Passo 3 Valida¸c˜ ao do modelo

Depois de estimado o modelo, este tem que ser validado. A valida¸c˜ao n˜ao deve ser feita com os dados utilizados para a sua estima¸c˜ao e, por isso, ´e que s˜ao disponibi- lizados dados de valida¸c˜ao.

Compara¸c˜ao da resposta do modelo com a resposta medida

A primeira coisa a fazer ´e simular e comparar a sa´ıda simulada com a sa´ıda medida. Esta compara¸c˜ao pode ser feita recorrendo a ´ındices de erro ou a ´ındices de ajuste. No SIT optou-se por um ´ındice amplamente utilizado em IS e que, de grosso modo, indica qual a percentagem de sa´ıda de medida ´e que pode ser explicado pelo modelo. Este ´ındice ´e definido atrav´es de

5.2. CASO DE ESTUDO - SISTEMA SISO 99

F it = 1− ||Y − Y HAT ||

||Y − mean(Y )|| × 100, (5.3)

onde Y ´e a sa´ıda medida do conjunto de valida¸c˜ao e Y HAT ´e a sa´ıda simulada pelo modelo, e Y − Y HAT s˜ao os res´ıduos e mean(Y ) ´e o valor m´edio dos valores de Y . A fun¸c˜ao ”compare”do MATLAB, permite comparar o modelo estimado com os dados de valida¸c˜ao e concluir se o modelo ´e adequado.

Figura 5.6 – Compara¸c˜ao entre as sa´ıdas simuladas com as sa´ıdas medidas.

Obt´em-se ent˜ao o gr´afico da Figura 5.6, onde se pode observar o ajuste entre a resposta do modelo e a sa´ıda medida, e do lado direito est´a indicado o ´ındice de ajuste definido em (5.3), que ´e 52.54% ( m0 refere-se ao modelo estimado e zv corresponde ao conjunto de dados para valida¸c˜ao).

An´alise de res´ıduos

O SIT permite executar a an´alise de res´ıduos para avaliar a qualidade do modelo. Os res´ıduos representam a parte dos dados de sa´ıda que n˜ao ´e explicada pelo modelo estimado.

Figura 5.7 – Representa¸c˜ao dos res´ıduos para este sistema.

O teste `a brancura dos res´ıduos pode ser feito atrav´es da an´alise da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao normalizada (Santos,1987)

ρrr(τ ) =

E{ri(t)ri(t− τ)}

E{ri(t)2}

, (5.4)

em que ri(t) ´e o res´ıduo da sa´ıda i. Esta fun¸c˜ao ´e estimada a partir dos dados para τ = −τM AX, . . . , τM AX, com τM AX > 0, e ´e apresentada sob a forma de um gr´afico (juntamente com os intervalos de confian¸ca de 99%). Se para τ ̸= 0, todos os valores estiverem dentro do intervalo de confian¸ca ent˜ao existe um evidˆencia de que o modelo estimado ´e o ´otimo (Santos,1987) . Neste caso, como se pode analisar na Figura 5.7, este modelo ´e bom, mas n˜ao ´otimo, uma vez que tem alguns valores (poucos) fora do intervalo de confian¸ca.

Resposta impulsional

Ap´os a selec¸c˜ao deste tipo de valida¸c˜ao, o utilizador pode analisar a qualidade do modelo a partir de uma figura. Para o exemplo em estudo, temos a figura seguinte,

5.2. CASO DE ESTUDO - SISTEMA SISO 101

Figura 5.8 – Representa¸c˜ao da resposta impulsional.

onde ´e percet´ıvel a compara¸c˜ao entre a resposta impulsional do modelo estimado,

m0, com o modelo validado, zv. Como se pode verificar, a reposta ´e muito seme- lhante para ambos os modelos, sendo que para alguns valores h´a ligeiras diferen¸cas, que s˜ao explicadas pelo facto de estarmos em contacto com modelos n˜ao exatamente iguais.

Resposta em frequˆencia

Nesta op¸c˜ao, a resposta em frequˆencia do modelo ´e comparada com a resposta em frequˆencia estimada pelo comando ”spa”da toolbox de IS do MATLAB. Este comando estima a resposta em frequˆencia utilizando m´etodos de an´alise espetral fornecendo tamb´em um intervalo de confian¸ca. Na figura 5.9 podemos ver que a resposta em frequˆencia do modelo estimado est´a dentro desse intervalo de confian¸ca (a azul) calculado pelo comando ”spa”do MATLAB. Esse m´etodo de an´alise espetral foi calculado com base no nosso modelo de estima¸c˜ao. Como se pode verificar o modelo ”m0”(a vermelho) foi bem estimado uma vez que segue o comportamento do m´etodo de an´alise espetral (”gs”).

Figura 5.9 – Representa¸c˜ao da resposta em frequˆencia.

5.3

Considera¸c˜oes finais

Neste cap´ıtulo, apresent´amos um exemplo passo-a-passo para o modo de simula¸c˜ao para que se possa perceber como ´e que o SIT funciona.

Esta toolbox tamb´em funciona para dados reais, ou seja, para o modo real e o funcionamento processa-se da mesma forma. Por exemplo, um exemplo que vem inclu´ıdo no SIT, ´e o cl´assico hairdryer. Este ´e um sistema que vai aquecer o ar `a entrada do tubo usando uma malha de resistˆencias, semelhante a um secador de cabelo. A entrada ´e ent˜ao a energia fornecida aos fios da resistˆencia e a sa´ıda ´e a temperatura que sai para o exterior.

A diferen¸ca relativamente aos dados de simula¸c˜ao ´e a representa¸c˜ao dos dados de E/S, como se pode ver na Figura 5.10.

5.3. CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS 103

Figura 5.10 – Representa¸c˜ao dos sinais de E/S.

Da mesma maneira, por exemplo, para um sistema MIMO no modo de simula¸c˜ao, com duas entradas e duas sa´ıdas, a diferen¸ca relativamente a um sistema SISO, ´e ao n´ıvel da representa¸c˜ao dos sinais de entrada e sa´ıda, como se pode analisar nas Figuras 5.11 e 5.12, pois tem-se a representa¸c˜ao de cada sinal de entrada e sa´ıda.

O mesmo se passa para a valida¸c˜ao, nomeadamente na compara¸c˜ao da resposta das sa´ıdas simulada com as das sa´ıdas medidas, como est´a explicito na Figura 5.13

Ao n´ıvel da resposta impulsional, em termos de comportamento gr´afico, ´e igualmente diferente ao do sistema SISO, como se pode analisar na Figura5.14.

Figura 5.11 – Representa¸c˜ao do sinal de entrada.

5.3. CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS 105

Figura 5.13 – Compara¸c˜ao entre as sa´ıdas simuladas com as sa´ıdas medidas.

6

Conclus˜ao

Com esta disserta¸c˜ao, sobre estrat´egias de IS em subespa¸cos de estados, pretende-se mostrar a importˆancia deste dom´ınio (nomeadamente na modela¸c˜ao e estima¸c˜ao de parˆametros) na descri¸c˜ao e compreens˜ao da realidade que nos rodeia.

Neste trabalho desenvolveu-se uma ferramenta interativa para IS em subespa¸cos de estados. Al´em da descri¸c˜ao desta ferramenta, nesta disserta¸c˜ao tamb´em se abordam os fundamentos da ISE e desenvolveram-se alguns dos m´etodos mais importantes e que foram implementados na ferramenta.

Neste Cap´ıtulo apresentar-se-´a uma revis˜ao geral do trabalho, retirando as respetivas conclus˜oes e ideias de trabalho futuro.

6.1

S´ıntese das Conclus˜oes

Para o cumprimento dos objetivos propostos no in´ıcio desta disserta¸c˜ao, estudaram- se todos os conceitos te´oricos necess´arios `a compreens˜ao da ISE, e descreveram-se os algoritmos de identifica¸c˜ao de modelos de estado necess´arios implementadas no SIT.

No Cap´ıtulo2foram revistos todos os conceitos te´oricos respetivos `a ´Algebra Linear

necess´arios `a compreens˜ao dos m´etodos de ISE, que constituiu assim uma base para os pr´oximos cap´ıtulos.

No Cap´ıtulo 3 foram analisadas as propriedades dos sistemas determin´ıstico, es- toc´asticos e combinados determin´ıstico-estoc´asticos, tendo em conta todas as pro- priedades que caracterizam cada tipo de sistema, e que s˜ao necess´arias para a cons- tru¸c˜ao dos algoritmos de identifica¸c˜ao.

No Cap´ıtulo4elaborou-se uma descri¸c˜ao geral de alguns algoritmos de identifica¸c˜ao para os sistemas determin´ısticos, como o caso do algoritmo Ho-Kalman, Interse¸c˜ao e Proje¸c˜ao, onde foram explicados as principais funcionalidades e como ´e que ´e feita a implementa¸c˜ao dos mesmos, tendo como base as propriedades alg´ebricas ilustradas no Cap´ıtulo 2. Seguidamente descreveu-se um algoritmo de identifica¸c˜ao para os sistemas estoc´asticos. Foram explicados as suas principais funcionalidades e apresentados alguns detalhes de implementa¸c˜ao. Finalmente descreveram-se dois algoritmos de identifica¸c˜ao de sistemas combinados determin´ıstico-estoc´asticos.

No Cap´ıtulo 5foi descrita a interface gr´afica - SIT - que foi concebida para servir de suporte l´ogico para IS onde est˜ao implementados os algoritmos descritos no cap´ıtulo anterior.