Otimiza¸c˜ ao de testemunhas e PSD - Testemunhas de emaranhamento

3.4 Testemunhas de emaranhamento

3.4.1 Otimiza¸c˜ ao de testemunhas e PSD

Apesar de existir a possibilidade de se definir, ou mesmo otimizar, uma testemunha de emaranhamento para detectar um estado ρ ou uma classe de estados, a defini¸cão de uma testemunha de emaranhamento é uma tarefa complicada, assim como a sua otimiza¸cão. Tratando esse problema de um ponto de vista computacional, a defini¸cão de uma testemunha de emaranhamento para um estado ρ é um problema da classe N P -duro, assim como a fatora¸cão em números primos [117].

Um critério de separabilidade necessário e suficiente, no regime assintótico, foi proposto por Brandão e Viana [94]. Esse método faz uso de programa¸cão semi-definida (P SD), que pode ser eficientemente executada em computadores clássicos. Basicamente, a ideia é se obter um operador W que minimize um funcional linear definido com rela¸cão a um estado ρ, sob a condi¸cão de ser não-negativo para todos os estados separáveis. Basicamente, a testemunha de emaranhamento W , ótima com rela¸cão ao estado ρ(1...n), em um espa¸co de Hilbert-Schmidt

H1⊗...⊗Hn−1´e obtida como a solu¸c˜ao do seguinte P SDR, ou programa semi-definido robusto:

minimize T r(W ρ1...n) sujeito a dn X i1=1 dn X j1=1 ... dn X in−1=1 dn X jn−1=1 a∗_i 1... a ∗ in−1aj1... ajn−1 (3.26)

92 3 Pseudo-emaranhamento e sua detec¸c˜ao por RMN

Figura 3.8: Porcentagem de resultados errados com o tamanho da amostragem (N ), para sistemas 2 ⊗ 2 (linha pontilhada) e 2 ⊗ 3 (linha s´olida). Original em [94].

Wi1...in−1j1...jn−1 ≥ 0

T r(W ) = 1, ∀aik ∈ C, 1 ≤ k ≤ n − 1

em que dn é a dimensão de Hn, Wi1...in−1j1...jn−1 = 1hi| ⊗ ... ⊗n−1hi|W |jin−1⊗ ... ⊗ |ji1 e |jik é

uma base ortonormal de Hk.

Em geral P SDR’s da forma acima são problemas de otimiza¸cão que não são tratáveis em um computador clássico, sendo da classe de complexidade N P -duro [118]. No entanto, esse problema pode ser relaxado e tratato de forma determin´ıstica ou probabil´ıstica, sendo mapeado em um programa semi-definido (P SD), que é eficientemente resolvido em um computador clássico.

A relaxa¸cão desse problema é feita tratando-se a defini¸cão da testemunha de emaranhamento de forma probabil´ıstica, definindo um conjunto de N amostras aij, que determina a priori a probabilidade de um estado qualquer ser emaranhado ou não. À medida que N aumenta, a probabilidade de acerto sobre a separabilidade ou não do estado aumenta de forma a tender `

a unidade para N suficientemente grande [94]. Dessa forma, o P SD definido a partir da relaxa¸cão do P SDR dado em (3.26) fornece um critério de separabilidade suficiente no caso geral e assintoticamente necessário. Ou seja, pode-se determinar com precisão e probabilidade arbitrárias, se um estado qualquer é separável ou não. A porcentagem de conclusões erradas sobre a separabilidade, para o caso de um sistema 2 ⊗ 2 ou 2 ⊗ 3, de um estado com o número de amostras usado no P SD é mostrado na Figura 3.8. Fica claro na Figura que, para N > 500, a porcentagem de conclusões erradas é quase nula.

Cap´ıtulo 4

Resultado I: implementa¸c˜ao de uma

testemunha de emaranhamento de

RMN

Nesse Cap´ıtulo trataremos do primeiro resultado dessa tese, ligado à deteçcão do pseudo- emaramento em estados pseudo-puros [32]. Nesse trabalho, foi feita uma análise experimental da deteçcão de pseudo-emaranhamento em um sistema de dois q-bits, dados pelos spins dos núcleos de 1_{H e} 13_{C na mol´}_{ecula de clorof´}_{ormio, por uma testemunha de emaranhamento}

definida a partir do protocolo de codifica¸cão superdensa, proposta em [119]. A deteçcão de pseudo-emaranhamento por essa testemunha é analisada para os estados Bell-diagonais. Além disso, definimos testemunhas de emaranhamento W , ótimas para os estados Bell-diagonal, a partir do método de otimiza¸cão da Se¸cão 3.4.1 para cada um dos estados de Bell. Por fim, a deteçcão de pseudo-emaranhamento por F e W na relaxa¸cão do estado |φ−i é comparada.

4.1 Teoria

Recentemente, uma proposta para uma testemunha de emaranhamento foi feita no contexto do processamento de informa¸cão quântica por RMN [119] a partir do protocolo de codifica¸cão superdensa, que foi implementado com sucesso em RMN por [107] (veja a Se¸cão 3.2.3 do Cap´ıtulo anterior). O circuito para a codifica¸cão superdensa é dado na Figura 4.1. Para um estado puro o circuito transmite dois bits de informa¸cão clássica com apenas um q-bit transmitido.

Como em RMN temos misturas estat´ısticas, a análise do protocolo de codifica¸cão superdensa para estados mistos se faz necessária. O estado de equil´ıbrio de um sistema de RMN contendo

94 4 Implementa¸c˜ao de uma testemunha de emaranhamento de RMN

Figura 4.1: Circuito quântico para a codifica¸cão superdensa. Na primeira parte do circuito, o estado de entrada |00i é transformado no estado do gato, |φ+i. Após, o operador de ”mensagem”é aplicado, levando |φ+_{i em um dos quatro estados da base de Bell. A parte final do}

circuito indica a medida na base de Bell. dois q-bits pode ser escrito na forma

ρ = (pI|0ih0| + qI|1ih1|) ⊗ (pS|0ih0| + qS|1ih1|), (4.1)

em que pi = 1 + i 2 , qi = 1 − i 2 , (4.2)

e os ´ındices I e S indicam cada um dos spins nucleares usados como q-bits. O parˆametro i ´e

a rela¸cão entre as energias magnetica e térmica e é tipicamente ≈ 10−5, como visto na Se¸cão 2.4.

Aplicando uma porta EPR (primeira parte do circuito na Figura 4.1) a esse estado, a sa´ıda ser´a um estado Bell-diagonal:

ρ1 = pIpS|φ+ihφ+| + pIqS|ψ+ihψ+|

+ pSqI|φ−ihφ−| + pIpS|ψ−ihψ−|, (4.3)

em que |φ+_{i, |ψ}+_{i, |φ}−_{i e |ψ}−_{i s˜}_{ao os estados da base de Bell.}

As magnetiza¸cões são medidas ao fim do circuito e são proporcionais à polariza¸cão estado, , e são dadas por

hZIi = (−1)zI, hZSi = (−1)xS. (4.4)

Se as variáveis x e z, a mensagem codificada, são conhecidas. a implementa¸cão da codifica¸cão superdensa por RMN é bem sucedida.

A condi¸cão estat´ıstica para o sucesso da implementa¸cão por RMN desse protocolo e a condi¸cão para o emaranhamento dos estados Bell-diagonais são a mesma, dada por [119]:

pIpS >

95 Essa equa¸c˜ao pode ser usada para definirmos uma testemunha de emaranhamento como F = 1/2 − pIpS. Usando as express˜oes para as probabilidades e para pi e qi, temos

F = 1 2 −

4(1 + | hZIi |)(1 + | hZSi |). (4.6) As medidas das magnetiza¸c˜oes ZI e ZS ao fim do circuito s˜ao equivalentes a medidas de ρ1

(veja a Figura 4.1) na base de Bell, j´a que

hZIi = T r(ρf(ZI⊗ 1S) = T r(ρ1(XI⊗ XS) ≡ hW1i , (4.7)

hZSi = T r(ρf(1I⊗ ZS) = T r(ρ1(ZI⊗ ZS) ≡ hW2i , (4.8)

o que nos leva a:

F = 1 2−

4(1 + | hW1i |)(1 + | hW2i |). (4.9) Essa equa¸cão mostra explicitamente que F é uma medida de correla¸cões entre os dois q-bits.

No documento Construção de uma testemunha de emaranhamento para experimentos de RMN e implementação da versão quântica do experimento de escolha retardada (páginas 91-95)