Faculdade de Engenharia Mecânica
MARCOS VIEIRA DE ALBUQUERQUE
Modelagem e Análise Dinâmica de um
Absorvedor de Vibrações por Efeito de
Impacto
CAMPINAS 2016
Primeiramente, agradeço a Deus, pois sei que sem Ele nada é possível.
Aos meus pais, Geraldo e Marcia, pelo amor, incentivo e dedicação sem fim. Às minhas irmãs, Celina e Miriam, pelo apoio e carinho. À Gláucia, pelo amor e incentivo constante.
Ao meu orientador, Prof. Robson Pederiva, pela oportunidade concedida. Agradeço também pela orientação, amizade, pelo exemplo de profissionalismo e pela possibilidade de dar sequência nos estudos.
Aos professores Alberto Luiz Serpa e Antônio Carlos de Oliveira Ferraz, membros da banca examinadora do exame de qualificação, pelas ponderações e contribuições dadas a este trabalho.
Ao Prof. Jorge Nei Brito, meu ex-orientador na Universidade Federal de São João del-Rei, pela amizade e por ter me incentivado a ingressar no Mestrado.
Aos membros da banca examinadora, Prof. Anselmo Eduardo Diniz e Prof. Antônio Carlos de Oliveira Ferraz, por aceitarem o convite para avaliar este trabalho.
Aos amigos do Laboratório de Vibrações, Henrique Silveira, Fabio Dalmazzo, Pedro Grego, Clodoaldo Chagas, Lucas Carvalho, Wagner Sá, Henrique Severino e André Suetti, pela convivência, amizade, e pela troca de experiências e conhecimentos.
Aos funcionários da oficina, Maurício, Eli, Ferreira e Mauro pelo essencial apoio na construção da bancada experimental e na realização dos testes experimentais.
À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), por conceder apoio financeiro para a realização deste trabalho.
amortecimento que utilizam massa(s) secundária(s), com movimento livre entre uma folga pré-estabelecida, para colidir(em) contra a estrutura a ser amortecida, dissipando parte da energia a partir da transferência de momento linear entre as massas envolvidas. Trabalhos recentes mostram a eficiência deste tipo de absorvedor, contudo, sua eficiência depende de muitos parâmetros, como: a folga existente para o movimento da partícula, razão entre a massa da partícula e a massa da estrutura, material e geometria dos corpos, amplitude e frequência de vibração do sistema, coeficiente de restituição e velocidade de impacto. Neste trabalho, um sistema de um grau de liberdade foi modelado e, em seguida, foi adicionada uma massa secundária, interna à massa principal, que se movimenta sem atrito entre uma determinada folga, adicionando mais um grau de liberdade ao sistema. O contato entre a massa principal e a massa secundária foi modelado por um conjunto não linear de mola – amortecedor, onde os parâmetros de contato (rigidez e amortecimento) foram calculados de acordo com modelos matemáticos, dependentes do material dos corpos, do coeficiente de restituição e velocidade de impacto. Para validar o modelo matemático, foi projetada e construída uma bancada experimental para representar um sistema de um grau de liberdade que pode vibrar livremente ou forçadamente a partir do movimento de base. A bancada permite adicionar uma massa para que ocorra o impacto entre uma determinada folga, que pode ser variada dentro de certo limite. Ensaios experimentais foram realizados e as respostas foram comparadas com as respostas teóricas. As equações de movimento desenvolvidas foram integradas utilizando o software MATLAB® para analisar a resposta de deslocamento temporal, variando a folga e a razão de massa do sistema. No caso de vibração forçada, a transmissibilidade de deslocamento foi obtida pela razão da amplitude da estrutura pela amplitude da base e utilizada como parâmetro de comparação dos casos sem e com impacto. As condições impostas à bancada experimental foram reproduzidas no modelo matemático proposto e os resultados teóricos mostraram, qualitativamente, coerência com os resultados experimentais nas condições analisadas.
free movement between a pre-set clearance, to collide against the structure to be damped, dissipating part of energy from the momentum transfer between the masses involved. Recent studies have shown the efficacy of this type of absorber, however its efficiency depends on many parameters such as the existing clearance for the movement of the particle, the system mass ratio (ratio between the mass of the particle and the mass of the structure), materials and geometry of bodies, amplitude and frequency of vibration system, coefficient of restitution and impact velocity. In this work, a single degree of freedom system was modeled and then was added a secondary frictionless mass (internal to the primary mass) that moves between a certain clearance, which adds a new degree of freedom to the system. The contact between the primary and secondary mass was modeled by a non-linear spring – damper set. The contact parameters (stiffness and damping) were calculated according to mathematical models, dependent on the body material, the coefficient of restitution and impact velocity. To validate the mathematical model, it was designed and built a test rig to represent a system that can vibrate freely or forced from harmonic base movement. The test rig allows addition of an impact mass to collide to the structure between an adjustable clearance. Experimental tests were carried out and the responses were compared with theoretical results. The equations of motion developed were integrated using the MATLAB® to analyze the temporal displacement response by varying the clearance and the mass ratio of the system. In the case of forced vibration, the displacement transmissibility was obtained. The conditions imposed on the test rig reproduced in the proposed mathematical model, were qualitatively consistent with the experimental results.
Figura 2.2: Fases durante um impacto. Fonte: (Hibbeler, 2010).
Figura 2.3: Posição de dois corpos antes do impacto. Fonte: Seifreid et al. (2010) Figura 2.4: Variação da força de Contato e deformação. Fonte: Sronge (2000).
Figura 2.5: Comparação dos tempos de compressão e restituição. Fonte: Sronge (2000). Figura 2.6: Propagação de onda numa barra. Adaptado de Timoshenko & Goodier (1951).
Figura 2.7: Configurações de impacto. Fonte: Seifried et al. (2010).
Figura 2.8: Coeficiente de restituição para cada configuração. Fonte: Seifried et al. (2010).
Figura 2.9: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto para esferas de aço inox . Fonte: Wong et al. (2009).
Figura 2.10: Variação do coeficiente de restituição com o diâmetro da esfera. Fonte: Aryaei et al. (2010).
Figura 2.11: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto para esferas de aço inox em contato com placa Perspex . Fonte: Wong et al. (2009).
Figura 2.12: Variação do Coeficiente de restituição com a velocidade para hastes diferentes. Fonte: Seifried et al. (2010).
Figura 2.13: Superfícies de contato das hastes. Fonte: Seifried et al. (2010).
Figura 2.14: Diagrama esquemático de um amortecedor por impacto. Fonte: Ema & Marui (2000).
Figura 2.15: Sistema utilizado por Gharib & Ghani (2013).
Figura 2.16: Resposta temporal para uma partícula. Fonte: Gharib & Ghani (2013). Figura 2.17: Resposta temporal para 3 esferas. Fonte: Gharib & Ghani (2013). Figura 2.18: Resposta temporal para 5 esferas. Fonte Gharib & Ghani (2013).
Figura 2.19: Modelo de absorvedor interno aplicado à uma massa principal. Fonte: Cheng & Wang (2003).
Figura 2.20: (a) Diagrama esquemático do modelo com absorvedor externo em seção transversal; (b) vista superior do absorvedor. Fonte: Cheng & Wang (2003).
Figura 2.23: Variação do amortecimento para várias folgas internas. Fonte: Marhadi & Kinra (2005).
Figura 2.24:Resposta ao deslocamento nas condições de: – – - d = 0,31 mm; ——, d=4,61 mm; –··–, sem impacto. Fonte Cheng & Wang (2003).
Figura 2.25: Relação entre amplitude, folga e razão de massa. Adaptado de Cheng & Wang (2003).
Figura 2.26: Deslocamento da massa principal com absorvedor, folga de a) 6,95mm (— —) e b) 34,36mm (——); sem absorvedor (- - - - -). Fonte: Cheng & Wang (2003). Figura 2.27: Relação entre inclinação do amortecimento e folga interna. Adaptado de Yasuda & Toyoda (1978).
Figura 2.28: Variação da inclinação do amortecimento com a folga. Fonte: Bapat & Sankar (1985).
Figura 2.29: Variação do amortecimento de acordo com o número de partículas. Fonte: Marhadi & Kinra (2005).
Figura 2.30:Razão de amortecimento em função da amplitude da base e do coeficiente de restituição. Adaptado de Duncan et al. (2005).
Figura 2.31: Efeito da folga sob excitação randômica. Adaptado de Li & Darby (2006). Figura 3.1: Sistema 2 GDL.
Figura 3.2: Dimensões importantes para a modelagem. Figura 3.3: Diagrama de corpo livre da massa principal.
Figura 3.4: Massa secundária entre as barreiras (a) e os diagramas de corpo livre (b) nas condições de contato.
Figura 3.5: Sistema com excitação pela base.
Figura 4.1: Desenho esquemático da bancada experimental. Figura 4.2: Base inferior.
Figura 4.3: Escala graduada de aço inox. Figura 4.4: Reprodução da escala graduada.
Figura 4.5: Base Superior sem (a) e com barreiras (b). Figura 4.6: Montagem do conjunto.
Figura 4.7: Detalhe da guia linear instalada.
Figura 4.8: Esferas utilizadas como massa de impacto.
Figura 4.12: Acelerômetro de impacto Endevco® 226C.
Figura 4.13: Detalhe do posicionamento do acelerômetro em relação à estrutura. Figura 4.14: Bancada experimental montada e instrumentada.
Figura 4.15: Resposta de vibração livre amortecida da bancada experimental. Figura 4.16: Massa equivalente de uma viga em balanço. Adaptado de Rao (2008). Figura 4.17: Sinal teórico x experimental, posição 28.
Figura 4.18: Bancada típica para o teste. Fonte: ASTM E1876-09. Figura 4.19: Montagem para determinação do Módulo de Elasticidade. Figura 4.20: Espectro da resposta devido ao impacto.
Figura 4.21: Primeiro modo de flexão da viga.
Figura 5.1: : Amplitude de vibração forçada sem e com impacto. Figura 5.2: Resposta livre sem e com impacto.
Figura 5.3: Influência da massa na resposta em frequência.
Figura 5.4: Amplitude da massa principal com µ=0,0815 (a) e µ= 0,2444 (b). Figura 5.5: Variação da amplitude da resposta pela folga.
Figura 5.6: Variação da amplitude da resposta em função do amortecimento externo. Figura 5.7: Variação do amortecimento em função do amortecimento estrutural. Fonte: Duncan et al. (2005).
Figura 5.8: Resposta livre da estrutura (experimental).
Figura 5.9: Comparação da resposta livre - Experimental x Teórico.
Figura 5.10: Amortecimento interno em função do velocidade relativa e do coeficiente de restituição.
Figura 5.11: Amortecimento interno para e = 0,35 (esfera menor). Figura 5.12: Amortecimento interno para e = 0,23 (esfera maior). Figura 5.13: Velocidade e aceleração da estrutura - Folga 2. Figura 5.14: Velocidade e aceleração da estrutura - Folga 4. Figura 5.15: Velocidade e aceleração da estrutura - Folga 6. Figura 5.16: Velocidade e aceleração da estrutura - Folga 8. Figura 5.17: Velocidade e aceleração da estrutura - Folga 10.
Figura 5.18: Representação da inclinação de amortecimento. Adaptado de Yasuda & Toyoda (1978)
Wang (2010).
Figura 5.22: Sinal temporal da base e da estrutura (8,0 Hz). Figura 5.23: Transmissibilidade de deslocamento (sem impacto).
Figura 5.24: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 2, esfera menor).
Figura 5.25: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 4, esfera menor).
Figura 5.26: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 6, esfera menor).
Figura 5.27: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 8, esfera menor).
Figura 5.28: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 10, esfera menor).
Figura 5.29: Transmissibilidade de Deslocamento – Experimental (esfera menor). Figura 5.30: Transmissibilidade de Deslocamento – teórica (esfera menor)
Figura 5.31: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 2, esfera maior).
Figura 5.32: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 4, esfera maior).
Figura 5.33: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 6, esfera maior).
Figura 5.34: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 8, esfera maior).
Figura 5.35: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 10, esfera maior).
Figura 5.36: Transmissibilidade de Deslocamento - experimental (esfera maior). Figura 5.37: Transmissibilidade de Deslocamento - teórica (esfera maior). Figura 5.38: Resposta em frequência sem impacto.
Figura 5.39: Resposta em frequência com impacto.
Tabela 2.1: Fator de amortecimento de histerese. Adaptado de Hu & Guo (2015) Tabela 4.1: Massas dos elementos da Bancada Experimental
Tabela 4.2: Parâmetros da bancada em relação à posição da base superior Tabela 4.3: Lista de equipamentos utilizados.
Tabela 4.4: Distâncias utilizadas entre as barreiras.
Tabela 5.1: Velocidades de impacto estimadas (esfera menor). Tabela 5.2: Velocidades de impacto estimadas (esfera maior).
Letras Latinas
A Amplitude de deslocamento;
A0 Amplitude inicial de deslocamento;
b Largura da viga, mm;
c Parâmetro de amortecimento interno do modelo não linear de contato ou fator de amortecimento por histerese;
c1 Coeficiente de amortecimento viscoso do sistema principal;
D Coeficiente de amortecimento do modelo não linear de contato;
d Folga;
e Coeficiente de restituição;
E Módulo de Elasticidade;
Ec Energia cinética;
Er Energia potencial;
F Força excitadora do sistema;
F Força;
FC Força atuante no amortecedor interno;
ff Frequência de ressonância da viga (flexão), Hz;
FN Força de contato;
FR Força atuante na mola interna;
hi Coeficiente de material dos corpos em contato;
k Parâmetro de rigidez interna do modelo de contato;
k1 Coeficiente de rigidez da mola externa do sistema;
L Comprimento da massa principal m1;
l0 Comprimento inicial da mola interna usada na modelagem do contato;
l10 Comprimento inicial da mola externa;
Lb Comprimento da viga, mm;
Lc Comprimento do corpo;
m1 Massa equivalente do sistema;
m Massa secundaria ou massa de impacto;
macel Massa do acelerômetro;
mb Massa da viga, g;
mesc Massa da escala;
mi Massa de cada corpo durante o contato;
n Constante da não linearidade do modelo de contato;
n Vetor normal;
Nro Número de reflexão da onda;
P Impulsos originados da força de contato;
Pc Impulso de compressão;
Pi Pontos de contato;
Q Quantidade de movimento;
R Impulso de Restituição;
ri Vetor posição;
Ri,j Raio dos corpos em contato;
t Tempo;
T1 Fator de correção para o modo fundamental de flexão;
tb Espessura da viga, mm;
tro Tempo de reflexão da onda;
V Velocidade do corpo no processo de contato;
vc Velocidade de propagação da onda elástica;
Ve Velocidade de propagação da onda no corpo;
W Trabalho realizado;
x1 Posição da massa principal m1; x2 Posição da massa secundária m;
Y Amplitude de deslocamento da base;
Y1 Amplitude de deslocamento do primeiro pico da vibração livre;
Y1+no Amplitude de deslocamento do (1+no)-ésimo pico da vibração livre;
Letras Gregas
α Decremento logarítmico;
δ Deformação relativa;
ϑ Coeficiente de Poison;
μ Razão de massa;
νo Velocidade relativa inicial do movimento;
ξ Fator de amortecimento;
ϕ Ângulo de fase;
ω Frequência de excitação;
ωd Frequência natural amortecida [rad/s];
Sumário
1. Introdução ... 19
1.1. Objetivos ... 22
1.2. Objetivos Específicos ... 22
2. Revisão Bibliográfica ... 23
2.1. Princípio de Impulso e Quantidade de Movimento ... 23
2.2. Colisão ou Impacto ... 24
2.2.1. Colisão entre dois corpos ... 25
2.3. Impacto de Corpos Rígidos ... 27
2.3.1. Impactos Colineares entre dois corpos rígidos ... 28
2.3.1.1. Cinemática do Impacto ... 28
2.3.1.2. Movimento Relativo ... 30
2.3.2. Força de contato... 31
2.3.3. Perda de Energia durante o impacto ... 35
2.3.4. Coeficiente de Restituição ... 40
2.4. Absorvedores por efeito de impacto (Impact Dampers) ... 46
3. Modelo Matemático ... 61
3.1. Hipóteses simplificadoras ... 62
3.2. Equações de Movimento ... 62
3.3. Condições para integração ... 67
4. Bancada Experimental ... 69
4.1. Projeto ... 69
4.2. Instrumentação ... 74
4.3. Determinação dos parâmetros físicos da bancada experimental ... 77
4.4. Determinação dos parâmetros de contato ... 82
4.5. Equipamentos utilizados ... 86
4.6. Descrição dos ensaios experimentais ... 87
5. Resultados ... 89
5.1. Simulações iniciais ... 89
5.4. Simulação da vibração livre ... 102
5.5. Simulação da vibração forçada ... 106
5.5.1. Simulação com a esfera menor ... 108
5.5.2. Simulação com a esfera maior ... 112
5.6. Influência da massa de impacto na resposta em frequência ... 117
1. Introdução
A dinâmica de vibro-impacto tem trazido grandes benefícios nos últimos anos, principalmente no controle de vibrações em estruturas e máquinas (Ibrahim, 2009). O trabalho de Paget, intitulado ―Mechanical Damping by Impact de 1930, foi o pioneiro nesse estudo, daí em diante, vários trabalhos foram publicados explorando a dinâmica de contato e sua aplicação em sistemas para diminuir a amplitude vibracional. Surgiram, então, os absorvedores (ou amortecedores) de vibração por efeito de impacto, conhecidos na literatura como Impact
Dampers ou Particle Impact Damper.
Os absorvedores de vibração por efeito de impacto são dispositivos passivos de amortecimento que utilizam alguma(s) massa(s), definida(s) como massa(s) secundária(s) ou partícula(s), que se move(m) livremente entre uma folga pré-estabelecida, chocando-se contra a estrutura a ser amortecida, dissipando energia. Esses dispositivos são caracterizados pela simplicidade mecânica, insensibilidade à degradação e à temperatura, nenhum requisito de energia externa e baixo custo. São capazes de fornecer amortecimento eficaz sobre uma gama de acelerações e frequências em ambientes onde alguns dispositivos tradicionais podem falhar (Du & Wang, 2010). A forma mais simples desse amortecedor é aquele que utiliza apenas uma massa de impacto, investigado analítica, numérica e experimentalmente por Masri (1969), Bapat & Sankar (1985), Friend & Kinra (2000), Błażejczyk-Okolewska (2001), Cheng & Wang (2003), Duncan et al. (2005), Cheng & Xu (2006), dentre outros.
Considerando um sistema principal que vibra com uma determinada amplitude, este dispositivo, ao ser adicionado a esse sistema, induz a transferência de momento linear entre as massas envolvidas (partícula e sistema), reduzindo a vibração do sistema principal (Masri, 1969). Um grande número de trabalhos tem mostrado a eficiência deste tipo de absorvedor, contudo, sua eficiência depende de muitos parâmetros, ligados aos corpos propriamente ditos, à vibração do sistema e também à interação entre eles durante o contato, como: a folga existente para o movimento da partícula, a razão de massa do sistema (razão entre a massa da partícula e a massa da estrutura), materiais e geometria dos corpos, amplitude e frequência de vibração do sistema, coeficiente de restituição do contato e velocidade de impacto.
A redução da vibração não depende do número de impactos, mas, primeiramente, da colisão entre os corpos quando se movem um contra o outro (Cheng & Xu, 2006). Popplewell et al. (1983) verificaram que os amortecedores de impacto são mais eficazes quando duas colisões ocorrem durante cada ciclo de oscilação, uma condição que ocorre apenas para os parâmetros específicos (Pinotti & Sadek (1970) apud Duncan et al. (2005)). Assim, a folga interna é um parâmetro que deve ser ajustado para que uma determinada massa de impacto execute as duas colisões mencionadas. Estudos variando os materiais dos corpos também têm sido realizados. Li & Darby (2009), por exemplo, introduziram diversos materiais entre a massa e as paredes para reduzir tanto a aceleração e força de contato nas colisões, mostrando que alguns desses materiais podem melhorar o desempenho do absorvedor.
Muitos investigadores também tem estudado o desempenho de absorvedores multi-partículas, como Friend & Kinra (2000), Marhadi & Kinra (2005) e Gharib & Ghani (2013), e amortecedores de impacto do tipo “bean bag”. A diferença entre esses dois tipos de dispositivos consiste na estrutura que acomoda as partículas, no caso do bean bag a estrutura é flexível. Em geral, os absorvedores multi-partículas e bean bag produzem menos choque e ruído e são menos sensíveis aos parâmetros de vibração, gravidade e folga do que os seus homólogos de partículas individuais (Fowler et al. (2001) apud Du et al. (2005)). Segundo esses autores, o desempenho dos absorvedores multi-partículas, no entanto, é afetado pelo tamanho das partículas utilizadas, onde partículas menores são mais eficazes no amortecimento em amplitudes maiores.
Estudos aplicando esses absorvedores em operações reais têm sido realizados com resultados de sucesso. A aplicação em operações de usinagem, por exemplo, tem trazido grandes benefícios em relação ao acabamento superficial da peça usinada e à possibilidade de usinar maiores profundidades em torneamento interno, condição desfavorável devido à baixa relação comprimento-diâmetro do porta ferramenta. Nesse caso, esferas de aço são inseridas no interior dos portas ferramentas, em diferentes configurações de fração de volume (porcentagem do volume ocupado pelas esferas em relação ao volume total do furo do porta ferramenta), para dissipar parte da energia de vibração (Biju & Shunmugam, 2014 e Suyama, 2014). A análise de sistemas multi-partículas é complexa. Entretanto, atualmente o Método dos Elementos Discretos (DEM – Discret Element Method) vem sendo utilizado com êxito em muitas simulações. O DEM é uma abordagem numérica que pode simular materiais
granulares, que considera explicitamente as partículas individuais de material granular e suas interações (O'Sullivan, 2011).
O contato entre os corpos nos absorvedores por impacto é modelado muitas vezes por um conjunto linear de mola-amortecedor viscoso ou diretamente pelo coeficiente de restituição aplicado à velocidade de separação dos corpos. Os parâmetros de contato de rigidez e amortecimento viscoso são estimados a partir do coeficiente de restituição e do tempo de contato entre os corpos, como mostrado por Nagurka & Huang (2004) e Li & Darby (2009). Estudos sobre impacto entre corpos vêm utilizando uma modelagem não-linear, baseado na teoria de contato de Hertz e representado por um conjunto não linear de mola-amortecedor, como Lankarani & Nikravesh (1990), Flores et al. (2011) e outros. Neste trabalho, foi aplicada essa modelagem não linear no contato entre as massas envolvidas nos absorvedores por impacto. Os parâmetros de contato (rigidez e amortecimento) foram calculados de acordo com modelos matemáticos disponíveis na literatura, dependentes do material dos corpos, do coeficiente de restituição e velocidade de impacto. A modelagem matemática de um sistema de um grau de liberdade foi realizada e, em seguida, a massa de impacto foi adicionada a esse sistema, com o contato modelado pela abordagem não-linear, caracterizando um sistema de dois graus de liberdade, que pode ser excitado livre ou forçadamente (via movimento harmônico de base).
Para validar o modelo matemático, foi projetada, construída e instrumentada uma bancada experimental que pode vibrar livremente ou forçadamente a partir do movimento de base. A bancada permite que seja adicionada uma massa para que ocorra o impacto entre uma determinada folga, sendo que essa pode ser regulada dentro de certo limite. Ensaios experimentais foram realizados e as respostas extraídas do experimento foram comparadas com as respostas teóricas, obtidas pela integração das equações de movimento. A resposta de deslocamento temporal foi analisada, variando a folga e a razão de massa do sistema em vibração livre e forçada. No caso da vibração forçada, a transmissibilidade de deslocamento é obtida pela razão da amplitude da estrutura pela amplitude da base e utilizada como parâmetro de comparação dos casos sem e com impacto.
As condições impostas à bancada experimental foram reproduzidas no modelo matemático proposto. Os resultados teóricos mostraram coerência com os resultados experimentais nas condições analisadas.
1.1. Objetivos
O objetivo é analisar a resposta dinâmica de um sistema mecânico com impacto sob vibração livre e vibração forçada (via movimento harmônico de base), utilizando valores de folgas e massas diferentes, comparando com a resposta da estrutura sem o impacto sob as mesmas condições de excitação. As respostas obtidas pela integração das equações de movimento (respostas teóricas) são comparadas com as respostas reais da bancada experimental, verificando se o modelo matemático descreve qualitativamente o comportamento real da estrutura.
1.2. Objetivos Específicos
Os seguintes objetivos específicos são estabelecidos para atingir os objetivos propostos:
Revisão da literatura sobre dinâmica de impactos e absorvedores por efeito de impacto (impact dampers);
Modelagem de um sistema de um grau de liberdade – excitação pela base;
Modelagem do contato utilizando um par mola-amortecedor não linear, baseado na Teoria de Contato de Hertz;
Projeto, construção e instrumentação da bancada experimental;
Caracterização dos parâmetros físicos da bancada experimental;
Aquisição dos dados de resposta da bancada experimental submetida à vibração livre e forçada sem e com impacto;
Simulação numérica das condições impostas à bancada experimental, utilizando os parâmetros físicos levantados experimentalmente;
2. Revisão Bibliográfica
2.1. Princípio de Impulso e Quantidade de Movimento
O princípio de impulso e quantidade de movimento pode ser usado para resolver problemas que envolvem força, massa, velocidade e tempo; sendo de particular interesse na solução de problemas que envolvem movimentos impulsivos ou choques (Beer & Johnston, 1991). A equação do principio de impulso e quantidade de movimento é obtida pela integração da equação do movimento de Newton:
𝐹⃗ = 𝑚. 𝑎⃗ (2.1) ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 = 𝑚 ∫ 𝑑𝑣 𝑣2 𝑣1 ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑡𝑡2 𝑡1 = 𝑚𝑣⃗2− 𝑚𝑣⃗1 (2.2)
Os vetores de forma 𝑚𝑣⃗1 e 𝑚𝑣⃗2 representam a quantidade de movimento do ponto material antes e depois do impacto, respectivamente. O impulso, representado pelo lado esquerdo da Eq. (2.2), representa o efeito da força F durante o intervalo de tempo dt em que atua, podendo ser variável no tempo ou constante.
De acordo com a Eq. (2.2) o impulso aplicado a um corpo pode ser escrito como a variação da quantidade de movimento apresentada por este corpo. Reescrevendo esta equação, tem-se:
𝑚𝑣⃗1+ ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
= 𝑚𝑣⃗2 (2.3)
Se o sistema for composto por vários pontos materiais que se movem em relação a um referencial inercial:
∑ 𝑚𝑖𝑣⃗𝑖1+ ∑ ∫ 𝐹⃗𝑡2 𝑖 𝑑𝑡
𝑡1
Como a massa total do sistema pode ser escrita da forma 𝑚 = ∑ 𝑚𝑖 e, considerando a posição do centro de gravidade G como 𝑚 𝑟⃗𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑟⃗𝑖, a velocidade de G pode ser escrita a partir da derivada temporal da posição como 𝑚 𝑣⃗𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑣⃗𝑖. Portanto, a Eq. (2.4) pode ser reescrita da seguinte maneira:
𝑚𝑣⃗𝐺1+ ∑ ∫ 𝐹⃗𝑖 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1
= 𝑚𝑣⃗𝐺2 (2.5)
Se durante um intervalo de tempo de t1 a t2 não houver um impulso atuando sobre o sistema
ou o somatório dos impulsos atuantes forem nulos, a quantidade de movimento do sistema permanecerá constante. Esta condição é conhecida como conservação da quantidade de
movimento:
∑ 𝑚𝑖𝑣⃗𝑖1= ∑ 𝑚𝑖𝑣⃗𝑖2 (2.6)
A lei da conservação da quantidade de movimento é aplicada se existe uma interação entre pontos materiais que se colidem. De acordo com Hibbeler (2005), deve-se analisar o diagrama de corpo livre para o sistema inteiro a fim de identificar as forças internas e externas e as direções nas quais a quantidade de movimento é conservada. O tempo de duração do contato é, geralmente, muito curto e, durante este tempo, as forças geradas podem ter grande magnitude, caracterizando as Forças Impulsivas. Forças impulsivas são aquelas que produzem uma variação na quantidade de movimento enquanto que as Forças não Impulsivas produzem impulsos desprezíveis.
2.2. Colisão ou Impacto
Quando dois corpos que se movimentam com uma velocidade relativa entram em contato, diz-se que ocorreu uma colisão ou impacto. O impacto geralmente tem um tempo de duração muito curto, porém, durante este tempo, valores altos de força se desenvolvem e atuam nos corpos, mudando suas velocidades.
Quanto à sua natureza, o impacto pode ser: elástico, quando não há dissipação de energia,
dissipada. Entretanto, impactos elásticos não ocorrem na realidade, pois sempre haverá dissipação de energia, contudo a Quantidade de Movimento se conserva, em todos os casos.
2.2.1. Colisão entre dois corpos
Quanto à incidência, existem dois tipos de impacto: os colineares e os oblíquos ou
excêntricos. Os impactos colineares ocorrem quando o vetor posição 𝑟⃗𝑐, que liga o centro de
massa G ao ponto de contato C do corpo B, está alinhado com o vetor 𝑟′⃗⃗⃗𝑐, que liga o centro de massa G’ ao ponto de contato C’ do corpo B’, ou seja, os ângulos entre o plano tangente ao ponto de contato dos corpos e os vetores posição são perpendiculares (Stronge, 2000), conforme mostrado na Figura 2.1(a). Quando esta condição não é atendida, o impacto é obliquo ou excêntrico, Figura 2.1(b).
Figura 2.1: Impacto colinear (a) e impacto excêntrico (b). Fonte: Stronge (2000).
Para compreender o mecanismo do impacto, são definidas cinco fases. Antes do impacto, sejam dois corpos A e B com velocidades distintas na mesma direção, tal que 𝑣⃗𝐴1 > 𝑣⃗𝐵1, Figura 2.2 (a). No instante do contato, ambos os corpos são deformados devido à força de impulso (∫ 𝑃 𝑑𝑡), Figura 2.2 (b). Esta deformação aumenta até um valor máximo, instante no qual os corpos terão a mesma velocidade (𝑣⃗𝐴1 = 𝑣⃗𝐵1 = 𝑣⃗), Figura 2.2 (c). Em seguida, surgem os impulsos de restituição que afastam os corpos, que ficam com suas formas originais ou permanentemente deformados, Figura 2.2 (d). Por último, os corpos perdem o
contato e se movem com velocidades 𝑣⃗𝐵2 > 𝑣⃗𝐴2, Figura 2.2 (e). As forças geradas durante o contato obedecem à terceira Lei de Newton (forças iguais em módulo e direção e com sentidos opostos) e agem somente na direção radial para evitar a interpenetração dos corpos.
Figura 2.2: Fases durante um impacto. Fonte: (Hibbeler, 2010).
Considerando o movimento do corpo A durante o período de compressão, a única força impulsiva atuante no corpo durante este período é aquela exercida pelo corpo B (𝑃𝐵). Aplicando o princípio do impulso e quantidade de movimento, tem-se:
𝑚𝐴𝑣𝐴1− ∫ 𝑃𝐵 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴𝑣
Durante o período de restituição, a força exercida pelo corpo B sobre o corpo A é 𝑅𝐵. Então,
pelo princípio do impulso e quantidade de movimento: 𝑚𝐴𝑣 − ∫ 𝑅𝐵 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴𝑣𝐴2
Os impulsos de deformação e de restituição atuantes em cada corpo podem ser obtidos desde que se conheçam as velocidades dos corpos antes, durante e depois do impacto. A razão entre os impulsos de restituição e de deformação conhecido como coeficiente de restituição (e).
𝑒 =∫ 𝑅 𝑑𝑡
∫ 𝑃 𝑑𝑡 (2.7)
Os coeficientes de restituição relacionados a cada corpo são obtidos em função de suas velocidades:
𝑒𝐴 =∫ 𝑅 𝑑𝑡∫ 𝑃 𝑑𝑡= 𝑣 − 𝑣𝐴2 𝑣𝐴1− 𝑣 𝑒𝐵 =∫ 𝑅 𝑑𝑡 ∫ 𝑃 𝑑𝑡= 𝑣𝐵2− 𝑣 𝑣 − 𝑣𝐵1 (2.8)
Reunindo 𝑒𝐴 e 𝑒𝐵 e eliminando 𝑣, o coeficiente de restituição pode ser escrito em função das velocidades relativas antes e após o impacto dos dois corpos, assim:
𝑒 =𝑣𝐵2− 𝑣𝐴2
𝑣𝐴1− 𝑣𝐵1 (2.9)
onde 𝑣𝐵2− 𝑣𝐴2 e 𝑣𝐴1− 𝑣𝐵1 representam as velocidades relativas dos corpos após e antes do impacto, respectivamente.
Os valores do coeficiente de restituição estão entre 0 e 1. Existem dois casos especiais: quando e = 0 (colisão inelástica ou plástica) e quando e = 1 (colisão elástica). Se a colisão é
inelástica, não há impulso de restituição, os corpos após o choque permanecem em contato e
com a mesma velocidade, ou seja, 𝑣𝐵2 = 𝑣𝐴2= 𝑣. Pela conservação da quantidade de movimento:
𝑚𝐴𝑣𝐴1+ 𝑚𝐵𝑣𝐵1 = (𝑚𝐴+ 𝑚𝐵)𝑣
Na colisão elástica o impulso de restituição é igual ao de deformação, opostos, de mesma direção e com mesmo módulo, logo as velocidades relativas dos corpos permanecem constantes.
𝑣𝐴1+ 𝑣𝐵1 = 𝑣𝐴2+ 𝑣𝐵2
2.3. Impacto de Corpos Rígidos
Corpos rígidos apresentam uma área de contato muito menor do que sua área superficial. Como a rigidez é bem alta, uma pequena deformação da superfície implica em uma tensão de contato muito alta, logo, uma força de contato também alta, responsável pela mudança da
velocidade. Estas forças de contato podem promover deformações plásticas no material dos corpos, sendo uma fonte de perda de energia.
Durante o impacto os corpos rígidos apresentam uma pequena deformação. Mesmo com um valor alto de força de contato, os corpos sofrerão uma deformação muito pequena, pois o tempo de contato é muito curto. Segundo Teoria de Impacto dos Corpos Rígidos (Seifried et.
al, 2010). Entretanto, existem três condições onde a Teoria de Impacto dos Corpos Rígidos
não é aplicável: impactos que formam momento de binário; impacto de hastes com planos; e impactos transversais em vigas e placas.
2.3.1. Impactos Colineares entre dois corpos rígidos
2.3.1.1. Cinemática do Impacto
A cinemática do impacto entre dois corpos de superfícies convexas (como uma esfera, por exemplo) está relacionada com a posição do ponto onde ocorrerá o impacto, a distância entre os corpos, especificamente a distância entre os pontos de impacto, e com a sua velocidade relativa.
Sejam dois corpos 1 e 2 que estão separados a certa distância entre os pontos P1 e P2, de
acordo com a Figura 2.3. Os pontos P1 e P2 são os pontos de contato, e na superfície de cada
um tem-se o sistema de coordenada {Pi, ni, ti1, ti2}, onde n é o vetor normal e ti1 e ti2 definem
o plano tangente aos corpos.
Seja O (x,y,z) o referencial fixo no sistema de coordenadas. De acordo com Seifreid et
al. (2010), a distância entre o referencial e os pontos P1 e P2 é dada pelos vetores rOP1 e rOP2 e
entre os pontos pelo vetor g. Logo, a posição dos corpos na direção normal pode ser escrita da seguinte forma:
Figura 2.3: Posição de dois corpos antes do impacto. Adaptado de Seifreid et al. (2010)
Escrevendo g na forma dos vetores posição de cada ponto, temos: 𝑔⃗ = 𝑟⃗𝑂𝑃2 − 𝑟⃗𝑂𝑃1
𝑔𝑁= 𝑛⃗⃗1 (𝑟⃗𝑂𝑃2− 𝑟⃗𝑂𝑃1) = −𝑛⃗⃗2 (𝑟⃗𝑂𝑃2− 𝑟⃗𝑂𝑃1) (2.11)
A Eq. (2.10) é a equação da posição dos corpos. Existem três condições possíveis a serem observadas:
𝑔𝑁 > 0 → os pontos P1 e P2 estão separados, logo esta condição indica que não há
contato;
𝑔𝑁 = 0 → os pontos P1 e P2 são “coincidentes” , indicando a condição de contato;
𝑔𝑁 < 0 → indica penetração não física;
A derivada temporal da Equação (2.11) fornece a velocidade relativa na direção normal dos corpos. Desta forma:
𝑔̇𝑁= 𝑛⃗⃗1 (𝑟̇⃗𝑂𝑃2− 𝑟̇⃗𝑂𝑃1)
A Equação da velocidade (2.12) também pode ser escrita em coordenadas generalizadas. Para isso, reescrevemos a Equação (2.12) de acordo com a Equação (2.10) e, em seguida, escrevemos 𝑣⃗1 e 𝑣⃗2 em termos dos Jacobianos ( 𝐽𝑖):
𝑔̇𝑁= 𝑛1 𝑣⃗2+ 𝑛2 𝑣⃗1 (2.13)
𝑣1 = 𝐽1𝑞̇ + 𝑢̇1 𝑣2 = 𝐽2𝑞̇ + 𝑢̇2
(2.14)
Substituindo a Eq. (2.14) em (2.13) e colocando 𝑞̇ (velocidades generalizadas) em evidência, temos:
𝑔̇𝑁= 𝑛1 (𝐽2𝑞̇ + 𝑢̇2) + 𝑛2 (𝐽1𝑞̇ + 𝑢̇1)
𝑔̇𝑁= (𝐽2 𝑛1 + 𝐽1𝑛2 )𝑞̇ + (𝑛1 𝑢̇2+ 𝑛2 𝑢̇1) (2.15)
O primeiro termo da Eq. (2.15) é a projeção na direção normal das velocidades generalizadas e o segundo é a projeção das velocidades locais.
2.3.1.2. Movimento Relativo
Dois corpos colineares irão colidir se estiverem se aproximando com uma velocidade relativa. Durante o contato, forças compressivas opostas se desenvolvem nos pontos de contatos dos corpos e, como consequência, surgem forças de reação (paralelas às velocidades) opostas ao movimento relativo durante o contato.
Sejam dois corpos esféricos A e A’ de mesmo raio colidindo. Em colisões de corpos rígidos as reações apresentam valores altos e produzem um impulso que altera as velocidades a cada instante de tempo durante o contato, que, por terem esta característica, estas forças são designadas de forças ativas (forças impulsivas). Para os corpos A e A’ tem-se que:
F e F’ são as forças atuantes no ponto de contato;
P(t) e P’(t) são os impulsos originados pelas forças F e F’, respectivamente;
A força de contato atua na direção normal do plano tangente no ponto de contato, de forma que as componentes normais das forças são 𝐹(𝑡) = 𝑭 ∙ 𝒏 e 𝐹′(𝑡) = 𝑭′ ∙ 𝒏, respectivamente para os corpos A e A’, produzindo as componentes normais de impulsos 𝑃(𝑡) e 𝑃′(𝑡), onde:
𝑑𝑃
𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡) e 𝑑𝑃′
𝑑𝑡 = 𝐹′(𝑡)
De acordo com a segunda Lei de Newton:
𝐹 = 𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡
Aplicando a equação de Newton para o caso dos corpos A e A’, tem-se: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 → 𝑑𝑃 = 𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑃′ 𝑑𝑡 = 𝑚′ 𝑑𝑉′ 𝑑𝑡 → 𝑑𝑃′ = 𝑚′𝑑𝑉′
Considerando a velocidade relativa 𝑣 = 𝑉 − 𝑉′, a massa efetiva 𝑀𝑒𝑓 = 𝑚 + 𝑚′ e o impulso como 𝑑𝑝 = 𝑑𝑃 = −𝑑𝑃′, a equação do movimento pode ser escrita como:
𝑀𝑒𝑓 𝑑𝑣 = 𝑑𝑝 (2.16)
Integrando a Eq. (2.16) o valor da velocidade relativa é obtido em função do impulso atuante no corpo:
𝑣 = 𝑣𝑜+ 𝑝
𝑀𝑒𝑓 (2.17)
2.3.2. Força de contato
Dois corpos que se aproximam com uma determinada velocidade relativa, ao se tocarem um exerce sobre o outro uma força durante o período de tempo, denominada Força de Contato (𝐹𝑁). Desprezando o atrito entre as superfícies em contato, esta força pode ser calculada pela
Teoria de Hertz, Equação (2.18), dada pelo produto da deformação local (δ) com o parâmetro de rigidez (k), Lankarani & Nikravesh (1990) e Flores et al (2005).
𝐹𝑁 = 𝑘𝛿𝑛, 𝑛 = 3/2 (2.18)
A Teoria de Hertz (ou Modelo de Hertz) não considera a dissipação de energia que ocorre durante o impacto, então este modelo não representa fielmente o contato entre dois corpos. De acordo com Lankarani & Nikravesh (1990), o parâmetro de rigidez entre duas esferas em contato é: 𝑘 = 4 3𝜋(ℎ1+ ℎ2)( 𝑅1𝑅2 𝑅1 + 𝑅2) 1/2 ℎ𝑖 = 1 − 𝜗𝑖2 𝜋𝐸𝑖 (2.19)
onde 𝜗𝑖 é o coeficiente de Poison e 𝐸𝑖 é o Módulo de Elasticidade dos materiais.
Se o contato ocorrer entre uma esfera e um plano, segundo Goldsmith (1960) apud Flores et al (2005) a rigidez é calculada por:
𝑘 = 4
3𝜋(ℎ1+ ℎ2)(𝑅1)1/2 (2.20)
O Modelo de Kelvin-Voigt (ou somente Kelvin ou Voigt) considera que a força de contato entre dois corpos pode ser representada por um conjunto de mola-amortecedor em paralelo. Desta forma, a força de contato resultante é a soma da força na mola com a força no amortecedor. Então:
𝐹𝑁 = 𝐾𝛿 + 𝐶𝛿̇ (2.21)
A vantagem do modelo de Kelvin-Voigt em relação ao de Hertz consiste na abordagem da dissipação de energia, representada pelo amortecimento viscoso. Estes modelos se diferem também no valor do expoente n da deformação, logo, o modelo de Kelvin-Voigt (n=1) é um modelo que não representa as não-linearidades do contato.
Hunt & Crossley (1975) se basearam no modelo de Hertz e acrescentaram a este modelo a dissipação de energia devido a um amortecimento D, em que 𝐷 = 𝑐𝛿𝑛, onde c é o fator de
amortecimento de histerese. Logo, a força de contato torna-se: 𝐹𝑁 = 𝑘𝛿𝑛+ 𝐷𝛿̇
𝐹𝑁 = 𝑘𝛿3/2+ 𝑐𝛿3/2𝛿̇
(2.22)
Este modelo, então, descreve não só a dissipação de energia, mas, também, as não linearidades do contato. De acordo com Lankarani & Nikravesh (1990), a velocidade inicial de indentação (𝛿̇(−)), que é a velocidade relativa inicial dos corpos, e a velocidade de
indentação em qualquer ponto (𝛿̇) podem ser calculadas a partir das massas dos corpos, da rigidez e da indentação máxima e pontual, respectivamente. Assim:
(𝛿̇(−))2 =2(𝑚1 + 𝑚2)𝑘
𝑚1𝑚2(𝑛 + 1)𝛿𝑚𝑛+1 (2.23)
(𝛿̇)2 = (𝛿̇(−))2−2(𝑚1+ 𝑚2)𝑘
𝑚1𝑚2(𝑛 + 1)𝛿
𝑛+1 (2.24)
Hu & Guo (2015) fizeram uma comparação entre os modelos de Lankarani & Nikravesh (1990) e Flores et al. (2011), mostrando seus pontos positivos e suas discordâncias. A relação entre a velocidade de indentação e as indentações máxima e local foi adaptada por Hu & Guo (2015) com base nos trabalhos de Tasora et. al (2013) e Lin et. al. (2010), após comparar as simulações obtidas pelo seu modelo matemático com os modelos de Lankarani & Nikravesh (1990) e Flores et al. (2011), encontrando resultados entre estes dois modelos.
𝛿̇ = 𝛿̇(−)√1 − ( 𝛿
𝛿𝑚)
𝛽
(2.25)
A perda de energia (∆𝐸) associada ao amortecimento representa o trabalho realizado pela força de amortecimento e é calculada a partir da integral da curva de histerese, substituindo o
coeficiente da força de amortecimento (D) pelo modelo proposto por Hunt & Crossley (1975) e substituindo a velocidade de deformação pelo modelo de Lankarani & Nikravesh (1990).
∆𝐸𝑐 = ∫ 𝑐𝛿𝛿𝑚 3/2 0 𝛿̇(−)√1 − ( 𝛿 𝛿𝑚) 5 2 𝑑𝛿 ∆𝐸𝑟 = ∫ 𝑐𝛿3/2 𝛿𝑚 0 |𝛿̇(+)|√1 − ( 𝛿 𝛿𝑚) 5 2 𝑑𝛿 ∆𝐸 = ∆𝐸𝑐+ ∆𝐸𝑟= 4 15𝑐(1 + 𝑒) 𝛿̇(−)𝛿𝑚 5/2 onde 𝑒 = −𝛿̇𝛿̇(+)(−)
O fator de amortecimento de histerese (c) foi proposto de formas diferentes por Lankarani & Nikravesh (1990), Hunt e Crossley (1975), Flores et al. (2011) e Hu & Guo (2015). Basicamente, consiste na razão entre a rigidez (k) e a velocidade inicial de indentação (𝛿̇(−)),
multiplicada por um fator α que depende do coeficiente de restituição (e) e varia de acordo com os autores mencionados. Hu & Guo (2015) analisou cada modelo e observou que os modelos propostos por Lankarani & Nikravesh (1990) e Hunt e Crossley (1975) são mais adequados para contatos com materiais rígidos, tal como os metais, com coeficiente de restituição próximo a 1. Para baixos valores de coeficiente de restituição estes modelos não apresentaram desempenho satisfatório quando comparado com o modelo de Flores et
al. (2011). Já o modelo de Hu & Guo (2015) apresentou resultados que são válidos para
Tabela 2.1: Fator de amortecimento de histerese. Adaptado de Hu & Guo (2015) Modelo c Flores et al. (2011) 8(1 − 𝑒) 5𝑒 𝑘 𝛿̇(−) Lankarani e Nikravesh (1990) 3(1 − 𝑒2) 4 𝑘 𝛿̇(−)
Hunt & Crossley (1975) 3(1 − 𝑒)
2 𝑘 𝛿̇(−) Hu & Guo (2015) 3(1 − 𝑒) 2𝑒 𝑘 𝛿̇(−)
2.3.3. Perda de Energia durante o impacto
Existem vários meios de perda de energia na colisão entre dois ou mais corpos, como, por exemplo, deformação, ondas vibratórias e atrito, que não ocorrerão sozinhos.
Corpos em colisão desenvolvem altos valores de força de contato que causa deformação em ambos os corpos, permanente ou não. Durante a fase de compressão, à medida que o corpo se deforma uma energia associada é armazenada, de forma que é liberada durante a fase da restituição. Desta forma, o coeficiente de restituição é uma referência da quantidade de energia perdida pelo sistema.
Na teoria de impactos de corpos rígidos, as deformações são desprezíveis fora da região de contato, onde esta se comporta como uma mola não linear entre dois corpos (Stronge, 2000). O mecanismo de colisão após o contato pode ser dividido em duas fases: compressão e
restituição. A compressão é causada pela força de contato aplicada aos corpos e está
diretamente relacionada com as características do material que compõe este corpo, principalmente a rigidez (ou pela compliância, que é o inverso da rigidez), podendo causar deformações elásticas ou plásticas (indentações). O ponto de máxima compressão (que coincide com o início da restituição) ocorre quando a velocidade relativa torna-se zero, ou seja, a energia cinética é convertida em energia de deformação. No instante seguinte, a energia de deformação armazenada durante a compressão gera uma força impulsiva que
aumenta a energia cinética dos corpos, até o ponto em que se separam, no caso de colisões não inelásticas. Porém, nem toda energia de deformação é convertida novamente em energia cinética, durante a fase da restituição a compliância da região que está deformada é menor do que a compliância do corpo ao ser comprimido (Stronge, 2000). Isto significa que após a restituição, o corpo apresentará uma deformação residual 𝛿𝑓 na sua superfície (indentação), Figura 2.4.
Figura 2.4: Variação da força de Contato e deformação. Adaptado de Sronge (2000).
Se o choque fosse perfeitamente elástico (e=1) além de não ocorrer dissipação de energia, o corpo voltaria à sua forma original (sem deformação) e o tempo de restituição seria o mesmo da compressão. Entretanto, como há dissipação de energia, o tempo gasto durante o período da restituição será sempre menor em relação ao da compressão, Figura 2.5.
Figura 2.5: Comparação dos tempos de compressão e restituição. Adaptado de Sronge (2000).
A perda de energia que ocorre durante a compressão está relacionada com a velocidade inicial relativa do movimento (𝑣𝑜). A energia cinética inicial do sistema, responsável pela
compressão, é dada por:
𝐸𝑐𝑖= 1 2𝑚 𝑉𝑜2+ 1 2𝑚′𝑉′𝑜 2 (2.26) Durante a compressão, a força de contato gera um impulso de compressão (pc). Quando a
compressão termina num determinado tempo tc (Figura 2.5) os corpos apresentam velocidade
relativa nula, ou seja, V = V’, logo pela Eq. (2.17): 0 = 𝑣𝑜+ 𝑝𝑐
𝑀𝑒𝑓 → 𝑝𝑐 = −𝑀𝑒𝑓 𝑣𝑜 (2.27)
O trabalho realizado pela força de contato F atuante nos corpos é dado por: 𝑊 = ∫ 𝐹 𝑣 𝑑𝑡𝑡
0
Como a força é caracterizada pela aplicação variação temporal do impulso (F=dp/dt), o trabalho pode ser reescrito como:
𝑊 = ∫ 𝑣 𝑑𝑝
𝑝′ 0
Substituindo a Eq. (2.17) na Eq. (2.28), temos: 𝑊𝑐 = ∫ 𝑣𝑜+ 𝑝 𝑀𝑒𝑓 𝑑𝑝 𝑝𝑐 0 = 𝑣𝑜𝑝𝑐− 1 2𝑀𝑒𝑓𝑝𝑐 2 (2.29)
Resolvendo a Equação (2.29) a partir da relação encontrada na Eq. (2.27), o trabalho realizado pela força de contato durante a fase de compressão, que equivale à energia de deformação interna absorvida, é dado por:
𝑊𝑐 = −1
2𝑀𝑒𝑓 𝑣𝑜2 (2.30)
Após a compressão, a parte da energia que se transformou em energia de deformação (relacionada com a velocidade relativa inicial) é descontada da energia cinética inicial do sistema. Portanto, no início da restituição, a energia é:
𝐸𝑐𝑟 = 𝐸𝑐𝑖−1
2𝑀𝑒𝑓𝑣𝑜2 (2.31)
Corpos em colisão estão submetidos a forças de contato proporcionais às suas velocidades que os deformam e geram tensões nas superfícies de contato. As tensões geradas causam ondas de tensão que radiam da região de contato e transmitem mudanças nas velocidades dos corpos (Stronge, 2000).
A ação de uma força aplicada repentinamente não é transmitida de uma só vez para todas as partes de um corpo. As deformações produzidas pela força se propagam através do corpo na forma de ondas elásticas (Timoshenko & Goodier, 1951). Um exemplo clássico de transmissão de ondas elásticas é o terremoto, onde o choque entre placas tectônicas cria ondas sísmicas que são transmitidas à superfície terrestre. Considerando que uma tensão σ compressiva é aplicada subitamente numa das extremidades de uma barra, como ilustrado na Figura 2.6, uma compressão uniforme de uma camada infinitesimal será transmitida para as camadas adjacentes, sucessivamente. Então, uma onda de compressão é gerada e se propaga ao longo da barra com uma velocidade vc. Multiplicando a velocidade vc por um determinado
Figura 2.6: Propagação de onda numa barra. Adaptado de Timoshenko & Goodier (1951).
No impacto colinear entre duas esferas, a dissipação de energia cinética pode ocorrer a partir dois mecanismos: propagação de ondas de tensão e deformação plástica (Wu et al., 2005). Durante uma colisão, uma alta energia cinética é capaz de causar uma deformação plástica no material sendo convertida em energia de deformação elástica e energia de deformação plástica. Neste caso apenas a energia de deformação elástica pode ser recuperada como energia cinética durante a separação dos corpos. A propagação de ondas de tensão também é uma forma de perda da energia inicial, porém representa uma quantidade muito pequena quando comparada com a perda provocada pela deformação plástica.
A propagação das ondas de tensão está diretamente relacionada com a dimensão e com as características do material dos corpos. Tais características influenciam na velocidade de propagação da onda no corpo (𝑉𝑒), enquanto que a dimensão está relacionada com o tempo de reflexão da onda (𝑡𝑟𝑜), de acordo com as equações abaixo:
𝑉𝑒 = √ 𝐸0 𝜌 (2.32) 𝑡𝑟𝑜 = 2𝐿𝑐 𝑉𝑒 (2.33)
onde Lc é o comprimento do corpo
Considerando que o tempo de contato entre os corpos seja 𝑡𝑐 é possível calcular o número de reflexões da onda de acordo com o tempo de reflexão de onda 𝑡𝑟𝑜:
𝑁𝑟𝑜 = 𝑡𝑐
𝑡𝑟𝑜 (2.34)
Wu et. al (2005) realizou testes de impacto com uma esfera em blocos (substratos) de diferentes tamanhos e materiais, mostrando que as ondas de tensão dissipam mais energia
cinética em substratos maiores. Os resultados dos testes realizados por estes autores mostraram que, se pelo menos uma reflexão de onda ocorrer no substrato, a perda de energia por ondas de tensão é inferior a 3%, podendo ser desconsiderada.
Em impactos de esferas rígidas de aço em aços numa velocidade de 70 m/s, o coeficiente de restituição encontrado foi em torno de 0,4 (Uetz & Gommel, 1966 apud Hutchings, 1979) o que representa uma perda de aproximadamente 3% por ondas elásticas, segundo a Equação (14) de Hutchings (1979).
Hunter (1957) analisou o contato de uma esfera de aço com um bloco de aço e vidro, mostrando que pouca energia cinética é convertida em ondas elásticas. As formulações propostas por este autor somente são aplicáveis para casos de impactos elásticos, pois são baseadas na Teoria de Hertz. Para altas velocidades, as equações propostas por Hunter não são aplicáveis (Hutchings, 1979).
2.3.4. Coeficiente de Restituição
O Coeficiente de Restituição (e) é um valor que representa o grau da perda de energia cinética de um sistema durante um impacto, devido aos mecanismos inerentes dos sistemas que causam dissipação, como, por exemplo, efeitos visco-elásticos, deformação plástica da superfície, vibrações e propagação de ondas.
São estudados três tipos de coeficientes de restituição: cinemático; cinético; e energético; diferindo-se pelas relações utilizadas para sua obtenção.
Em todos estes casos, o valor do coeficiente de restituição varia entre 0 e 1. Se e = 0, a colisão é dita inelástica, onde toda energia do sistema é dissipada e os corpos permanecem na mesma posição após o impacto. Quando e = 1, a colisão é ideal e há conservação da energia do sistema, na prática esta condição não existe.
O coeficiente de restituição Cinemático (en) utiliza a metodologia de Newton, é a razão entre
as velocidades relativas na direção normal após e antes do impacto. O Cinético (ep), proposto
compressão. Por fim, o Energético (eE ) foi proposto por Stronge (2000) é a razão entre as
raízes quadradas das energias de deformação do sistema durante a restituição e compressão. As definições de coeficiente de restituição descritas acima são equivalentes, exceto se a configuração do contato for excêntrica, se for considerado o atrito entre os corpos e se a direção do deslizamento (“slip”) varia durante o contato (Stronge, 2000). Entretanto, em múltiplos contatos colineares sem atrito (simultâneos) estas definições são diferentes (Pfeiffer & Glocker, 1996)
Uma colisão elástica (coeficiente de restituição igual à unidade) não acontece na realidade, pois sempre haverá dissipação de energia. No início da restituição, parte da energia armazenada pela deformação dos corpos é restaurada e a outra parte é perdida na forma de calor e vibrações moleculares, devido ao deslizamento microscópico das moléculas (Hunt & Crossley, 1975). Esta dissipação está relacionada com diversos fatores que compõe o sistema, tais como: velocidade inicial do(s) corpo(s), tamanho e material do(s) corpo(s), geometria da área de contato e presença de atrito, por exemplo. Com relação ao atrito, segundo Aryaei et al. (2010), em colisões colineares o atrito não influencia tanto no coeficiente de restituição, pois não existe força tangencial atuando no corpo.
Considerando a definição clássica do coeficiente de restituição como a razão entre as velocidades relativas após e antes do impacto, é importante analisar como este é influenciado com a velocidade no instante do impacto. A partir da Eq. (2.2), a força que caracteriza o impulso é diretamente proporcional à velocidade do corpo, logo, ocorre uma maior deformação na área de contato.
Seifried et al. (2010) realizou testes experimentais em quatro configurações de impacto diferentes (impacto de esfera de aço com: cilindro, placa, haste e viga, feitos de alumínio) e comprovou que o coeficiente de restituição diminui com o aumento da velocidade inicial, Figura 2.7 e Figura 2.8 . O aumento da energia cinética, devido ao aumento da velocidade, aumenta a energia gerada pela deformação e as vibrações moleculares dos corpos.
No contato entre corpos de mesmo material, o comportamento do coeficiente de restituição com relação à velocidade inicial é o mesmo daquele descrito acima. A Figura 2.9 mostra este comportamento para um contato entre esfera e placa de aço inox. No caso em que o corpo esférico colide com um corpo plano, existe uma relação entre o diâmetro da esfera e o
coeficiente de restituição. Wong et al. (2009) analisaram experimentalmente a influência do diâmetro de quatro tipos de esferas de aço inox durante o contato numa placa, também de aço inox, Figura 2.9. Aryaei et al. (2010) se basearam nos resultados de Wong et al. (2009) e analisaram os mesmos parâmetros, porém utilizado esferas de alumínio em contato com uma placa de alumínio, Figura 2.10. Através destes experimentos os autores mostraram que à medida que o diâmetro da esfera aumenta, o coeficiente de restituição diminui para uma mesma velocidade. Entretanto, os valores são muito próximos, sendo considerados por estes autores como similares.
A Figura 2.11 mostra a variação do coeficiente de restituição para o contato esfera-placa de materiais diferentes (aço e arcrílico, respectivamente). Os valores encontrados são maiores do que os da Figura 2.9, provando que o valor do coeficiente de restituição é altamente afetado pelas propriedades da placa (Wong et al. ,2009). Este resultado também foi encontrado nos testes experimentais de contato entre esfera de aço e hastes de ligas de alumínio diferentes, realizados por Seifried et al. (2010), Figura 2.12.
Figura 2.8: Coeficiente de restituição para cada configuração. Adaptado de Seifried et al. (2010).
Figura 2.9: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto para esferas de aço inox (SS) . Adaptado de Wong et al. (2009).
Figura 2.10: Variação do coeficiente de restituição com o diâmetro da esfera. Adaptado de Aryaei et al. (2010).
Figura 2.11: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto para esferas de aço inox em contato com placa de acrílico . Adaptado de Wong et al. (2009).
Figura 2.12: Variação do Coeficiente de restituição com a velocidade para hastes diferentes. Adaptado de Seifried et al. (2010).
A influência da geometria de contato também foi analisada por Seifried et al. (2010) através do contato entre uma esfera de aço e três hastes com superfícies diferentes: côncava, convexa e plana, Figura 2.13.
Figura 2.13: Superfícies de contato das hastes. Adaptado de Seifried et al. (2010).
Os resultados do experimento realizado por Seifried et al. (2010) mostraram que superfícies côncavas dissipam mais energia, logo o coeficiente de restituição assume valores menores em comparação com as demais. As superfícies convexas dissipam menos energia, apresentando valores maiores de coeficiente de restituição.
2.4. Absorvedores por efeito de impacto (Impact Dampers)
Vibrações em sistemas mecânicos ou estruturais podem ser extremamente indesejáveis, pois além de comprometer o desempenho dos componentes podem levar a danos irreparáveis. Por isso, as técnicas de controle vibracional são importantes no estudo de vibrações.
A função dos amortecedores em sistemas vibratórios é dissipar a energia gerada pelo movimento, proporcionando uma diminuição da amplitude de vibração. Neste trabalho será abordado o amortecimento causado pelo impacto de partícula(s) enclausurada(s) na massa vibratória principal, que se move(m) livremente dentro de uma folga pré-estabelecida, cujo diagrama esquemático é mostrado na Figura 2.14.
O modelo proposto de absorvedor (ou amortecedor) por impacto consiste em uma massa m que se move dentro de uma folga pré-determinada da massa principal, chocando-se contra as paredes, provocando mudanças em sua resposta dinâmica.
O trabalho de Lieber & Jensen (1945) apud Wong et al. (2009) foi um dos primeiros a serem publicados a respeito deste assunto, onde foi introduzido o conceito deste absorvedor para diminuir vibração em aviões, mas o pioneiro sobre o assunto foi Paget (1930) apud (Masri, 1969).
Figura 2.14: Diagrama esquemático de um amortecedor por impacto. Adaptado de Ema & Marui (2000).
O absorvedor por impacto modifica o momento linear da massa impactante e do sistema vibratório e dissipa energia durante o impacto para atenuar a resposta do sistema (Masri, 1969). A energia de vibração é dissipada pelo absorvedor a partir das colisões e do atrito entre os corpos, além da transferência de momento linear da estrutura principal para a(s) partícula(s) (Wong et al. 2008).
Os absorvedores por impacto podem ser construídos para que os impactos ocorram na direção horizontal ou vertical em que, nesta última, a dinâmica do sistema é influenciada pela ação da aceleração gravitacional.
As vantagens de usar o absorvedor por impacto em relação a outros dispositivos são: o baixo custo, simplicidade, robustez e promover amortecimento em uma faixa de acelerações e frequências, sendo usado em ferramentas de corte, torres de televisão, pás de turbinas, eixos, placas, entre outras (Duncan et al., 2005). Além disso, a operação desse tipo de absorvedor não depende da temperatura, sendo, portanto, utilizado em aplicações em que absorvedores tradicionais podem falhar (Wong et al. 2008).
Alguns fatores influenciam a dinâmica do absorvedor, como: força e frequência de vibração, massas da partícula e da estrutura, rigidez e amortecimento estrutural, dimensões da folga entre a partícula e a massa principal, frequência natural da massa principal, deslocamento inicial e coeficiente de restituição (Duncan et al., 2005 e Yasuda & Toyoda, 1978).
Estes absorvedores vêm sendo estudados nos últimos anos e os resultados têm mostrado eficiência, onde a maioria dos estudos estão relacionados à modelagem e simulação de sistemas de 1 e 2 GDL.
Gharib & Ghani (2013) simularam numericamente a resposta de um sistema com diferentes configurações de partículas, a partir de um modelo matemático proposto (Figura 2.15). Este sistema pode conter configurações diferentes, em relação ao tamanho e número de partículas. Os parâmetros da estrutura utilizados na simulação foram obtidos experimentalmente por Li & Darby (2009). O resultado da simulação utilizando apenas uma esfera na estrutura, Figura 2.16, mostra que a esfera amortece mais o sistema submetido a uma condição inicial de deslocamento de 18,5mm.
Gharib & Ghani (2013) analisaram também o comportamento da estrutura com um número maior de esferas, intercaladas entre esferas pequenas e grandes, encontrando um amortecimento maior, conforme mostrado nas Figura 2.17 e Figura 2.18.
Figura 2.15: Sistema utilizado por Gharib & Ghani (2013).
Figura 2.17: Resposta temporal para 3 esferas. Adaptado de Gharib & Ghani (2013).
Figura 2.18: Resposta temporal para 5 esferas. Adaptado de Gharib & Ghani (2013).
Cheng & Wang (2003) analisaram a aplicação de um absorvedor por impacto interno a uma massa principal, Figura 2.19, e externo a uma viga em balanço (Euler-Bernoulli), Figura 2.20, para várias folgas diferentes (a influência da folga será descrita mais adiante). Os autores mostraram que este absorvedor foi eficaz na redução da amplitude a partir de um deslocamento inicial da estrutura. Figura 2.21.
Figura 2.19: Modelo de absorvedor interno aplicado à uma massa principal. Fonte: Cheng & Wang (2003).
Figura 2.20: (a) Diagrama esquemático do modelo com absorvedor externo em seção transversal; (b) vista superior do absorvedor. Fonte: Cheng & Wang (2003).
