Data prevista: 29 de novembro de 2013
Objetivo geral
Aplicar o produto escalar de vetores na caracterização de lugares geométricos no plano, nomeadamente:
1. Mediatriz de um segmento de reta; 2. Reta tangente a uma circunferência; 3. Circunferência com um dado diâmetro.
Estrutura da aula
Dedução geométrica dos lugares geométricos obtidos através do produto escalar, seguida da sua resolução analítica:
1. Reta perpendicular a um segmento de reta; 2. Mediatriz de um segmento de reta;
3. Reta tangente a uma circunferência;
4. Equação de uma circunferência com dado diâmetro.
Resolução de exercícios.
Recursos
Computador, projetor e apresentação *.ppt.
Lápis ou caneta.
Tarefa: Aplicação do produto escalar na Geometria.
155 Metodologia geral adotada
A aula proposta pretende elucidar os alunos acerca de mais uma das aplicações do produto escalar, nesta aula concreta, aplicações na geometria.
Pretende-se portanto que os alunos, no final da aula, sejam capazes de definir lugares geométricos (retas e circunferências) através da aplicação do produto escalar.
Propõe-se uma apresentação de slides (em PowerPoint) para que os conjeturem acerca dos lugares geométricos de determinado produto escalar. Esta apresentação está fortemente apoiada em perguntas-chave que permite desenvolver a aula e que se encontram discriminadas no desenvolvimento da aula. Pretende-se que no final de cada lugar geométrico determinado se proponha uma tarefa para a consolidação dos conteúdos.
Para finalizar, é proposta a resolução de algumas tarefas, as quais passam não só por tarefas do manual, como também tarefas de uma ficha de trabalho (Tarefa: Aplicação do produto escalar na Geometria).
Desenvolvimento da aula Primeira parte:
Entrada dos alunos e acomodação na sala de aula.
Escrita do sumário.
Aplicações do produto escalar na geometria. Conjuntos de pontos do plano definidos por condições no plano.
Segunda parte:
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Reta perpendicular a um segmento de reta
Seja [𝐴𝐵] um segmento de reta. Onde deve estar o ponto 𝑃 de forma a que ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝑃𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ?
Pressupõe-se que os alunos consigam identificar algumas hipóteses para o ponto 𝑃. Assim, pede-se para um aluno se dirigir ao quadro identificar as diferentes posições que o ponto 𝑃 pode tomar. Que região do plano fica definida por esse conjunto de pontos?
Com a pergunta anterior, os alunos devem facilmente constatar que é uma reta perpendicular ao segmento [𝐴𝐵], prosseguindo assim para o slide seguinte.
Vamos então considerar o ponto A(3,-2) e o ponto B(5,4). Qual é a equação da reta perpendicular ao segmento [𝐴𝐵]?
𝑃 = (𝑥, 𝑦) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5,4) − (3, −2) = (2,6) 𝐵𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐵 = (𝑥, 𝑦) − (5,4) = (𝑥 − 5, 𝑦 − 4) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 <=> (2,6) ∙ (𝑥 − 5, 𝑦 − 4) = 0 <=> 2𝑥 − 10 + 6𝑦 − 24 = 0 <=> 2𝑥 + 6𝑦 − 34 = 0
De facto, obtemos a equação geral de uma reta, no caso, a reta perpendicular ao segmento [𝐴𝐵].
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Mediatriz de um segmento de reta
Tendo em conta o que foi feito anteriormente, como se poderá chegar à equação da mediatriz do segmento [𝐴𝐵]?
Os alunos devem concluir que no exemplo anterior tínhamos uma reta perpendicular ao segmento [𝐴𝐵] que passava por 𝐵, enquanto que neste caso queremos uma reta perpendicular ao segmento [𝐴𝐵] mas que passe pelo ponto médio, chamemos-lhe 𝑀.
Aqui, poderá surgir uma dúvida em relação à definição de mediatriz de um segmento. Pode ser recordado este conceito: é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) que distam igualmente de 𝐴 e 𝐵. Podemos simplificar dizendo que é a reta perpendicular ao segmento que contém o respetivo ponto médio.
Se considerarmos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2), como podemos determinar as coordenadas do ponto médio 𝑀?
Pela definição: 𝑀 (𝑥1+𝑥2
2 , 𝑦1+𝑦2
2 )
Através de operações entre vetores: 𝑀 = 𝐴 +1 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Seja então novamente 𝐴(3, −2) e 𝐵(5,4). Qual é a equação da reta que define a mediatriz do segmento [𝐴, 𝐵]?
𝑃(𝑥, 𝑦); 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,6) 𝑀 (3+5 2 , −2+4 2 ) = (4, 1) ou 𝑀 = (3, −2) + 1 2(2,6) = (4,1) 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀 − 𝐴 = (4,1) − (3, −2) = (1, 3) 𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝑀 = (𝑥, 𝑦) − (4,1) = (𝑥 − 4, 𝑦 − 1) 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 <=> (1,3) ∙ (𝑥 − 4, 𝑦 − 1) = 0 <=> 𝑥 − 4 + 3𝑦 − 3 = 0 <=> 𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0
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Reta tangente a uma circunferência
Vamos agora determinar a equação da reta tangente à circunferência de diâmetro [𝐴𝐵] no ponto 𝐵, com 𝐴(1, 2) e 𝐵(5, 3).
Com o já feito anteriormente, é esperado que os alunos imediatamente identifiquem que devem fazer o produto escalar do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ com o vetor 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝑃 um ponto pertencente à reta perpendicular ao segmento [𝐴𝐵]. 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5,3) − (1,2) = (4,1) 𝐵𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐵 = (𝑥, 𝑦) − (5,3) = (𝑥 − 5, 𝑦 − 3) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 <=> (4,1) ∙ (𝑥 − 5, 𝑦 − 3) = 0 <=> 4𝑥 − 20 + 𝑦 − 3 = 0 <=> 4𝑥 + 𝑦 − 23 = 0
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Equação de uma circunferência
Vamos voltar a considerar um segmento [𝐴, 𝐵]. Qual é o lugar geométrico do ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) de forma a que 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0?
O que pretendemos é que o vetor 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ seja perpendicular ao vetor 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ou seja, o ponto 𝑃 deve estar estrategicamente localizado de forma a que o ângulo formado pelos vectores seja recto em 𝑃.
Os alunos devem concluir que o ponto P pode assumir várias localizações as quais dependem apenas do ângulo que é formado entre os vetores 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
Se unirmos os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝑃 obtemos então um triângulo, o qual podemos classificá-lo quanto aos ângulos de...?
É um triângulo retângulo. Mas, como já visto, o ponto 𝑃 não está restrito àquela localização. Assim, será pertinente chamar um aluno ao quadro para identificar mais locais possíveis para o ponto P, colocando a questão: Qual o nome que se dá ao conjunto de pontos que 𝑃 pode assumir? Pretende-se que os alunos conjeturem chegando a uma circunferência.
De facto, sabemos que um triângulo inscrito numa semi-circunferência, cujo um dos lados é o diâmetro dessa mesma circunferência, é um triângulo retângulo.
Vamos então considerar o ponto 𝐴(2,4) e o ponto 𝐵(−6, −2). Como podemos então chegar à equação da circunferência de diâmetro [𝐴𝐵]? 𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴 − 𝑃 = (2, 4) − (𝑥, 𝑦) = (2 − 𝑥, 4 − 𝑦) 𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝑃 = (−6, −2) − (𝑥, 𝑦) = (−6 − 𝑥, −2 − 𝑦) 𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 <=> (2 − 𝑥, 4 − 𝑦) ∙ (−6 − 𝑥, −2 − 𝑦) = 0 <=> −12 − 2𝑥 + 6𝑥 + 𝑥2− 8 − 4𝑦 + 2𝑦 + 𝑦2= 0 <=> 𝑥2+ 𝑦2+ 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0
Através da equação encontrada e de manipulação da expressão, encontra as coordenadas do ponto 𝑂, centro da circunferência.
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𝑥2+ 𝑦2+ 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0 <=> 𝑥2+ 4𝑥 + 4 + 𝑦2− 2𝑦 + 1 = 20 + 4 + 1 <=> (𝑥 + 2)2+ (𝑦 − 1)2= 25
Logo 𝑂(−2,1).
Terceira parte:
Entrega de uma tarefa, com a principal finalidade de consolidar os conteúdos. NOTA: Começar pelo exercício 2., ficando o exercício 1. para trabalho de casa.
Explicitação de dúvidas individualmente, a não ser que sejam dúvidas comuns na turma e exijam uma explicação no quadro.
Quarta parte:
Finalização da aula, propondo o resto da tarefa para trabalho de casa, caso não concluída na aula.
Mais tarefas que podem ser feitas para consolidar a matéria:
- Ficha de exercícios entregue no dia 27 de novembro: exercícios 8, 9 e 10.
- Manual do aluno: página 119, exercícios 2 e 7.
Estes dois exercícios já foram resolvidos em aulas anteriores por processos diferentes. Pretende-se agora que os alunos apliquem o produto escalar para os resolverem.
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Tarefa: Aplicação do produto escalar na Geometria
1. Sejam 𝐴(1,0) e 𝐵(3, 4). Determina uma equação para: 1.1. a mediatriz de [𝐴𝐵];
1.2. a circunferência de diâmetro [𝐴𝐵];
1.3. a tangente à circunferência de diâmetro [𝐴𝐵], no ponto 𝐴;
1.4. a reta perpendicular à reta 𝐴𝐵 e que contém a origem das coordenadas.
2. A equação seguinte diz respeito a uma circunferência. (𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 4)2 = 25 2.1. Indica as coordenadas do centro da circunferência. 2.2. Qual é o raio da circunferência?
2.3. Seja 𝐴 o ponto de interseção da circunferência com o eixo horizontal, de abcissa positiva. Determina as coordenadas de 𝐴.
2.4. Determina a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto 𝐴.
3. Em relação a um referencial o.n. (0, 𝑖 , 𝑗 ), são assinalados os pontos 𝐴(−2,1) e 𝐵(4,3). Considera ainda que 𝑀 é o ponto médio de [𝐴, 𝐵].
Identifica e faz a representação gráfica do conjunto dos pontos 𝑃 do plano que satisfazem a condição: 3.1. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 3.2. 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 3.3. 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 3.4. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 3.5. 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 4
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4. No referencial o.n. da figura, os pontos 𝐴 e 𝐵 têm coordenadas (1, −2) e (−1, 0), respetivamente. Sabe-se que:
- a circunferência tem centro no ponto 𝐴 e passa na origem do referencial;
- a reta 𝑠 passa nos pontos 𝐴 e 𝐵; - a reta 𝑟 é a mediatriz de [𝐴𝐵].
4.1. Escreve as equações reduzidas das retas 𝑟 e 𝑠. 4.2. Escreve uma equação da circunferência.
4.3. Define por uma condição a região sombreada na figura.
5. Na figura seguinte representam-se o referencial ortonormado 𝑥𝑂𝑦, a circunferência de centro 𝐶, os pontos da circunferência 𝐴, 𝐵, 𝐷 e 𝐸, e as retas tangentes à circunferência nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐷 e 𝐸.Sabe-se que:
- 𝐵(0,5) e 𝐶(1,2);
- [𝐵𝐸] e [𝐴𝐷] são diâmetros da circunferência;
- 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐷.
5.1. Indica as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐷 e 𝐸. 5.2. Aplicando o produto escalar determina:
i. uma equação cartesiana da circunferência;
ii. as equações reduzidas das retas tangentes à circunferência nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐷 e 𝐸.
5.3. Escreve uma condição que represente o conjunto de pontos a sombreado assinalados na figura.
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