Perturba¸c˜ oes no Tensor Energia

ˆhh

£_m_ˆKbµνi

= ˆhh

∇bmˆKbµνi

. (C.72)

Usando a equa¸c˜ao acima, reescrevemos a Eq. (C.69) da forma Rb^µ^ν = ˆhh

Rb_µ^νi

−Kb^µ^νΘb−ˆhh

£_m_ˆKb^µ^νi

+Db_µˆa^ν + ˆa_µaˆ^ν. (C.73) Expandindo em primeira ordem temos

δRµν = (δh_µ^γh_β^ν+δh_β^νh_µ^γ) (R_γ^β −K˙γβ) +h[δR_µ^ν]− KµνδΘ−δKµνΘ

−∂_cth[δKµν]−h[£_δmKµν] +D_µâ^ν, (C.74) e tomando as proje¸cões da equa¸cão acima, temos que δRnn = 0. As proje¸cões cruzadas são dadas por

h[δR^µⁿ] =−v_βR^µ^β, (C.75)

h[δRⁿ^ν] =−(v^γ+B^γ)R^γ^ν, (C.76) onde usamos a Eq. (A.29) para reescrever os termos com derivada temporal da curvatura extr´ınseca. Para calcular a proje¸c˜ao espacial, primeiro note que

h[δKµν] =φKµν+D_µv^ν +D_(µB_γ)h^γν + ˙C_µ^ν −2KµγC_γ^ν + 2KγνC_µ^γ,

h[£_δmK^µ^ν] =φK˙^µ^ν+ (v^γ+B^γ)D_γK^µ^ν +K^γ^νD_µ(v^γ+B^γ)− K^µ^γD_γ(v^ν +B^ν), reunindo os resultados acima obtemos

h[δRµν] =D_γD_µC^γν +D_γD^νC_µ^γ−D_µD^νC−D²C_µ^ν −2RµγC_γ^ν +v^γ(D^νKγµ−2D_γKµν)− KµνD_γv^γ−D_µ(Θv^ν) +D_γ(Kµγv^ν) +D_µ(K^γ^νv^γ) +v_µD_γK^γν −v_µD^νΘ,

=D_γD_µC^γν +D_γD^νC_µ^γ−D_µD^νC−D²C_µ^ν −2R^µ^γC_γ^ν (C.77) +S_µ^ν_γv^γ+S_µv^ν +v_µS^ν −D_γ(Kµνv^γ)−ΘD_µv^ν

+KµγD_γv^ν+D_µv^γKγν −v_µD_γK^γν −D_γKµγv^ν. C.4 PERTURBAC¸ ˜OES NO TENSOR ENERGIA–MOMENTO

Como vimos no Apêndice B, podemos descrever fluidos em equil´ıbrio térmico utilizando um fluido perfeito e as equa¸cões termodinâmicas usuais. Porém, esse tratamento é bem motivado somente para fluidos de part´ıculas ultra-relativ´ısticas ou para fluidos frios, pois são casos onde o equil´ıbrio térmico é poss´ıvel. Nesta se¸cão faremos a descri¸cão de um fluido perfeito perturbado, tal que não seja necessariamente escrito como fluido perfeito.

No caso do fluido perfeito o campo de velocidades que aparece na sua descri¸c˜ao coincide com o autovetor do tensor energia–momento. Dessa forma, podemos escrever o tensor perturbado usando seu autovetor, i.e.,Tb^µ_νuˆ^ν =−ρˆˆu^µ,

Tb_µν = ˆρˆu_µuˆ_ν + ˆpˆp_µν +Πb_µν. (C.78)

A diferen¸ca entre essa decomposi¸cão e a feita na Se¸cão B.1 é que nessa o fluxo de energia

e nulo. Definindo a proje¸c˜ao ˆp_µν analogamente ao projetor h_µν definido para os campos n^µ na Se¸c˜ao A.2, temos

p_µ^αTb^µ_νuˆ^ν =−ˆp_µ^αρˆˆu^µ= 0.

Vale ressaltar que na decomposi¸cão feita na Se¸cão B.1 temos um total de 13 graus de liberdade, 10 do tensor energia–momento mais 3 do campo n^µ normalizado. Na repre-senta¸cão acima, temos somente os 10 graus do tensor energia–momento. Representaremos as variáveis cinemáticas associadas ao campo û^µcomo acelera¸cão â^µ ≡∇buûˆ^µ e tensor cur-vatura extr´ınseca

bE_µν ≡ˆph

∇bµuˆ_νi , suas contra¸c˜oes Gb≡Eb^µ_µ e

Cb_µν =Eb_µν− pˆ_µν 3 G,b onde usamos o s´ımbolo

Db_µ· ≡ˆph

∇b^µ·i

para representar a derivada espacial associada.¹ Existe ainda um campo vetorialNb^µ, que representa o fluxo do número de part´ıculas,² como discutido no Apêndice B. Vamos nos restringir ao caso onde o fluxo de número tem a mesma dire¸cão de û^µ, assim Nb^µ =−εûˆ^µ, onde ˆε ≡ Nb^µuˆ_µ representa a densidade de número medida pelos observadores definidos pelo fluido.

Impomos que δu_µ = û_µ−n_µ, δρ = ˆρ−ρ, δε = ˆε−ε e δp = ˆp−p são da mesma ordem que as perturba¸cões na métrica δg_µν. O campo û^µ representa a quadrivelocidade do fluido e como é normalizado, pode ser decomposto como na Eq. (C.10)

δu_µ=−n_µφ+V_µ, (C.79)

onde V^µ≡h[δu^µ]. Lembre que todas as equa¸cões deduzidas nas Se¸cões C.1 e C.3 valem para a quadrivelocidade do fluido, substituindo v^µ por V^µ. Dada essas defini¸cões temos que a perturba¸cão no tensor energia–momento é dada por

δT_µν = (δρ−2φ)n_µn_ν+ 2(ρ+p)n_(µV_ν)+δph_µν+ 2p(n_(µB_ν)+C_µν) +δΠ_µν, (C.80) δT_µ^ν =δρn_µn^ν + (ρ+p)(V_µn^ν +n_µ(V^ν+B^ν)) +δph_µ^ν +δΠ_µ^ν, (C.81) δT^µν = (δρ+ 2φ)n^µn^ν + 2(ρ+p)V^(µn^ν)+ 2ρn^(µB^ν)+δph^µν −2pC^µν +δΠ^µν, (C.82) e a perturba¸c˜ao no tra¸co,

δT =−δρ+ 3δp. (C.83)

1Lembrando que esse operador e os tensores respectivos somente ser˜ao definidos como curvatura extr´ınseca e derivada covariante nas hipersuperf´ıcies quando esse campo for irrotacional.

2Em geral, representa qualquer contagem conservada, como número bariônico, número total de carga, entre outras.

C.4 PERTURBAÇ ÕES NO TENSOR ENERGIA–MOMENTO 149 A conserva¸cão do tensor energia–momento impõe que ∇b^µTb^µν = 0. Usando a forma de Tb^µν, temos as duas proje¸cões

ˆp

h∇bαTb^α_µ i

=Db_µpˆ+ ( ˆρ+ ˆp)ˆa_µ+Db_αΠb^α_µ = 0, (C.84)

−uˆ_ν∇b^µTb^µν =∇bû^ˆρˆ+G( ˆb ρ+ ˆp) +bC_µνΠb^µν = 0. (C.85) Em termo das perturba¸cões temos, da primeira equa¸cão,

(B^ν +V^ν)D_νp= 0, (C.86)

V_µp˙+D_µδp+ (ρ+p)( ˙V_µ−D_µφ) +D_αδΠ^α_µ = 0, (C.87) e da segunda equa¸c˜ao

δρ˙ +φρ˙+ (B^ν +V^ν)D_νρ+ Θ(δρ+δp) +δG(ρ+p) +σ_µνδΠ^µν = 0, (C.88) ondeδGé dado na Eq. (C.20). A última equa¸cão relevante para o tensor energia–momento vem da conserva¸cão do número de part´ıculas,

∇b^µNb^µ=−∇b^µ(ˆu^µε) =ˆ −

∇b^ˆ^uεˆ+Gˆbε

= 0.

Em termos das perturba¸c˜oes, temos

δε˙ +φε˙+ (B^ν +V^ν)D_νε+ Θδε+δGε= 0. (C.89)

FORMALISMO LAGRANGIANO PARA A GRAVITAC ¸ ˜ AO

As equa¸c˜oes de movimento podem ser obtidas a partir do formalismo de Euler-Lagrange.

Para esse fim, usamos a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert, Sb_g =

d⁴xp

−gˆRb= Z

d⁴xLb^g, (D.1)

onde ˆg ´e o determinante da m´etrica ˆg_µν eLbg ≡√

−ˆgRb é a densidade Lagrangiana. Para obtermos a a¸cão associada às perturba¸cões em primeira ordem, precisamos calcular a a¸cão até os termos quadráticos nas perturba¸cões. Neste apêndice, apresentamos as ferramentas necessárias para calcular essa a¸cão.

D.1 DETERMINANTE DA M´ETRICA

De forma rigorosa a integra¸c˜ao na variedade ´e definida como Z

e≡ Z

d⁴xf,

ondeUé um subconjunto aberto da variedadeM,eé uma 4-forma diferencial, que em um sistema de coordenadas é dada pore=e_µναβdx^µ∧dx^ν∧dx^α∧dx^β =fdx⁰∧dx¹∧dx²∧dx³. Dessa forma a integra¸cão na variedade é definida como a soma das integrais em cada subconjunto disjunto. Definimos a 4-forma (natural) de integra¸cão compat´ıvel com a métrica como sendo aquela que e_µναβe^µναβ = −4! e ∇^γe_µναβ = 0. Com essas defini¸cões temos que

e_µναβe^µναβ =e_µναβe_σγληg^µσg^νγg^αλg^βη = 4!e²₀₁₂₃g⁻¹ =−4!,

onde g ´e o determinante de g_µν no sistema de coordenadas usado para calcular e₀₁₂₃, e portanto e₀₁₂₃ = √

−g. Para mais detalhes e uma discussão completa sobre integra¸cão em variedades, veja [36, Apêndice B].

D.1.1 Expans˜ao do Determinante

Usando as defini¸cões acima, podemos calcular a rela¸cão entre a 4-forma natural da métrica perturbada e a de fundo. Para tanto, partimos da defini¸cão da 4-forma natural

e_µναβˆe_σγληˆg^µσˆg^νγgˆ^αλgˆ^βη =−4!,

150

D.1 DETERMINANTE DA MÉTRICA 151 definimos sua rela¸cão com a de fundo como ê_µναβ = (1 +δf)e_µναβ,¹ e, consequentemente, ˆ

e^µναβ = (1 +δf)⁻¹e^µναβ com a qual obtemos

(1 +δf)² =−e^µναβe^σγληgˆ_µσgˆ_νγgˆ_αλgˆ_βη

4! . (D.2)

Expandindo o lado direito em potˆencias do tensor ς_µν ≡δg_µν (definido no Apˆendice C), temos em segunda ordem

(1 +δf)² =−−4! + 4e^µναβe_σναβς_µ^σ + 6e^µναβe_σγαβς_µ^σς_ν^γ

4! . (D.3)

Note que a quantidadee_µναβe^φναβ deve ser proporcional aδ_µ^φpela anti-simetria do tensor.

Como o tra¸co da quantidade acima ´ee_µναβe^µναβ =−4!, pela defini¸c˜ao da 4-forma natural, e δ_µ^µ= 4, temos que

e_µναβe^φναβ =−3!δ_µ^φ. (D.4)

Seguindo passos similares podemos mostrar que

e_µναβe^φθαβ =−2!(δ_µ^φδ_ν^θ−δ_µ^θδ_ν^φ). (D.5) Com essas equa¸c˜oes obtemos

(1 +δf)² = 1 +ς +ς²−ς_µνς^µν

2 , (D.6)

δf = ς

2 −ς_µνς^µν 4 + ς²

8, (D.7)

onde ς ≡ ς_µνg^µν é o tra¸co da perturba¸cão na métrica. Com isso, para um sistema de coordenadas espec´ıfico, temos a seguinte rela¸cão entre os determinantes da métrica perturbada e de fundo,

p−ˆg =√

−g

1 + ς

2− ς_µνς^µν 4 +ς²

. (D.8)

D.1.2 Derivada do Determinante

Além da expansão do determinante, é necessário obter rela¸cões que envolvem suas deri-vadas. Como vimos no come¸co da se¸cão, a 4-forma natural é definida de forma que sua derivada covariante é nula e, portanto, a derivada espacial (como definido na Eq. A.17) da 4-forma também será nula, já que D_γe_µναβ =h[∇^γe_µναβ] = 0.

A derivada de Lie em rela¸cão a um campo vetorial arbitrário v^µ é calculada como

£_ve_µναβ =v^γ∇γe_µναβ+e_γναβ∇µv^γ+e_µγαβ∇νv^γ+e_µνγβ∇αv^γ+e_µναγ∇βv^γ.

Usando o fato que a derivada covariante da 4-forma ´e zero, a Eq. (D.4) e que £_ve_µναβ ∝ e_µναβ, obtemos

£_ve_µναβ = (∇^µv^µ)e_µναβ. (D.9)

1Como o espa¸co das 4-formas em uma variedade de quatro dimensões é unidimensional, todas as 4-formas são proporcionais entre si.

Como a derivada de Lie satisfaz a regra de Leibniz, temos que

£_v(f e_µναβ) = (v^γ∇^γf+f∇^γv^γ)e_µναβ =∇^γ(f v^γ)e_µναβ. (D.10) Pode-se mostrar que uma 4-forma do tipo (∇^µv^µ)e_µναβ pode ser escrita como uma derivada exterior da 3-forma v^µe_µναβ. Portanto, pelo teorema de Stokes,² sua integral ´e dada pela integral da superf´ıcie determinada pelo campo v^µ.

Nas se¸c˜oes a seguir, chamaremos de termos de superf´ıcie aqueles da forma£_v(f e_µναβ) ou (∇µv^µ)e_µναβ e, por simplicidade, usaremos o s´ımbolo √

−g para representar a 4-forma e_µναβ. Vale ressaltar que esses termos n˜ao s˜ao relevantes para o princ´ıpio variacional.

No documento Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas CBPF Instituto de Cosmologia, Relatividade e Astrofísica ICRA (páginas 161-166)

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