Outros modelos interessantes de memória surgiram recentemente para o cami- nhante aleatório. Boyer e Solis-Salas [35] propõem um modelo com lugares preferidos,
onde o caminhante chamado de "macaco” pode dar um passo unitário e unidimensional para os lados ou pode dar um pulo de tamanho qualquer para um lugar preferido. Tal caminhada apresenta subdifusão (H<1/2) mesmo com pulos de tamanho não fixo, mas a tendência a voltar para lugares específicos limita a caminhada. O problema tem solução exata apresentada mais tarde no mesmo ano [36].
Serva[37] sugere um modelo de caminhante aleatório com memória da posição mais distante. A caminhada funciona como movimento browniano e o caminhante apenas tem acesso a memória quando chega na posição mais distante da caminhada, onde ele pode decidir ir adiante ou retroceder baseado no parâmetro γ. Esse parâmetro diz se o caminhante é audacioso ou temeroso. Os resultados mostram regime de subdifusão encabeçado pelos temerosos, já os audaciosos se distribuem em regime de superdifusão e regime de difusão balística.
Diante de tanta variedade de modelos de memória, sentimos a necessidade de usar um modelo único que estude a memória recente e antiga como o que propomos no próximo capítulo.
CAMINHANTE ALEATÓRIO COM PERFIL DE MEMÓRIA BINOMIAL
A memória dos primeiros passos (de longo alcance) foi amplamente estudada na literatura como nos perfis do elefante [30] e Alzheimer [31]. Por outro lado, são poucos os estudos que exploram a ausência da memória inicial da caminhada como no estudo do perfil de memória gaussiano [33] e a memória recente como no caso exponencial [34]. O perfil de memória binomial permite variar a posição da memória, de forma que com um único modelo é possível estudar a memória de longo e curto alcance com apenas um parâmetro.
Neste estudo, privilegiamos a posição da memória e não a quantidade da mesma como no caso gaussiano. O perfil binomial ainda tem a vantagem de ser distribuído den- tro do intervalo de interesse, enquanto que a gaussiana tem suas extremidades arbitraria- mente excluídas.
Além disso, nos limites certos discutidos na sessão 2.3 podemos transformá-la numa distribuição de Poisson ou normal, o que deixa nosso modelo versátil e abrangente, pois com um único modelo pode-se abordar diferentes perfis de memória. Essas possibi- lidades, no entanto, não foram abordadas neste trabalho. Apresentamos nesse capítulo o modelo de memória binomial como processo estocástico não-markoviano e os principais resultados, comparando-os com a literatura previamente apresentada no capítulo 3.
Acrescento ainda que propomos um modelo que possui simetria, portanto, por Ansatz, esperamos bons resultados, afinal amamos simetrias!
4.1 O Modelo de Memória Binomial
Considere o modelo de caminhadas aleatórias unidimensionais e passos unifor- mes e unitários. Em um dado instante, o caminhante pode lembrar de um único evento de seu passado. Tal evento foi contemplado por um sorteio com probabilidade dada por uma função densidade de probabilidades binomial como na equação 4.1:
P (t′) =N t′ rt′ (1 − r)N −t′ , (4.1)
Sendo t′representa o instante de tempo da caminhada, ou eventos, e N é o número total de passos dados até o momento. A dinâmica estocástica ocorre como nos modelos anteriormente apresentados. Em t = 0, o primeiro passo é dado arbitrariamente para a direita sem perda de generalidade: X(t = 0) = +1. Em seguida tem-se o sorteio do instante t′ a ser lembrado seguindo o perfil binomial dado pela equação 4.1. A direção do passo em tempo atual será a mesma do instante lembrado com probabilidade p ou será oposta com probabilidade 1 − p.
De acordo com o que foi dito anteriormente, o parâmetro p está no intervalo [0, 1] e representa a probabilidade de repetição do passo lembrado. Os caminhantes com 0 < p < 0.5são chamados reformadores pois têm maior chance de mudarem suas escolhas de passo. Já o caminhantes com 0.5 < p < 1 são chamados conservadores pois tem maior chance de repetir as escolhas de passo no instante lembrado.
A fim de entender melhor o perfil de memória binomial, repetimos a discussão feita na sessão 2.3, agora no contexto de memória. Uma possível interpretação para r se- ria a probabilidade de lembrar de uma memória recente. Dessa forma, a dualidade que origina o perfil binomial para o perfil de memória seria a procura por uma memória mais recente ou a procura por uma memória mais antiga, com probabilidades r e 1 − r respec- tivamente. Para uma baixa probabilidade de acessar um lembrança recente, r pequeno, temos uma distribuição binomial centrada em baixos valores, enquanto que para uma alta probabilidade de acessar um lembrança recente, r próximo de 1, temos uma distribuição
(a) N = 101; r = 0.3 (b) N = 101; r = 0.5
(c) N = 102; r = 0.3 (d) N = 102; r = 0.5
(e) N = 103; r = 0.3 (f) N = 103; r = 0.5
(g) N = 104; r = 0.3 (h) N = 104; r = 0.5
Figura4.1: Perfil de memória binomial para r = 0.3 e r = 0.5 nas linhas, e à medida que o tempo passa temos um aumento do Número total N como mostrado nas colunas.
binomial centrada em altos valores.
Podemos ver pela Figura 4.1 que, à medida que o número de passos aumenta, a distribuição se rearranja para o novo valor de passos, ou seja, há uma mudança no for- mato do perfil de memória. Na primeira linha da figura vemos as distribuições iniciais de memória para diferentes caminhadas com diferentes posições de memória (relaciona- das ao parâmetro r). Para valores baixos de r temos memórias iniciais, enquanto que para valores altos de r temos memórias recentes. Nas colunas da figura 4.1 observa-se a mudança na distribuição ao longo da caminhada, à medida que o número de passos vai aumentando. Como visto na sessão 2.3, a largura relativa diminui com√N, condensando a memória.