Então imσ é a componente de Morse atratora da decomposição de Morse mais na de φ em EΘ.
Demonstração: Seja B ⊂ Tf
σEΘ a bola unitária fechada e A = Ψ(B) a imagem de
B pela conjugação Ψ construída acima a partir das seções opostas dada na hipótese (i.). A hipótese (ii.) garante que A é uma vizinhança de imσ que é atratora para o automor smo φ. De fato, seja x = Ψ(v) ∈ A, com v ∈ B. Os pontos de acumulação de Φn(v) estão na seção nula de Tf
σEΘ pois kΦn(v)k ≤ kΦnk ≤ kΦkn → 0. Mas
φn(x) = φn(Ψ(v)) = Ψ(Φn(v)), mostrando que os pontos de acumulação de φn(x)
estão em imσ.
Isso mostra que imσ é um conjunto atrator φ-invariante. Pela descrição das componentes da decomposição de Morse mais na de φ, temos que a componente atratora deve ser a imagem da seção σ.
4.2 Perturbação da componente de Morse atratora
A classi cação das componentes de Morse de uxos nos brados Flag EΘ indu-
zidos por automor smos φ : Q → Q, fornece o tipo parabólico do uxo ΘMo(φ) (ou
apenas ΘMo se estiver claro no contexto o automor smo φ). Denotamos ainda por
φ a aplicação induzida na base X. No brado Flag de tipo ΘMo a componente de Morse atratora M+
ΘMo é a imagem de uma seção σΘMo : X → EΘMo. Essa seção é
invariante pelo automor smo φ e, consequentemente, é um ponto xo da aplicação no espaço de seções de EΘMo dada por
Γφ : ΓEΘMo −→ ΓEΘMo
σ 7−→ Γφ(σ) = φ ◦ σ ◦ φ−1
O objetivo dessa seção é mostrar que perturbando φ por pequenos elementos do grupos de Calibre do brado Q, obtemos que a aplicação induzida no espaço de seções pelo automor smo perturbado continua tendo um ponto xo. Veremos também que tal ponto xo será a seção que fornece a componente de Morse atratora desse uxo.
Para colocar essas a rmações de forma precisa, vamos enunciar algumas propo- sições.
Lema 4.2.1. Sejam H e M variedades diferenciáveis de Banach e p : H × M → M uma aplicação diferenciável. Denote por pγ : M → M a aplicação pγ(x) = p(γ, x).
Cap. 4 - Resultados sobre o tipo parabólico de Morse e de Lyapunov 73
Considere γ0 ∈ H e x0 ∈ M tais que pγ0(x0) = x0 e suponha que dpγ0(x0) − id
é inversível. Então existe uma vizinhança V de γ0 e uma aplicação diferenciável
χ : V → M tal que para todo γ ∈ V , χ(γ) é ponto xo de pγ, isto é, pγ(χ(γ)) = χ(γ).
Demonstração: Tomando coordenadas locais ao redor de γ0 e de x0 podemos
supor que G e M são abertos de espaços de Banach. Dessa forma, podemos de nir a aplicação f : G × M → M por
f (γ, x) = pγ(x) − x.
Por hipótese essa aplicação é diferenciável e f(γ0, x0) = 0. Além disso, a derivada
de f com relação à segunda coordenada é dada por ∂f
∂x(γ0, x0) = dpγ0(x0) − id,
que, por hipótese, é inversível. Assim, pelo teorema da função implícita temos que existe uma vizinhança V de γ0 e uma aplicação χ : V → M tal que f(γ, χ(γ)) = 0
para γ ∈ V , isto é, pγ(χ(γ)) = χ(γ)
Considere agora o grupo de calibre G = G(Q) do brado Q e sua classe lateral Gφ = {γ ◦ φ | γ ∈ G},
onde φ : Q → Q é um automor smo. Essa classe lateral é formada pelos automor s- mos de Q que induzem na base a mesma aplicação que φ. Pela bijeção com o grupo de calibre, segue que Gφ é uma variedade de Banach. Cabe aqui a observação de que tanto faz considerar a classe lateral à direita ou à esquerda, já que o grupo de calibre é um subgrupo normal de Aut(Q), e daí φG = Gφ.
Vamos aplicar o lema 4.2.1 considerando H = Gφ, M = Γ(Q ×GF ), (γ0, x0) =
(φ, σΘMo) e
p : Gφ × Γ(Q ×GF ) −→ Γ(Q ×GF )
(ψ, σ) 7−→ p(ψ, σ) = ψ ◦ σ ◦ ψ−1. (4.2)
Para isso precisamos das proposições abaixo.
Proposição 4.2.2. A aplicação p : Gφ × Γ(Q ×GF ) → Γ(Q ×GF )de nida acima
Seção 4.2 - Perturbação da componente de Morse atratora 74
Demonstração: As aplicações d : Gφ → G e Γφ : Γ(Q ×G F ) → Γ(Q ×G F ),
dadas respectivamente por d(ψ) = ψ ◦ φ−1 e Γφ(σ) = φ ◦ σ ◦ φ−1 são diferenciá-
veis, e daí d × Γφ também é diferenciável. Agora a aplicação p é simplesmente a composta da ação de G em Γ(Q×GF ), que é diferenciável por 2.4.3, com d×Γφ.
Usando a notação do lema 4.2.1 para o caso em que p é a aplicação da proposição acima, temos que
pψ(σ) = ψ ◦ σ ◦ ψ−1 = Γψ(σ).
Para aplicar o lema resta mostrar que d(Γφ)σΘMo − id é inversível.
Para fazer isso precisaremos do seguinte lema de uniformidade.
Lema 4.2.3. Seja V → X um brado vetorial contínuo com base X compacta e Φ : V → V um automor smo linear. Se a seção nula V0 for um atrator de Φ, então
existe uma norma k · k em V e uma constante µ > 0 tal que kΦn(v)k ≤ e−µnkvk, para todo v ∈ V e n ∈ N.
Demonstração: Seja k·k uma norma arbitrária em V (todas as normas são equiva- lentes em V). Como V0 é um atrator, segue que existe uma vizinhança U de V0 tal
que limn→∞kΦn(v)k = 0, para todo v ∈ U. Mas para todo v ∈ V, existe > 0 tal
que v ∈ U, e daí limn→∞kΦn(v)k = limn→∞ 1kΦn(v)k = 0. Pelo lema 5.2.7 de [7],
existem constantes C > 0 e α > 0 tal que para todo n ∈ N, kΦn(v)k ≤ Ce−αnkvk.
Pela proposição 3.2 de [5], segue que se 0 < µ < α então podemos escolher uma norma k · k∗ em V tal que kΦn(v)k∗ ≤ e−µnkvk∗, para todo v ∈ V e n ∈ N.
A partir desse lema de uniformidade, podemos mostrar que, com uma deter- minada norma, a ação no espaço de seções ΓEΘMo é uma contração ao longo da
componente de Morse atratora
Proposição 4.2.4. Existe uma norma k · k em Tf
EΘMo e µ > 0 tal que para todo
v = q · w ∈ Tξ(EΘMo)x, com ξ = q · bΘMo ∈ M+ΘMo, e x = π(ξ) vale
kdfφ
ξ(v)k ≤ e−µkvk.
Passando ao espaço de seções temos que
Cap. 4 - Resultados sobre o tipo parabólico de Morse e de Lyapunov 75
Demonstração: Construiremos primeiramente a norma nas bras sobre a compo- nente de Morse atratora M+
ΘMo ⊂ EΘMo, isto é, em TσfΘMoEΘMo. Para isso considere
Φ : Tσf
ΘMoEΘMo → T
f
σΘMoEΘMo a linearização de φ : EΘMo → EΘMo, como construída
no começo do capítulo. Por hora iremos olhar Tf
σΘMoEΘMo como brado vetorial so-
bre M+
ΘMo (ou sobre X via identi cação através da seção σΘMo). A seção nula de
Tσf
ΘMoEΘMo é a imagem da componente de Morse atratora M
+
ΘMo pela conjugação
Ψ−1 entre φ e Φ, e logo é um atrator. Pelo lema anterior, existe uma constante µ > 0 e uma norma k · k em Tσf
ΘMoEΘMo tal que
kΦn(v)k ≤ e−µnkvk para todo v ∈ Tf
σΘMoEΘMo = QσΘMo ×ZΘMo TbΘMoFΘMo e n > 0.
Escrevendo v = q · w e ξ = q · bΘMo, com q ∈ QσΘMo, w ∈ TbΘMoFΘMo temos que
dfφξ(v) = dfφξ(q · w) = φ(q) · w = Φ(q · w) = Φ(v).
Em particular para n = 1 temos kdfφ
ξ(v)k ≤ e−µkvk
Isso nos fornece uma norma em Tf
σΘMoEΘMo, isto é, nas bras de TfEΘMo sobre M+ΘMo.
Agora M+
ΘMo é um subconjunto compacto de EΘMo, e logo podemos estender a norma
de nida nas bras sobre M+
ΘMo para uma norma de nida em EΘMo. (por exemplo,
usando o lema de Urysohn)
Lema 4.2.5. Se T é um operador num espaço de Banach tal que kT k < 1 então T − I é inversível.
Demonstração: Como kT k < 1, a série S = P∞ i=0T
i converge absolutamente. É
fácil ver que (I − T )S = S(I − T ) = I
Agora estamos prontos para mostrar que aplicações induzidas no espaço de seções ΓEΘMo por pequenas perturbações de φ por elementos do grupo de calibre de Q
possuem pontos xos, isto é, seções invariantes. Além disso, essas seções dependem diferenciavelmente do automor smo de calibre.
Proposição 4.2.6. Existe uma vizinhança V da identidade no grupo de calibre G(Q) e uma aplicação C∞, γ ∈ V → σ
γ ∈ ΓEΘMo tal que σγ é ponto xo da aplicação em
ΓEΘMo induzida pelo automor smo γ ◦ φ, isto é,
Seção 4.2 - Perturbação da componente de Morse atratora 76
Demonstração: A aplicação p : Gφ×Γ(Q×GF ) → Γ(Q ×GF )da proposição 4.2.2
é diferenciável. Como pφ(σ) = φ ◦ σ ◦ φ−1 = Γφ(σ), a derivada de pφ em σ é dada
por d(Γφ)σ. Pela proposição 4.2.4 e pelo lema 4.2.5, segue que a d(Γφ)σΘMo − id é
inversível, e daí, pelo lema 4.2.1 segue o resultado.
Vamos ver agora que para γ su cientemente próximo da identidade, a seção σγ dada pela proposição acima fornece a componente de Morse atratora do auto-
mor smo γ ◦ φ. Feito isso poderemos mostrar que os expoentes de Lyapunov de automor smos próximos de φ são dados por integrais em relação a medidas que variam analiticamente.
Proposição 4.2.7. Existe uma vizinhança V da identidade do grupo de calibre e uma aplicação diferenciável γ ∈ V 7→ σγ ∈ ΓEΘMo (como na proposição anterior) tal
que im(σγ) ⊂ EΘMo é a componente de Morse atratora da decomposição de Morse
mais na para o automor smo γ ◦ φ.
Demonstração: Seja ΘMo o tipo parabólico de φ e Θ∗Mo o seu dual, que fornece o
tipo parabólico de φ−1. Considere σ
ΘMo : X → EΘMo e σΘ∗
Mo : X → EΘ∗Mo as seções
opostas que fornecem as componentes de Morse atratoras de φ e φ−1respectivamente.
Aplicando a proposição 4.2.6 à φ−1e σ Θ∗
Mo, obtemos uma vizinhança V
0 da identidade
em G e uma aplicação diferenciável
γ0 ∈ V0 7→ σγ∗0 ∈ ΓEΘ∗ Mo,
tal que σ∗
γ0 é (γ0−1◦ φ−1)-invariante. Como γ0 e φ são automor smos, a seção σ∗γ0 é
também invariante por (γ0−1◦ φ−1)−1 = φ ◦ γ0. Escrevendo
V = φV0φ−1 = {φ ◦ η0◦ φ−1| η0 ∈ V0}, temos que V ainda é vizinhança da identidade de G e σ∗
γ0 é (γ ◦ φ)-invariante, onde
γ = φ ◦ γ0 ◦ φ−1 ∈ V. Por conveniência denotaremos a seção σ∗
γ0 por σγ∗. Assim
construímos aplicações diferenciáveis
γ ∈ V 7→ σγ ∈ ΓEΘMo e γ ∈ V 7→ σ∗γ ∈ ΓEΘ∗Mo
tais que σγ e σ∗γ são (γ ◦ φ)-invariantes e tais que σ1 = σΘMo e σ∗1 = σΘ∗Mo, onde 1
Cap. 4 - Resultados sobre o tipo parabólico de Morse e de Lyapunov 77
Como σ1 e σ∗1 são seções opostas, pode-se diminuir a vizinhança V para que
σγ e σ∗γ ainda sejam opostas para γ ∈ V . De fato, sejam fσγ ∈ Ceq(R, FΘMo) e
fσ∗
γ ∈ Ceq(R, FΘ∗Mo) as seções equivariantes associadas a σγ e σ
∗
γ e ponha U = G ·
(bΘMo, w0bΘ∗
Mo) ⊂ FΘMo × FΘ∗
Mo a órbita aberta e densa que fornece as subálgebras
opostas. Então fσ1 × fσ1∗ está no aberto Ceq(R, U ) ⊂ Ceq(R, FΘMo × FΘ∗Mo) e, como
γ ∈ V 7→ fσγ × fσ∗γ ∈ Ceq(R, FΘMo × FΘ∗Mo) é contínua (na verdade, é diferenciável),
pode-se diminuir V para que a imagem que dentro de Ceq(R, U ). Daí teremos
σγ(x) = r · fσγ(r) e σ
∗
γ(x) = r · fσ∗
γ(r) opostas para todo γ ∈ V .
Utilizando a norma da proposição 4.2.4, como kdfφ
ξk < 1para todo ξ ∈ imσ1 =
M+ΘMo, por continuidade podemos diminuir V de forma que kdf(γ ◦ φ)
ξk < 1 para
todo ξ ∈ imσγ. Assim, para γ ∈ V , σγ e σ∗γ satisfazem as hipóteses da proposição
4.1.1, e então imσγ ⊂ EΘMo é a componente de Morse atratora da decomposição de
Morse mais na de γ ◦ φ.