5 TEMPO DE PROCESSAMENTO COMPUTACIONAL
5.2 Passo de Carga Tempo de Processamento
Uma AENL foi realizada num pórtico de 11 pilares e 6 andares com o objetivo de comparar o tempo de processamento usando a matriz de rigidez do EFP e a matriz de rigidez do EFPO. Os pilares foram submetidos a carga normal de 200 kN e a força horizontal Q foi aumentada gradativamente. Todos os pilares e as vigas apresentaram a mesma seção transversal como mostradas nas Figuras 5.6a e 5.6b, respectivamente. As seções transversais dos elementos são iguais às apresentadas na Seção 4.4.
Usando EFPs o modelo esteve conformado por 3600 graus de liberdade (GDL), 1260 elementos e 1211 nós (Figuras 5.4), enquanto que empregando EFPOs o modelo esteve composto por 198 GDL, 126 elementos e 77 nós (Figuras 5.5). Com a finalidade de conseguir o mesmo nível de precisão na AENL, a discretização foi feita de tal forma que o número de elementos usando EFPs (1260 elementos) fosse o mesmo número de segmentos al utilizar EFPOs (1260 segmentos). Nesta modelagem foi implementado o modelo de variação de rigidez discreta, um passo de carga fixo e a rigidez foi avaliada de acordo com o momento fletor atuante no ponto médio dos segmentos.
Capítulo 5. Tempo de processamento computacional 129 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN Q 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3600 GDL 1260 Elementos 1211 Nós Elementos = 0,3 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 0,3 m 0,3 m
Figura 5.4 – Número de elementos e nós usando o EFP
200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN Q 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 198 GDL 126 Elementos 1260 Segmentos 77 Nós
10 Seg. por c/ Elem. Elementos = 3,00 m Segmentos = 0,3 m
3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m 3,00 m
Figura 5.5 – Número de elementos e nós usando o EFPO
375
250
3ф 20 2ф 20 3ф 20
ф 10 c\ 100
40 40
Seção dos pilares
(a) Seção dos pilares
3ф 20 3ф 20 ф 10 c\ 100 350 250 50 50
Seção das vigas
(b) Seção das vigas
Capítulo 5. Tempo de processamento computacional 130 O tempo de processamento foi medido para aumentos de carga fixos de 100 kN, 50 kN, 10 kN, 5 kN e 1 kN. Nas Tabelas 5.3 e 5.4 e na Figura 5.7 são apresentados os resultados de deslocamento último no sexto pavimento, carga última e tempo de processamento, onde os tempos apresentados são a média de 3 medições feitas para cada aumento de carga.
A medição do tempo de processamento foi feita usando as funções tic-toc e cputime nas posições indicadas na Figura 5.1. Estas medições foram executadas na CPU 2 com as propriedades descritas na Tabela 5.2. A relação momento - curvatura - força normal foi calculada para os valores inicias de força normal e não foi atualizada à medida que o carregamento horizontal foi aumentado. A AENL foi feita desta maneira devido que o tempo que queria ser medido nesta pesquisa era o tempo gasto nas fases de atribuição de rigidez, montagem das matrizes de rigidez e resolução do sistema. Portanto, não se considerou conveniente adicionar a esta medição, o tempo gasto no cálculo da relação momento - curvatura - força normal.
Tabela 5.3 – Tempo de processamento usando o EFP EFP
ΔQ Deslocamento Carga Q Tempo tic-toc Tempo cputime Passos de
(kN) pav 6 (mm) última (kN) (mm:ss) (mm:ss) carga (p)
100 286 1100 00:03,71 00:08,51 13
50 301 1100 00:07,02 00:15,48 24
10 309 1090 00:32,72 01:06,38 111
5 307 1085 01:05,72 02:13,23 219
1 307 1083 06:12,07 11:54,59 1084
Tabela 5.4 – Tempo de processamento usando o EFPO EFPO
ΔQ Deslocamento Carga Q Tempo tic-toc Tempo cputime Passo de
(kN) pav 6 (mm) última (kN) (mm:ss) (mm:ss) carga (p)
100 278 1100 00:00,20 00:00,70 13
50 291 1100 00:00,30 00:00,97 24
10 291 1080 00:01,14 00:03,50 110
5 297 1085 00:02,35 00:05,55 219
1 296 1082 00:18,31 00:30,97 1084
Nas Figuras 5.7 são comparados os tempos de processamento usando EFPs e EFPOs. Esta comparação foi realizada empregando as funções tic-toc (Figura 5.7a) e
Capítulo 5. Tempo de processamento computacional 131
Aumento de carga por passo (kN)
0 20 40 60 80 100
Tempo de processamento (min)
0 2 4 6 8 10 12 "tic-toc" EFP EFPO
(a) Tempo medido com as funções tic-toc
Aumento de carga por passo (kN)
0 20 40 60 80 100
Tempo de processamento (min)
0 2 4 6 8 10 12 "cputime" EFP EFPO
(b) Tempo medido com a função cputime
Figura 5.7 – Tempo de processamento medido com a CPU 2
Para um aumento de carga de 1 kN e usando as funções tic-toc, o tempo de processamento foi de 6 min 12 s empregando EFPs, enquanto que utilizando EFPOs o tempo gasto foi 18 s, isto é 20 vezes mais rápido ou uma diminuição do tempo de 95% usando EFPOs. Pela outra parte, para um aumento de carga de 1 kN e empregando a função cputime, o tempo de processamento foi de 11 min 55 s utilizando EFPs, enquanto que usando EFPOs o tempo gasto foi 31 s, isto é 23 vezes mais rápido ou uma diminuição do tempo de 96% empregando EFPOs. Considerando que o modelo em estudo somente tem cargas nodais, é possível encontrar maiores diferenças no tempo de processamento ao considerar carregamento distribuído nas vigas.
132
6 Conclusões
No presente trabalho foi estabelecida a definição de um Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO) e foi desenvolvida a formulação de sua matriz de rigidez elástica no plano, incluindo deformações por cisalhamento. Também foram desenvolvidas as funções dos vetores de carga pontual, momento pontual, carga distribuída e carga parcialmente distribuída. Além disso, derivaram-se equações e criaram-se tabelas para o cálculo direto do deslocamento de vigas de rigidez variável simplesmente apoiada e em balanço, sujeitas a carregamento pontual.
A formulação desenvolvida foi verificada através de uma Análise Estática Linear, na qual uma viga engastada em suas duas extremidades e composta por segmentos de rigidez variável foi submetida a carga pontual, momento pontual e carga parcialmente distribuída.
O programa Response-2000 (baseado no trabalho de Vecchio e Collins (1986)), o modelo de Bazant e Oh (1984) e o modelo da NBR-6118 (2014) foram considerados para o cálculo da relação momento - curvatura - força normal, entendendo essa relação como uma forma de considerar os efeitos do não linearidade física.
Uma vez verificada a formulação do EFPO e definidas as relações momento - curvatura - força normal a serem consideradas nesta pesquisa, Análises Estáticas Não Lineares foram realizadas em 7 vigas e 3 pórticos para comparar as respostas de carga versus deslocamento numéricas e experimentais obtidas da literatura. Além disso, os estados de fissuração foram comparados com as porcentagens de diminuição da rigidez dos segmentos estruturais.
Finalmente, os tempos de processamento computacional usando EFPOs e Elementos Finitos de Pórtico (EFPs) foram comparados. As medições de tempo levadas a cabo foram realizadas em duas CPUs com propriedades diferentes e foram feitas alterando o número de segmentos e o aumento da carga por passo.
Após a análise e discussão dos resultados numéricos obtidos neste trabalho, pode-se concluir que:
• Em relação à comparação dos resultados EFPOs versus EFPs, foram obtidas razões da ordem de 0,99999 no cálculo das reações de cortante e momento fletor. Isto demonstra que a formulação foi corretamente desenvolvida.
Capítulo 6. Conclusões 133 carga versus deslocamento não linear dividindo os elementos estruturais com a relação
𝛼𝐿/ℎ, onde 𝐿 é o comprimento do elemento, ℎ é a altura da seção transversal e 𝛼
variando entre 1 e 2.
• No caso das vigas simplesmente apoiadas, as curvas de carga versus deslocamento numérico ajustaram-se bem às experimentais, exibindo na maioria dos casos uma rigidez ligeiramente maior. Em média, a razão experimental/numérica foi de 1,02 para o caso de carga máxima, 1,18 no caso do deslocamento no inicio do escoamento e 1,20 no caso do deslocamento correspondente a 50% da carga máxima.
• Foi possível observar que as porcentagens de diminuição da rigidez se ajustaram em boa medida com os estados de fissuração, concordando regiões de maior fissuração nos resultados experimentais com segmentos de menor rigidez nos resultados numéricos e vice-versa. Ao final das Análises Estáticas Não lineares, a rigidez dos segmentos centrais das vigas resultou inferior a 1% da rigidez inicialmente apresentada. Esta última consideração se observou em seis das sete vigas analisadas.
• Em relação aos 3 pórticos analisados, usando o modelo de Bazant e Oh (1984), observou-se que as curvas numéricas apresentaram maior rigidez do que as expe- rimentais após o início da fissuração. Considerando que a diferença de rigidez (e, portanto, de deslocamentos) foi maior nos pórticos com forças verticais de maior magnitude, é possível que essa diferença tenha sido causada pelos efeitos da não line- aridade geométrica, que não foram considerados na este trabalho. Em média, a razão experimental/numérica de carga máxima foi 0,91 e a razão experimental/numérica de deslocamento correspondente a 50% carga máxima foi 1,22.
• Os três pórticos também foram analisados utilizando as relações momento - curvatura - força normal consideradas na NBR-6118 (2014). Nestas análises foi estimada, em média, uma carga máxima equivalente a 86% da carga máxima experimental. No caso do deslocamento correspondente a 50% da carga máxima, esse valor foi de 68% para a curva calculada com 1, 1𝑓𝑐𝑑 e 65% para a curva calculada com 0, 85𝑓𝑐𝑑. Estes resultados indicam que os modelos de norma são seguros em relação aos experimentais.
• Por se tratar de uma análise com aumento progressivo da carga cujo parâmetro de parada é o momento fletor atuante nos segmentos, os resultados numéricos não foram capazes de representar o comportamento pós-pico da curva carga versus deslocamento.
• Usando a formulação do Elemento Finito de Pórtico Otimizado foi possível obter uma diminuição considerável no tempo de processamento computacional.
Capítulo 6. Conclusões 134 • Em relação à variação do número de segmentos, foi alcançada uma redução de até 88% do tempo de processamento computacional usando a CPU 1 e as funções tic-toc para as medições. Realizando as medições com a função cputime, a redução foi de até 94%. Pela outra parte, usando a CPU 2, foram obtidas reduções de tempo de processamento da ordem de 98% e 99%, usando as funções tic-toc e cputime, respectivamente.
• No caso do passo de carga, com a CPU 2 foi possível medir uma diminuição de até 95% no tempo de processamento usando as funções tic-toc para as medições. No caso da função cputime a redução foi de até 96%, conseguindo passar de um tempo de processamento de 11 min 54 s para 0 min 31 s.
Como sugestões para trabalhos futuros se propõe:
• Desenvolver matriz de rigidez espacial do EFPO e os vetores de carga.
• Incluir os efeitos da não linearidade geométrica na Análise Estática Não Linear. • Implementar a formulação do EFPO em um programa comercial de projeto de edifícios
de concreto armado para comparar as respostas de carga versus deslocamento e tempos de processamento computacional usando EFPs e EFPOs.
135
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140
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de
rigidez e dos vetores de carga do exemplo da
Seção 4.1
Cálculo de C
2Tem-se da Equação 3.1.40 que:
𝐶2 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑙2 𝑖 2𝐸𝑖𝐼𝑖 +𝑛−1∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=𝑖+1 𝑙𝑖𝑙𝑗 𝐸𝑗𝐼𝑗
O primeiro termo de 𝐶2 fica como mostrado na Equação A.1: (2 𝑚)2 2(25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 1, 778 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (1 𝑚)2 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 2, 168 · 10 -5 1/𝑘𝑁 (4 𝑚)2 2(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 2, 172 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (3 𝑚)2 2(70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 1, 090 · 10 -3 1/𝑘𝑁 1, 506 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.1)
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga do exemplo
da Seção 4.1 141
O segundo termo de 𝐶2 fica como mostrado na Equação A.2:
(2 𝑚)(1 𝑚) (205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 8, 672 · 10 -5 1/𝑘𝑁 (2 𝑚)(4 𝑚) (50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 2, 172 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (2 𝑚)(3 𝑚) (70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 1, 453 · 10 -3 1/𝑘𝑁 (1 𝑚)(4 𝑚) (50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 1, 086 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (1 𝑚)(3 𝑚) (70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 7, 264 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (4 𝑚)(3 𝑚) (70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 2, 905 · 10 -3 1/𝑘𝑁 5, 497 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.2)
Desta forma 𝐶2 toma o valor mostrado na Equação A.3:
𝐶2 = 1, 506 · 10-3 1/𝑘𝑁 + 5, 497 · 10-3 1/𝑘𝑁 = 7, 004 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.3)
Cálculo de C
3Tem-se da Equação 3.1.41 que:
𝐶3 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑙𝑖 𝐸𝑖𝐼𝑖
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga do exemplo
da Seção 4.1 142
O único termo de 𝐶3 fica como mostrado na Equação A.4: (2 𝑚) (25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 1, 778 · 10 -4 1/𝑘𝑁𝑚 (1 𝑚) (205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 4, 336 · 10 -5 1/𝑘𝑁𝑚 (4 𝑚) (50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 1, 086 · 10 -4 1/𝑘𝑁𝑚 (3 𝑚) (70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 7, 264 · 10 -4 1/𝑘𝑁𝑚 1, 056 · 10-3 1/𝑘𝑁𝑚 (A.4)
Desta forma 𝐶3 toma o valor mostrado na Equação A.5:
𝐶3 = 1, 056 · 10-3 1/𝑘𝑁𝑚 (A.5)
Cálculo de C
5Tem-se da Equação 3.1.42 que:
𝐶5 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑙3 𝑖 6𝐸𝑖𝐼𝑖 +𝑛−1∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=𝑖+1 (︃ 𝑙2 𝑖𝑙𝑗 2𝐸𝑖𝐼𝑖 + 𝑙𝑖𝑙𝑗2 2𝐸𝑗𝐼𝑗 )︃ +𝑛−2∑︁ 𝑖=1 𝑛−1 ∑︁ 𝑗=𝑖+1 𝑛 ∑︁ 𝑘=𝑗+1 𝑙𝑖𝑙𝑗𝑙𝑘 𝐸𝑗𝐼𝑗
O primeiro termo de 𝐶5 fica como mostrado na Equação A.6: (2 𝑚)3 6(25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 1, 185 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (1 𝑚)3 6(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 7, 227 · 10 -6 𝑚/𝑘𝑁 (4 𝑚)3 6(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 2, 896 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (3 𝑚)3 6(70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 1, 090 · 10 -3 𝑚/𝑘𝑁 1, 505 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 (A.6)
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga do exemplo
da Seção 4.1 143
O segundo termo de 𝐶5 fica como mostrado na Equação A.7:
(2 𝑚)2(1 𝑚) 2(25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 1, 778 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (2 𝑚)2(4 𝑚) 2(25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 7, 111 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (2 𝑚)2(3 𝑚) 2(25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 5, 333 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (1 𝑚)2(4 𝑚) 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 8, 672 · 10 -5 𝑚/𝑘𝑁 (1 𝑚)2(3 𝑚) 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 6, 504 · 10 -5 𝑚/𝑘𝑁 (4 𝑚)2(3 𝑚) 2(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 6, 516 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 2, 226 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 (A.7)
O terceiro termo de 𝐶5 fica como mostrado na Equação A.8: (2 𝑚)(1 𝑚)2 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 4, 336 · 10 -5 𝑚/𝑘𝑁 (2 𝑚)(4 𝑚)2 2(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 4, 344 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (2 𝑚)(3 𝑚)2 2(70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 2, 179 · 10 -3 𝑚/𝑘𝑁 (1 𝑚)(4 𝑚)2 2(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 2, 172 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (1 𝑚)(3 𝑚)2 2(70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 1, 090 · 10 -3 𝑚/𝑘𝑁 (4 𝑚)(3 𝑚)2 2(70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 4, 358 · 10 -3 𝑚/𝑘𝑁 8, 322 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 (A.8)
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga do exemplo
da Seção 4.1 144
O quarto termo de 𝐶5 fica como mostrado na Equação A.9: (2 𝑚)(1 𝑚)(4 𝑚) (25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 3, 469 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (2 𝑚)(1 𝑚)(3 𝑚) (25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 2, 602 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (2 𝑚)(4 𝑚)(3 𝑚) (70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 6, 516 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 (1 𝑚)(4 𝑚)(3 𝑚) (70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 3, 258 · 10 -4 𝑚/𝑘𝑁 1, 584 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 (A.9)
Desta forma 𝐶5 toma o valor mostrado na Equação A.10:
𝐶5 = 1, 505 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 + 2, 226 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 + 8, 322 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁
+ 1, 584 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 = 1, 364 · 10-2 𝑚/𝑘𝑁 (A.10)
Cálculo de C
6Tem-se da Equação 3.1.43 que:
𝐶6 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑙2 𝑖 2𝐸𝑖𝐼𝑖 +𝑛−1∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=𝑖+1 𝑙𝑖𝑙𝑗 𝐸𝑖𝐼𝑖
O primeiro termo de 𝐶6 fica como mostrado na Equação A.11: (2 𝑚)2 2(25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 1, 778 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (1 𝑚)2 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 2, 168 · 10 -5 1/𝑘𝑁 (4 𝑚)2 2(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 2, 172 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (3 𝑚)2 2(70·106 𝑘𝑁/𝑚2)(5,900·10-5 𝑚4) = 1, 090 · 10 -3 1/𝑘𝑁 1, 506 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.11)
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga do exemplo
da Seção 4.1 145
O segundo termo de 𝐶6 fica como mostrado na Equação A.12: (2 𝑚)(1 𝑚) (25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 1, 788 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (2 𝑚)(4 𝑚) (25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 7, 111 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (2 𝑚)(3 𝑚) (25·106 𝑘𝑁/𝑚2)(4,500·10-4 𝑚4) = 5, 333 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (1 𝑚)(4 𝑚) 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 1, 734 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (1 𝑚)(3 𝑚) 2(205·106 𝑘𝑁/𝑚2)(1,125·10-4 𝑚4) = 1, 301 · 10 -4 1/𝑘𝑁 (4 𝑚)(3 𝑚) 2(50·106 𝑘𝑁/𝑚2)(7,366·10-4 𝑚4) = 3, 258 · 10 -4 1/𝑘𝑁 2, 052 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.12)
Desta forma 𝐶6 toma o valor mostrado na Equação A.13:
𝐶6 = 1, 506 · 10-3 1/𝑘𝑁 + 2, 052 · 10-3 1/𝑘𝑁 = 3, 558 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.13)
Cálculo de C
Tem-se da Equação 3.1.44 que:
𝐶 = 𝐶2𝐶6− 𝐶3𝐶5
Portanto 𝐶 toma o valor mostrado na Equação A.14:
𝐶 = (7, 003 · 10-3 1/𝑘𝑁)(3, 558·10-3 1/𝑘𝑁)
Apêndice A. Cálculo das funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga do exemplo
da Seção 4.1 146
Cálculo das funções C
S1e C
S2Seguindo um processo similar ao anterior é possível calcular as funções correspon- dentes aos carregamentos aplicados como segue:
Das Equações 3.1.116 e 3.1.117 têm-se as Equações A.15 e A.16:
𝐶𝑃 1 = 1, 830 · 10-3 1/𝑘𝑁 (A.15)
𝐶𝑃 2 = 2, 224 · 10-3 𝑚/𝑘𝑁 (A.16)
Das Equações 3.1.118 e 3.1.119 têm-se as Equações A.17 e A.18:
𝐶𝑞1 = 1, 376 · 10-2 𝑚/𝑘𝑁 (A.17)
𝐶𝑞2 = 1, 846 · 10-2 𝑚2/𝑘𝑁 𝑚 (A.18)
Das Equações 3.1.122 e 3.1.123 têm-se as Equações A.19 e A.20:
𝐶M 1= 8, 784 · 10-4 1/𝑘𝑁𝑚 (A.19)
147
Apêndice B. Deslocamento em vigas de rigidez
variável em balanço e biapoiada sob carga
pontual
De forma geral, o cálculo do deslocamento no final de uma viga em balanço conformada por 𝑛 segmentos de rigidez variável é feito com a Equação B.1. Na Tabela B.1