Particle Swarm Optimization (PSO) ou “Otimização por Nuvem de Partículas”

O Particle Swarm Optimization foi proposto por Kennedy & Eberhart (1995). O PSO é um algoritmo evolucionário que surgiu da análise de experiência com algoritmos que modelam o “comportamento social” observado na formação de vôo de um bando de pássaros. O PSO possui similaridades com o AG, apesar de não possuir operadores genéticos, sua população evolui no espaço de busca através da melhoria das posições das partículas, a cada iteração, rumo a melhores soluções.

Em síntese, no algoritmo PSO cada partícula é tratada como um ponto no espaço e ajusta seu vôo baseado na própria experiência e na experiência coletiva. A cada iteração, a atualização da posição da partícula ocorre pelo acréscimo da velocidade (taxa de variação da posição) em todas as dimensões. Isto faz com que ela tenda gradualmente para os melhores valores históricos, posição que possui o melhor valor de aptidão para a solução do problema (pbest), e para a melhor partícula prévia dentre todas as partículas da população (gbest).

O algoritmo possui, inicialmente, uma população (bando) de soluções potenciais (partículas) com suas respectivas posições. A cada uma delas é atribuída uma velocidade e as partículas passam a se movimentar pelo espaço de busca. Cada uma das partículas possui uma “memória”, armazenando nesta a sua melhor posição prévia (pbest) e o bando também possui alguma espécie de “memória coletiva”, onde se registra a melhor posição prévia já alcançada pelo bando (gbest).

A cada iteração, a atualização da partícula i dá-se pelo acréscimo da velocidade (taxa de variação da posição), em todas as dimensões, fazendo com que ela tenda gradualmente para melhores valores históricos, ou seja, pbest e gbest.

A Figura 5.2 apresenta um fluxograma do comportamento do algoritmo do PSO.

Figura 5.2 – Fluxograma do algoritmo PSO (Fonte: Adaptado de Samarano e Prado, 2005)

As etapas de solução de um problema pelo PSO são basicamente:

• Inicia se randomicamente a posição e a velocidade das N partículas da população; • Avaliar indivíduos através do cálculo da função objetivo: f(x);

• Atualizar a posição que possui o melhor valor de aptidão para a solução do problema pbesti;

• Se f(xi) < f(pbesti) então pbesti = xi;

• Atualizar gbest, melhor partícula prévia dentre todas as partículas da população; • Se pbesti < f(gbest) então gbest = pbesti;

• Atualizar a velocidade de cada partícula, conforme Equação 5.1; • Atualizar a posição de cada partícula, conforme Equação 5.2; • Enquanto o critério de parada não atingido nova interação Onde:

• Xi = (xi1,xi2,...,xiN): partícula i, candidata à solução do problema, na qual xiN representa uma variável da solução;

• Pi = (pi1,pi2,...,piN): melhor posição prévia de cada partícula, pbesti (posição que possui o melhor valor de aptidão para a solução do problema). A melhor partícula prévia dentre todas as partículas da população é representado pelo símbolo g e mostra a posição da melhor partícula do bando. A posição Pg é também chamada de gbest, (Eberhart & Kennedy, 1995).

• Vi = (vi1,vi2,...,viN): velocidade ou taxa de variação da posição da partícula i.

A Equação 5.1 atualiza a velocidade (v) para cada iteração (k) para cada partícula e a Equação 5.2 atualiza a posição da partícula na iteração (k) Shi & Eberhart (1998):

(

)

(

)

=

wν

+c

r

pbest

−x

+c

r

gbest

−x

ν

x

x

=

+ν

Onde os parâmetros são:

• w é o coeficiente de inércia (peso inercial), que é importante para definir o espaço de busca (quanto maior w maior será o número de solução examinadas), controla o impacto da velocidade prévia na velocidade corrente;

• c1 e c2 são constantes (geralmente de valor 2), parâmetros cognitivo e social, respectivamente;

• r1 e r2 são valores randômicos entre 0 e 1; • pbesti é o melhor vetor da partícula i;

• gbest é o melhor posição do bando, ou seja o melhor vetor de todas as partículas analisadas;

• k = 1, 2,...,itermax: número de iteração corrente, com o limite máximo igual a itermax; • i: índice da partícula que varia de 1 até N, onde N é o tamanho do bando;

• n: dimensão da partícula;

• xkin : vetor corrente da partícula i; • Vkin : velocidade da partícula.

A Equação 5.1 tem função de atualizar a velocidade da partícula (i). O primeiro termo da equação (Vkin) corresponde à velocidade prévia da partícula ponderada pelo peso inercial (w). O segundo e o terceiro termos representam o conhecimento individual (herança de cada indivíduo) e o conhecimento adquirido entre todas as partículas (bando), respectivamente.

Os valores de w influenciam o comportamento do algoritmo, alguns autores sugerem que o valor inicial seja alto e vá diminuindo com as iterações do modelo, aumentando as chances de se obter o ótimo global.

O cálculo da velocidade necessita de alguns parâmetros dependentes do problema, que são:

de busca, ou seja, um valor alto determina um comportamento mais global, enquanto um valor baixo facilita um comportamento mais local, e

• os dois parâmetros de confiança c1 e c2, as quais indicam o quanto uma partícula confia em si e no bando, respectivamente.

Os valores recomendados para o peso inercial devem estar entre 0.7 < w < 1.4. Os parâmetros de confiança e de inércia devem ser ajustados de acordo com o problema, pois são utilizados para a atualização do vetor velocidades. Alguns autores propõem que sejam adotados c1 = c2 = 2, mantendo assim o equilíbrio entre o aprendizado individual de cada partícula e o aprendizado do bando. Sugere-se, também, a adoção de valores diferentes para c1 e c2 desde que a soma de c1 e c2 aproxime se de 4.

Quanto maior o número N de partículas presentes na população (bando), menor será o número de iterações necessário para alcançar a solução do problema tratado, pois uma quantidade maior de partículas é envolvida na procura de uma solução. Desse modo, há um aumento na possibilidade de se encontrar uma solução para o problema. Neste estudo adotou-se o tamanho da população igual a dez vezes o número de variáveis. A população deve ter tamanho suficiente para varrer o espaço de busca, mas seu tamanho não deve se elevar ao ponto de trazer custos desnecessários para o processo de otimização.