Vimos uma condição para a paracompacidade de produtos caixa enume- ráveis de espaços compactos sob a Hipótese do Contínuo. Agora veremos algumas condições sob hipóteses mais fracas.
Podemos então trabalhar com cardais intermediários entre ℵ0 e c, os quais
se tornam trivialmente iguais a c sob a Hipótese do Contínuo. É comum referir a tais cardinais por pequenos cardinais. Neste texto, trabalharemos com dois desses cardinais.
Definição 3.3.1. Sejam f, g : ω −→ ω. Dizemos que: • f ≤∗ g se {n ∈ ω : f (n) > g(n)} é finito;
Definição 3.3.2. Seja W ⊂ ωω uma família de funções de ω em ω. Dizemos que W é:
• ilimitada se ∀f ∈ ωω, ∃g ∈ W, g 6≤∗ f (caso contrário, W é dita limi-
tada);
• dominante (sobre ωω) se ∀f ∈ ωω, ∃g ∈ W, f ≤∗ g.
Com esses conceitos definimos dois cardinais: • b = min {|W | : W é ilimitado} e
• d = min {|W | : W é dominante}
Outro conceito importante para a aritmética cardinal que usaremos é o das escalas.
Definição 3.3.3. Uma λ-escala é uma sequência {fα ∈ ωω : α < λ} domi-
nante e estritamente crescente considerando a ordem ≤∗.
Apresentamos então algumas propriedades dos cardinais b e d: Proposição 3.3.4.
1. ℵ1 ≤ b ≤ d ≤ c.
2. b é um cardinal regular.
3. b = d se e somente se existe uma b-escala.
Demonstração. 1. Como d representa uma cardinalidade de um subcon- junto de ωω, temos que d ≤ |ωω| = 2ℵ0 = c. Além disso, pela de-
finição temos que toda família dominante é ilimitada, logo b ≤ d. Por fim, vamos mostrar que nenhuma família enumerável é ilimitada, e portanto ℵ1 ≤ b. Para isso, vamos usar o argumento da diago-
nal. Seja {rn : n ∈ ω} ⊂ ωω. Definimos então s : ω −→ ω dada
por s(i) = P
n<irn(i). Assim, temos ∀n ∈ ω, rn ≤ ∗
s, e portanto {rn : n ∈ ω} é uma família limitada, como queríamos.
2. Seja {rα ∈ ωω : α < b} uma família ilimitada. Vamos construir recur-
sivamente uma família {sα ∈ ωω : α < b} ilimitada bem ordenada pela
ordem ≤∗ e de cumprimento b. Começamos com s0 = r0. Dado α < b,
supomos rβ construído para todo β < α. Como a família (rβ + sβ)β<α
tem comprimento α < b, tal família é limitada, portanto podemos es- colher sαcomo a função que limita tal família. Concluída a construção,
temos que o fato de (rα)α<b ser ilimitada garante que (sα)α<b também o
seja. Qualquer subconjunto cofinal de S = {sα : α < b} também será
ilimitado, portanto precisa ter cardinalidade b, logo cf(b) = cf(S) = b 3. Se existe uma b-escala, esta é uma família dominante de tamanho b,
logo pelo item 1 temos b = d. Por outro lado, se b = d, então existe uma família dominante de tamanho b, a partir da qual podemos construir uma b escala usando a recursão da demonstração do item 2.
Não trabalharemos com o Axioma de Martin (MA) neste texto, porém é um resultado conhecido que MA implica b = c (para este e outros resultados sobre MA, consultar [Jec03]). Note que a proposição 3.3.4 possui a seguinte consequência direta: b = c implica que c é regular e que existe uma c-escala. Por sua vez, a hipótese de que existe uma c-escala e c é regular implica que d = c. No entanto a reciproca não é verdadeira, uma vez que d = c não implica necessariamente a existência de alguma λ-escala, pois d = c junto com a inexistência de uma c-escala é consistente com ZFC [Hec74].
Teorema 3.3.5. Se Xi é primeiro-enumerável para todo i ∈ ω, então ∇i∈ωXi
é um Pb-espaço.
Demonstração. Seja q(p) ∈ ∇i∈ωXi. Sejam κ < b um ordinal e Uα =
q Q
i∈ωU α
i uma vizinhança aberta básica de q(p) para cada α < k. Va-
mos mostrar que T
α<κU
α é vizinhança de q(p).
Fixemos para cada n ∈ ω uma base local Vij : j ∈ ω de pi ∈ Xi
tal que ∀j ∈ ω, Vij+1 ⊂ Vij. Para cada α < κ, podemos construir uma função fα : ω −→ ω tal que para cada i ∈ ω temos V
fα(i)
i ⊂ U α
i . Assim,
temos para cada α < κ que qQ
i∈ωV fα(i)
i
W = {fα : α < κ} ⊂ ωω . Como |W | = κ < b, temos que a família W
de funções não é dominante. Então existe uma função g : ω −→ ω tal que ∀f ∈ W, f ≤∗ g. Assim, temos que q(p) ∈ qQ
i∈ωV g(i) i ⊂ T α<κU α, pois
para cada α < κ, vale n
i : Vig(i)6⊂ Uα i
o
⊂ {i : fα(i) < g(i)} ,
o qual é finito, o que conclui a demonstração.
Corolário 3.3.6. Se b = c, Xi é compacto, Hausdorff e primeiro enumerável
para todo i ∈ ω, então i∈ωXi é paracompacto.
Demonstração. Como cada Xi é compacto Hausdorff e primeiro enumerável,
pelo Teorema de Arhangelskii (Teorema 1.2.21), temos que w(Xi) ≤ |Xi| ≤
2ℵ0 = c. Note que
L (∇i∈ωXi) ≤ w (∇i∈ωXi) = w (i∈ωXi) ≤
Y
i∈ω
w(Xi) ≤ cω = c
Aplicando o teorema 3.3.5 junto com o lema 1.2.28, obtemos que ∇i∈ωXi é
paracompacto. Concluímos aplicando o nabla lema (teorema 3.1.5).
Podemos reduzir a hipótese do resultado anterior para d = c. A demons- tração, por Judith Roitman [Roi79] utiliza a seguinte propriedade do cardinal d (a versão que usaremos está em [Wil84], mas é equivalente à de Roitman): Lema 3.3.7. Sejam W ⊂ ωω e A ⊂ [ω]ω tais que |A| + |W | < d. Então para
cada f ∈ W e cada A ∈ A, existe uma função g : ω −→ ω tal que o conjunto {n ∈ A : f (n) < g(n)} é infinito.
Demonstração. Para cada par (f, A) ∈ W × A, definimos a função fA ∈ ωω
dada por fA(n) =
Pkn
i=0f (i) para cada n ∈ ω, onde kn= min {j ∈ A : n < j}.
Definindo WA = {fA : f ∈ W, A ∈ A}, como |WA| < d, podemos en-
contrar uma g ∈ ωω crescente tal que g 6≤∗ f
A para todo fA ∈ WA. Como
para cada n ∈ ω temos que n ≤ i ≤ kn e fA(n) < g(n) implicam que
Teorema 3.3.8. Se d = c , Xi é Lindelöff, regular e primeiro-enumerável
para todo i ∈ ω, então ∇i∈ωXi é ultraparacompacto.
Demonstração. Inicialmente, da mesma maneira que no corolário 3.3.6, te- mos que |Xi| ≤ c para cada i ∈ ω, do que concluímos que |∇i∈ωXi| ≤ c.
Portanto podemos escrever ∇i∈ωXi = {xα : α < c}. Além disso, como cada
Xi é primeiro enumerável, para cada xi ∈ Xi temos uma base local decres-
cente {vxi,n : n ∈ ω}. Dada um ponto x = (xi)i∈ω ∈ i∈ωXi e uma função
f : ω −→ ω qualquer, denotaremos ux,f = ∇i∈ωvxi,f (i). Note que esta notação
tem a seguinte propriedade: dados x, y ∈ ∇i∈ωXi e f, g : ω −→ ω, temos:
i ∈ ω : vxi,f (i)∩ vyi,g(i) = ∅
≥ ℵ0 ⇐⇒ ux,f∩ uy,g = ∅
Seja U uma cobertura aberta de ∇i∈ωXi. Vamos construir um refinamento
U0 = {Uα : α < c} de U dois-a-dois disjunto (a menos de repetição). Como
∇i∈ωXi é regular e P-espaço, escolhendo V ∈ U tal que x0 ∈ V , podemos
construir uma sequência estritamente crescente (pela ordem termo a termo, como definida na observação 4.1.4 {f0,n∈ ωω : n ∈ ω} tal que
T
n∈ωux0,f0,n
seja um aberto fechado contido em V . Definimos U0 =
T
n∈ωux0,f0,n.
Para algum α < c, suponhamos Uβ já construído para todo β < α. Se
xα ∈
S
β<αUβ, definimos Uα = Uβ, para algum β < α tal que xα ∈ Uβ.
Suponhamos agora o contrário. Para cada β < α, como Uβ é fechado e
∇i∈ωXi é regular, podemos encontrar uma função gβ : ω −→ ω tal que
Uβ∩uxα,gβ = ∅. Como a sequência (fβ,n)n∈ω é crescente para β < α, podemos
encontrar um natural nβ tal que uxα,gβ ∩ uxβ,fβ,nβ = ∅. Pela propriedade que
citamos da notação utilizada, temos que o conjunto Aβ =
n
i ∈ ω : v(xα)i,gβ(i)∩ v(xβ)i,fβ,nβ(i) = ∅
o
seja infinito. Pelo lema 3.3.7 junto com a hipótese que d = c, podemos encontrar uma função h : ω −→ ω tal que para cada β < α o conjunto {j ∈ Aβ : gβ(j) < h(j)} é infinito. Pela notação utilizada, temos que uxα,h∩
Uβ = ∅ para cada β < α. Escolhemos então V ∈ U tal que xα ∈ V e
de funções {hn∈ ωω : n ∈ ω} tal que h0 = h e U =
T
n∈ωuxα,hn ⊂ V seja um
aberto-fechado. Definimos então Uα = U e assim concluímos a construção
por indução.
Corolário 3.3.9. Se d = c , Xi é compacto, regular e primeiro-enumerável
para todo i ∈ ω, então i∈ωXi é paracompacto.
No caso intermediário b = d, o seguinte teorema de van Douwen [vD80] nos mostra que uma hipótese suficiente para obter a paracompacidade de produtos caixa enumerável é a metrizabilidade e compacidade dos fatores. Teorema 3.3.10. O produto caixa de uma quantidade enumerável de espaços metrizáveis compactos é paracompacto se b = d.
Este teorema é uma simples consequência do seguinte lema, demonstrado, por exemplo, por Roitman em [Roi11]:
Lema 3.3.11. Suponha b = d. Então o produto nabla enumerável de espaços metrizáveis compactos é b-metrizável.
Demonstração. Pelo item 3 da proposição 3.3.4, existe uma família {fα∈ ωω : α < b}
a qual é uma b-escala. Para cada q(x) ∈ ∇i∈ωXi e cada α < b, definimos
uq(x),α= \ n∈ω ∇i∈ωBi xi, 1 2(n+fα(i))
onde Bi(xi, r) é a bola de centro xi e raio r em Xi. Temos então que Bq(x) =
uq(x),α : α < b é a base local de q(x) a qual testemunha que ∇i∈ωXi é um
espaço b-metrizável.
Continuando com os teoremas sobre a paracompacidade de produtos caixa utilizando hipóteses sobre pequenos cardinais, apresentamos um teorema de Scott Williams [Wil84], originalmente demonstrado através de uniformidades. No entanto, seguiremos a demonstração de Judith Roitman em [Roi11], a qual utiliza submodelos elementares. Ambas as demonstrações se baseiam em construir uma base para ∇i∈ωXi que testemunhe a ω1-metrizabilidade de
Teorema 3.3.12. Suponha d = ℵ1. Se Xi é um espaço compacto Hausdorff
com w(Xi) ≤ ℵ1 para cada i ∈ ω, então i∈ωXi é paracompacto.
Demonstração. Vamos mostrar que ∇i∈ωXi é ω1-metrizável, de maneira que
os teoremas 3.1.5 e 1.2.31 completam a demonstração.
Primeiramente, usamos a hipótese w(Xi) ≤ ℵ1 para selecionar uma base
Ci enumerável para cada i ∈ ω. Vamos construir, para cada i ∈ ω, uma
sequência crescente (Ci,α)α<ω1 de subconjuntos enumeráveis de Ci. Construi-
remos tal sequência de maneira que para cada α < ω1, Ci,α seja base de um
subespaço Xi,α ⊂ Xi, de maneira que Xi =Sα<ω1Xi,α.
Para construir (Ci,α)α<ω1, vamos usar o conceito de submodelos elemen-
tares. Primeiramente, consideramos H(ω2) a coleção de todos os conjuntos
cujo fecho transitivo possui cardinalidade menor que ω2. Pelo Teorema de
Löwenheim–Skolem, podemos construir (Mα)α<ω1 uma sequência contínua
crescente de submodelos elementares enumeráveis de H(ω2), de maneira que
∀i ∈ ω, Ci ∈
S
α<ω1Mα. Definimos então Ci,α= Ci∩ Mα.
Para cada Ci,α, definimos Xi,α =S Ci,α. Como (Ci,α)α<ω1 é uma sequência
crescente, (Xi,α)α<ω1 também o é. Ci ∈
S
α<ω1Mα garante que
S
α<ω1Xi,α = Xi.
Como Ci,αé uma base enumerável para Xi,α, temos que Xi,α é metrizável,
pelo Teorema da metrização de Urysohn (veja, por exemplo, [Eng89]). Como supomos d = b = ℵ1, pelo lema 3.3.11, temos que ∇i∈ωXi,α é ω1-metrizável
para cada α ∈ ω1. Podemos então construir para cada ponto x ∈ ∇i∈ωXi,α
uma base Bα(x) = {U (x)γ,α : γ < ω1} satisfazendo as condições da defini-
ção 1.2.30.
Para cada ponto x ∈ ∇i∈ωXi, podemos então definir a base local
B(x) = ( U (x)α = \ β,γ<α U (x)γ,β : Uγ,β ∈ Bβ(x), α < ω1 ) .
Como ∇i∈ωXi é P-espaço (lema 3.1.4), temos que os elementos de B(x) são
abertos. As propriedades de cada Bα(x) garantem que B(x) testemunhe que
Os resultados anteriores possuem em comum a hipótese de os fatores se- rem paracompactos. O seguinte resultado, por Lawrence em [Law88], mostra que é possível obter resultados semelhantes sem precisar que os fatores sejam paracompactos.
Teorema 3.3.13 (Lawrence). Supondo b = d ou d = c, se Xi é um espaço
metrizável enumerável, então i∈ωXi é ultraparacompacto.
A ideia da prova deste teorema consiste em usar a hipótese para ordenar o produto nabla de maneira a formar uma árvore, a qual nos auxilie a refinar uma cobertura aberta do produto caixa. Para tanto, Lawrence formulou a Hipótese da Ordem (OH), a qual consiste na existência de tal ordenação do produto nabla. Sua prova consistiu então em duas etapas: mostrar que b = d ou d = c implicam em OH, e mostrar que OH implica que i∈ωXi
é ultraparacompacto. Utilizaremos, contudo, uma versão modificada desta demonstração, feita por Roitman em [Roi11], a qual utiliza a mesma ideia. Definição 3.3.14 (Hipótese da Ordem). Seja Xi um espaço métrico enume-
rável para cada i ∈ ω. A Hipótese da Ordem (OH) é a seguinte afirmação: existe uma ordem parcial sobre ∇i∈ωXi satisfazendo:
• (∇i∈ωXi, ) é uma árvore de altura ≤ d;
• S
p↑ ⊂ i∈ωXi é aberto para cada p ∈ ∇i∈ωXi.
Como a OH e os teoremas que a envolvem não consideram a topologia do produto nabla ∇i∈ωXi, podemos utilizar ao invés um conjunto Y ⊂ X
=∗-transversal, isto é, constituído precisamente por 1 representante de cada classe de equivalência da relação =∗.
Lema 3.3.15. b = d implica OH.
Demonstração. Começaremos pelo caso b = d. Como cada Xi é enumerável,
podemos ordenar Xi com a ordem de ω e i∈ωXi com a ordem ≤∗. Pela
proposição 3.3.4(item 3), temos uma b-escala (hα)α<b em i∈ωXi.
Para cada α < b, definimos a função γα : ω −→ R+ definida por
A partir de cada γα, vamos construir, para cada α < b, uma espécie de
quasi-métrica1 δα : (i∈ωXi× i∈ωXi) −→ (R+)ω definida por:
(δα(x, y))i = δα,i(xi, yi) =
dn(xi, yi)
γα(i)
A partir dessa sequência, definimos para cada x ∈ i∈ωXi e cada α < b
o conjunto
ux,α= {y ∈ i∈ωXi : a sequência δα(x, y) converge para 0} .
Como (hα)α<b é uma b-escala, podemos definir αx para cada x ∈i∈ωXi
como o menor α < b tal que x ≤∗ hα. Definimos ux = ux,αx, e a partir
de tais conjuntos, construiremos a ordem sobre ∇i∈ωXi, de maneira que
ux =
S
q(x)↑. Para tanto, definimos a ordem parcial em ∇i∈ωXi por:
q(x) q(y) ⇐⇒ ux ⊃ uy
Para verificar que (∇i∈ωXi, ) satisfaz OH, mostraremos que esta cons-
trução possui as seguintes propriedades:
I) se x, y ∈ i∈ωXi são tais que x =∗ y, então para cada α < b temos
ux,α= uy,α (consequentemente q(x) ⊂ ux,α para todo α < b);
II) se αx, αy ≤ α e q(x) 6= q(y), então ux,α∩ uy,α = ∅;
III) se αx< αy, então ou ux ⊃ uy ou ux∩ uy = ∅.
Para verificar (I), dados x =∗ y, temos que existe n0 ∈ ω tal que xi = yi para
todo i > n0. Logo, dado z ∈i∈ωXi, temos que (δα(x, z))i = (δα(y, z))i para
todo i > n0.
Para verificar (II), sejam αx, αy ≤ α com q(x) 6= q(y). Para todo
n ∈ ω, temos xn, yn < hα(n). Portanto temos dn(xn, yn) ≥ γα(n), e assim
δα(x, y)n ≥ 1. A desigualdade triangular garante que ux,α∩ uy,α = ∅.
Para verificar (III), note que fixado x ∈i∈ωXi, temos ux,α⊃ ux,β sempre
que α < β. O mesmo ocorre para y fixado. Portanto ou uy,αx = ux,αx ou
uy,αx ∩ ux,αx = ∅.
Vamos agora verificar que (∇i∈ωXi, ) satisfaz a Hipótese da Ordem. A
propriedade (I) garante que a relação está bem definida. As propriedades reflexiva e transitiva são satisfeitas por devido a ⊃ também satisfazê-las. Já a propriedade antissimétrica é consequência de (II). Juntos, os itens (II) e (III) mostram que (∇i∈ωXi, ) é uma árvore, e que αx é altura de q(x). Isto
garante também que a altura de (∇i∈ωXi, ) é menor ou igual a b.
Por fim, basta verificar que para qualquer x ∈i∈ωXi, ux é aberto. Seja
y ∈ ux. Para cada i ∈ ω, definimos i = (δαx(x, y))i e Vi = Bδαx,i(yi, i).
Vamos mostrar que V = Q
i∈ωVi ⊂ ux. Seja z ∈ V . Para cada i ∈ ω, pela
desigualdade triangular, temos:
(δαx(x, z))i ≤ (δαx(x, y))i+ (δαx(y, z))i ≤ 2i
Como y ∈ ux, temos que a sequência (2i)i∈ω converge para 0, e portanto
z ∈ ux como gostaríamos.
Lema 3.3.16. A hipótese da ordem (OH) implica que o produto enumerável de espaços metrizáveis enumeráveis é paracompacto.
Originalmente, Lawrence demonstrou tal resultado refinando cuidadosa- mente uma cobertura dei∈ωXi em cada nível da árvore obtida por OH. No
entanto, posteriormente Wingers demonstra em [Win94] a seguinte generali- zação do teorema 3.3.13.
Teorema 3.3.17 (Wingers). Suponha d = c. Seja Xium espaço σ-compacto,
zero dimensional, primeiro enumerável com |Xi| ≤ c para cada i ∈ ω. Então
i∈ωXi é ultraparacompacto.
Além de cobrir o teorema 3.3.13 para o caso d = c, a demonstração de Wingers nos fornece um método mais simples para demonstrar o lema 3.3.16. Contudo, precisaremos de alguns outros resultados de [Win94].
Lema 3.3.18. Seja Xi um espaço primeiro enumerável para cada i ∈ ω.
Dada uma família U = {Uα : α < β} de caixas fechadas de i∈ωXi, com
β < d, temos que o conjunto S {S q(U ) : U ∈ U } é fechado.
Demonstração. Seja x ∈ i∈ωXi \S {S q(U ) : U ∈ U }. Fixamos α < β e
definimos Sα = {i ∈ ω : xi 6∈ (Uα)i}. Note que Sα é infinito. Construímos
então uma vizinhança aberta Vα = Qi∈ω(Vα)i de x definida por (Vα)i =
Xi\ (Uα)i para i ∈ Sα e (Vα)i = (Uα)i caso contrário.
Para cada i ∈ ω, seja {Bi,j : j ∈ ω} uma base local decrescente para x0.
Para cada α < β, definimos uma função fα : ω −→ ω dada por fα(i) =
min {j ∈ ω : Bi,j ⊂ (Vα)i}. Pelo lema 3.3.7, podemos construir uma função
g : ω −→ ω tal que o conjunto {i ∈ Sα : fα(i) ≤ g(i)} seja infinito para cada
α < β. Definimos a vizinhança V = Q
i∈ωBi,g(i) de x. Para cada α < β,
como o conjunto {i ∈ ω : Vi∩ (Uα)i} é infinito, temos que V ∩S q(Uα) = ∅,
como gostaríamos.
Definição 3.3.19. Seja U =Uα =
Q
i∈ωUα,i : ∀i ∈ ω, Uα,i⊂ Xi e α < β
uma família qualquer de caixas (não necessariamente abertas) de i∈IXi.
• Definimos U (x, n) = {U ∈ U : ∀i ≥ n, xi ∈ Ui} e U (x) =Sn∈ωU (x, n)
• Dizemos que U é uma família simples se para todo x ∈ i∈ωXi e todo
n ∈ ω temos
U (x, n) é infinito =⇒ {y ∈ i∈ωXi : ∀i ≥ n, yi = xi} ⊂
[ U • Dizemos que U é uma família afunilada2 se β = ω e para todo j ∈
ω, ∀i ≥ j, Uj+1,i = Uj,i
• Dadas duas caixas U e V em i∈ωXi, dizemos que U e V são forte-
mente disjuntas se {i ∈ ω : Ui ∩ Vi = ∅} for infinito.
Lema 3.3.20. Seja U uma família simples de caixas fechadas em i∈ωXi,
onde Xi é primeiro enumerável para todo i ∈ ω. Se |U | < d, então S U é
fechado.
Demonstração. Seja x ∈i∈ωXi\S U . Vamos construir uma vizinhança V
de x satisfazendo as seguintes propriedades: (i) ∀i ∈ ω, ∀U ∈ U (x, i + 1) \ U (x, i), Vi∩ Ui = ∅
(ii) V é fortemente disjunto de cada elemento de U \ U (x).
Como U é simples, pela contra-positiva da definição de família simples, temos que U (x, i) é finito para todo i ∈ ω. Fixado i ∈ ω, podemos então escolher uma vizinhança aberta Vi0 de xi tal que para cada U ∈ U (x, i + 1) \
U (x, i) tenhamos V0
i ∩ Ui = ∅, pois tais U são finitos e satisfazem xi 6∈ Ui.
Note que pela definição de U (x), temos x 6∈S {S q(U ) : U ∈ U \ U (x)}. Tal conjunto é fechado (lema 3.3.18), logo podemos escolher uma vizinhança básica aberta V00 de x tal que V00∩S {S q(U ) : U ∈ U \ U (x)} = ∅. Temos que V00 é fortemente disjunto de cada U ∈ U \ U (x). De fato, suponha que V00 não seja fortemente disjunto de algum U ∈ U \ U (x). Dado p ∈ V00 tal que pi ∈ Vi00∩ Ui para todo i > n, para algum n ∈ ω, temos que q(p) ∈ q(U ),
logo p ∈S q(U ), o que é um absurdo.
Temos então que V = V0 ∩ V00 é uma vizinhança de x que satisfaz
(i) e (ii). Como x 6∈ S U , temos U (x, 0) = ∅, de maneira que U (x) = S
i∈ω(U (x, i + 1) \ U (x, i)). Por (i), temos que V ∩S U (x) = ∅, enquanto
que por (ii) temos que V ∩S(U \ U (x)) = ∅. Assim, V ∩ S U = ∅, como gostaríamos.
Temos agora ferramentas suficientes para demonstrar o lema 3.3.16. Demonstração do lema 3.3.16. Suponhamos OH. Sejam Xienumerável e me-
trizável para cada i ∈ ω, a ordem sobre ∇i∈ωXi obtida por OH e up =
{q ∈ ∇i∈ωXi : p q}. Seja W uma cobertura aberta de i∈ωXi. Como cada
Xi é metrizável e enumerável, temos em particular que Xi é regular e pri-
meiro enumerável, e portanto zero dimensional (proposição 1.2.8). Portanto i∈ωXi é zero dimensional. Podemos também escrever Xi = {mi,j : j ∈ ω}.
Vamos construir um refinamento {Vy,n,l : y ∈ ∇i∈ωXi, n ∈ ω, l < f (l)} de
paralelamente uma função ilimitada ky : ω −→ ω para cada y ∈ ∇i∈ωXi.
Definimos Vy,n = Sl<f (l)Vy,n,l e Vy = {Vy,n : n ∈ ω} e vamos escolher um
representantey ∈ y. Queremos que, para cada y ∈ ∇b i∈ωXi, nossa construção
satisfaça as seguintes propriedades:
A. Vy =S {Vz : z ≺ y} é uma família simples.
B. se Vy 6= ∅, então Vy é uma família simples e afunilada.
C. se S Vy 6= ∅, então y ⊂S Vy
D. se Vy 6= ∅, entãoy ∈ Cb y,n = Q
i<n{mi,j : j ≤ ky(n)} × Qi≥n{mi,j} ⊂
Vy,n⊂S uy.
E. ∀n ∈ ω, ky(n) ≥ n.
F. Para quaisquer z ∈ ∇i∈ωXi e n ∈ ω tais que z y e Vn,z ∩ Vn,y 6= ∅,
temos kz(n) < ky(n).
G. se Vy 6= ∅, entãoy 6∈b S Vy.
H. Se Vy 6= ∅, então ∀i ∈ ω, ∀U ∈ Vy(y, i + 1) \ Vb y(by, i), (Vy,0)i∩ Ui = ∅ I. Se Vy 6= ∅, então Vy,0 é fortemente disjunto dos elementos de Vy\ Vy(y).b
Sejam n ∈ ω e y ∈ ∇i∈ωXi cuja altura é 0. Fixemos by ∈ i∈ωXi um representante da classe y. Definimos ky(n) = j(by, n) + n para cada n ∈ ω, onde j(x, l) é o número natural tal que xl= mj(x,l).
Vamos construir Vy,n satisfazendo D. Para n = 0, como temos Cy,0= {by}, podemos escolher um aberto fechado básico V0 tal que y ∈ Vb 0 ⊂ W ∩S uy
para algum W ∈ W. Definimos assim Vy,0 = V0. Para n > 0, note que Cy,n
é finito. Então para cada c ∈ Cy,n, podemos escolher um aberto fechado
básico Vc tal que c ∈ Vc⊂ Wc∩S uy para algum Wc∈ W. Definimos então
Vy,n = Q i<n S c∈Cy,n(Vc)i × Q i≥nV 0 i.
Para cada n ∈ ω, como Cy,n é compacto, podemos escolher finitos pontos
cl ∈ Cy,n, com l < f (n) para algum f (l) < ω, de maneira que Vy,n ⊂
S
l<f (n)Vcl. Definimos então Vy,n,l =
Q
i<n(Vc)i × Qi≥n(Vc)i∩ V 0
temos Vy,n,l ∈ Wcl ∈ W e Vy,n =
S
l<f (l)Vy,n,l. De fato, por um lado já temos
que Vy,n ⊃ Sl<f (n)Vy,n,l, uma vez que ∀i ∈ ω, ∀l < f (l), (Vy,n,l)i ⊂ (Vy,n)i.
Por outro lado, seja x ∈ Vy,n. Como {Vcl : l < f (n)} cobre Vy,n, temos que
existe x ∈ Vcl para algum l < f (n). Como ∀i ≥ n, xi ∈ V
0, temos que
x ∈ Vy,n,l, como gostaríamos.
Temos que a família Vy = {Vy,n : n ∈ ω} é afunilada e satisfaz y =
S
n∈ωCy,n ⊂ Vy. Temos também que a mesma é simples. De fato, sejam
p ∈ i∈ωXi e m ∈ ω, e suponha Vy(p, m) infinito. Seja q ∈ i∈ωXi tal que
∀i ≥ m, qi = pi. Definimos a = max {j(q, i) : i < m}. Como ky é ilimitado,
podemos encontrar b ∈ ω tal que ky(b) > a. Em seguida, como supomos
Vy(p, m) infinito, existe algum c > b tal que Vy,c ∈ Vy(p, m). Temos que
q ∈ C(y, c) ⊂S Vy, e , portanto, Vy é de fato simples.
Agora fixemos y ∈ ∇i∈ωXi cuja altura é 0 < α < d. Suponha kz e Vz
construídos para cada z ≺ y. O próximo passo na construção é puramente técnico e não acrescenta muito conceitualmente, de modo que o omitiremos. Detalhes da construção passo a passo estão na demonstração do Lema 13 em [Win94]. As condições G,H e I são utilizadas somente nesta afirmação. Afirmação. Podemos construir uma função ky : ω −→ ω satisfazendo as
condições E e F.
Com ky construído, vamos escolher by. Se y ⊂ S
z≺y(S Vy), podemos
definir f (n) = 1 e Vy,n,0 = ∅ para todo n ∈ ω e escolher y ∈ y um re-b presentante qualquer. Caso contrário, escolhemos um representante y ∈ yb tal que y 6∈b S
z≺y(S Vy). Podemos construir, portanto, do mesmo modo
que na demonstração do lema 3.3.20, um aberto fechado básico V tal que b
y ∈ V ⊂ W ∩ S (uy), para algum W ∈ W, de modo que V é forte-
mente disjunto de nU ∈S
z≺yVy : ∀n ∈ ω, ∃i ≥ n, xi 6∈ Ui
o
. Definimos en- tão Vy,0,0 = V e f (0) = 1, de maneira que Vy,0 = V . De tal forma, temos
satisfeitas as condições H e I. Para n > 0, construímos Vy,n e Vy,n,l como
anteriormente.
Novamente temos as condições B até D satisfeitas. Vamos mostrar agora que a propriedade F implica a propriedade A.
J = {j ∈ ω : ∃z ≺ y, Vz,j ∈ Vy(p, n)}. Seja q ∈ i∈ωXi tal que ∀i ≥ n, qi =
pi. Como anteriormente, definimos a = max {j(q, i) : i < m}. O objetivo é
encontrar algum V ∈ Vy tal que q ∈ V . Dividimos então a demonstração em
3 casos:
1. Suponha J infinito. Podemos encontrar j ∈ J tal que j > a. Seja z ≺ y tal que Vz,j ∈ Vy(p, n). Pela condição E, temos que kz(j) ≥ j > a.
Temos então que q ∈ Vz,j, como gostaríamos.
2. Suponha J finito. Como supomos Vy(p, n) infinito, pelo princípio da
casa dos pombos, existe algum j0 ∈ J para o qual existem infinitos
z ≺ y tais que Vz,j0 ∈ Vy(p, n). Suponhamos j0 ≥ n. Denotemos
Z = {z ≺ y : Vz,j0 ∈ Vy(p, n)}. Seja r ∈ i∈ωXi dado por ri = mi,0
para i < n e ri = pi para i ≥ n. Note que, para todo z ∈ Z, temos
r ∈ Cz,j0 ⊂ Vz,j0, logo
T
z∈ZVz,j0 6= ∅. Pela condição F, temos que
a sequência (kz(j0))z∈Z ordenada por ≺ é crescente. Logo, podemos
encontrar z ∈ Z tal que kz(j0) > a. Temos então que q ∈ Vz,j0, como
gostaríamos.
3. Suponhamos J finito e j0 < n. Pela condição B, para cada z ∈ Z, temos
que Vz é afunilada. Portanto, temos que ∀i ≥ n, (Vz,n)i = (Vz,j0)i,
de maneira que xi ∈ (Vz,n)i. Desta maneira, Vz,n ∈ Vy(p, n) para
infinitos z ≺ y. Assim, podemos proceder como no item anterior, apenas substituindo j0 por n, e encontrar z ≺ y tal que q ∈ Vz,n, como
gostaríamos.
Vamos então construir um refinamento U aberto dois a dois disjunto de W. Definimos os elementos de U por
Uy,n,l = Vy,n,l\ [ Vy ∪ [ i<n Vy,i∪ [ i<l Vy,n,i ! .
Como cada Vy cobre y, temos que tal refinamento de fato cobre i∈ωXi.
Note que a condição D garante que S Vy ⊂S uy, portanto y q(x). Assim,
elemento de U ao qual x pertence é Vmin Ax. Por fim, o lema 3.3.20 garante
que cada Uy,n,l é aberto, completando a demonstração.