Otimização Multiobjetivo 1 Conceituação Básica

Problemas de otimização multiobjetivo envolvem dois ou mais objetivos, normalmente conflitantes, que devem ser otimizados. Diferente da otimização mono- objetivo, onde existe uma única solução para o problema, nos problemas de otimização multiobjetivo, há um conjunto de soluções que são encontradas através de um pareto ótimo teórico (EHRGOTT, 2005). Cada uma dessas soluções representa um compromisso entre os objetivos do problema. Neste caso, o tomador de decisão tem o papel de selecionar uma solução de compromisso sobre as outras no espaço multiobjetivo. De forma mais precisa, os problemas multiobjetivos são problemas onde o objetivo é otimizar n funções objetivo simultaneamente.

De acordo com (OSYCZKA, 1985), o problema de otimização multiobjetivo pode ser definido como “um problema de encontrar um vetor de variáveis de decisão que satisfaça restrições e otimize uma função vetor cujos elementos representam as funções objetivo. Essas funções formam uma descrição matemática do critério de

desempenho que são usualmente conflitantes entre si. Daí, o termo otimizar significa encontrar uma solução deste tipo que poderia dar os valores aceitáveis de todas as funções objetivo para o tomador de decisão”.

Devido a sua natureza, os problemas multiobjetivo tendem a ser mais complexos do que os problemas mono-objetivo. As abordagens para resolução de problemas multiobjetivo incluem: a inserção de preferências a posteriori, onde se busca encontrar o maior número de soluções possível, para, em seguida, selecionar a mais adequada; a inserção de preferências a priori, utilizado quando já se tem previamente alguma informação sobre o tipo de solução mais adequada ao problema, sendo a busca direcionada para encontrar este tipo de solução; e a inserção progressiva de preferências, onde é feito um direcionamento da busca, durante a execução, para regiões que contenham soluções mais adequadas (COELLO, LAMONT e VELDHUIZEN, 2007).

Algoritmos empregados para solução de problemas multiobjetivo podem ser classificados em algoritmos clássicos e algoritmos evolutivos. Os algoritmos clássicos modificam o problema de otimização multiobjetivo e aplicam ferramentas tradicionais de otimização, entre esses métodos pode-se citar a soma ponderada e a ε-restrição (HAIMES, LASDON e WISMER, 1971). Entre as desvantagens das técnicas clássicas, pode-se citar o fato destas serem capazes de encontrar apenas uma única solução a cada execução, sendo necessária sua execução N vezes, com conjuntos distintos de parâmetros, para obterem N soluções diferentes; nem sempre conseguem uma cobertura uniforme da fronteira do pareto; nem todas as possíveis soluções podem ser encontradas por alguns métodos e; geralmente, necessitam de algum conhecimento prévio sobre o problema.

Já os algoritmos evolutivos trabalham simultaneamente com múltiplas soluções, permitindo a manutenção de múltiplas soluções na população que podem ser obtidas em uma única execução e, são menos susceptíveis as características da fronteira de pareto (COELLO, 2005).

Independente da técnica de solução empregada, alguns conceitos básicos são comuns à maioria destas estratégias. Esses conceitos são descritos a seguir.

Dominância: Para quaisquer duas soluções A e B, diz-se que A domina B se A é, ao menos, igual a B em todos os objetivos, e é estritamente melhor em, pelo menos, um objetivo. Representando-se as funções objetivo (f) das soluções como um vetor n

dimensional e usando-se o símbolo para indicar dominância, pode-se definir A B formalmente como:

A B { } { } _(2-9)

Solução pareto-ótima ou solução não dominada: Uma solução A é dita pareto-ótima se não há, no conjunto de soluções factíveis X, qualquer outra solução B, tal que B domine A.

Conjunto pareto-ótimo : O conjunto pareto ótimo P é definido como:

{ B A} _(2-10)

Frente: É um conjunto de soluções de mesmo nível de dominância que compõem um pareto. As soluções de uma frente são equivalentes entre si. As soluções a, b e c da Figura 17 são equivalentes e constituem a frente F1.

Figura 17. Frente pareto

Elitismo: conceito em que as melhores soluções encontradas em cada iteração do algoritmo são preservadas para a próxima iteração, garantindo assim, que as melhores soluções encontradas não sejam perdidas.

Arquivo externo: Local onde se armazenam as melhores soluções encontradas ao longo das iterações do algoritmo.

Função de aptidão: função utilizada para medir o grau de aptidão das soluções encontradas, ou seja, é a função que mede a qualidade da solução encontrada.

2.3.2. Métricas de Avaliação de desempenho

Diversas métricas de avaliação de desempenho de algoritmos multiobjetivos têm sido propostas na literatura, entretanto, a comparação desses algoritmos não é uma

f1 f2 F1 a b c

tarefa trivial (DEB, 2001) (ZITZLER, DEB e THIELE, 2000). Para que as avaliações dos algoritmos seja completa, devem ser considerados, sobretudo, aspectos de convergência e diversidade.

Neste trabalho serão utilizadas quatro métricas de avaliação: cardinalidade (HANSEN e JASZKIEWICZ, 1998), distância média (HANSEN e JASZKIEWICZ, 1998), distância máxima (CZYZZAK e JASZKIEWICZ, 1998) e hipervolume (KNOWLES e CORNE, 2002). Para as comparações, a qualidade do conjunto de pontos não dominados obtidos por um algoritmo (do conjunto de soluções obtidas a partir de múltiplas execuções do algoritmo, extrai-se o subconjunto de soluções que não são dominados por quaisquer outras soluções) é avaliada com relação ao conjunto constituído por todos os pontos não dominados em todos os experimentos realizados. Este conjunto é denominado conjunto de pontos de referência R. As subseções seguintes ilustram as métricas empregadas.

2.3.2.1.

Métrica de Cardinalidade

A métrica de cardinalidade C1R definida na equação (2-11) mensura a

quantidade de soluções não-dominadas (gerados por um algoritmo A) presentes no conjunto de referência.

(2-11)

Desta forma, se C1R(A) = 100, significa que todas as soluções do conjunto de

referência R estão em A, por outro lado, se C1R(A) = 0, significa que nenhuma solução

de R está em A.

A principal desvantagem dessa métrica é que ela não avalia a distribuição das soluções do conjunto em relação ao conjunto R, da mesma forma, não é possível avaliar a proximidade de um conjunto de soluções em relação ao conjunto de referência.

2.3.2.2.

Métricas de Distância

Como métricas de distância, neste trabalho, estão sendo utilizadas as métricas D1R e Dmax. As métricas de distância avaliam quão próximo um conjunto de soluções

não dominadas A está do conjunto de referência. As métricas estão definidas nas equações (2-12) e (2-13), especificamente, a métrica D1R informa sobre a distância

média de s R para a solução mais próxima em A, enquanto a distância máxima informa sobre o pior caso.

∑ { { }}

(2-12)

{ { }}

(2-13) Para N objetivos, a distância d(s,s’) é a distância Euclidiana calculada como definido na equação (2-14), onde fi(s) (ou fi(s’)) é a i-ésima função objetivo da solução

s(ou s’):

√∑{ }

(2-14)

2.3.2.3.

Métrica de hipervolume

O hipervolume avalia a distribuição do conjunto de soluções em relação ao espaço de busca (KNOWLES e CORNE, 2002). O hipervolume H(A) de um conjunto de soluções A mede a área coberta ou dominada pelo conjunto A. A métrica diferença de hipervolume denota a área do espaço de objetivos de um conjunto de soluções A que é fracamente dominada pela área do espaço de objetivos do conjunto de referência R. O valor de é calculado de acordo com a equação (2-15).

(2-15)

Assim, se , significa que o conjunto A é igual ao conjunto de referência. Como H(R) > H(A), menores valores de implicam em melhor qualidade do conjunto A.