Nesta seção, falaremos sobre identidades polinomiais de uma álgebra. Temos que a classe de todas as álgebras comutativas e todas as álgebras de dimensão finita são importantes por terem propriedades estruturais de fácil manuseio. Em uma tentativa de generalizar tais propriedades para outras álgebras, estudamos estes assuntos.
A partir de agora, fixamos um conjunto infinito e enumerável X tx1, x2, ...u.
Definição 3.3.1. Seja f fpx1, x2, ..., xnq P KxXy e seja R uma álgebra associativa. Dizemos
que f 0 é uma identidade polinomial para R, se fpr1, ..., rnq 0 para todo r1, ..., rn P R. Por
vezes, dizemos que f é uma identidade polinomial para R.
Observação 3.3.2. Seja φ o conjunto de todos os homomorfismos ϕ : FxXy Ñ R onde R
é uma K-álgebra. Temos que f 0 é uma identidade polinoomial para R se, e somente se,
f P £
ϕP φ
Kerϕ. Normalmente dizemos que f 0 é uma identidade em R ou que R satisfaz
f 0.
Como o polinômio trivial f 0 é uma identidade para qualquer álgebra R, temos:
Definição 3.3.3. Dizemos que uma álgebra associativa R é uma PI-álgebra, ou álgebra com
identidade polinomial, se existir f P KxXy não nulo tal que a R satisfaz a identidade polinomial (fpr1, ..., rnq 0 para todo r1, ..., rn P Rq.
Ou seja, se R satisfaz uma identidade polinomial não trivial, então dizemos que R é uma PI-álgebra.
Definição 3.3.4. Sejam R uma álgebra e x1, x2 elementos de R. Definimos o comutador entre
x1 e x2 e denotamos por rx1, x2s x1x2 x2x1.
Observação 3.3.5. Temos que uma álgebra R é comutativa se, e somente se, satisfaz a
identidade polinomial
rx1, x2s x1x2 x2x1 0.
Definição 3.3.6. Seja R uma K-álgebra associativa. Dizemos que R é nilpotente, se existir um
inteiro positivo n tal que 0 r1...rn para todo ri P R. O menor n que satisfaz a igualdade é
dito o índice de nilpotência da álgebra R.
Exemplo 3.3.7. Qualquer álgebra nilpotente é uma PI-álgebra. De fato, se Rn 0, para algum
n ¥ 1, então x1...xn 0 é uma identidade para R.
Exemplo 3.3.8. Se R é uma álgebra comutativa, então R é uma PI-álgebra pois satisfaz a
Exemplo 3.3.9. Seja U TnpF q a álgebra de matrizes triangulares superiores de ordem n sobre
o corpo F . Temos que U TnpF q é uma PI-álgebra, pois satisfaz a identidade
rx1, x2s. .rx2n1, x2ns 0
De fato, sejam A, B P UTnpF q. Temos que AB e BA são matrizes triangulares
possuindo mesma diagonal. Logo AB BA é uma matriz triangular estritamente superior.
SU TnpF q é um ideal bilateral nilpotente, então tomando n da nilpotência de SUTnpF q temos
SU TnpF qn 0 e assim rx1, x2s. .rx2n1, x2ns 0 é uma identidade de UTnpF q.
Exemplo 3.3.10. Seja F um corpo. Temos que a álgebra M2pF q satisfaz a identidade rrx, ys2, zs
0.
De fato, consideremos A, B P M2pF q. Denotando por C o comutador entre A e B,
ou seja C rA, Bs, temos que trC 0. Desta forma, podemos escrever C
d m
n d
, com
m, n e d elementos de F . Calculando o polinômio característico Ppλq de C, temos que
ppλq pd λqpd λq mn
λ2 d2 mn
λ2 detpCq.
Pelo teorema de Hamilton-Cayley, temos que PpCq 0, logo C2 detpCqI 0. Como
consequência, C2 é uma matriz escalar, assim C2 comuta com qualquer matriz de M2pF q.
Portanto, rrA, Bs2, Ds 0 para todo A, B, D P M2pF q, daí a identidade rrx, ys2, zs 0 é
satisfeita para M2pF q.
Introduzimos agora algumas definições mais elaboradas acerca de ideais em PI- álgebras.
Definição 3.3.11. Seja R uma K-álgebra. Denotamos por TpRq, o conjunto de todas as
identidades polinomiais de R. Ou seja
TpRq : tf P KxXy tal que f 0 em Ru.
Observação 3.3.12. Temos que TpRq é um ideal bilateral de F xXy. Além disso, se f
px1, ..., xnq for um polinômio qualquer em T pRq, e g1, ..., gn são polinômios arbitrários em FxXy,
então fpg1, ..., gnq P T pRq.
Definição 3.3.13. Sejam R uma K-álgebra e FxXy a álgebra das palavras associativas. Dizemos
que um ideal I de FxXy é um T -ideal, se o mesmo for invariante sobre todos os endomorfismos de FxXy.
Em outras palavras, dizemos que I é um T -ideal se ϕpIq I com ϕ endomorfismo de FxXy.
Observação 3.3.14. Como qualquer endomorfismo de FxXy é determinado aplicando x ÞÑ g,
onde x P X e g P F xXy (pois F xXy é livre na classe de todas as álgebras, como visto anteriormente), segue que TpRq é um ideal invariante sobre todos os endomorfismos de F Xy, ou seja, TpRq é um T -ideal.
Quando o corpo base é infinito, o estudo de identidades de uma determinada álgebra
R pode ser resumido ao estudo dos polinômios homogêneos ou multilineares.
Definição 3.3.15. Seja f fpx1, ..., xnq um polinômio em K Xy. Definimos o grau total de
um monômio u como sendo a soma dos degxiu, com i 1, ..., n.
Definição 3.3.16. Seja Fn F x1, ..., xny, a álgebra livre de rank n ¥ 1 sobre um corpo F .
Denotamos por Fnpkq ao subespaço gerado por todos os monômios de grau total k e por Fpi1,...,inq ao subespaço gerado por todos os monômios de grau ij em xj com j 1, ..., n. Os
Definição 3.3.17. Um polinômio f pertencente a Fnpkq para algum k ¥ 1 é dito de grau
homogêneo k.
Definição 3.3.18. Um polinômio f é linear na variável xi se xi aparece com grau 1 em todo
monômio de f . Um polinômio que é linear em todas as suas indeterminadas é dito multilinear.
Definição 3.3.19. Os polinômios fpi1,...,inq P Fpi1,...,inq
n não nulos são chamados de multihomo-
gêneos de multigrau pi1, ..., inq.
Proposição 3.3.20. Seja R uma K-álgebra gerada por um conjunto X sobre F . Se um
polinômio multilinear f se anula em X então f é uma identidade polinomial para R.
Demonstração. Sejam r1
¸
α1iui, ..., rn
¸
αniui os elementos de R com cada ui sendo
elementos de X. Então, como f fpx1, ..., xnq é linear in cada uma de suas variáveis,
fpa1, ..., anq
¸
4 Álgebras G-Graduadas
No último capítulo deste trabalho, falaremos sobre álgebras G-graduadas e suas identidades polinomiais. Falaremos também sobre o assunto principal deste trabalho que são os co-caracteres de PI-álgebras G-graduadas e por último, falaremos sobre algumas propriedades envolvendo produto tensorial.
4.1
Introdução
Se uma álgebra R tem uma estrutura adicional de uma álgebra graduada, pode- mos tentar relacionar as identidades polinomiais de R para identidades mais genéricas (como identidades G-graduadas) levando em consideração a nova estrutura. Esse estudo se dá pela importância da álgebra de matrizes k k sobre o corpo da base cujas graduações, automorfismos e involuções são "bem-entendidas"
Definição 4.1.1. Seja G um grupo. Dizemos que uma álgebra assoaciativa R sobre um corpo
arbitrário F é uma álgebra G-graduada se
R à
gPG
Rg
onde cada Rg é um subespaço de R, tal que RgRh Rg h para todo g, h P G.
Da definição, podemos escrever r P R de maneira única como uma soma finita
r ¸
gP G
rg, com rg P Rg.
Definição 4.1.2. Os subespaços Rg são chamados de componentes homogêneas de R. Adequa-
damente, um elemento r P R é homogêneo (ou homogêneo de grau g) se r P Rg. Um subespaço
S de R é graduado ou homogêneo se S ¸
gP G
pS X Rgq (Ou seja, S é graduado se, para algum
s P S temos s ¸
gP G
rg, então rg P S para todo g P G).
Analogamente, podemos definir subalgebras graduadas, ideais, etc.
Exemplo 4.1.3. Qualquer álgebra R pode ser graduada por um grupo G definindo R Re e
Exemplo 4.1.4. Temos que C pode ser escrito como R ` R, o qual podemos denotar como R loomoon 0 ` Rloomoon 1 . Assim, temos: C C0` C1 $ ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' % C0C0 C0 0 C0; C0C1 C0 1 C1; C1C0 C1 0 C1; C1C1 C1 1 C0.
E como já sabemos que C é uma álgebra associativa sobre R e Z2 é grupo aditivo de ordem
finita, temos que C é uma álgebra Z2-graduada.
Exemplo 4.1.5. Temos que M2pF q
a11 0 0 a22 ` 0 a12 a21 0
é uma G-graduação com verifi- cação análoga à anterior e podendo ser generalizada para MnpF q com n P N.
Exemplo 4.1.6. A álgebra associativa livre R F xXy de posto enumerável tem uma Z-
graduação natural, definindo R ¸
nP ZRn
onde Rn 0 se n ¤ 0, e Rn o conjunto gerado por
todos os monômios de grau n, no caso de ny0.
Se X1 tx1, ..., xku é um conjunto finito, então a álgebra associativa de posto k,
R F xX1y, pode ser graduada pelo grupo Zk Z ` ` Zlooooomooooon
kvezes
definindo
Rpn1,...,nkq : tf P F xX1y tal que f é multihomogêneo, def
xif ni, i 1, ..., ku
Definição 4.1.7. Sejam G um grupo e A à
gP G
Ag e B
à
gP G
Bg duas álgebras G-graduadas.
Dizemos que uma aplicação ϕ : AÑ B é um homomorfismo de álgebras G-graduadas se ϕ for um homomorfismo de álgebras que satisfaz ϕpAgq Bg para todo g P G. Dizemos que ϕ é um
isomorfismo de álgebras G-graduadas, se ϕ for um homomorfismo bijetivo.