Outros contemporâneos de Poincaré

Em 1896, o matemático François Félix Tisserand (1845-1896), no prefácio do quarto volume de Traité de Mécanique Celeste, afirmou que seria impossível redigir um tratado sem falar das belas pesquisas de Poincaré sobre o problema dos três corpos. Por isso, um capítulo de seu livro é destinado a ele.

Tisserand inicia o capítulo dedicado aos trabalhos de Poincaré sobre o problema dos três corpos dizendo que a solução rigorosa de tal questão não estava mais avançada que na época de Lagrange. Além disso, ele destacou que os trabalhos de Poincaré trouxeram uma renovação em tal estudo, em primeiro lugar, graças ao conhecimento das soluções periódicas e, em segundo lugar, à demonstração rigorosa do importante fato que as séries utilizadas nos métodos de aproximação para as coordenadas dos três corpos não são absolutamente convergentes, fato que não impede, no entanto, de serem utilizadas pelos astrônomos.

Ele ainda observou que essas descobertas, acompanhadas de outros resultados importantes, estão presentes na memória Sur le Problème des trois corps et les équations de

la Dynamique,que foi estendida em Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, sendo

os dois primeiros volumes já publicados. Em seguida, Tisserand reproduziu o trabalho de Poincaré publicado em 1891, onde Poincaré resumiu sua memória vencedora do prêmio do rei Oscar II. Depois da transcrição desse trabalho, Tisserand afirma que ele dá uma boa ideia da profundidade e originalidade do autor.

Apesar das tentativas para encobrir o erro cometido por Poincaré, alguns matemáticos estavam cientes de tal fato. Moulton, em 1912, defendeu o prêmio dado a Poincaré:

Tem sido observado algumas vezes, recentemente, que a memória de Poincaré sobre o problema dos três corpos, que foi vencedor do prêmio de rei Oscar II, continha um erro, e que o artigo publicado diferia do primeiro originalmente submetido. Infelizmente e erroneamente, a impressão que tem sido deixada em algumas declarações é de que a primeira investigação estava bastante errada e era de pouco valor. A memória original continha um erro que foi descoberto por Phragmén, de Estocolmo, mas isso afetou somente a discussão da existência de soluções assintóticas e, corrigindo essa parte, Poincaré não tentou ocultar os fatos, e confessou completamente seus agradecimentos a Phragmén. Embora o erro tenha sido inoportuno, não existe a menor dúvida de que, apesar disso, e mesmo se ele tivesse sido reconhecido a tempo, o prêmio foi corretamente lhe outorgado. Se todas as partes afetadas pelo erro são omitidas, a memória ainda permanece igual em originalidade, em resultados obtidos e na extensão de uma valiosa especialidade aberta, e que é difícil de ser encontrada em outro lugar. Existem poucos homens, mesmo de alta reputação, que tenham produzido, em toda vida, algo mais novo e valioso do que aquilo que foi corrigido na investigação original submetida por Poincaré. (Goroff, 1993, p. I13,

tradução nossa).

Em 1902, Moulton73 já ressaltava a importância dos métodos utilizados por Poincaré:

O próximo importante avanço foi feito por Poincaré que, em uma memória no Bulletin Astronomique, vol. I, provou que quando massas de dois dos

73

corpos são pequenas comparadas ao terceiro, existe um número infinito de conjuntos de condições iniciais para os quais o movimento é periódico. Essas idéias forma elaboradas e os resultados forma estendidos em uma memória coroada com o prêmio oferecido pelo falecido rei Oscar da Suécia. Essa memória apareceu na Acta Mathematica, vol. XIII. Os métodos empregados por Poincaré são incomparavelmente mais profundos e poderosos que qualquer anteriormente utilizado na mecânica celeste, e marca uma época no desenvolvimento da ciência. (Moulton, 1914, p. 320,

tradução nossa).

Após a morte de Poincaré, em 1912, a descoberta de soluções homoclínicas passou por um breve período de esquecimento. Durante a primeira metade do séc. XX, poucos matemáticos se dedicaram ao estudo das propriedades qualitativas de sistemas de equações diferenciais.

A análise qualitativa na teoria de equações diferenciais influenciou também trabalhos de Jacques Hadamard. Sobre a importância da análise qualitativa iniciada por Poincaré, Hadamard afirmou:

A mais importante delas [questões da astronomia] é bem conhecida, e seu exemplo representa ele mesmo todo espírito da astronomia: é a estabilidade do sistema solar. O simples fato de essa questão ser essencialmente qualitativa é suficiente para mostrar a necessidade de seu [Poincaré] ponto de vista. (Hadamard, 1912, p. 240, tradução nossa).

Sobre a importância do uso de soluções periódicas, ele disse:

A honra de ter pesquisado especialmente, entre todas as soluções de equações diferenciais do movimento dos planetas, uma solução periódica, aquela, dita de outra forma, em que os diferentes corpos móveis descrevem curvas fechadas (pelo menos em relação a um sistema de eixos convenientemente escolhidos)-é devida ao astrônomo Hill, que deu um primeiro exemplo notável a esse respeito, no que concerne ao problema dos três corpos. Mas foi Poincaré que mostrou que as soluções periódicas são um instrumento, um dos mais potentes de que dispomos, para a pesquisa e estudo de outras soluções. (Hadamard, 1921, p. 249, tradução nossa)

O estudo qualitativo de equações diferenciais, introduzido por Poincaré, é o marco inicial na Teoria dos Sistemas Dinâmicos, que começou a ser desenvolvida posteriormente pelo matemático americano George David Birkhoff. Ele foi o pioneiro no uso da expressão Sistemas Dinâmicos para se referir às equações diferenciais onde a variável independente é o tempo. Birkhoff foi professor de Edward Lorenz (1917-2008), que é considerado um dos nomes mais importantes na Teoria do Caos, ou seja, no estudo da dependência sensível de equações diferenciais às condições iniciais.

Birkhoff declarou, em 1938, que o trabalho de Moulton foi o primeiro que atraiu a atenção dos matemáticos americanos para os avanços fundamentais de Poincaré.74 Birkhoff é considerado como o matemático mais influenciado por Sur le Problème des trois corps et les

équations de la Dynamique e Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Celeste.75

Incorporando o uso da topologia, ele generalizou e estendeu as ideias de Poincaré e, assim como nos trabalhos dele, os movimentos periódicos desempenham um papel fundamental em sua teoria.