 Li Ai (3.2)
Sujeita às seguintes restrições:
a) Área: (Aimin ≤ Ai ≤ Aimax), com i = 1, 2, 3, ..., (nº elem) (3.3)
b) Tensão: (σi ≤ σiadm), com i = 1, 2, 3, ..., (nº elem) (3.4)
c) Deslocamento: (δj ≤ δjadm), com j = 1, 2, 3, ..., (nº nós) (3.5)
d) Flambagem: (Pi ≤ Piadm), com i = 1, 2, 3, ..., (nº elem) (3.6)
onde:
F é a função objetivo, que pode ser massa, peso (ρ = ρ’) ou volume (ρ = unitário) da treliça; ρ’ é a massa específica do material;
Li é o comprimento da barra i;
Ai é a área da seção transversal da barra i, onde os sobrescritos max e min indicam,
respectivamente, os limites de máximos e mínimos para tal variável;
σi é a tensão atuante da barra i, onde o sobrescrito adm indica o valor máximo admissível para
a tensão naquela barra;
δj é o deslocamento do nó j, e o sobrescrito adm indica o valor máximo admissível para esta
variável;
Pi é a carga de flambagem atuante na barra i, devendo ser menor que o valor da carga crítica de
Euler daquela barra, indica por Picrit.
Vale ressaltar que, neste trabalho, a função objetivo foi definida como a minimização dos volumes das treliças estudadas.
2.5 Vantagens e Desvantagens dos Algoritmos Genéticos
Os clássicos métodos de otimização são iniciados por uma solução básica, também chamado de único candidato, e pelo cálculo de derivadas, onde se determina para qual direção deve-se caminhar na busca do próximo candidato. Segundo GOLDBERG (1989), a diferança básica que torna os Algoritmos Genéticos uma classe de métodos muito vérsatil e robusta, é que trabalham com um conjunto de parâmetros codificados e não diretamente com estes parâmetros, fazem busca sobre um conjunto de indivíduos da população e não sobre simples indivíduos. Além disso, usam uma função objetivo e não gradientes como fonte de informação para procura, e suas regras de transição são probabilísticas.
As vantagens dos AG’s quando relacionados aos modelos clássicos de otimização são: São robustos e sua aplicabilidade engloba uma grande diversidade de categorias de
problemas;
Não solicitam conhecimentos ou informações dos gradientes da superfície definida pela função objetivo;
Descontinuidades ou complexidades presentes na superfície da função objetivo geram pouco ou nenhum efeito no desempenho de busca;
Devido aos operadores genéticos serem probabilísticos, são menos suscetíveis a se prenderem a ótimos locais;
São de fácil implementação numérica e proporcionam maior flexibilidade no tratamento do problema.
Dentre as desvantagens e os casos em que o Algoritmo Genético não deve ser aplicado, temos as seguintes observações:
Pode convergir o problema em um ótimo local, de forma prematura, caso não seja adequadamente configurado;
No processo de busca, pode requerer um grande número de avaliações da função aptidão;
A escolha dos operadores e valores para as configurações ideais podem complicar a resolução do problema.
2.6 Algoritmos Genéticos
O Algoritmo Genético (AG) é um conjunto de técnicas de busca projetadas para trabalhar de forma eficiente, objetivando varrer espaços de procura e encontrar uma solução ótima ou quase ótima. Esta deve atender determinados critérios e condições pré-estabelecidas, visto que, valores diferentes do ótimo gerariam soluções de desempenho menor.
GUERRA (2008) explica que o AG funciona a partir de uma população de indivíduos, cada um com valor de adaptabilidade associado, chamado aptidão. A partir de operações genéticas, por exemplo, mutações e cruzamento, os indivíduos se desenvolvem, originando novas gerações de indivíduos. Todo esse procedimento está de acordo com os princípios darwinianos de reprodução e da sobrevivência dos mais aptos (Seleção Natural). Cada indivíduo na população representa uma possível solução potencial para um dado problema. A função do AG é procurar a melhor solução para o problema, analisado através da criação de novas populações cada vez mais aptas, levando à otimização da função objetivo de interesse.
Segundo GOLDBERG (1989) abordou a representação abstrada no eixo das abscissas os problemas cujas soluções podem ser obtidas por AG e no eixo das ordenadas suas repectivas eficiências, pode-se determinar as curvas indicativas da Aplicabilidade x Eficiência dos métodos disponíveis atualmente. Na Figura 17, podemos distinguir três tipos extremos de métodos:
Figura 17 – Aplicabilidade em Problemas x Eficiência de Resolução dos Métodos
Fonte: GOLDBERG (1989)
a) Método 1 – pouca eficiência para a totalidade dos problemas existentes;
b) Método 2 – altamente eficiente para uma pequena faixa de problemas. Entretanto, pouco eficiente ou nem aplicáveis para a maior parte deles;
Dessa forma, os algortimos genéticos se aproximam da terceira classe de métodos, não sendo mais eficientes que aqueles projetados especificamente para determinado problema. Entretanto, pertubações no problema original trariam poucos ou quase nenhum prejuízo aos AG’s, implicando a inutilidade dos outros métodos. Isso explica porque o Algoritmo Genético é mais utilizado entre os Algoritmos Evolucionários, que usam o mesmo princípio da Seleção Natural, um dos conceitos da Genética Natural.
Os AG’s possuem analogia aos princípios da genética. Por isso, é corriqueiro o uso de termos da Biologia nos trabalhos sobre a utilização dos Algoritmos Genéticos, por exemplo, gene, cromossomo, indivíduo, mutação e entre outros. Na Figura 18 é mostrado a correspondência entre a genética natural e um algoritmo genético:
Figura 18 – Correspondência entre a Genética e o AG.
Fonte: LIMA (2011)
Para o funcionamento do Algoritmo Genético são utilizadas regras probabilísticas para encontrar a solução, evitando a preocupação com as funções descontínuas e as funções deriváveis ou não, diferentemente dos outros métodos de otimização que possuem regras determinísticas. De acordo com ZUBEN (2004), apesar do AG ser classificado um método não-determinístico, não se perfaz como simplesmente aleatório. Nesse sentido,
Algoritmos Genéticos constituem, assim, uma classe de métodos de busca de propósito geral que apresentam um balanço notável entre aproveitamento de melhores soluções e exploração do espaço de busca. Embora apresentem etapas não-determinísticas em seu desenvolvimento, os algoritmos genéticos não são métodos de busca puramente aleatórios, pois combinam variações aleatórias com seleção, polarizada pelos valores de adequação (fitness) atribuídos a cada indivíduo. (...) O processo de busca é, portanto, multi-direcional, através da manutenção de soluções candidatas, e encorajando a troca de informação entre as direções. (ZUBEN, 2004, pág. 11).
2.6.1 Esquema dos Algoritmos Genéticos
O Algoritmo Genético é iniciado com uma população de cromossomos. A cada geração, estes são avaliados, e depois, é realizada uma seleção dos pais para gerar novos cromossomos. Após isso, são aplicados os operadores genéticos de recombinação (crossover) e mutação aos indivíduos escolhidos para pais, formando uma nova geração. A antiga geração de pais é apagada e os novos cromossomos são analisados e inseridos na população. Caso os critérios de parada sejam satisfeitos, seja pelo número de gerações ou por convergência ou ainda por qualidade da solução, então obtém-se a função objetivo. Se não forem satisfeitos, selecionam-se os pais e novos cromossomos são gerados, repetindo o algoritmo até que o critério de parada seja satisfeito. Na Figura 19 é mostrado o esquema do Algoritmo Genético:
Figura 19 – Esquema do Algoritmo Genético
Fonte: GUERRA(2008)
2.6.2 Parâmetros de Influência e Configurações
O desempenho do Algoritmo Genético depende, na sua grande totalidade, de uma adequada configuração inicial de seus parâmetros. A eficiência e funcionamento do AG possue grande importância para resolução do problema estudado, por isso, os parâmetros básicos são descritos a seguir:
2.6.2.1 Tamanho da População – N
Fazendo uma analogia com a genética, o gene pode ser considerado uma variável, por esta possuir característica inerente ao problema. Portanto, um conjunto de variáveis constitui um cromossomo, que pode vir caracterizar um indivíduo, quando agrupado a outros. A Figura 20 representa um cromossomo, conforme a seguir:
Figura 20 – Representação de um cromossomo
Fonte: LIMA (2011)
O tamanho da população (N) indica o número de cromossomos em cada população, normalmente constante durante a evolução, e sua principal influência está relacionada com o desempenho global e eficiência do AG. Ao determinar um grande número para a população, amplia-se o espaço de busca, assim gerando uma maior diversidade de soluções potenciais e previnindo convergências prematuras para uma solução local. Porém, quanto maior o tamanho da população maior será a quantidade de avaliações realizadas da função de aptidão, algo dispendioso em termos computacionais, pois precisa-se de maiores recursos, o que nem sempre é disponível, e um maior tempo de processamento, o que pode ser bastante inconveniente dependendo da complexidade do problema.
Por sua vez, determinar uma pequena população, faz com que, o desempenho do AG seja diminuído, devido ao domínio do problema não ser tão representativo quanto a de uma população grande. CASTRO (2001) aborda que quanto maior o tamanho do cromossomo, maior deverá ser o tamanho da população para uma diversidade razoável. Além disso, sugere, como referência, uma população entre 10 a 100 cromossomos, podendo variar de acordo com a natureza do problema e com a estrutura do algoritmo genético implementado.
2.6.2.2 Função Aptidão
A função aptidão (fitness) que caracteriza cada problema estudado, mede a adaptação do indivíduo, ou seja, a qualidade da solução para um certo problema. Fazendo uma analogia a Genética, afere a capacidade do indivíduo sobreviver para a próxima geração. Portanto, a função aptidão representa o genótipo do indivíduo, que será decodificado para descobrir o fenótipo associado.
O funcionamento da função aptidão é demostrado na Figura 21:
Figura 21 – Representação da Função Aptidão
Fonte: LIMA (2011)
2.6.2.3 Método de Penalização
Os Algoritmos Genéticos são classificados como métodos de otimização sem restrições. Para introduzir restrições ao problema estudado, necessita-se do método de penalização, que consiste em penalizar a função de aptidão acrescentando ou removendo a ela um determinado valor para cada restrição não obedecida. Esta penalização é definida por uma função auxiliar, que quando se torna parte da função aptidão, transforma um problema de otimização sem restrições em um problema de otimização com restrições.
2.6.2.4 Seleção
É através da Seleção, um dos principais parâmetros do AG, que são escolhidos os indivíduos que irão se reproduzir e, conseqüentemente, transmitir os seus genes para a próxima geração. Existem três mecanismos de seleção:
a) Por amostragem direta: Os indivíduos são selecionados para reprodução segundo algum critério específico;
b) Por amostragem aleatória: Todos os indivíduos possuem a mesma chance de serem selecionados para a reprodução;
c) Por amostragem estocástica: O indivíduos são selecionados por uma probabilidade proporcional ao seu grau de aptidão. Existem três métodos, mais utilizados, de seleção estocásticos. São eles:
- Seleção por roleta: consiste em dar para cada indivíduo chances de seleção proporcionais a sua aptidão. Assim, os indivíduos mais bem adaptados terão maiores chances de serem escolhidos. Porém, este método possui algumas falhas, entre elas: se a população inicial possuir um ou poucos indivíduos com valor de aptidão bom, que não seja o melhor, estes dominaram a população, tornando-a homogênea e convergindo o algoritmo para o mínimo local; caso a população inicial possua muitos indivíduos parecidos, será muito difícil a população evoluir, pois cada vez mais, ela ficará homogênea;
- Seleção baseada em classificação: este método, inicialmente, classifica os indivíduos de acordo com seu valor de aptidão; posteriormente essa classificação definirá a probabilidade de seleção, ou seja, selecionará os indivíduos proporcionalmente a sua classificação no “ranking” de aptidão da população;
-Seleção por torneio: consiste em dividir a população em subgrupos, possuindo dois ou mais indivíduos. Os melhores de cada subgrupo são selecionados para reprodução, assim, não precisando se basear numa informação global da população.
2.6.2.5 Taxa ou Probabilidade de Cruzamento - Pc
No cruzamento ocorre a troca de informações entre os indivíduos a fim de gerar um conjunto de descendentes. Os autores costumam classificar as formas de cruzamento em:
a) Cruzamento Uniponto: é realizado a partir de um ponto pré-determinado, em seguida, ocorre a troca de informações. Funciona da seguinte forma: O cromossomo A e o cromossomo B são genitores que realizaram um cruzamento uniponto, conforme Figura 22. Com isso, fixa-se um ponto (fixo ou não ao longo do programa), onde a partir dele, os cromossomos em contato irão se dividir e trocar informações. No final, do cruzamento, terão gerado novos descendentes, conforme Figura 23;
Figura 22 – Cruzamento Uniponto (Genitores)
Fonte: LIMA (2011)
Figura 23 – Cruzamento Uniponto (Descendentes)
Fonte: LIMA (2011)
b) Cruzamento Multiponto: possui o mesmo fundamento do uniponto, entretanto, aplicado em várias posições do cromossomo;
c) Cruzamento Uniforme: através de um parâmetro global, determina a probabilidade de cada ponto do cromossomo ser trocado.
O parâmetro Pc indica com qual taxa irá ocorrer o cruzamento entre indivíduos
selecionados na população. Se ela for alta, mais rápido é introduzido novas estruturas na população, entretanto, se for demasiadamente alta, ocorre perdas de estruturas com alta aptidão, devido a retirada destas, precocemente, da população. Porém, se a taxa for baixa, torna-se lenta a convergência do algoritmo. Geralmente, a taxa de cruzamento varia entre 0.5 (50%) e 0.95 (95%).
2.6.2.6 Taxa ou Probabilidade de Mutação – Pm
A taxa de mutação é definida com a probabilidade com que haverá a mutação de cromossomos nas populações ao longo da evolução.
A mutação é empregada para introduzir na população indivíduos com características novas, que antes não existiam. Se essa característica for boa para melhorar a aptidão do indivíduo, esta se multiplicará entre os demais nas futuras gerações, ou seja, aumentando a
diversidade populacional. Além disso, há prevenção de que as populações se tornem homogêneas e a possibilidade de uma maior varredura no espaço de busca.
De acordo com CASTRO (2001), uma taxa muito alta, merece uma atenção, pois torna o critério de busca essencialmente aleatório. Ele sugere que seja definida de acordo com o tamanho do cromossomo, da população e a natureza da aplicação. Geralmente, utiliza-se valores entre 0.001 (0.1%) e 0.1 (10%).
2.6.2.7 Elitismo
O elitismo tem o objetivo de selecionar o melhor ou os melhores indivíduos de uma geração e automaticamente introduzi-los na geração seguinte, sem que aconteça o cruzamento. Assim, o algoritmo pode evitar que um resultado que seja muito bom seja perdido ou piorado.
3 METODOLOGIA
Nesse item, serão descritos todos os procedimentos utilizados, entre eles, os aspectos relacionados à implementação computacional, explorando o funcionamento e os recursos disponíveis para a análise estrutural e otimização de estruturas treliçadas via Algoritmos Genéticos. Este método de otimização encontra-se implementado no toolbox do MATLAB.
O código computacional do programa de otimização de treliças planas, criado pelo grupo de pesquisa do LECOM, passou por um processo de modificação durante o desenvolvimento dos estudos. MARTINS (2011), em seu trabalho de conclusão de curso, desenvolveu um programa computacional de otimização de treliças, utilizando o MEF para análise estrutural e, para otimização, o algoritmo de programação linear existente no MATLAB. No programa desenvolvido minimiza-se o peso da estrutura, utilizando como variáveis de projeto as seções transversais das barras, sob restrições de tensão, flexibilidade e flambagem local. Devido, aos avanços dos estudos, no emprego do Algoritmo Genético para otimização de estruturas, SELEGIN (2012), em seu projeto de pesquisa, modificou o algoritmo desenvolvido por MARTINS (2011), utilizando o mesmo método para análise estrutural, porém, no processo de otimização foi empregado o método do AG, estudando a influência dos parâmetros do algoritmo na eficiência deste. O programa desenvolvido possui a mesma função objetivo, entretanto, a mesma está submetida a restrição de tensão e deslocamento. Com relação, a última restrição, foi implementada apenas para um exemplo analisado, pois para implantação desta restrição em termos gerais, necessitariam de modificações computacionais mais significativas. Para atingir o objetivo inicial deste trabalho, que consiste em modificar o código computacional desenvolvido pelos alunos anteriores, melhorando seu desempenho, foram executadas as seguintes etapas:
a) Estudo e compreensão, dos fundamentos do Método dos Elementos Finitos (MEF) e sua aplicação na análise de estruturas;
b) Estudo e compreensão, do funcionamento dos Algoritmos Genéticos (AG) como técnica de otimização;
c) Compreensão das funções de Algoritmo Genético embutidas no MATLAB, através dos manuais fornecidos pelo software e de literatura específica;
d) Estudo e compreensão da metodologia do algoritmo de otimização de treliças planas, em desenvolvimento pelo grupo de pesquisa do LECOM.
Em sequência, iniciou-se o processo de desenvolvimento e modificação do algoritmo principal, implementado no programa MATLAB, o qual possui uma linguagem de alto nível e
