CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
FELIPE MAIA DA SILVA
Co-Caracteres de Álgebras G-Graduadas
Campinas
2019
Co-Caracteres de Álgebras G-Graduadas
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientador: Lucio Centrone
Este exemplar corresponde à versão
fi-nal da Dissertação defendida pelo aluno
Felipe Maia da Silva e orientada pelo
Prof. Dr. Lucio Centrone.
Campinas
2019
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Silva, Felipe Maia da,
Si38c SilCo-caracteres de álgebras G-graduadas / Felipe Maia da Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
SilOrientador: Lucio Centrone.
SilDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sil1. PI-álgebras. 2. Identidades polinomiais graduadas. 3. Co-caracter. 4. Álgebras graduadas. 5. Álgebras livres. I. Centrone, Lucio, 1983-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Cocharacters of G-graded algebras Palavras-chave em inglês:
PI-algebras
Graded polynomial identities Cocharacter
Graded algebras Free algebras
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Lucio Centrone [Orientador] Plamen Emilov Kochloukov Thiago Castilho de Mello Data de defesa: 31-05-2019
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9053-5695 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/0953031918538487
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). LUCIO CENTRONE
Prof(a). Dr(a). PLAMEN EMILOV KOCHLOUKOV
Prof(a). Dr(a). THIAGO CASTILHO DE MELLO
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
A Deus, que me concedeu o dom de aprender, analisar e concluir.
A Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), que me acolheu e proporcionou um desenvolvimento intelectual e pessoal. Jamais me esquecerei da experiência que tive na mesma.
Aos meus professores pelo empenho na difícil arte de ensinar. Em especial ao meu orientador, Prof. Dr. Lucio Centrone pelo esforço e principalmente pela paciência durante a elaboração deste trabalho.
Aos meus familiares, em particular à minha mãe Elisety cujo apoio emocional e financeiro foram essenciais nesa jornada.
Aos meus colegas de graduação pelo companheirismo ao longo do curso. Em particular ao Leandro Afonso pela paciência ao me ensinar sobre diversos assuntos.
Agradeço especialmente à Sarah Temóteo pela amizade que levarei por toda a vida. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.
Este trabalho tem como objetivo geral, discorrer sobre Álgebras com Identidades Polinomiais (P.I. Álgebras), com foco em Co-Caracteres de Álgebras G-Graduadas, encerrando com o estudo de produtos tensoriais acerca do assunto. O trabalho foi fortemente influenciado pelo artigo "Cocharacters of G-graded algebras"quanto pelos livros "Free Algebras and PI-Algebras"e "Polynomial Identities and Asymptotic Methods", tanto que em vários momentos, são feitas
traduções dos mesmos.
Palavras-Chave: PI-Álgebras; Identidades Polinomiais Graduadas; Co-Caracter; Álgebras
This dissertation has as its main goal to study about algebras with polynomial identities (P.I Algebras), focusing on Co-characters of G-graded algebras, finishing the work studying tensorial products on the matter. The work was heavenly influenced by the article "Cocharacters of G-graded algebras" and also by the books "Free Algebras and PI-Algebras" and "Polynomial Identities and Asymptotic Methods", so much that on some cases are made translations from english to portuguese.
Key-Words: PI-Algebras; Graded Polynomial Identities; Cocharacter; Free Algebras; Graded
1 INTRODUÇÃO . . . 10 2 PRELIMINARES . . . 12 2.1 Representação de Grupos . . . 12 2.2 Álgebras . . . 18 2.2.1 Exemplos de Álgebras. . . 21 2.3 Produto Interno . . . 27
2.4 Caracteres de uma Representação . . . 35
3 ÁLGEBRAS COM IDENTIDADES POLINOMIAIS. . . 43
3.1 Introdução. . . 43
3.2 Álgebras Livres . . . 43
3.3 PI-Álgebras . . . 45
4 ÁLGEBRAS G-GRADUADAS. . . 48
4.1 Introdução. . . 48
4.2 Identidades Polinomiais G-Graduadas . . . 49
4.2.1 Álgebras G-graduadas livres . . . 49
4.2.2 Identidades Polinomiais G-Graduadas . . . 50
4.3 Co-Caracteres . . . 52
4.4 G-Partição . . . 53
4.5 Produto Tensorial de Álgebras Graduadas . . . 57
1 Introdução
Esta dissertação tem como base a teoria de aneis em conjunto com a teoria de carac-teres de um grupo, em particular, baseia-se no estudo de álgebras com identidades polinomiais. O estudo das PI-álgebras, tem seu primeiro registro em um artigo feito por M. Dehn [5] em 1922 com motivação geométrica. Em seguida, W. Wagner [19], em 1937 encontrou identidades para a álgebra das matrizes e a álgebra dos quatérnios. segundo A.Giambruno [9], o assunto começou a ser formalizado em um artigo escrito por Kaplansky em 1948, onde o mesmo prova que toda PI-álgebra primitiva é uma álgebra simples de dimensão finita, sugerindo uma condição de finitude para uma álgebra. Atualmente, as PI-álgebras são estudadas em três linhas de pesquisa; Uma linha de pesquisa que estuda a estrutura de uma determinada álgebra sabendo que a mesma satisfaz uma identidade polinomial; uma linha de pesquisa que estuda as classes de álgebras que satisfazem um dado sistema de identidades polinomiais; e por fim, uma linha de pesquisa que é voltada para o estudo de identidades polinomiais satisfeitas por uma determinada álgebra.
A dissertação foi dividida em três capítulos. O primeiro capitulo foi inserido para introduzir algumas definições e resultados que são a base de nosso estudo. Definimos o que é um grupo G, definimos o que é uma álgebra e demos alguns exemplos, definimos o que é representação de um determinado grupo G e por fim definimos o que é um caracter de uma representação. O capítulo é fortemente influenciado por B. Sagan [18], com o auxílio dos livros de I. Hersntein [10] e T. Hungerford [12]. Todos os resultados do capítulo podem ser encontrados nos mesmos. No capítulo seguinte, introduzimos a definição de álgebra livre e falamos sobre álgebras com identidades polinomiais (PI-Álgebras). Uma identidade polinomial para uma álgebra R, é um polinômio que se anula para qualquer substituição de elementos de R nas variáveis do polinômio. Se existir uma identidade polinomial não trivial para a álgebra R, dizemos que R é uma PI-álgebra. O capítulo foi influenciado por V.Drensky [7].
No último capítulo deste trabalho, estudamos sobre álgebras graduadas por um dado grupo G. Dado um grupo G, dizemos que uma álgebra assoaciativa R sobre um corpo arbitrário F é uma álgebra G-graduada se R à
gPG
Rg onde cada Rg é um subespaço de R,
tal que RgRh Rg h para todo g, h P G. Da definição, podemos escrever r P R de maneira
única como uma soma finita r ¸
gP G
rg, com rg P Rg. Em seguida estudamos a definição de
identidades polinomiais sobre tais álgebras, introduzimos a definição de co-caracteres de uma determinada álgebra, em particular, dada uma K-Álgebra graduada por um grupo G, onde K é um corpo de característica 0, suas identidades G-graduadas seguem das identidades G-graduadas
multilineares. A quantidade de monômios multilineares cresce de maneira fatorial. Em um artigo escrito por A.Regev [3], foi provado que o espaço vetorial quociente dos polinômios multilineares com identidades multilineares de grau n, Ppnq, cresce ao mais exponencialmente (ao crescer de n), assim é mais eficiente estudarmos Ppnq ao invés das identidades do mesmo. Podemos pensar em Ppnq como um módulo sobre o grupo das permutações de n elementos com seu caracter, chamado de co-caracter. Por fim, estudamos algumas propriedades de produto tensorial de álgebras G-Graduadas. No desenvolver do trabalho, principalmente a parte relacionada ao trabalho de O. Di Vincenzo [6], são utilizados livros de apoio para as demonstrações, como o de V. Drensky [7] e o de A.Giambruno [9]. Também são utilizados artigos auxiliares que suportam o artigo principal, como os artigos de A. Berele, Y. Bathurin, A. Giambruno, M. Riley, G. James, A. Kerber, A. Kemer e A. Regev [2], [1], [13], [14], [15] [16] e [17].
2 Preliminares
O trabalho em questão requer alguns conhecimentos sobre álgebra básica. O capítulo inicial é voltado para tentar fazer uma revisão acerca do assunto. É recomendado que o leitor tenha algum conhecimento de álgebra linear.
2.1
Representação de Grupos
Alguns resultados e algumas definições da teoria de representações de grupos se fazem necessários para o desenvolvimento do trabalho, pois no final da seção veremos a definição e alguns exemplos de caracter de uma representação, definição essa que complementa o título deste trabalho.
Definição 2.1.1. Seja G um conjunto não vazio. Definimos em G uma operação binária chamada
soma e denotamos a mesma por . de forma que: 1. Se a, b P G então a b P G;
2. Se a, b, c P G então a pb cq pa bq c (Lei associativa) ;
3. Existe um elemento eG P G tal que a eG eG a a para todo a P G (Existência de
elemento neutro) ;
4. Para todo elemento a P G existe um elemento a1 P G tal que a pa1q a1 a eG
(Existência de elementos inversos em G).
Satisfazendo as condições acima, dizemos que pG, q é um grupo ou, simplesmente, que G é um grupo em relação a operação .
Definição 2.1.2. Dizemos que um grupo G é abeliano se a b b a com a, b P G.
Se um grupo for abeliano utilizaremos a b para representar a operação entre dois
elementos do grupo, caso contrário utilizaremos simplesmente ab para representar a mesma.
Definição 2.1.3. Sejam K um corpo, V um K-espaço vetorial com dimKV n 8. Definimos
o conjunto
EndKpV q : tf : V Ñ V | fpαv βuq αfpvq βfpuq, com α, β P K, e com v, u P V u
e no mesmo definimos duas operações binárias e tais que pf1 f2qpvq f1pvq f2pvq e
As operações e são a soma e a composição de funções respectivamente.
Definição 2.1.4. Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial com dimKV n 8.
Definimos GLpV q : tf P EndKpV q | f é bijetorau e o chamamos, com a composição de funções
, de grupo geral linear.
Temos uma definição semelhante para matrizes.
Definição 2.1.5. Sejam C o corpo dos números complexos. Definimos o conjunto GLdpCq :
tA P MdpCq tal que A é invertívelu. Onde MdpCq é o grupo das matrizes quadradas d d com
entradas nos números complexos. Munido do produto usual de matrizes, GLdpCq é dito grupo
geral linear de ordem d.
Observação 2.1.6. Temos que GLdpCq é o conjunto das matrizes cujo determinante não é 0.
Definição 2.1.7. Seja G um grupo. Uma representação de G é um um homomorfismo de grupos
ρ : GÑ GLdpCq.
Onde d é dito o grau ou dimensão da representação e denotado por degpρq. Dizemos que uma representação é linear se degρ 1.
Equivalentemente, a cada g P G é associado um Xpgq P MdpCq onde temos
ρpghq ρpgqρphq para quaisquer g, h P G.
Dado um K-espaço vetorial V de dimensão d 8, tomamos GLpV q, como definido anteriormente. Tal conjunto, munido com a composição de aplicações, é um grupo isomorfo à
GLdpCq. Assim, a definição de representação vista anteriormente é equivalente à dizer que dado
G um grupo finito e V um Kespaço vetorial. Uma representação de G é um homomorfismo de
grupos
ρ : GÑ GLpV q
Observação 2.1.8. Com base na definição de representação de um grupo G, podemos observar
que se degρ 1 implicando em ρ : G Ñ C.
Seja |G| n temos que para todo g P G, gn 1G implicando em ρpgqn ρpgnq
ρp1Gq 1, por ρ ser homomorfismo. Assim, temos que g é raiz n-ésima da unidade.
Exemplo 2.1.9. Sejam G um grupo finito e d um número inteiro positivo finito. Definimos
ρ : G Ñ GLdpCq, que associa, g ÞÑ Id. A mesma é uma representação para G chamada de
Exemplo 2.1.10. Seja G Sn, o grupo das permutações, com dimKV n sendo tv1, v2, ..., vnu
base de V sobre K, então ρ : Sn Ñ GLpV q, σ ÞÑ Tσ tal que Tσ : V Ñ V , vi ÞÑ vσpiq é
representação de Sn
Exemplo 2.1.11. Seja G D3 xx, y | x3 y2 1d, yxy1 x1y e ρ : D3 Ñ GL2pCq com
xÞÑ w 0 0 w2 e y ÞÑ 0 1 1 0
, onde w3 1d e w 1d é uma representação de G.
Observação 2.1.12. Seja G a ¡, |G| n e seja X : G Ñ C, aÞÑ . Então an 1G ñ
Xpanq pXpaqqn n 1 ñ é raiz n-ésima primitiva da unidade.
Logo, as raizes n-ésimas primitivas da unidade, encontram todas as representações lineares de G.
Exemplo 2.1.13. Tomando G Sn. Temos que a aplicação ρ : SnÑ F, σÞÑ sgnpσq é uma
representação para G. Chamamos ρ de representação sinal.
A partir de agora, a menos que se diga o contrário, usaremos a letra R para denotar um anel.
Definição 2.1.14. Seja pR, 1,1q um anel. Dizemos que um grupo abeliano pM, q é um
R-módulo à esquerda, se existir um produto : RM Ñ M tal que para quaisquer m, m1, m2 P M
e para quaisquer r, r1, r2 P R, temos:
1. pr1 1 r2q m r1 m r2 m;
2. r pm1 m2q r m1 r m2;
3. r1 pr2 mq pr11r2q m;
4. Se R tem unidade, então 1R m m
Para facilitar nosso estudo, utilizaremos a notação a seguir 1. pr1 r2qm r1m r2m;
2. rpm1 m2q rm1 rm2;
3. r1pr2mq pr1r2qm;
4. Se R tem unidade, então 1Rm m
Levando em consideração que o leitor deve prestar atenção quais elementos estão sendo operados e qual operação seria a correta para a ocasião.
Observação 2.1.15. Analogamente, podemos definir um R-módulo à direita.
Quando mencionarmos R-módulos neste trabalho, caso não hajam ambiguidades, assumiremos que os mesmos sejam R-módulos à esquerda.
Exemplo 2.1.16. Temos os seguintes exemplos de R-módulos;
1. t0Ru e R são R-módulos. Os mesmos são ditos módulos triviais.
2. Se I é um ideal à esquerda de R então I é um R-módulo; 3. Se I é um ideal à esquerda de R então R{I é um R-módulo; 4. SepG, q é grupo abeliano então G é um Z-modulo.
Definição 2.1.17. Seja M um R-módulo e seja N M. Então N é um R-submódulo de M se
N é um R-módulo com respeito às mesmas operações de M .
Iremos definir agora aplicações entre os R-módulos e estudar algumas de suas propriedades.
Definição 2.1.18. Sejam R um anel e M, M1 R-módulos. Uma aplicação f : M Ñ M1 é dita
um homomorfismo de R-módulos se para quaisquer m, m1, m2 P M e para todo r P R, temos:
1. fpm1 m2q fpm1q fpm2q;
2. fprmq rfpmq
Definição 2.1.19. Sejam R, f, M e M1 como na definição anterior;
1. Se f for injetor, dizemos que f é um monomorfismo; 2. Se f for sobrejetor, dizemos que f é um epimorfismo;
3. Se f for bijetor, dizemos que f é um isomorfismo. Nesse caso, dizemos que os módulos M e M1 são isomorfos e escrevemos M M1;
4. Se f for um homomorfismo de M sobre sí próprio, dizemos que f é um endomorfismo;
Definição 2.1.20. Sejam M , um R-módulo, e N , um R-submódulo de M . definimos o conjunto
quociente de M por N como
M{N : tm N | m P Mu,
Definição 2.1.21. Seja M{N o conjunto quociente como na definição anterior. Definimos em M{N duas operações e tais que
1. pm1 Nq pm2 Nq pm1 m2q N;
2. rpm Nq prmq N.
Assim, dizemos que M{N é o R-módulo quociente de M por N.
Após serem introduzidas as definições de módulo quociente, introduzimos os ditos teoremas de homomorfismo para os R-módulos:
Teorema 2.1.22 (Teorema de homomorfismo de R-módulos). Seja f : M Ñ M1 homomorfismo
de R-módulos, então
M
Kerf Imf
Teorema 2.1.23 (Teorema de Correspondência). Seja M um módulo e seja N um
R-submódulo de R, então se I é um R-R-submódulo de M{N, temos que I é isomorfo à um submódulo de M que contêm N .
As demonstrações dos resultados acima podem ser encontradas em [12].
Definição 2.1.24. Seja M um R-módulo e P M. Dizemos que M é gerado por P , se para
todo m P M, existem ri P R tais que
m
n
¸
i1
ripi, pi P P
Observação 2.1.25. Se P for finito, ou seja, se P tp1, p2, ..., pnu então M
n
¸
i1
Rpi.
Definição 2.1.26. Dizemos que um módulo, M é irredutível, se o mesmo não possui
R-submódulos não triviais.
Em outras palavras, se M é irredutível, então os únicos R-submódulos que M admite são t0u e M.
Exemplo 2.1.27. Seja V um D-espaço vetorial, onde D é um anel de divisão. Temos que V é
um D-módulo irredutível se, e somente se, dimDV 1. De fato, se dimV n, pelo Teorema de
Completamento da Base, existem subespaçoes próprios de V de dimenções n 1, n 2, . . . , 1, 0. Como V é irredutível, temos que dimV 1.
Proposição 2.1.28. Seja pG, q um grupo abeliano. Temos que G é um Z-módulo irredutível
Demonstração. Dividindo a demostração em casos, temos
(ð) |G| |xay| p implicando, pelo Teorema de Lagrange, que os únicos subgrupos (submó-dulos) são x0y e G. Portanto, G é um Z-módulo irredutível;
(ñ) Seja g P G com g 0. Isso implica que xgy é um Z-submódulo de G onde xgy x0y, implicando em G xgy (pois G é irredutível). Além disso, se existir d que divide n |G|, então n¡ d ¡ 1, implicando assim pelo inverso do teorema de Lagrange (ver [10]) que existe H subgrupo de G tal que|H| d ¡ 1, implicano em H x0y. Como G é irredutível e H é um Z-submódulo de G, então H G implicando em d n. Portanto n é primo.
Da teoria de grupos, temos algumas definições importantes a serem discutidas neste trabalho, onde uma delas é semelhante a definição de R-módulos. A importância de tais definições se da quando começarmos a trabalhar com o grupo Sn mais a frente, quando falarmos
de co-caracteres de G-álgebras.
Definição 2.1.29. Sejam G um grupo e g, h elementos de G. Dizemos que g e h são conjugados
se existir k P G tal que h kgk1.
Definição 2.1.30. Sejam G um grupo e g, h elementos de G. Dizemos que g está relacionado
com h e escrevemos g h se g e h são conjugados.
É fácil ver que é uma relação de equivalência.
Definição 2.1.31. As classes de equivalência de, relação definida anteriormente, são chamadas
de classes de conjugação de G.
Definição 2.1.32. Sejam G um grupo e X um conjunto arbitrário. Dizemos que uma aplicação
: G X :Ñ X que associa pg, xq ÞÑ g x é uma ação de grupo (ou uma G-ação sobre X), se a mesma satisfaz:
1. 1G x x para todo x P X e 1G sendo o elemento neutro do grupo;
2. g ph xq pghq x para quaisquer g, h P G e para todo x P X.
Se não houver ambiguidades, utilizaremos a notação gpxq ao invés de pg, xq para denotar a ação do elemento g P G no elemento x P X.
Exemplo 2.1.33. Sejam G Sn e X t1, 2, ..., nu. Temos que : G X Ñ X que associa
Exemplo 2.1.34. Sejam G um grupo e X G. Temos que : G G Ñ G, tal que pg, hq ghg1 é ação de grupo. Tal ação de grupo é chamada de ação de conjugação.
Definição 2.1.35. Sejam G um grupo, X um conjunto não-vazio arbitrário e uma ação de G
sobre o conjunto X. Para quaisquer x, y P X definimos a relação x y ô existe g P G tal que
y gpxq.
A relação definida anteiormente é uma relação de equivalência.
2.2
Álgebras
Começamos por introduzir o objeto principal desta seção em conjunto com alguns exemplos para nos familiarizarmos com o mesmo.
Definição 2.2.1. Seja K um corpo. Um espaço vetorial R é dito uma álgebra sobre o corpo
K (ou uma K-álgebra), se além das operações usuais de espaço vetorial (soma e produto por
escalar), R for munido de uma operação binária, chamada multiplicação, tal que para quaisquer
a, b, c P R e para todo α P R temos:
1. pa bq c a c b c; 2. a pb cq a b a c; 3. αpa bq pαaq b a pαbq.
Caso não hajam ambiguidades, utilizaremos ab ao invés de a b.
Definição 2.2.2. Uma K-Álgebra R é dita de dimensão finita ou de dimensão infinita de acordo
se o espaço vetorial R tem, respectivamente, dimensão finita ou infinita e a dimensão do espaço vetorial R é chamada de dimensão da álgebra R e denotada por rR : Ks.
Definição 2.2.3. Seja R uma K-álgebra.
1. Dizemos que R é associativa, sepabqc apbcq para quaisquer a, b, c P R; 2. Dizemos que R é comutativa, se ab ba para quaisquer a, b P R;
As álgebras que serão utilizadas neste trabalho serão as associativas com unidade. Algo que vale a pena ser ressaltado da bilineariedade da multiplicação que, se tomarmos uma base ta1, a2, ..., anu do espaço A, a multiplicação fica unicamente determinada
pelo produto dos vetores da base bij aiaj. De fato, sejam a n ¸ i1 αiai e b n ¸ j1 βjaj, então
ab n ¸ i1 αiai n ¸ j1 βjaj n ¸ i,j1 αiβjpaiajq n ¸ i,j1 αiβjbij ¸ i,j,k αiβjγijkak.
Agora decompondo os vetores bij em relação a base temos
bij n
¸
k1
γijkak.
Vemos que a estrutura da álgebra sobre o espaço R, fixada uma base, é unicamente dada pela escolha de n3 elementos γijk pi, j, k 1, 2, ..., nq do corpo K.
Definição 2.2.4. Aos n3 elementos γijk pi, j, k 1, 2, ..., nq, que determinam a estrutura da
álgebra chamamos de constantes estruturais da álgebra R.
Definição 2.2.5. Um elemento 1R da álgebra R é chamado de unidade da álgebra R se para
todo a P R temos 1Ra a a1R.
Verificaremos que a unidade da álgebra é unica. De fato, supondo que exista 11R em
R diferente de 1R de tal forma que 11R também seja identidade da álgebra R, logo
1R 1R11R 11R.
A existência da identidade é uma restrição usual mas não essencial em nosso estudo. Por exemplo, se R é uma álgebra sem identidade, então podemos sempre “adicionar” a mesma, considerando a álgebra ˜R, álgebra esta que consiste dos pares pa, αq, onde a P R, α P K com adição definida
componente a componente, multiplicação por escalar compoente a componente e a multiplicação definidas por
pa, αqpb, βq pab αb βa, αβq.
A verificação que ˜R é uma álgebra e que o elemento p0R, 1q é sua identidade se da da seguinte
maneira. Sejam θ1, θ2 e θ3 pertencentes a ˜R, tais que θ1 pa, αq, θ2 pb, βq e θ3 pc, γq, temos
θ1pθ2 θ3q pa, αqrpb, βq pc, γqs
pa, αqrpb c, β γqs
papb cq αpb cq pβ γqa, αpβ γqq pab ac αb αc βa γa, αβ αγq pab αb βa, αβq pac αc γa, αγq pa, αqpb, βq pa, αqpc, γq
e também
pθ2 θ3qθ3 rpb, βq pc, γqspa, αq
rpb c, β γqspa, αq
ppb cqa αpb cq pβ γqa, pβ γqαq pba ca αb αc βa γa, βα γαq pba αb βa, βαq pca αc γa, γαq pb, βqpa, αq pc, γqpa, αq
θ2θ1 θ3θ1
também temos que para qualquer δ pertencente a K
δpθ1θ2q δrpa, αqpb, βqs δpab αb βa, αβq pδpabq δpαbq δpβaq, δpαβqq ppδaqb pδαqb βpδaq, pδαqβq pδθ1qθ2 papδbq αpδbq pδβqa, αpδβqq θ1pδθ2q também temos pθ1θ2qθ3 rpa, αqpb, βqspc, γq pab αb βa, αβqpc, γq
ppab αb βaqc αβc γpab αb βaq, αβγq pabc αbc βac αβc γab γαb γβa, αβγq pabc αbc βac αβc γab αγb βγa, αβγq papbc βc γbq αpbc βc γbq βγa, αβγq pa, αqpbc βc γb, βγq
pa, αqrpb, βqpc, γqs θ1pθ2θ3q
e por fim p0R, 1Kqpa, αq p0Ra 1Ka α0R, 1Kαq p0R a 0R, αq pa, αq p0R a 0R, αq pa0R a1K 0Rα, α1Kq pa, αqp0R, 1Kq.
Desta forma confirmamos que ˜R é uma álgebra e quep0R, 1Kq é identidade da mesma. A álgebra
R pode ser mergulhada na álgebra ˜R assim, podemos considerar em nosso estudo que as álgebras
estudadas sempre têm identidade.
A fim de facilitar nosso estudo, iremos expor alguns exemplos de álgebras. As verificações das mesmas ficam como exercício para o leitor.
2.2.1
Exemplos de Álgebras
Exemplo 2.2.6. Álgebra das Matrizes Quadradas - MnpKq
SejapMnpKq, , .q o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n com entradas
em um corpo K. Temos que MnpKq dotado do produto usual de matrizes,
rABsij n
¸
k1
AikBkj
para quaisquer A, B P MnpKq, forma uma álgebra de dimensão finita n2em relação as operações
ordinárias de matrizes, a qual será denotada por MnpKq.
Exemplo 2.2.7. Álgebra dos Polinômios em Uma Variável - Krxs
Seja Krxs, o espaço vetorial dos polinômios em uma variável sobre um corpo K. Temos que Krxs em conjunto com o produto
p1p2 m ¸ i0 aixi n ¸ i0 bixi m n¸ i0 i ¸ k0 akbikxi,
com p1, p2 P Krxs, formam uma álgebra sobre o corpo K.
Definição 2.2.8. Sejam G um grupo e F um corpo, definimos a álgebra de grupo de G sobre F como F G : # ¸ gPG αgg tal que αg P F +
1. p¸ gPG αggq p ¸ gPG βggq ¸ gPG pαg βgqg; 2. p¸ gPG αggq.p ¸ hPG βhhq ¸ g,hPG pαg.βhqgh; 3. αp¸ gPG αggq ¸ gPG ααgg.
Observação 2.2.9. Vale ressaltar da álgebra de grupos que:
1. 1F G 1F1G;
2. dimFF G |G| e G é base de F G;
3. F G comutativa ô G abeliano.
Um exemplo de representação a ser dado, baseado na álgebra de grupo é dado a seguir.
Exemplo 2.2.10. Seja G um grupo e ρ : G Ñ EndpF Gq homomorfismo tal que ρpgq fg
onde fgphq gh, onde g, h são elementos de G. Então ρ é representação de G e é chamada de
representação regular de G.
Exemplo 2.2.11. Álgebra dos Operadores Lineares - EndKpV q
Seja V é um espaço vetorial sobre um corpo K. o conjunto das transformações lineares do espaço V nele próprio V , em conjunto com a composição de aplicações, formam uma álgebra sobre K a qual denotaremos por EpV q.
Exemplo 2.2.12. Álgebra dos Quatérnios - H
Seja H, um espaço vetorial sobre o corpo K quadridimensional e seja te, i, j, ku uma base de H, onde e é a identidade deste espaço. Definimos sua multiplicação de tal forma
e i j k
e e i j k
i i e k j
j j k e i
k k j i e
Este espaço vetorial munido desta multiplicação é chamado de álgebra dos quatérnios. Historicamente é um dos primeiros exemplos de álgebra existentes.
Seja Kn, espaço vetorial n-dimensional de todas as n-uplas pα1, α2, ..., αnq, αi P K.
Definimos em Kn uma multiplicação coordenada a coordenada de tal forma que para quaisquer
a, b, cP Kn onde a pα1, α2, ..., αnq, b pβ1, β2, ..., βnq e c pγ1, γ2, ..., γnq
ab pα1, α2, ..., αnqpβ1, β2, ..., βnq pα1β1, α2β2, ..., αnβnq.
Assim, Kn munido deste produto é uma K-Álgebra sobre o corpo K.
Exemplo 2.2.14. Produto Direto de Álgebras
Sejam R1, R2, ..., Rnálgebras sobre um corpo K. Consideremos seu produto cartesiano
R R1 R2 ... Rn
como o conjunto de todas as sequências pa1, a2, ..., anq ai P Ri. Definimos as operações,
coorde-nada a coordecoorde-nada, sendo: A soma
pa1, a2, ..., anq pb1, b2, ..., bnq pa1 b1, a2 b2, ..., an bnq,
o produto por escalar
αpa1, a2, ..., anq pαa1, αa2, ..., αanq
para todo α pertencente a K. Por fim, o produto
pa1, a2, ..., anqpb1, b2, ..., bnq pa1b1, a2b2, ..., anbnq.
Imaginando as sequências como os elementos de Kn, da álgebra anterior, temos claramente que R é uma K-Álgebra. Chamamos essa álgebra de produto direto de álgebras denotado por
R R1 R2 ... Rn ou n
¹
i1
Ri.
Esses são alguns exemplos de álgebras. Continuando nosso estudo, tendo em vista que álgebras são espaços vetoriais munidos de um produto, é natural que estudemos como tal estrutura se comporta em relação aos seus subespaços vetoriais. A seguir, definiremos e veremos alguns exemplos de subalgebras.
Definição 2.2.15. Seja S um subconjunto de uma K-Álgebra R. Dizemos que S é subalgebra
da álgebra R, se S é uma álgebra de acordo com as operações em R.
De maneira equivalente, dizemos que S é subálgebra de R se S um subespaço vetorial é fechado com respeito a multiplicação (se s1, s2 P S, então s1s2 P S).
Exemplo 2.2.16. Matrizes Triangulares (superiores ou inferiores) - TnpKq
Seja TnpKq tA P MnpKq : tal que Aij 0 para j iu, um subespaço vetorial de
MnpKq. Assim, TnpKq forma uma subalgebra da álgebra das matrizes MnpKq.
Exemplo 2.2.17. Centro da Álgebra - ZpRq
Sejam R uma K-Álgebra e ZpRq tc P R|ca ac para todo a P Ru. Temos que
ZpRq forma uma subalgebra de R chamada de centro da álgebra..
Definição 2.2.18. Dizemos que um subconjunto I de R é dita um ideal a esquerda
(respectiav-mente a direita) de R, se RI I (respectivamente IR I). Um ideal bilateal (ou simplesmente um ideal) é uma subálgebra que é ao mesmo tempo um ideal a esquerda e a direita de R.
Definição 2.2.19. Sejam R1 e R2 álgebras e φ : R1 Ñ R2 um homomorfismo de espaços
vetoriais. Dizemos que φ é um homomorfismo de álgebras, se
φpa 1bq φpaq 2φpbq para todo a, b P R1.
Onde 1 é a multiplicação em R1 e 2 a multiplicação em R2. Para facilitar a notação, caso não
hajam ambiguidades, escreveremos simplesmente φpabq φpaqφpbq.
Definição 2.2.20. Seja φ homomorfismo de álgebras, temos que
1. Se φ for injetor, dizemos que φ é um monomorfismo; 2. Se φ for sobrejetor, dizemos que φ é um epimorfismo; 3. Se φ for bijetor, dizemos que φ é um isomorfismo;
4. Se φ for um homomorfismo de R1 sobre si próprio, dizemos que φ é um endomorfismo;
5. Se φ for um isomomorfismo de R1 sobre si próprio dizemos que φ é um automorfismo;
6. Se φ for um isomorfismo de R1 sobre si próprio, onde temos φpabq φpbqφpaq, dizemos
que φ é um antiautomorfismo.
Observação 2.2.21. O conjunto de todos os automorfismos e antiautomorfismos de uma
dada álgebra R, formam um grupo sobre a composição de aplicações denotado por AutpRq. Como o produto de quaisquer dois antiautomorfismos é um automorfismo, então o grupo dos automorfismos de R (AutpRq) é um subgrupo de AutpRq de índice no máximo 2.
Os teoremas de homomorfismos vistos anteriormente, têm uma releitura para homo-morfismos de álgebras
Teorema 2.2.22 (Teorema de Homomorfismo de Álgebras). Sejam R1, R2 K-álgebras e φ :
R1 Ñ R2 um homomorfismo entre as mesmas. Então, Imφ R1{Kerφ.
Teorema 2.2.23. Seja φ : R1 Ñ R2 um homomorfismo de álgebras. Então o núcleo de φ,
definido por Kerφ : tr P R1tal que φprq 0u é um ideal bilateral de R1 e a álgebra quociente
R1{Kerφ é isomorfa a Imφ : tφprq tal que r P R1u.
As demonstrações dos resultados são análogas as vistas para os teoremas de homo-morfismos anterior. As mesmas podem ser conferidas em [8].
Voltando agora para o estudo de teoria de representações, temos
Observação 2.2.24. ρ : GÑ GLpV q é representação de G se, e somente se, existe ρ1 : F GÑ
EndKpV q homomorfismo de F -álgebras tal que ρ1p1F Gq 1EndKpV q.
Exemplo 2.2.25. Seja G grupo finito, G tg1, g2, ..., gnu. Seja ρ : F G Ñ EndKpF Gq tal que
ρpgiq Tgipara todo gi P G e Tgi : F GÑ F G, gk ÞÑ gigk. Temos que ρ é representação de G.
Uma definição semelhante à de R-módulos é dada a seguir.
Definição 2.2.26. Duas representações ρ : GÑ GLpV q e ρ1 : GÑ GLpW q são ditas
equiva-lentes, e escrevemos ρ ρ1, se existe um isomorfismo de espaços vetoriais φ : V Ñ W tal que para todo g P G temos ρ1pgq φρpgqφ1. Caso contrário dizemos que as representações não são equivalentes e escrevemos ρ ρ1.
Equivalentemente para matrizes temos que X : G Ñ GLnpF q e Y : G Ñ GLmpF q
duas representações. X e Y são ditas equivalentes se n m e se existir A P GLnpF q tal que
Ypyq A1XpgqA, @ g P G.
Definição 2.2.27. Seja V um G-módulo e F -espaço vetorial. Dizemos que um subespaço W
de V é um G-submódulo de V se GW W .
Assim, temos que W é um G-submódulo de V se para todo g P G, temos gw P W , para todo w P W . (W é G-invariante).
Exemplo 2.2.28. Sejam G S3, V Cv1 ` Cv2 ` Cv3 SpanCtv1, v2, v3u é um S3-módulo
definindo: Para todo σ P S3, e para todo v P V , v α1v1 α2v2 α3v3então σv
α1vσp1q α2vσp2q α3vσp3q.
Definição 2.2.29. Uma representação ρ : GÑ GLpV q é dita irredutível se V é um G-módulo
irredutível. Ou seja, se não existem G-submódulos próprios.
Observação 2.2.31. Sejam V um G-módulo e W um G-submódulo de V (W 0 e W V ).
Seja tv1, v2, ..., vnu base de V sobre K tal que tv1, v2, ..., vku é base de W sobre K. Então temos
para todo g P G, gvi $ ' ' ' ' & ' ' ' ' % k ¸ j1 αjivj, 1¤ i ¤ k n ¸ j1 αjivj, k i ¤ n
Se X : GÑ GLnpCq é a representação em forma de matriz, associada a ρ, então existe
uma base B de V tal que Xpgq
Apgq Bpgq
0 Cpgq
, onde Apgq é encontrada por ρ1 : GÑ GLpW q com ρ1pgq ρpgq para todo g P W .
Definição 2.2.32. Sejam V um espaço vetorial e U, W subespaços vetoriais de V . Dizemos que
V é soma direta de U e W , e escrevemos V U ` W , se para todo v P V o mesmo pode ser
escrito de maneira única como uma soma
v u w , u P U , w P W.
Se V for um G-Módulo e U, W são G-submódulos, então dizemos que U é complemento de W e vice-versa.
Definição 2.2.33. Sejam M , um G-módulo, e N, P , G-submódulos de M , então o módulo N ` P é o espaço N ` P com a estrutura de G-módulo.
Observação 2.2.34. Seja V um G-módulo, com V W1 ` W2 como G-módulos e seja
B B1 Y B2 base de V tal que B1 é base de W1 e B2 é base de W2, então para todo g P
G, Xpgq
A 0
0 B
onde X é uma representação matricial para G.
Definição 2.2.35. Seja ρ : GÑ GLpV q representação e seja W um G-submódulo de V , então
a representação ρ|W : GÑ GLpW q tal que ρ|Wpgq ρpgq|W é dita subrepresentação de ρ. Nas hipóteses da definição anterior, podemos notar que para todo g P G temos
Xpgq
X1pgq 0
0 X2pgq
onde X1 e X2 são representações de W1 e W2 respectivamente.
Em geral, se V W1` W2` ... ` Wk, onde os Wi são G-submódulos de V e se
ρ : GÑ GLpV q for uma representação, então @ g P G, ρpgq Ø Xpgq
X1pgq 0 ... 0 0 X2pgq ... 0 .. . ... . .. ... 0 ... 0 Xkpgq onde cada Xipgq são as subrepresentações associadas a Wi.
2.3
Produto Interno
Na seção a seguir, introduziremos uma definição de produto interno e alguns resultados provenientes da mesma. A seção apresenta importância para estudarmos decomposição de álgebras e alguns resultados que serão utilizados quando introduzirmos o conceito de caracter de uma representação.
Definição 2.3.1. Seja V um C-espaço vetorial. Chamamos de produto interno para a operação
binária x, y : V V Ñ C tal que para quaisquer u, v, w P V e para todo λ P C satisfaz:
1. xu, vy xv, uy;
2. xu v, wy xu, wy xv, wy; 3. xλu, vy λxu, vy;
4. xv, vy ¥ 0 e xv, vy 0 se, e somente se, v 0.
Observação 2.3.2. Como consequência dos ítens 1 e 3 da definição acima, é válido ressaltar
que xu, λvy λxu, vy, para quaisquer u, v P V e para λ P C.
Definição 2.3.3. Seja V um C-espaço vetorial com dimCV n e B tv1, v2, ..., vnu base de
V sobre C, então definimos um produto interno como
xvi, vjy δij : $ & % 1 se i j 0 se i j Além disso, x n ¸ i1 αivi, n ¸ i1 βiviy n ¸ i1 αiβi.
Definição 2.3.4. Um produto interno , ¡ é dito G-invariante, se para todo g P G e para
quaisquer v, w P V , temos xgv, gwy xv, wy.
Definição 2.3.5. Sejam V um G-módulo e W um G-submódulo de V , então definimos WK : tv P V ; xv, wy 0 @ w P W u.
Observação 2.3.6. Temos que V W ` WK se forem vistos como espaços vetoriais. A
verificação desta informação pode ser conferida em [11].
Antes de prosseguirmos, inserimos duas definições da álgebra linear, com respeito a matrizes.
Definição 2.3.7. Sejam X pxi,jq e Y pyi,jq matrizes, sendo m n e p q suas respectivas
ordens. Definimos a soma direta de X por Y e escrevemos X` Y como sendo a matriz
X` Y x1,1 x1,n 0 0 .. . ... ... ... xm,1 xm,n 0 0 0 0 y1,1 y1,q .. . ... ... ... 0 0 yp,1 yp,q
Definição 2.3.8. Sejam X pxi,jq e Y matrizes. Definimos o produto tensorial de X por Y e
escrevemos Xb Y como sendo a matriz por blocos
Xb Y pxi,jYq x1,1Y x1,2Y x2,1Y x2,2Y .. . ... . ..
Lema 2.3.9. Se W é um G-submódulo de V e , ¡ é um produto interno G-invariante,
então WK é um G-submódulo de V .
Demonstração. Provemos que para todo g P G e para todo u P WK temos gu P WK. De fato,
para todo w P W , temos
gu, w ¡ g1pguq, g1w¡
pg1gqu, g1w¡ pois <, > é G-Invariante
u, g1w¡ 0 , u P WK.
Assim, gu P WK
O Lema 2.3.9 se faz necessário para a demonstração do Teorema de Maschke.
Teorema 2.3.10 (Teorema de Maschke). Seja V um G-módulo, então V W1` ` Wk,
onde cada Wi é um G-submódulo irredutível.
Demonstração. Por indução sobre d dimV , temos: Se d 1, então V é irredutível e o teorema
está provado (pondo k 1 e W1 V ); Agora supondo que d ¡ 1. Se V é irredutível, então não
há nada a demonstrar pois caimos no caso anterior, caso contrário, então V tem um G-submodulo não trivial W . Construiremos um submódulo complementar para W .
Tomando uma base B tv1, ..., vdu para V , consideramos o único produto interno
podemos construir outro que seja. Assim, para quaisquer v, w P V , definimos xv, wy1 ¸
gP G
xgv, gwy.
Temos que langlev, wy1 é produto interno. De fato, verificando as propriedades de produto interno temos: 1. xv, wy1 ¸ gP G xgv, gwy ¸ gP G xgw, gvy ¸ gP G xgw, gvy xw, vy1; 2. xu v, wy1 ¸ gP G xgpu vq, gwy ¸ gP G xgu gv, gwy ¸ gP G
rxgu, gwy xgv, gwys ¸ gP G xgu, gwy ¸ gP G xgv, gwy xu, wy1 xv, wy1; 3. xλu, vy1 ¸ gP G xgpλuq, gvy ¸ gP G xλpguq, gvy λp¸ gP G
xgu, gvyq λxu, vy1;
4. xv, vy1 ¸
gP G
xgv, gvy. Como x, y é produto interno, então xgv, gvy ¥ 0, fazendo com que xv, vy1 ¥ 0. Agora supondo que xv, vy1 0, é equivalente a dizer que ¸
gP G
xgv, gvy 0, o que é equivalente a dizer que xgv, gvy 0 para todo g P G que por sua vez, é equivalente a dizer que v 0, finalizando a verificação de produto interno.
Continuando a demonstração do teorema de Maschke, queremos verificar quexhv, hwy1 xv, wy1 para todo h P G. De fato, xhv, hwy1 ¸
gP G
xghv, ghwy ¸
fP G
xfv, fwy xv, wy1. Se
definir-mos
WK tv P V tal que xv, wy1 0u,
então pelo Lema 2.3.9 temos que WK é um G-submódulo de V com V W ` WK. Aplicando o principio de indução para W e WK podemos escrever como soma de irredutíveis. Colocando essas duas decomposições juntas, temos que V toma a forma desejada.
Corolário 2.3.11 (Teorema de Maschke - Forma Matricial). Seja G um grupo finito e seja
X : GÑ GLdpCq representação matricial de G, então existe uma matriz fixa T tal que toda
matriz Xpgq, com g P G tem a forma
T XpgqT1 X1pgq 0 ... 0 0 X2pgq ... 0 .. . ... . .. ... 0 ... 0 Xmpgq , T P GLnpCq onde cada X1, ..., Xm são subrepresentações irredutíveis de X.
Definição 2.3.12. Uma representação matricial X é dita completamente redutível se a mesma
pode ser escrita como soma direta de representações irredutíveis.
Dando continuidade ao nosso estudo, veremos agora definições de homomorfismos para G-módulos a fim de estudarmos o Lema de Schur.
Definição 2.3.13. Sejam V e W G-módulos e seja f : V Ñ W aplicação, então f é
homomor-fismo de G-módulos se para quaisquer α, β P K e para quaisquer v, w P V temos 1. fpαv βwq αfpvq βfpwq;
2. fpgvq gfpvq.
Observação 2.3.14. Com verificação análoga a de R-submódulos, também temos que Kerf é
um G-submódulo de V e Imf é um G-submódulo de W
Lema 2.3.15 (Lema de Schur). Sejam V, W G-submódulos irredutíveis e f : V Ñ W
homo-morfismo de G-módulos, então f 0 ou f é invertível.
Demonstração. Como Kerf é um G-submódulo de V e como V é irredutível então Kerf 0
ou Kerf V.
1. Se Kerf 0, então f é identicamente nula;
2. Se Kerf 0, então f é injetora. Como Imf é submódulo de W e como W é irredutível, temos que Imf 0 ou Imf W . Se Imf 0 então f é identicamente nula; Se Imf W , então f é sobrejetora, implicando em f bijetora, implicando em f invertível.
Corolário 2.3.16. Sejam X e Y representações matriciais irredutíveis de G. Se T é uma matriz
tal que para todo g P G, T Xpgq Y pgqT , então T 0 ou T é invertível.
Corolário 2.3.17. Seja X : GÑ GLnpF q representação irredutível. Se T P GLnpF q tal que
T Xpgq XpgqT , para todo g P G, então T αIn, α P F.
Demonstração. Para quaisquer α P F , consideremos pT αInqXpgq T Xpgq αXpgq
XpgqT αXpgq XpgqpT αInq. Para todo g P G, pelo Corolário 2.3.16, T αIn 0 ou
TαIné invertível. Seja α0 autovalor de TαIn, isso implica que existe v tal quepT α0Inqv 0,
implicando em KerpT α0Inq 0, implicando em T α0In não ser inversível, o que implica
Definição 2.3.18. Seja X : GÑ GLnpCq representação de G. Definimos
CompXq : tT P GLnpCq tal que T Xpgq XpgqT, para todo g P Gu.
Com as operações usuais de matrizes, CompXq forma uma álgebra sobre C. Em vista de evidenciar como são os elementos de CompXq, temos
Exemplo 2.3.19. Suponha que X seja uma representação matricial tal que
X X1 0 0 X2 X1 ` X2
onde X1 e X2 são irredutiveis, não-equivalentes de graus d1, d2 respectivamente.
Suponha que T T1,1 T1,2 T2,1 T2,2
é uma matriz particionada da mesma forma que X. Se T X XT , então podemos multiplicar ambos os lados para obter
T1,1X1 T1,2X2 T2,1X1 T2,2X2 X1T1,1 X1T1,2 X2T2,1 X2T2,2
Igualando os correspondentes blocos, temos
T1,1X1 X1T1,1,
T1,2X2 X1T1,2,
T2,1X1 X2T2,1,
T2,2X2 X2T2,2.
Usando os Corolários 2.3.16 e2.3.17 em conjunto com o fato que X1 e X2 são não-equivalentes,
tais equações podem ser resolvidas resultando em
T1,1 c1Id1, T1,2 T2,1 0, T2,2 c2Id2.
com c1, c2 P C e Id1, Id2 matrizes identidades de graus d1, d2 respectivamente. Assim
T
c1Id1 0 0 x2Id2
Assim mostramos que quando X X1` X2 com X1 não-equivalente a X2 e ambas irredutiveis,
então
onde d1 é o grau de X1 e d2 é o grau de X2.
Em geral, se X
k
à
i1
Xi, onde cada Xi são duas a duas não-equivalentes e irredutíveis,
então com um argumento similar verifica-se que
CompXq t
k
à
i1
ciIdi| ci P Cu.
com di sendo o grau de Xi. É válido ressaltar que o grau de X é k
¸
i1
di
Também podemos ver que a dimensão de CompXq (como espaço vetorial) é apenas
k. De fato, existem k escalares ci que podem variar, enquanto que as matrizes identidades são
fixas.
Exemplo 2.3.20. Suponha que
X X1 0 0 X1 2X1
onde X1é irredutível de grau d. Tomamos um T particionado como antes. Fazendo a multiplicação
T X XT e igualando os blocos, isso nos leva à quatro equãções, todas da forma Ti,jX1 X1Ti,j
com i, j 1, 2. Os Corolários 2.3.16 e 2.3.17 nos mostram para esse caso que para todo i e j,
Ti,j ci,jId,
onde ci,j P C. Assim
CompXq t
c1,1Id c1,2Id
c2,1Id c2,2Id
| ci,j P C para quaisquer i, ju
é CompXq nesse caso.
Com a definição de produto tensorial, podemos reescrever os elementos, de tal forma que T c1,1 c1,2 c2,1 c2,2 b Id; e assim CompXq tM2b Id| M2 P GL2pCqu. Se tomarmos X mX1, então CompXq tMmb Id| Mm P GLmpCqu,
onde d é o grau de X1. Computando os graus e as dimensões, obtemos degX degmX1
mdegX1 md e dimpCompXqq dimtMm| Mm P GLmpCqu m2.
Finalmente, consideramos o caso mais geral, onde
X m1x1` m2X2` ` mkXK
com cada Xi, duas a duas, não-equivalentes, irredutíveis e com degXi di. O grau de X é dado
por degX k ¸ i1 degpmiXiq m1d1 m2d2 mkdk.
Combinando o que foi visto nos exemplos, obtemos
CompXq t k à i1 pMmi b Idiq | Mmi P GLmi para todo iu de dimensão
dimpCompXqq dimt
k à i1 pMmib Idiq | Mmi P GLmiu m 2 1 m 2 2 m 2 k.
Observação 2.3.21. Pelo corolário 2.3.17, temos que CompXq tαIn; α P F u.
Os dois lemas a seguir, Lema 2.3.22e Lema2.3.23 foram colocados para evidenciar o que é utilizado por trás da demonstração dos Teoremas 2.3.24e2.3.25, que vêm logo em seguida.
Lema 2.3.22. ZpMnpF qq tαIn tal que α P F u, onde ZpMnpF qq é o centro da álgebra de
matrizes sobre o corpo F .
Lema 2.3.23. Sejam A, B P MnpF q e C, D P MtpF q, então:
1. pA ` CqpB ` Dq AB ` CD; 2. pA b CqpB b Dq AB b CD.
Ambos os lemas são resultados da álgebra linear. Suas demonstrações podem ser conferidas em [11], [4] ou em [18].
Por fim, vemos os teoremas. Os mesmos servirão como ferramentas de evaluação mais a frente.
Teorema 2.3.24. Seja X m1X1` ` mkXk soma direta de representações irredutíveis de
1. degX k ¸ i1 midi; 2. CompXq # k à i1 pAib Idiq tal que Ai P Mmi + àk i1 MmipF q ; 3. dimFCompXq k ¸ i1 m2i; 4. ZpCompXqq # k à i1 αiImidi tal que αi P F + ; 5. dimFZpCompXqq k.
Demonstração. A demonstração é simples e de alguns itens já está feita.
p1q degX defpm1X1` ` mkXkq m1degX1 mkdegXk k
¸
i1
midi;
p2q, p3q As demonstrações de p2q e p3q foram vistas nos exemplos 2.3.19 e2.3.20. p4q Seja C P ZpCompXqq, C àk
i1
pCibqIdi. Para qualquer A P CompXq, temos A
k
à
i1
pAi b Idiq, temos que CA AC implica que
k à i1 pCi b Idiq k à i1 pAi b Idiq k à i1 pAi b Idiq k à i1 pCi b Idiq, implicando em k à i1 pCiAi b Idiq k à i1 pAiCib Idiq. Então AiCi CiAi,
para todo Ai P MmpF q implicando que Ci P ZpMmpF qq. Assim, Ci αiImi que implica
que C k à i1 pαiImib Idiq k à i1 αiImidi;
p5q O ítem p5q é consequência do ítem p4q.
Teorema 2.3.25. Seja V um G-módulo e V m1V1 ` ` mkVk, onde cada Vi é um
G-submódulo irredutível com Vi Vj@ i j. Seja di DimFVi, @ i 1, ..., k, então:
1. DimFV k ¸ i1 midi; 2. EndpV q k à i1 MmipF q;
3. dimFEndpV q k ¸ i1 m2i; 4. ZpEndpV qq # k à i1 αiImidi tal que αi P F + ; 5. dimFZpEndpV qq k.
A demonstração do Teorema2.3.25 é análoga à do Teorema 2.3.24.
Os resultados anteriores, tem papel importante quando introduzirmos a definição de caracteres, pois os mesmos nos auxiliam a provar a quantidade de caracteres existentes e seus respectivos graus.
2.4
Caracteres de uma Representação
Na última seção deste capítulo, introduzimos os conceitos necessários para estudarmos os resultados envolvendo caracteres de representações e alguns exemplos.
Definição 2.4.1. Definimos a aplicação tr : MnpF q Ñ F tal que para todo A P MnpF q, com
A k ¸ i,j1 aijeij associa trpAq k ¸ i1
aii. Chamamos a aplicação tr aplicada em uma matriz A de
traço de A.
Observação 2.4.2. Da Álgebra Linear, algumas propriedades acerca da aplicação traço valem
a pena ser ressaltadas. Para quaisquer A, B P MnpF q e para todo λ P F :
1. trpAq r ¸ i1 λi onde λi é autovalor de A; 2. trpA Bq trpAq trpBq; 3. trpλAq λtrpAq; 4. trpABq trpBAq; 5. trpAtq trpAq.
As verificações podem ser conferidas em [11] ou em [4].
Definição 2.4.3. Seja X : GÑ GLdpCq representação matricial de G. Definimos o caracter de
X como sendo uma aplicação χ : G Ñ C tal que para todo g P G, χpgq T rpXpgqq. Se V é
um G-módulo, então definimos seu caracter como sendo o caracter da matriz de representação
Definição 2.4.4. Sejam X : GÑ GLdpCq representação matricial de G e χ : G Ñ C o caracter
correspondente à X. Dizemos que o caracter χ é irredutível, se X também o for.
A fim de facilitar a notação, falaremos simplesmente "representação X de G"e "caracter χ de X".
Observação 2.4.5. Sejam ρ, ρ1 duas representações e χρ e χρ1 seus caracteres, respectivamente.
Se ρ ρ1 então χρ χρ1.
De fato, como ρ ρ1 isso implica que existe A P GLdpCq tal que para todo
g P G ρ1pgq A1ρpgqA, implicando em χρ1pgq trpρ1pgqq trpA1ρpgqAq trpA1Aρpgqq
trpρpgqq χρpgq.
Proposição 2.4.6. Seja G um grupo. Então são válidas as seguintes propriedades:
1. Sejam X e Y representações de G. Se X Y então χX χY;
2. Se X for representação de G, então para quaisquer g, h P G, temos χpgq χphgh1q; 3. Se X : GÑ GLdpF q, então χp1Gq degX d.
Demonstração. Demonstrando os ítens individualmente, temos:
p1q A demonstração de p1q foi feita na observação2.4.5;
p2q Temos que χphgh1q trpXphgh1qq trpXphqXpgqXphq1q trpXphqXphq1Xpgqq
trpXpgqq χpgq;
p3q χp1Gq trpXp1Gqq trp1dq d degX.
Definição 2.4.7. Sejam G um grupo e F um corpo. Dizemos que uma aplicação ϕ : GÑ F é
uma função de classe, se para quaisquer g, h P G, temos ϕpgq ϕphgh1q.
Definição 2.4.8. Definimos o conjunto RpGq : tϕ : G Ñ F tal que ϕ é função de classeu.
Temos que RpGq é F -espaço vetorial definindo para quaisquer ϕ, ψ P RpGq, para todo α P F e para todo g P G:
1. pϕ ψqpgq ϕpgq ψpgq; 2. pαϕqpgq αpϕpgqq.
Teorema 2.4.10. Se G for grupo finito, então dimFRpGq #tclasses de conjugação de Gu.
Demonstração. Sejam rg1s, rg2s, ..., rgks as classes de conjugação de G e seja ϕi : GÑ F tal que
ϕipgjq δij. Provemos que tϕ1, ..., ϕku é base para RpGq sobre F .
1. Queremos mostrar que RpGq xϕ1, ..., ϕky. De fato, temos que todo ϕ P RpGq, ϕpgiq αi
com αi P F ;
2. Queremos mostrar quetϕ1, ..., ϕku é linearmente independente. De fato, seja k
¸
i1
αiϕi 0,
isso implica que para quaisquer j 1, ..., k temos
k
¸
i1
αiϕipgjq 0, implicando em
RpGq SpamFtϕ1, .., ϕku.
Definição 2.4.11. Seja X uma representação e χ seu caracter. Definimos o grau do caracter χ
como sendo o grau da representação X. Dessa forma, degχ degX.
Definição 2.4.12. Sejam G um grupo, g1, ..., gk representantes das classes de conjugação e
X1, X2, ..., Xn as representações irredutíveis de G. Dizemos que a tabela dos caracteres de G é a
seguinte: G g1 g2 gk χ1 χ1pg1q χ1pg2q χ1pgkq χ2 χ2pg1q χ2pg2q χ2pgkq .. . ... ... . .. ... χn χnpg1q χnpg2q χnpgkq
Observação 2.4.13. É valido ressaltar um cuidado com a manipulação dos caracteres com a
igualdade a seguir. χpghq T rpXpghqq T rpXpgqXphqq T rpXpgqqT rpXphqq.
Com as ferramentas que temos atualmente, não conseguimos completar propriamente a tabela dos caracteres dos grupos que constumamos utilizar. Tal deficiência é amenizada quando inserimos o conceito de produto interno em RpGq.
Definição 2.4.14. Em RpGq definimos um produto interno dado por:
xϕ, ψy |G|1 ¸
gP G
Agora tomando V um G-módulo com caracter correspondente ψ. Pelo Teorema de Maschke, temos que existe um produto interno em V que é invariante sobe a açãp de G. Tomando uma base ortonormal para V , obtemos a represntação matricial Y para ψ onde cada
Ypgq é unitário, isto é
Ypg1q Y pgq1 Y pgqt
, onde t denota a transposta matricial. Assim
ψpgq trY pgq trY pg1qt trY pg1q ψpg1q.
Isso fica resumido na observação a seguir.
Observação 2.4.15. Sejam x, y produto interno em V com V um G-módulo G-invariante,
ρ : GÑ GLpV q representação tal que X : G Ñ GLdpF q é a sua forma matricial. Então Xpgq é
unitária, ou seja, Xpgq1 Xpgqt.
Como já vimos que os caracteres de um grupo G estão em RpGq, em conjunto com a observação anterior temos
Observação 2.4.16. Se χ, ψ forem caracteres de G, então
xχ, ψy 1 |G| ¸ gP G χpgqψpgq 1 |G| ¸ gP G χpgqψpg1q
Com a introdução do produto interno em RpGq, podemos estudar o primeiro, de dois teoremas, que nos auxiliam em preencher tabela dos caracteres de um grupo.
Teorema 2.4.17 (1o Relação de Ortogonalidade dos Caracteres). Sejam χ e ψ caracteres
irredutíveis de G, então xχ, ψy |G|1 ¸ gP G χpgqψpg1q δχ,ψ $ & % 1 , χ ψ pX Y q 0 , χ ψ pX Y q
A demonstração do Teorema em questão é, em partes, mecânica sendo concluída através do Lema de Schur. O leitor pode encontrar a mesma em [18].
Corolário 2.4.18. Sejam X uma representação de um grupo G e X m1X1` ` mkXk
com cada Xi irredutível e Xi Xj para todo i j e mi ¥ 0. Sejam χ o caracter de X e χi o
caracter de Xi para todo i, então:
1. χ m1χ1 mkχk;
3. xχ, χy
k
¸
i1
m2i;
4. xχ, χy 1 se, e somente se, χ é irredutível.
Demonstração. As verificações são provenientes de algumas propriedades de caracteres,
proprie-dades de somatórios e da 1a Relação de Ortogonalidade dos Caracteres.
p1q A verificação de p1q é consequência da linearidade da aplicação traço; p2q Temos xχ, χjy x k ¸ i1 miχi, χjy k ¸ i1 mixχi, χjy mj;
p3q Por fim, temos xχ, χy x
k ¸ i1 miχi, k ¸ i1 miχiy k ¸ i,j1 mimjxχi, χjy k ¸ i1 m2i;
p4q Fazendo as implicações separadamente, temos pðq Resulta da 1a Relação de Ortogonalidade;
pñq Temos que 1 xχ, χy. Pela propriedade p3q, temos que xχ, χy
k
¸
i1
mki com mi
inteiro positivo. Assim, temos que existe i0 tal que mi0 1 e mj 0 para todo j i0. Portanto χ χi0.
O Teorema e o corolário são de grande praticidade para preenchermos as tabelas de caracteres de determinadas representações. Porém só os dois resultados não suprem nossa necessidade até o momento. Com isso em mente, aprofundaremos nossos estudos.
Teorema 2.4.19. Sejam X e Y representações de um grupo G com χ e ψ seus respectivos
caracteres, então X Y se, e somente se, χ ψ.
A primeira parte da demonstração do Teorema (ñ)já foi vista, enquanto que a segunda parte (ð) se da utilizando a irredutibilidade dos caracteres e o ítem p2q do Corolário anterior.
Lema 2.4.20. Sejam G um grupo, então
#tCaracteres irredutíveis de Gu ¤ #tClasses de conjugação de Gu .
A demonstração do Lema utiliza a 1o relação de ortogonalidade dos caracteres e algumas implicações simples. O Lema em questão mais a frente será melhorado, mudando a desigualdade por uma igualdade. Para tal, precisamos ver os próximos dois resultados.
Foram colocadas apenas ideias para as demonstrações do Teorema e do Lema, por serem meramente mecânicas e não serem o foco deste trabalho. Principalmente pelo fato de que o Lema será melhorado mais a frente, como já comentado. Ambas as demonstrações podem ser consultadas em [18].
Teorema 2.4.21. Sejam G um grupo e F G sua respectiva álgebra de grupo. Então dimFZpF Gq #tClasses de conjugação de Gu
.
Demonstração. Sejam C1, C2, ..., Ck classes de conjugação e gi
¸
gP Ci
g, para todo i 1, ..., k.
Observando que para qualquer h P G, temos hgih1 hp
¸
gP Ci
gqh1 ¸
gP Ci
hgh1 g gi,
implicando que para qualquer i 1, ..., k e para todo h P G, hgih1 gi implicando em
hgi gih. Assim, para qualquer a P F G temos a
¸ gP G αgg e agi ¸ gP G αgggi gi ¸ gP G αgg gia implicando em gi P ZpF Gq.
Em seguida, temos que tg1, ..., gku é linearmente independente, pois todo gi é soma
de elementos do grupo e os mesmos são linearmente independentes por definição.
Por fim, queremos mostrar que que ZpF Gq xg1, ..., gky. Seja Z P ZpF Gq, temos
que Z ¸
gP G
αgg, assim, para todo h P G temos hz zh implicando em hzh1 z o que implica
que ¸
gP G
αgg
¸
gP G
αgphgh1q 0. Fazendo g1 hgh1, temos que g h1g1h. Substituindo a
notação, ficamos com ¸
gP G αgg ¸ g1P G αh1g1hg1 0 implicando em ¸ gP G αgg ¸ gP G αh1ghg 0, então ¸ gP G
pαg αh1ghqg 0. Como tg | g P Gu é linearmente independente, isso implica que
αg αh1gh 0 para quaisquer g, P G implicando que αh1gh αg. Portanto
z α11G αgpg h1gh k
1gk
q αmpm h1mh k1mk q α1g1 α2g2 αkgk.
Lema 2.4.22. Nas hipóteses do teorema anterior, temos F G EndKpF Gq.
A demonstração do Lema pode ser encontrada em [8]. As demonstrações se baseiam em independência linear e manipulações algébricas respectivamente, fazendo com que o resultado a seguir seja quase que uma consequência imediata, utilizando a representação regular de F G.
