2. Revisão Bibliográfica
2.3. Impacto de Corpos Rígidos
2.3.3. Perda de Energia durante o impacto
Existem vários meios de perda de energia na colisão entre dois ou mais corpos, como, por exemplo, deformação, ondas vibratórias e atrito, que não ocorrerão sozinhos.
Corpos em colisão desenvolvem altos valores de força de contato que causa deformação em ambos os corpos, permanente ou não. Durante a fase de compressão, à medida que o corpo se deforma uma energia associada é armazenada, de forma que é liberada durante a fase da restituição. Desta forma, o coeficiente de restituição é uma referência da quantidade de energia perdida pelo sistema.
Na teoria de impactos de corpos rígidos, as deformações são desprezíveis fora da região de contato, onde esta se comporta como uma mola não linear entre dois corpos (Stronge, 2000). O mecanismo de colisão após o contato pode ser dividido em duas fases: compressão e
restituição. A compressão é causada pela força de contato aplicada aos corpos e está
diretamente relacionada com as características do material que compõe este corpo, principalmente a rigidez (ou pela compliância, que é o inverso da rigidez), podendo causar deformações elásticas ou plásticas (indentações). O ponto de máxima compressão (que coincide com o início da restituição) ocorre quando a velocidade relativa torna-se zero, ou seja, a energia cinética é convertida em energia de deformação. No instante seguinte, a energia de deformação armazenada durante a compressão gera uma força impulsiva que
aumenta a energia cinética dos corpos, até o ponto em que se separam, no caso de colisões não inelásticas. Porém, nem toda energia de deformação é convertida novamente em energia cinética, durante a fase da restituição a compliância da região que está deformada é menor do que a compliância do corpo ao ser comprimido (Stronge, 2000). Isto significa que após a restituição, o corpo apresentará uma deformação residual 𝛿𝑓 na sua superfície (indentação), Figura 2.4.
Figura 2.4: Variação da força de Contato e deformação. Adaptado de Sronge (2000).
Se o choque fosse perfeitamente elástico (e=1) além de não ocorrer dissipação de energia, o corpo voltaria à sua forma original (sem deformação) e o tempo de restituição seria o mesmo da compressão. Entretanto, como há dissipação de energia, o tempo gasto durante o período da restituição será sempre menor em relação ao da compressão, Figura 2.5.
Figura 2.5: Comparação dos tempos de compressão e restituição. Adaptado de Sronge (2000).
A perda de energia que ocorre durante a compressão está relacionada com a velocidade inicial relativa do movimento (𝑣𝑜). A energia cinética inicial do sistema, responsável pela
compressão, é dada por:
𝐸𝑐𝑖= 1 2𝑚 𝑉𝑜2+ 1 2𝑚′𝑉′𝑜 2 (2.26) Durante a compressão, a força de contato gera um impulso de compressão (pc). Quando a
compressão termina num determinado tempo tc (Figura 2.5) os corpos apresentam velocidade
relativa nula, ou seja, V = V’, logo pela Eq. (2.17): 0 = 𝑣𝑜+ 𝑝𝑐
𝑀𝑒𝑓 → 𝑝𝑐 = −𝑀𝑒𝑓 𝑣𝑜 (2.27)
O trabalho realizado pela força de contato F atuante nos corpos é dado por: 𝑊 = ∫ 𝐹 𝑣 𝑑𝑡𝑡
0
Como a força é caracterizada pela aplicação variação temporal do impulso (F=dp/dt), o trabalho pode ser reescrito como:
𝑊 = ∫ 𝑣 𝑑𝑝
𝑝′ 0
Substituindo a Eq. (2.17) na Eq. (2.28), temos: 𝑊𝑐 = ∫ 𝑣𝑜+ 𝑝 𝑀𝑒𝑓 𝑑𝑝 𝑝𝑐 0 = 𝑣𝑜𝑝𝑐− 1 2𝑀𝑒𝑓𝑝𝑐 2 (2.29)
Resolvendo a Equação (2.29) a partir da relação encontrada na Eq. (2.27), o trabalho realizado pela força de contato durante a fase de compressão, que equivale à energia de deformação interna absorvida, é dado por:
𝑊𝑐 = −1
2𝑀𝑒𝑓 𝑣𝑜2 (2.30)
Após a compressão, a parte da energia que se transformou em energia de deformação (relacionada com a velocidade relativa inicial) é descontada da energia cinética inicial do sistema. Portanto, no início da restituição, a energia é:
𝐸𝑐𝑟 = 𝐸𝑐𝑖−1
2𝑀𝑒𝑓𝑣𝑜2 (2.31)
Corpos em colisão estão submetidos a forças de contato proporcionais às suas velocidades que os deformam e geram tensões nas superfícies de contato. As tensões geradas causam ondas de tensão que radiam da região de contato e transmitem mudanças nas velocidades dos corpos (Stronge, 2000).
A ação de uma força aplicada repentinamente não é transmitida de uma só vez para todas as partes de um corpo. As deformações produzidas pela força se propagam através do corpo na forma de ondas elásticas (Timoshenko & Goodier, 1951). Um exemplo clássico de transmissão de ondas elásticas é o terremoto, onde o choque entre placas tectônicas cria ondas sísmicas que são transmitidas à superfície terrestre. Considerando que uma tensão σ compressiva é aplicada subitamente numa das extremidades de uma barra, como ilustrado na Figura 2.6, uma compressão uniforme de uma camada infinitesimal será transmitida para as camadas adjacentes, sucessivamente. Então, uma onda de compressão é gerada e se propaga ao longo da barra com uma velocidade vc. Multiplicando a velocidade vc por um determinado
Figura 2.6: Propagação de onda numa barra. Adaptado de Timoshenko & Goodier (1951).
No impacto colinear entre duas esferas, a dissipação de energia cinética pode ocorrer a partir dois mecanismos: propagação de ondas de tensão e deformação plástica (Wu et al., 2005). Durante uma colisão, uma alta energia cinética é capaz de causar uma deformação plástica no material sendo convertida em energia de deformação elástica e energia de deformação plástica. Neste caso apenas a energia de deformação elástica pode ser recuperada como energia cinética durante a separação dos corpos. A propagação de ondas de tensão também é uma forma de perda da energia inicial, porém representa uma quantidade muito pequena quando comparada com a perda provocada pela deformação plástica.
A propagação das ondas de tensão está diretamente relacionada com a dimensão e com as características do material dos corpos. Tais características influenciam na velocidade de propagação da onda no corpo (𝑉𝑒), enquanto que a dimensão está relacionada com o tempo de reflexão da onda (𝑡𝑟𝑜), de acordo com as equações abaixo:
𝑉𝑒 = √ 𝐸0 𝜌 (2.32) 𝑡𝑟𝑜 = 2𝐿𝑐 𝑉𝑒 (2.33)
onde Lc é o comprimento do corpo
Considerando que o tempo de contato entre os corpos seja 𝑡𝑐 é possível calcular o número de reflexões da onda de acordo com o tempo de reflexão de onda 𝑡𝑟𝑜:
𝑁𝑟𝑜 = 𝑡𝑐
𝑡𝑟𝑜 (2.34)
Wu et. al (2005) realizou testes de impacto com uma esfera em blocos (substratos) de diferentes tamanhos e materiais, mostrando que as ondas de tensão dissipam mais energia
cinética em substratos maiores. Os resultados dos testes realizados por estes autores mostraram que, se pelo menos uma reflexão de onda ocorrer no substrato, a perda de energia por ondas de tensão é inferior a 3%, podendo ser desconsiderada.
Em impactos de esferas rígidas de aço em aços numa velocidade de 70 m/s, o coeficiente de restituição encontrado foi em torno de 0,4 (Uetz & Gommel, 1966 apud Hutchings, 1979) o que representa uma perda de aproximadamente 3% por ondas elásticas, segundo a Equação (14) de Hutchings (1979).
Hunter (1957) analisou o contato de uma esfera de aço com um bloco de aço e vidro, mostrando que pouca energia cinética é convertida em ondas elásticas. As formulações propostas por este autor somente são aplicáveis para casos de impactos elásticos, pois são baseadas na Teoria de Hertz. Para altas velocidades, as equações propostas por Hunter não são aplicáveis (Hutchings, 1979).