Tensor de Einstein

Para encontrarmos as equa¸c˜oes de movimento, precisamos calcular o tensor de Einstein em fun¸c˜ao das perturba¸c˜oes. Para tanto temos

Gb_µν =Rb_µν − ˆg_µν

2 Rb =G_µν +δR_µν− ς_µνR+g_µνδR

2 , (C.59)

Gb_µ^α=Gb_µνgˆ^να =G_µ^α+

δR_µν−R_µ^γς_γν − g_µνδR 2

g^να. (C.60) Como fizemos para o tensor de Ricci, calcularemosδG_µν em termos das proje¸c˜oes, sendo a primeira dada por

δG_nⁿ=δR_nn −R_n^γς_γn+ δR 2 ,

= Θ ˙C+D^µD^νC_µν− K^µν∇ⁿC_µν −D²C− R^µνC_µν

+D_γ(ΘB^γ− K^γνB^ν) + (Θ²− KµνK^µν)φ. (C.61) As proje¸c˜oes cruzadas s˜ao

h δG_n^β

=δR_nνh^νβ −R_n^γς_γνh^νβ, (C.62)

=∂_ctD_αC^αβ + 2K^αγD_γC_α^β − KµνD^βC^µν −S_αγ^βC^αγ−D^βC˙ +K^βγD_γC

−h^αβD^νD_[αB_ν]−B_γ(Θ +∇n)K^βγ+ (KµνK^µν+ ˙Θ)B^β +K^βγD_γφ−ΘD^βφ,

h[δG_βⁿ] =h[δR_nβ]−R_µ^γς_γnh^µ_β, (C.63)

=−D_βC˙ +KβγD_γC+h_σβD^νC˙_ν^σ− K^µγD_βC_γµ

−D^νD_[βB_ν]+RβγB^γ

+K^βγD_γφ−ΘD_βφ+ 2(D_νK^νβ −D_βΘ)φ.

C.3 CURVATURA DAS HIPERSUPERF´ICIES 145 Por fim, os termos espaciais s˜ao

h[δG_µ^α]h_αν =r_µν^αβ(D_αD_βφ+Kαβ( ˙φ+ Θφ) + 2φ∇nKαβ) +φK^αβ(h_αβK^µν− K^αβh_µν)

+K^µγD_[νB_γ]+K^νγD_[µB_γ]

+r_µν^αβ((Θ +∇n)D_(αB_β)+B^γD_γKαβ)−r_µ^γαβD_γKαβB_ν +D_αB_β(Kµνh^αβ −h_µνK^αβ)

+r_µν^αβ(2D_γD_(αC^γ_β)−D_αD_βC)−D^αD^β(h_αβC_µν −h_µνC_αβ) + (∂_ct+ Θ) ˙C_µν −4(K(µαh_ν)^β) ˙C_αβ+ 4K(µαKν)βC_αβ

+r_µν^αβKαβC˙ −h_µν( ¨C+ (K^αβ − R^αβ)∇nC_αβ)

−2C_µα(R^αν + (∇n+ Θ)K^αν), onde r_µναβ ≡2h_µ[αh_ν]β.

C.3 CURVATURA DAS HIPERSUPERF´ICIES

Na Se¸c˜ao C.1 mostramos que um campo vetorial arbitr´ario ˆm^µ define uma s´erie de vari´aveis cinem´aticas associadas a ele. Quando esse campo ´e tamb´em ortogonal `as hiper-superf´ıcies, ele define tamb´em se¸c˜oes espaciais. Dessa forma podemos ent˜ao calcular a curvatura associada a essas se¸c˜oes espaciais. Vamos repetir o c´alculo feito na Se¸c˜ao A.2.1 por´em, como agora ˆm^µ n˜ao ´e necessariamente geod´esico, temos que

∇bµmˆ_ν =Kbµν−mˆ_µˆa_ν, (C.64) onde ˆa_µ ≡ ∇b^mˆmˆ_µ. Al´em disso Kb^µν n˜ao ´e necessariamente sim´etrico. De forma an´aloga a Eq. (A.17), definimos a derivada covariante Db_µ. Note que estamos fazendo o c´alculo no qual ˆm_µ n˜ao ´e necessariamente ortogonal `as se¸c˜oes espaciais, portanto essa derivada e os tensores que iremos calcular s´o ter˜ao significado de derivada covariante e curvatura quando ˆm<sup>µ</sup> for ortogonal `as hipersuperf´ıcies.

Partimos do comutador da derivadaDb_µsegunda de um campou_µque satisfaz ˆh[u_µ] = u_µ, i.e.,

Db_µDb_νu_α= ˆh h∇bµ

ˆh_ν^γˆh_α^σ∇bγu_σ i

,

=Kbµνˆhh

∇bmˆu_αi

−KbµαKbνσu_σ+ ˆhh

∇bµ∇bνu_αi . Com isso, o comutador ´e escrito como

[Db_µ,Db_ν]u_α = 2ωb_µνhˆh

∇bmˆu_αi

+ (KbναKbµσ

−KbµαKbνσ)u_σ+ ˆhh

Rb_µνα^σi

u_σ. (C.65) Quando a vorticidade ´e nula temos

Rbµναβ =KbναKbµβ−KbµαKbνβ + ˆhh

Rb_µνα^βi

. (C.66)

Usaremos a express˜ao acima mesmo quando ˆm^µ n˜ao for ortogonal `as se¸c˜oes espaciais.

Nesse caso vale notar que o tensor Rbµναβ n˜ao tem as mesmas simetrias que um tensor de Riemann (ver Eqs. A.8–A.11). Contraindo um par de ´ındices, obtemos o tensor de Ricci

Rb^µα =Kb^ναKb^µν −Kb^µαΘ + ˆb hh Rb_µαi

+ ˆhh

Rb_{µmαˆ mˆ}i

, (C.67)

onde o ´ultimo termo do lado direito pode ser escrito (analogamente a Eq. A.28) como ˆhh

Rb_{µmαˆ mˆ}i

=−Kb^µνKb^να−ˆhh

∇b^mˆKb^µαi

+Db_µˆa_α+ ˆa_µˆa_α. (C.68) Substituindo na Eq. (C.67) obtemos

Rbµα = ˆh hRb_µα

i−KbµαΘb −ˆh

h∇bmˆKbµα

i

+Db_µˆa_α+ ˆa_µˆa_α, (C.69) definimos tamb´em o escalar contraindo a equa¸c˜ao acima

Rb =Rb+Rb_mˆmˆ −Θb²−∇bmˆΘ +b Db_µˆa^µ+ ˆa_µˆa^µ, e, contraindo a Eq. (C.68), podemos substituir o termo Rb_mˆmˆ e obter

Rb =Rb−Kb^µνKbνµ−Θb²−2∇bmˆΘ + 2b Db_µaˆ^µ+ 2ˆa_µˆa^µ. (C.70) Finalmente escreveremos o escalar acima diretamente em termos das perturba¸c˜oes em primeira ordem. Lembrando que como ˆa^µ n˜ao tem termo de ordem zero, ent˜ao o termo ˆ

a_µˆa^µn˜ao contribui em primeira ordem. Para tanto primeiro temos, usando as Eqs. (C.18), (C.20) e (C.25):

Kb^µνKbνµ− K^µνKνµ= 2 K^µνδKνµ−2KµαKνβC_αβ ,

= 2K^µν D_(µv_ν)+D_(µB_ν)+φKµν+∇nC_µν , Θb² −Θ² = 2ΘδΘ = 2Θ

D_αv^α+D_αB^α+φΘ + ˙C

,

∇bmˆΘb −Θ =˙ δm^µ∇µΘ + ˙δΘ,

= (v^µ+φn^µ+B^µ)∇^µΘ +∇ⁿ

D_αv^α+D_αB^α+φΘ + ˙C , Db_µˆa^µ=D_µˆa^µ=−D²φ+D^γv˙_γ.

Combinando com a Eq. (C.58) e com o aux´ılio da Eq. (A.41), temos finalmente δR ≡R − Rb = 2 (S_µ−S_µγ^γ)v^µ+ (K^µν−Θh^µν)D_µv_ν−D²C−(R^µν −D^µD^ν)C_µν

. (C.71) Para calcular a Eq. (C.69) em termo das perturba¸c˜oes, ´e conveniente calcular o tensor de curvatura das hipersuperf´ıcies da forma Rbµν. Nesse caso a derivada temporal da curvatura extr´ınseca ´e dada por

£_mˆKb^µν =∇b^mˆKb^µν +Kb^γν∇b^µmˆ^γ−Kb^µγ∇b^γmˆ^ν,

=∇b^mˆKb^µν −mˆ_µˆa^γKb^γν,

C.4 PERTURBAC¸ ˜OES NO TENSOR ENERGIA–MOMENTO 147 onde usamos a Eq. (C.64), e portanto

ˆhh

£_mˆKbµνi

= ˆhh

∇bmˆKbµνi

. (C.72)

Usando a equa¸c˜ao acima, reescrevemos a Eq. (C.69) da forma Rb^µν = ˆhh

Rb_µ^νi

−Kb^µνΘb−ˆhh

£_mˆKb^µνi

+Db_µˆa^ν + ˆa_µaˆ^ν. (C.73) Expandindo em primeira ordem temos

δRµν = (δh_µ^γh_β^ν+δh_β^νh_µ^γ) (R_γ^β −K˙γβ) +h[δR_µ^ν]− KµνδΘ−δKµνΘ

−∂_cth[δKµν]−h[£_δmKµν] +D_µˆa^ν, (C.74) e tomando as proje¸c˜oes da equa¸c˜ao acima, temos que δRnn = 0. As proje¸c˜oes cruzadas s˜ao dadas por

h[δR^µn] =−v_βR^µβ, (C.75)

h[δR^nν] =−(v^γ+B^γ)R^γν, (C.76) onde usamos a Eq. (A.29) para reescrever os termos com derivada temporal da curvatura extr´ınseca. Para calcular a proje¸c˜ao espacial, primeiro note que

h[δKµν] =φKµν+D_µv^ν +D_(µB_γ)h^γν + ˙C_µ^ν −2KµγC_γ^ν + 2KγνC_µ^γ,

h[£_δmK^µν] =φK˙^µν+ (v^γ+B^γ)D_γK^µν +K^γνD_µ(v^γ+B^γ)− K^µγD_γ(v^ν +B^ν), reunindo os resultados acima obtemos

h[δRµν] =D_γD_µC^γν +D_γD^νC_µ^γ−D_µD^νC−D²C_µ^ν −2RµγC_γ^ν +v^γ(D^νKγµ−2D_γKµν)− KµνD_γv^γ−D_µ(Θv^ν) +D_γ(Kµγv^ν) +D_µ(K^γνv^γ) +v_µD_γK^γν −v_µD^νΘ,

=D_γD_µC^γν +D_γD^νC_µ^γ−D_µD^νC−D²C_µ^ν −2R^µγC_γ^ν (C.77) +S_µ^ν_γv^γ+S_µv^ν +v_µS^ν −D_γ(Kµνv^γ)−ΘD_µv^ν

+KµγD_γv^ν+D_µv^γKγν −v_µD_γK^γν −D_γKµγv^ν. C.4 PERTURBAC¸ ˜OES NO TENSOR ENERGIA–MOMENTO

Como vimos no Apˆendice B, podemos descrever fluidos em equil´ıbrio t´ermico utilizando um fluido perfeito e as equa¸c˜oes termodinˆamicas usuais. Por´em, esse tratamento ´e bem motivado somente para fluidos de part´ıculas ultra-relativ´ısticas ou para fluidos frios, pois s˜ao casos onde o equil´ıbrio t´ermico ´e poss´ıvel. Nesta se¸c˜ao faremos a descri¸c˜ao de um fluido perfeito perturbado, tal que n˜ao seja necessariamente escrito como fluido perfeito.

No caso do fluido perfeito o campo de velocidades que aparece na sua descri¸c˜ao coincide com o autovetor do tensor energia–momento. Dessa forma, podemos escrever o tensor perturbado usando seu autovetor, i.e.,Tb^µ_νuˆ^ν =−ρˆˆu^µ,

Tb_µν = ˆρˆu_µuˆ_ν + ˆpˆp_µν +Πb_µν. (C.78)

A diferen¸ca entre essa decomposi¸c˜ao e a feita na Se¸c˜ao B.1 ´e que nessa o fluxo de energia

´

e nulo. Definindo a proje¸c˜ao ˆp_µν analogamente ao projetor h_µν definido para os campos n^µ na Se¸c˜ao A.2, temos

ˆ

p_µ^αTb^µ_νuˆ^ν =−ˆp_µ^αρˆˆu^µ= 0.

Vale ressaltar que na decomposi¸c˜ao feita na Se¸c˜ao B.1 temos um total de 13 graus de liberdade, 10 do tensor energia–momento mais 3 do campo n^µ normalizado. Na repre-senta¸c˜ao acima, temos somente os 10 graus do tensor energia–momento. Representaremos as vari´aveis cinem´aticas associadas ao campo ˆu^µcomo acelera¸c˜ao ˆa^µ ≡∇buˆuˆ^µ e tensor cur-vatura extr´ınseca

bE_µν ≡ˆph

∇bµuˆ_νi , suas contra¸c˜oes Gb≡Eb^µ_µ e

Cb_µν =Eb_µν− pˆ_µν 3 G,b onde usamos o s´ımbolo

Db_µ· ≡ˆph

∇b^µ·i

para representar a derivada espacial associada.¹ Existe ainda um campo vetorialNb^µ, que representa o fluxo do n´umero de part´ıculas,² como discutido no Apˆendice B. Vamos nos restringir ao caso onde o fluxo de n´umero tem a mesma dire¸c˜ao de ˆu^µ, assim Nb^µ =−εˆuˆ^µ, onde ˆε ≡ Nb^µuˆ_µ representa a densidade de n´umero medida pelos observadores definidos pelo fluido.

Impomos que δu_µ = ˆu_µ−n_µ, δρ = ˆρ−ρ, δε = ˆε−ε e δp = ˆp−p s˜ao da mesma ordem que as perturba¸c˜oes na m´etrica δg_µν. O campo ˆu^µ representa a quadrivelocidade do fluido e como ´e normalizado, pode ser decomposto como na Eq. (C.10)

δu_µ=−n_µφ+V_µ, (C.79)

onde V^µ≡h[δu^µ]. Lembre que todas as equa¸c˜oes deduzidas nas Se¸c˜oes C.1 e C.3 valem para a quadrivelocidade do fluido, substituindo v^µ por V^µ. Dada essas defini¸c˜oes temos que a perturba¸c˜ao no tensor energia–momento ´e dada por

δT_µν = (δρ−2φ)n_µn_ν+ 2(ρ+p)n_(µV_ν)+δph_µν+ 2p(n_(µB_ν)+C_µν) +δΠ_µν, (C.80) δT_µ^ν =δρn_µn^ν + (ρ+p)(V_µn^ν +n_µ(V^ν+B^ν)) +δph_µ^ν +δΠ_µ^ν, (C.81) δT^µν = (δρ+ 2φ)n^µn^ν + 2(ρ+p)V^(µn^ν)+ 2ρn^(µB^ν)+δph^µν −2pC^µν +δΠ^µν, (C.82) e a perturba¸c˜ao no tra¸co,

δT =−δρ+ 3δp. (C.83)

1Lembrando que esse operador e os tensores respectivos somente ser˜ao definidos como curvatura extr´ınseca e derivada covariante nas hipersuperf´ıcies quando esse campo for irrotacional.

2Em geral, representa qualquer contagem conservada, como n´umero bariˆonico, n´umero total de carga, entre outras.

C.4 PERTURBAC¸ ˜OES NO TENSOR ENERGIA–MOMENTO 149 A conserva¸c˜ao do tensor energia–momento imp˜oe que ∇b^µTb^µν = 0. Usando a forma de Tb^µν, temos as duas proje¸c˜oes

ˆp

h∇bαTb^α_µ i

=Db_µpˆ+ ( ˆρ+ ˆp)ˆa_µ+Db_αΠb^α_µ = 0, (C.84)

−uˆ_ν∇b^µTb^µν =∇b^uˆρˆ+G( ˆb ρ+ ˆp) +bC_µνΠb^µν = 0. (C.85) Em termo das perturba¸c˜oes temos, da primeira equa¸c˜ao,

(B^ν +V^ν)D_νp= 0, (C.86)

V_µp˙+D_µδp+ (ρ+p)( ˙V_µ−D_µφ) +D_αδΠ^α_µ = 0, (C.87) e da segunda equa¸c˜ao

δρ˙ +φρ˙+ (B^ν +V^ν)D_νρ+ Θ(δρ+δp) +δG(ρ+p) +σ_µνδΠ^µν = 0, (C.88) ondeδG´e dado na Eq. (C.20). A ´ultima equa¸c˜ao relevante para o tensor energia–momento vem da conserva¸c˜ao do n´umero de part´ıculas,

∇b^µNb^µ=−∇b^µ(ˆu^µε) =ˆ −

∇b^ˆuεˆ+Gˆbε

= 0.

Em termos das perturba¸c˜oes, temos

δε˙ +φε˙+ (B^ν +V^ν)D_νε+ Θδε+δGε= 0. (C.89)

FORMALISMO LAGRANGIANO PARA A GRAVITAC ¸ ˜ AO

As equa¸c˜oes de movimento podem ser obtidas a partir do formalismo de Euler-Lagrange.

Para esse fim, usamos a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert, Sb_g =

Z

d⁴xp

−gˆRb= Z

d⁴xLb^g, (D.1)

onde ˆg ´e o determinante da m´etrica ˆg_µν eLbg ≡√

−ˆgRb ´e a densidade Lagrangiana. Para obtermos a a¸c˜ao associada `as perturba¸c˜oes em primeira ordem, precisamos calcular a a¸c˜ao at´e os termos quadr´aticos nas perturba¸c˜oes. Neste apˆendice, apresentamos as ferramentas necess´arias para calcular essa a¸c˜ao.

D.1 DETERMINANTE DA M´ETRICA

De forma rigorosa a integra¸c˜ao na variedade ´e definida como Z

U

e≡ Z

U

d⁴xf,

ondeU´e um subconjunto aberto da variedadeM,e´e uma 4-forma diferencial, que em um sistema de coordenadas ´e dada pore=e_µναβdx^µ∧dx^ν∧dx^α∧dx^β =fdx⁰∧dx¹∧dx²∧dx³. Dessa forma a integra¸c˜ao na variedade ´e definida como a soma das integrais em cada subconjunto disjunto. Definimos a 4-forma (natural) de integra¸c˜ao compat´ıvel com a m´etrica como sendo aquela que e_µναβe^µναβ = −4! e ∇^γe_µναβ = 0. Com essas defini¸c˜oes temos que

e_µναβe^µναβ =e_µναβe_σγληg^µσg^νγg^αλg^βη = 4!e²₀₁₂₃g⁻¹ =−4!,

onde g ´e o determinante de g_µν no sistema de coordenadas usado para calcular e₀₁₂₃, e portanto e₀₁₂₃ = √

−g. Para mais detalhes e uma discuss˜ao completa sobre integra¸c˜ao em variedades, veja [36, Apˆendice B].

D.1.1 Expans˜ao do Determinante

Usando as defini¸c˜oes acima, podemos calcular a rela¸c˜ao entre a 4-forma natural da m´etrica perturbada e a de fundo. Para tanto, partimos da defini¸c˜ao da 4-forma natural

ˆ

e_µναβˆe_σγληˆg^µσˆg^νγgˆ^αλgˆ^βη =−4!,

150

D.1 DETERMINANTE DA M´ETRICA 151 definimos sua rela¸c˜ao com a de fundo como ˆe_µναβ = (1 +δf)e_µναβ,¹ e, consequentemente, ˆ

e^µναβ = (1 +δf)⁻¹e^µναβ com a qual obtemos

(1 +δf)² =−e^µναβe^σγληgˆ_µσgˆ_νγgˆ_αλgˆ_βη

4! . (D.2)

Expandindo o lado direito em potˆencias do tensor ς_µν ≡δg_µν (definido no Apˆendice C), temos em segunda ordem

(1 +δf)² =−−4! + 4e^µναβe_σναβς_µ^σ + 6e^µναβe_σγαβς_µ^σς_ν^γ

4! . (D.3)

Note que a quantidadee_µναβe^φναβ deve ser proporcional aδ_µ^φpela anti-simetria do tensor.

Como o tra¸co da quantidade acima ´ee_µναβe^µναβ =−4!, pela defini¸c˜ao da 4-forma natural, e δ_µ^µ= 4, temos que

e_µναβe^φναβ =−3!δ_µ^φ. (D.4)

Seguindo passos similares podemos mostrar que

e_µναβe^φθαβ =−2!(δ_µ^φδ_ν^θ−δ_µ^θδ_ν^φ). (D.5) Com essas equa¸c˜oes obtemos

(1 +δf)² = 1 +ς +ς²−ς_µνς^µν

2 , (D.6)

δf = ς

2 −ς_µνς^µν 4 + ς²

8, (D.7)

onde ς ≡ ς_µνg^µν ´e o tra¸co da perturba¸c˜ao na m´etrica. Com isso, para um sistema de coordenadas espec´ıfico, temos a seguinte rela¸c˜ao entre os determinantes da m´etrica perturbada e de fundo,

p−ˆg =√

−g

1 + ς

2− ς_µνς^µν 4 +ς²

8

. (D.8)

D.1.2 Derivada do Determinante

Al´em da expans˜ao do determinante, ´e necess´ario obter rela¸c˜oes que envolvem suas deri-vadas. Como vimos no come¸co da se¸c˜ao, a 4-forma natural ´e definida de forma que sua derivada covariante ´e nula e, portanto, a derivada espacial (como definido na Eq. A.17) da 4-forma tamb´em ser´a nula, j´a que D_γe_µναβ =h[∇^γe_µναβ] = 0.

A derivada de Lie em rela¸c˜ao a um campo vetorial arbitr´ario v^µ ´e calculada como

£_ve_µναβ =v^γ∇γe_µναβ+e_γναβ∇µv^γ+e_µγαβ∇νv^γ+e_µνγβ∇αv^γ+e_µναγ∇βv^γ.

Usando o fato que a derivada covariante da 4-forma ´e zero, a Eq. (D.4) e que £_ve_µναβ ∝ e_µναβ, obtemos

£_ve_µναβ = (∇^µv^µ)e_µναβ. (D.9)

1Como o espa¸co das 4-formas em uma variedade de quatro dimens˜oes ´e unidimensional, todas as 4-formas s˜ao proporcionais entre si.

Como a derivada de Lie satisfaz a regra de Leibniz, temos que

£_v(f e_µναβ) = (v^γ∇^γf+f∇^γv^γ)e_µναβ =∇^γ(f v^γ)e_µναβ. (D.10) Pode-se mostrar que uma 4-forma do tipo (∇^µv^µ)e_µναβ pode ser escrita como uma derivada exterior da 3-forma v^µe_µναβ. Portanto, pelo teorema de Stokes,² sua integral ´e dada pela integral da superf´ıcie determinada pelo campo v^µ.

Nas se¸c˜oes a seguir, chamaremos de termos de superf´ıcie aqueles da forma£_v(f e_µναβ) ou (∇µv^µ)e_µναβ e, por simplicidade, usaremos o s´ımbolo √

−g para representar a 4-forma e_µναβ. Vale ressaltar que esses termos n˜ao s˜ao relevantes para o princ´ıpio variacional.

D.2 LAGRANGIANA DA GRAVITAC¸ ˜AO

Para calcular o escalar de curvatura partimos da Eq. (C.26) e obtemos o tensor de Ricci sem desprezar nenhum termo,

Rb_µα =R_µα+∇µL_aα− ∇νL_µα^ν+L_µα^γL_aγ−L_να^γL_µγ^ν,

onde L_aα ≡ L_να^ν. Pela Eq. (C.8), vemos que L_µα^γ n˜ao tem termos de ordem zero, pois o termo∇^µˆg_αβ =∇^µς_µν parte de ordem um. Com isso, temos

b

R=R+R_µαδg^µα+∇µ(L_a^µ−L_b^µ)+L_b^µL_aµ−L_µναL^µαν+(∇µL_aν−∇γL_µν^γ)δg^µν+O ς_µν³ , (D.11) onde L_b^µ ≡ g^αβL_αβ^µ. O pr´oximo passo ´e calcular a perturba¸c˜ao da inversa da m´etrica at´e segunda ordem, para tanto temos

ˆ

g_µαˆg^αν =δ_µ^ν +ς_µαg^αν +g_µαδg^αν +ς_µαδg^αν =δ_µ^ν, ς_µαg^αν +g_µαδg^αν +ς_µαδg^αν = 0.

Usando o resultado em primeira ordem (Eq. C.1), obtemos δg^µν =−ς^µν +ς^µλς_λ^ν+O ς_µν³

. (D.12)

Calculamos agora o produto Lbg =√

−gˆRb utilizando as Eqs. (D.8), (D.11) e (D.12), Lbg =Lg+√

−g

−G_µνς^µν +

R_µν −g_µν 4 R

ς^µ_α

ς^αν − g^ανς 2

+L⁽¹⁾sup

+√

−g

L_b^µL_aµ−L_µναL^µαν−(∇µL_aν − ∇γL_µν^γ)ς^µν+∇µ(L_a^µ−L_b^µ)ς 2

, onde os termos de superf´ıcie de primeira ordem s˜ao dados por

L⁽¹⁾sup =√

−g∇^µ(L_a^µ−L_b^µ). (D.13) Termos com derivada covariante de L equivalem aos termos de derivada segunda nas perturba¸c˜oes. Para simplific´a-los, primeiro note que os termos de L aparecem de forma

2Ver Teorema B.2.1 da Ref. [36].

D.2 LAGRANGIANA DA GRAVITAC¸ ˜AO 153 quadr´atica e, logo, precisamos somente de Lem primeira ordem. Contraindo a Eq. (C.9) temos

L_aµ =−∇µς

2 , L_bµ=−∇νς^ν_µ+ ∇µς 2 , e tomando a Eq. (C.7) em primeira ordem,

∇^µς_αβ =−2L_µ(αβ). Reescrevemos os termos com derivadas de L como

∇µL_aνς^µν =∇µ(L_aνς^µν)−L_aν∇µς^µν =∇µ(L_aνς^µν) +L_aν(L_a^ν +L_b^ν), e substituimos esses resultados na equa¸c˜ao deLbg obtendo

Lbg =Lg+√ onde os novos termos de superf´ıcie s˜ao

L⁽²⁾sup =√

Por fim, escrevemos os termos quadr´aticos em L como L^µνγL_γ(µν)−L_aµL_b^µ= ∇γς_µν e, com esses resultados, a perturba¸c˜ao em segunda ordem na Lagrangiana ´e dada por

L^(2)g

Formando a a¸c˜ao com a Lagrangiana acima, podemos obter as equa¸c˜oes de movimento para as perturba¸c˜oes em primeira ordem variando essa a¸c˜ao em rela¸c˜ao ao campo ς_µν. Em primeira ordem o tensor de Einstein ´e dado por

Gb_µν =G_µν +1

A vers˜ao com os ´ındices contravariantes est´a relacionada com a expans˜ao acima como δG^µν =δG_αβg^αµg^βν−2ς^γ(µG^ν)_γ, (D.18) e deve ser reobtido variando a a¸c˜ao

S_g⁽²⁾ = Z

d⁴xL⁽²⁾g . (D.19)

Para isso, note que a varia¸c˜ao em rela¸c˜ao aos termos com derivada covariante de ς_µν podem ser escritos esquematicamente como,³

∇^σ para qualquer tensor P. Usando a f´ormula acima na Eq. (D.14), obtemos

∇^σ

Somando esses resultados, temos que a varia¸c˜ao da parte com derivadas, S_g,deriv⁽²⁾ =

O pr´oximo passo ´e calcular a varia¸c˜ao dos termos sem derivadas, S_g,ς⁽²⁾ =

3Os termos que envolvem derivada no campoςµν s˜ao escritos como uma derivada total menos o termo com a derivada agindo sobre o coeficiente,i.e.,√

−gP^µαβ∇^µςαβ=∇^µ(√

−gP^µαβςαβ)−√

−gςαβ∇^µP^µαβ. Portanto, na f´ormula, estamos desprezando o termo de superf´ıcie.

D.2 LAGRANGIANA DA GRAVITAC¸ ˜AO 155 Usando a Eq. (D.17), temos que a varia¸c˜ao da Lagrangiana completa da gravita¸c˜ao em segunda ordem ´e dada por,

δSg⁽²⁾

δς_αβ =√

−g

−δG^αβ −ςG^αβ 2

, (D.24)

que possui um termo adicional a perturba¸c˜ao do tensor de Einstein.

Na pr´oxima se¸c˜ao obteremos a perturba¸c˜ao no tensor energia–momento da Lagran-giana da mat´eria mais um termo adicional, ao expandi-la em segunda ordem. De forma que, ao variarmos em rela¸c˜ao a ς_µν, obteremos as perturba¸c˜oes de primeira ordem nas equa¸c˜oes de Einstein mais termos adicionais. Esses termos combinados com aqueles da Lagrangiana de mat´eria se anulam com as equa¸c˜oes de fundo.

D.2.1 Decomposi¸c˜ao em Hipersuperf´ıcies

Na Se¸c˜ao D.2 escrevemos a Lagrangiana da gravita¸c˜ao em segunda ordem nas per-turba¸c˜oes e mostramos que a varia¸c˜ao da a¸c˜ao formada por ela fornece as equa¸c˜oes de movimento corretas. Para quantizar essas teorias, ´e necess´ario seccionar a variedade em hipersuperf´ıcies, para definir uma Hamiltoniana para o sistema, assim como ter a ´algebra de Lie das transforma¸c˜oes canˆonicas dos campos. Portanto, nessa se¸c˜ao faremos a de-composi¸c˜ao da Lagrangiana em termos das decomposi¸c˜oes descritas nas Eqs. (C.2–C.4).

Para calcular a Lagrangiana dada na Eq. (D.14), obtemos primeiro que os tensores L_aµ e L_bµ podem ser escritos, usando as Eqs. (C.29–C.34), como

L_aµ=n_µ∂_ct(C−φ)−D_µ(C−φ), (D.25) L_bµ=−n_µ(∂_ct(C+φ) + 2Θφ+D_γB^γ+ 2K^αβC_αβ)

−((Θ +∂_ct)B_µ+ 2D_γC^γ_µ+D_µ(φ−C)), (D.26) e, portanto, o produto L_a^µL_bµ ´e dado por

L_a^µL_bµ=∂_ct(C−φ)(∂_ct(C+φ) + 2Θφ+D_γB^γ+ 2K^αβC_αβ)

+D^µ(C−φ)((Θ +∂_ct)B_µ+ 2D_γC^γ_µ+D_µ(φ−C)). (D.27) Para calcular o produto L_µν^γL_γ^µν, decompomos o tensor L_µν^γ da forma

L_µν^γ =−n_µn_νn^γL_nnⁿ−n_µh[L_nν^γ]−n_νh[L_µn^γ]−n^γh[L_µνⁿ] +h[L_µν^γ] +n_µn_νh[L_nn^γ] +n_µn^γh[L_nνⁿ] +n_νn^γh[L_µnⁿ], e assim o produto ´e

L_µν^γL_γ^µν =−L_nnⁿL_nnⁿ−h[L_nγ^ν]h[L_nν^γ]−2h[L_n^µν]h[L_µνⁿ]

+h[L_γ^µν]h[L_µν^γ] + 2h[L_γⁿⁿ]h[L_nn^γ] +h[L_n^µn]h[L_µnⁿ]. (D.28)

Os produtos individuais s˜ao dados por,

L_nnⁿL_nnⁿ = ˙φ², (D.29)

h[L_nγ^ν]h[L_nν^γ] = ( ˙C_ν^γ−h^γσD_[σB_ν])( ˙C_γ^ν −h_γβD^[νB^β]), (D.30) h[L_n^µν]h[L_µνⁿ] =−C˙_ν^σ(2φKσν +D_(σB_γ)h^γν + ˙C_σ^ν + 2KβνC_σ^β), (D.31) h[L_γ^µν]h[L_µν^γ] = (KγµB^ν +D_γC^µν)(KµνB^γ+ 2D_(µC_ν)^γ−D^γC_µν), (D.32) h[L_γⁿⁿ]h[L_nn^γ] =−(D_γφ+KγσB_σ)(h^γβB˙_β +D^γφ), (D.33) h[L_n^µn]h[L_µnⁿ] = (D_γφ+KγσB_σ)(D^γφ+K^γβB_β). (D.34) Usando as f´ormulas acima, podemos calcular a Lagrangiana em fun¸c˜ao das perturba¸c˜oes decompostas. Nesse trabalho faremos esse c´alculo somente no caso onde a m´etrica de fundo ´e de FLRW.

D.2.1.1 M´etrica de Fundo Homogˆenea e Isotr´opica Podemos aplicar as simpli-fica¸c˜oes obtidas nos Cap´ıtulos 2 e 3 para o conjunto de m´etricas homogˆeneas e isotr´opicas (modelos de FLRW). Primeiramente calculamos a seguinte somal₁ ≡ −h[L_nγ^ν]h[L_nν^γ]− 2h[L_n^µν]h[L_µνⁿ],

l₁ = ˙C_ν^γC˙_γ^ν+ 2D^γB_νC˙_γ^ν−D_[νB_σ]D^[σB^ν]+4Θ 3

φC˙ + ˙C_γ^νC_ν^γ

, (D.35)

onde usamos a forma da curvatura extr´ınseca para essas m´etricas (Eq. 2.10). Usando a Eq. (C.19), obtemos a rela¸c˜ao

δKνγδKγν = ˙C_ν^γC˙_γ^ν + 2D^γB_νC˙_γ^ν +D_(σB_ν)D^(σB^ν) + Θ²

3 φ²+2Θφ 3

D_γB^γ+ ˙C

. Substituindo a equa¸c˜ao acima na Eq. (D.35), temos

l₁ =δK^νγδK^γν −D_νB_σD^σB^ν +Θ 3

2φδΘ + 4 ˙C_γ^νC_ν^γ−3Θφ²−4φD_γB^γ . Lembrando que √˙

−g = Θ√

−g (veja Eq. D.9), reescrevemos os termos 4Θ

3

C˙_γ^νC_ν^γ = 1

√−g∂_ct √

−g2Θ

3 C_γ^νC_ν^γ

−2

Θ + Θ˙ ² 3

!

C_γ^νC_ν^γ,

−D_νB_σD^σB^ν =−D_ν(B_σD^σB^ν) +D^σ(B_σD_νB^ν) + 2KB_σB^σ −(D_νB^ν)²,

onde usamos a forma do tensor de Riemann nas hipersuperf´ıcies dada na Eq. (2.6). Logo, temos

l₁ =δKνγδKγν +2φΘ(δΘ−2D_γB^γ)

3 + 2KB_σB^σ−(D_νB^ν)²

−Θ²φ²−2

Θ + Θ˙ ² 3

!

C_γ^νC_ν^γ,

D.2 LAGRANGIANA DA GRAVITAC¸ ˜AO 157 onde omitimos o termos de derivada total. Reorganizando os termos da Eq. (D.27) com derivada temporal, l₂ =−∂_ct(C−φ)(∂_ct(C+φ) + 2Θφ+D_γB^γ+ 2K^αβC_αβ), temos

eliminamos os termos com derivada temporal de φ e C, obtendo l₂ = ˙φ² −Θφ˙ ²+2Θ²φ²

onde omitimos os termos de derivada total. Reunindo os outros termos da Eq. (D.27) com os produtos dados nas Eqs. (D.29), (D.33) e (D.34),l₃ ≡ −L_aµLbµ

reescrevemos a Eq. (D.38) como l₃ =−φ˙²+φD^γB˙_γ− 2Θ

3 B_γD^γC−δΘD_γB^γ+ (D_γB^γ)² +4Θφ 3 D_γB^γ +(3 ˙Θ + 2Θ²)

9 B_γB^γ+D_γCD^γC−2D_γφD^γC+ 2D^γ(φ−C)D_αC^α_γ,

(D.39)

onde novamente omitimos as derivadas totais.

O ´ultimo termo a ser avaliado ´e dado na Eq. (D.32), l₄ = h[L_γ^µν]h[L_µν^γ], que fica simplificado como

l₄ = Θ²

9 B_γB^γ+2ΘB_γD^γC

3 + 2D_γC^µνD_µC_ν^γ−D_γC^µνD^γC_µν. (D.40) Reunindo todos os termos calculados, a parte da Lagrangiana que resulta dos termos que dependem do tensor L_µν^γ, L⁽²⁾g,deriv=√

−g(l₁+l₂+l₃+l₄), ´e escrita como L⁽²⁾g,deriv

√−g =δKνγδKγν + 2KB_σB^σ+2Θ²φ²

3 −δΘ² +

Θ + Θ˙ ²

3 C²−2Cφ+B_γB^γ−2C_γ^νC_ν^γ−3φ² +D_γCD^γC−2D_γφD^γC+ 2D^γ(φ−C)D_αC^α_γ + 2D_γC^µνD_µC_ν^γ−D_γC^µνD^γC_µν.

(D.41)

O pr´oximo passo ´e calcular a parte da Lagrangiana que n˜ao envolve derivadas deς_µν,i.e., L⁽²⁾g,ς =√

−g

R_µν −g_µν 4 R

ς^µ_α

ς^αν − g^ανς 2

. Usando as Eqs. (2.15) e (2.16), a parte sem tra¸co do tensor de Ricci ´e

R_µν −g_µν 4 R

= (3K−Θ)˙ 2

h_µν

3 +n_µn_ν

, e, com isso,

L^(2)g,ς

√−g = (3K−Θ)˙

3 2C_µ^νC_ν^µ+B_µB^µ−C²−2Cφ−3φ²

. (D.42)

Somando as duas partes obtemos a Lagrangiana da gravita¸c˜ao em segunda ordem como L^(2)g

√−g =δK^νγδK^γν −δΘ²+G_nn(B_γB^γ−φ²−2Cφ) + G^(h)

3 (2C_γ^νC_ν^γ−C²) +D_γCD^γC−2D_γφD^γC+ 2D^γ(φ−C)D_αC^α_γ

+ 2D_γC^µνD_µC_ν^γ−D_γC^µνD^γC_µν +R

3(2C_γ^νC_ν^γ+ 2Cφ−C²),

(D.43)

D.2 LAGRANGIANA DA GRAVITAC¸ ˜AO 159 onde definimos o tra¸co espacial do tensor de Einstein como G^(h) ≡ G_µνh^µν = −(3K + 2 ˙Θ + Θ²) (Eq. 2.17). Podemos obter as equa¸c˜oes de movimento variando essa Lagran-giana em rela¸c˜ao `as perturba¸c˜oes. No entanto, ela ainda n˜ao est´a escrita em fun¸c˜ao das perturba¸c˜oes decompostas, veja Se¸c˜ao 3.3. Para esse prop´osito, podemos simplificar a Lagrangiana acima reescrevendo os termos com derivada espacial usando as rela¸c˜oes

D_γCD^γC =D_γ(CD^γC)−CD²C,

−2D_γφD^γC =−2D_γ(φD^γC) + 2φD²C, 2D^γφD_αC^α_γ = 2D^γ(φD_αC^α_γ)−2φD_γD_αC^αγ,

−2D^γCD_αC^α_γ =−D^γ(CD_αC^α_γ) +CD_γD_αC^αγ−D_α(C^α_γD^γC) +C^αγD_αD_γC, 2D_γC^µνD_µC_ν^γ = 2D_γ(C^µνD_µC_ν^γ)−2C^µνD_γD_µC_ν^γ,

−D_γC^µνD^γC_µν =−D_γ(C^µνD^γC_µν) +C^µνD²C_µν.

Com essa rela¸c˜oes e lembrando das express˜oes para o tensor de Ricci nas hipersuperf´ıcies dadas nas Eqs. (3.33) e (3.34), a Lagrangiana ´e reescrita, ignorando os termos de derivada total, como

L^(2)g

√−g =δK^νγδK^γν −δΘ²+ C

2 −φ

δR −C_µ^νδR^νµ +G_nn(B_γB^γ−φ² −2Cφ) + G^(h)

3 (2C_γ^νC_ν^γ−C²),

(D.44)

onde G_nn = (3K + Θ²/3), conforme a Eq. (2.17). Para decompor em termos das per-turba¸c˜oes escalares, vetoriais e tensoriais, primeiro note que, usando a forma δKνγ = δσ_ν^γ+ (δΘh_ν^γ+ Θn_νB^γ)/3, o termoδK^νγδK^γν −δΘ² ´e reescrito como

δK^νγδK^γν −δΘ² =δσ_ν^γδσ_γ^ν −2δΘ² 3 . Com a Eq. (3.40), o primeiro termo ´e dado por

δσ_ν^γδσ_γ^ν = 2

3(D²δσ^(s))²+ 2KD^γδσ^(s)D_γδσ^(s) +D_(νδσ^(v)_α)D^(νδσ^(v)α)+ ˙W_ν^γW˙_γ^ν.

(D.45) Os termos cruzados n˜ao contribuem, pois podem ser escritos como uma derivada total, i.e.,

D_νD_αδσ^(s)D^(νδσ^(v)α) =D_ν(D_αδσ^(s)D^(νδσ^(v)α))−D_α(δσ^(s)D_νD^(νδσ^(v)α)), D_νD^γδσ^(s)W˙_γ^ν =D_ν(D^γδσ^(s)W˙_γ^ν),

D_(νδσ^(v)_α)h^αγW˙_γ^ν =D_(ν(δσ^(v)_α)h^αγW˙_γ^ν),

onde usamos que D_αD_νD^(νδσ^(v)α) = 0 =D_νW˙_γ^ν. O termo

onde usamos o comutador dado na Eq. (3.5). O pr´oximo passo ´e simplificar o termo C_µ^νδR^νµ. Para tanto, usamos a Eq. (3.34) obtendo

Com as simplifica¸c˜oes acima, temos a Lagrangiana em termos das perturba¸c˜oes decom-postas sem incluir os termos de superf´ıcie,

L^(2)g

Note que, como discutido acima, os termos tensoriais, vetoriais e escalares j´a desacoplam na Lagrangiana e, a partir desse ponto, podem ser tratados como campos independentes.

D.3 LAGRANGIANA DA MAT´ERIA

Nesta se¸c˜ao calcularemos a expans˜ao da Lagrangiana de mat´eria em segunda ordem e as equa¸c˜oes de movimento para as perturba¸c˜oes. Considere a a¸c˜ao de gravita¸c˜ao mais mat´eria,

D.3 LAGRANGIANA DA MAT´ERIA 161 onde Lb^m ´e a Lagrangiana que descreve os campos de mat´eria, como por exemplo a dada na Se¸c˜ao B.4 que inclui o fator de √

Dessa forma o tensor energia–momento ´e reescrito como Tb_µν(x) = −2

Note que nessas express˜oes colocamos explicitamente a coordenada na qual os tensores s˜ao calculados. Nas f´ormulas que seguem, manteremos esse padr˜ao e colocaremos as coordenadas onde houver ambiguidade.

Para expandir a a¸c˜ao de mat´eria at´e segunda ordem, podemos escrevˆe-la explici-tamente como um funcional dos campos perturbados, i.e., Sb_m ≡ S_m[ˆg_µν,ϕ], onde ˆˆ ϕ representa os campos de mat´eria. Dessa forma temos

S_m[ˆg_µν,ϕ] =ˆ S_m[g_µν, ϕ] +

Dos termos de primeira ordem nas perturba¸c˜oes proveem as equa¸c˜oes de movimento para a m´etrica e para o campo de mat´eria, ambos de fundo. Denotamos esses termos como

S_m⁽¹⁾ =

onde escrevemos a varia¸c˜ao da a¸c˜ao em rela¸c˜ao `a m´etrica em termos do tensor energia–

momento. Os termos de segunda ordem, podem ser reescritos como

S_m⁽²⁾ = A varia¸c˜ao dos termos acima com respeito `as perturba¸c˜oes na m´etrica devem resultar na equa¸c˜ao de movimento para as perturba¸c˜oes em primeira ordem. Nesse caso, os termos que envolvem somente perturba¸c˜oes no campo de mat´eria n˜ao contribuem. Fazendo a varia¸c˜ao obtemos, Podemos simplificar essa express˜ao notando que

δTb^αβ(w) onde usamos a simetria da varia¸c˜ao da a¸c˜ao em rela¸c˜ao a m´etrica. Substituindo o resul-tado acima na varia¸c˜ao da a¸c˜ao, temos

δSm⁽²⁾ Expandindo o tensor energia–momento em primeira ordem nas perturba¸c˜oes, obtemos

δT^µν =

D.3 LAGRANGIANA DA MAT´ERIA 163 Portanto, a partir da a¸c˜ao total (ver Eq. D.47) em segunda ordem, obtemos a equa¸c˜ao de movimento para as perturba¸c˜oes usando as Eqs. (D.24) e (D.56),

δG^αβ +ς(G^αβ −κT^αβ)

2 =κδT^µν. (D.57)

Utilizando as equa¸c˜oes de fundo, temos a mesma equa¸c˜ao que obtemos ao expandir as equa¸c˜oes de Einstein em primeira ordem nas perturba¸c˜oes.

D.3.1 Fluido Perfeito Termodinˆamico

Nessa se¸c˜ao vamos aplicar a expans˜ao descrita acima para o caso de um fluido perfeito termodinˆamico, no formalismo discutido na Se¸c˜ao B.4. Nesse formalismo, estamos usando a representa¸c˜ao da entalpia espec´ıfica com o sistema definido pela determina¸c˜ao da press˜ao como fun¸c˜ao da entalpia espec´ıfica e entropia, i.e., pˆ= ˆp( ˆϑ,s). Nessa representa¸c˜ˆ ao a equa¸c˜ao termodinˆamica ´e dada por

d ˆϑ= ˆτdˆs+ 1

Dessa forma, quando expandirmos em segunda ordem, teremos na Lagrangiana as deri-vadas Podemos reescrever em termos das quantidades

ˆ

facilitando a compara¸c˜ao com as equa¸c˜oes de movimento obtidas na Se¸c˜ao 3.5.3. Para tanto, substitu´ımos a entalpia por sua defini¸c˜ao ˆϑ= ( ˆρ+ ˆp)/ˆε, e obtemos Usando essas equa¸c˜oes, obtemos as seguintes rela¸c˜oes,

∂εˆ Na segunda equa¸c˜ao usamos a comuta¸c˜ao das derivadas parciais em ˆp, i.e.,

∂²ϑˆ

Com a comuta¸c˜ao das derivadas na press˜ao, temos e substituindo os resultados das Eqs. (D.59) e (D.60), obtemos

∂εˆ

Partimos da Eq. (D.52) para calcular a expans˜ao da a¸c˜ao desse fluido em segunda ordem nas perturba¸c˜oes. O primeiro termo da a¸c˜ao ´e

δTb^µν(w)

onde os colchetes indicam os termos calculados na coordenada w, e o campo de mat´eria ˆ

ϕ representa qualquer um dos campos ˆχ₁, ˆχ₂, ˆχ₃, ˆχ₄ e ˆs. O pr´oximo termo ´e dado pela varia¸c˜ao do tensor energia–momento em rela¸c˜ao `a inversa da m´etrica, ou seja,

δTb^αβ(w)

Os ´ultimos termos necess´arios envolvem as derivadas segundas da press˜ao em rela¸c˜ao aos campos de mat´eria, i.e.,

onde definimos a derivada segunda da press˜ao como ˆ

D.3 LAGRANGIANA DA MAT´ERIA 165 A fim de obter as equa¸c˜oes de movimento corretas para o fluido, usamos os campos ˆ

χ_i e ˆϑ como os campos a serem variados. Em geral as equa¸c˜oes de movimento para as perturba¸c˜oes s˜ao obtidas usando a densidade de energia, entropia e o campo vetorial do fluido como os campos b´asicos. Para relacionar essas quantidades, note que a perturba¸c˜ao na entalpia pode ser reescrita em primeira ordem como

δϑ=−δ( ˆϑ_µϑˆ_νgˆ^µν)

2ϑ =−δϑ_µn^µ+ϑφ=−δϑ_n+ϑφ. (D.66) Lembrando que a perturba¸c˜ao ˆϑ_µdepende somente dos campos de mat´eria (ver Eq. B.33).

O campo normalizado que descreve o fluxo do fluido perturbado ˆu_µ, como descrito na Se¸c˜ao C.4, ´e dado em primeira ordem por

ˆ u_µ =

ϑˆ_µ

ϑˆ =n_µ+ δϑ_µ ϑ −n_µ

ϑ δϑ=n_µ+h δϑ_µ

ϑ

−φn_µ, (D.67) e portanto, comparando com a Eq. (C.79), temos que o campo vetorial V_µ ´e

V_µ =h δϑ_µ

ϑ

. (D.68)

Usando essas rela¸c˜oes, a perturba¸c˜ao na densidade de energia pode ser reescrita em primeira ordem como

δρ^? = ˆεϑˆ−pˆ−ρ= ε

c²_sδϑ− τ ε+ι

c²_s δs=−εδϑ_n+ (τ ε+ι)δs−εϑφ

c²_s , (D.69)

onde o sobrescrito ^? indica que nenhuma equa¸c˜ao de fundo foi usada nessa defini¸c˜ao.

Unindo os resultados acima, obtemos a Lagrangiana para um fluido perfeito em se-gunda ordem,

L^(2)m

√−g = ε(δϑ_n)²

2c²_sϑ − εϑV_γV^γ

2 − εδ²ϑ_n

2 +$(δs)²

2 +(τ ε(1 +c²_s) +ι)δsδϑ_n c²_sϑ

−εϑB^γV_γ+Cδp^?+φδρ^?−εϑCφ− εϑ 2c²_sφ² +ρ

2 −B_γB^γ+φ²+ 2Cφ +p

2 −2C_γ^νC^{ν γ} +C² ,

(D.70)

onde δp^? =c²_sδρ^?+ιδs eδ²ϑ_n = 2(δχ₂δχ˙₃+δχ₄δs).˙

D.3.1.1 M´etrica de Fundo Homogˆenea e Isotr´opica At´e este ponto, n˜ao fizemos nenhuma suposi¸c˜ao sobre a m´etrica de fundo. Quando impomos que a m´etrica de fundo

´

e do tipo de FLRW, temos que o tensor energia–momento ´e o de um fluido perfeito, com os v´ınculos adicionais de que os gradientesD_µρ, D_µps˜ao nulos. Usando as rela¸c˜oes entre as quantidades termodinˆamicas, temos tamb´em que D_µs=D_µε= 0, j´a que

D_µp=c²_sD_µρ+ιD_µs, D_µρ=ϑD_µε+ετ D_µs.

Contudo, para um fluido barotr´opico (ι = 0) n˜ao temos mais o v´ınculo de que a entropia tem gradiente nulo, mas sobra o v´ınculo ϑD_µε+ετ D_µs = 0. Usando a Eq. (D.60), temos

Contudo, para um fluido barotr´opico (ι = 0) n˜ao temos mais o v´ınculo de que a entropia tem gradiente nulo, mas sobra o v´ınculo ϑD_µε+ετ D_µs = 0. Usando a Eq. (D.60), temos

No documento Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas CBPF Instituto de Cosmologia, Relatividade e Astrofísica ICRA (páginas 158-0)