ANO DE ESCOLARIDADE | 12º Ano TURMA | 12º A2
DATA | 01 de Março de 2018 [12h00] DURAÇÃO | 60 minutos
SUMÁRIO
• Continuação da Resolução da Tarefa 3 • Discussão da Tarefa
TÓPICOS
DOMÍNIO 5 | Unidade 14: Modelos Exponenciais ENQUADRAMENTO CURRICULAR [METAS]
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
OBJETIVOS DA AULA
No final da aula, o aluno deverá ser capaz de:
• Compreender a relação de proporcionalidade entre uma função exponencial e a sua derivada;
• Conhecer a equação diferencial 𝑦′= 𝑘𝑦, 𝑘 ∈ ℝ e as funções exponenciais como
soluções;
• Resolver problemas que envolvem o estudo de funções definidas a partir de funções exponenciais;
MODO DE TRABALHO DOS ALUNOS
• Trabalho autónomo em grupos (em pares e trio) • Discussão em grupo turma
CONHECIMENTOS PRÉVIOS
• Definição da Função Exponencial • Propriedades da Função Exponencial • Derivada da Função Exponencial RECURSOS • Quadro • Computador • Projetor • Calculadora Gráfica • Enunciado da Tarefa MOMENTOS DA AULA
MOMENTO TEMPO [Minutos]
1. Entrada dos alunos 10
2. Distribuição das Produções Escritas 5
3. Trabalho Autónomo 20
4. Discussão em Turma 25
5. Conclusão da Aula 5
DESENVOLVIMENTO DA AULA 1. ENTRADA DOS ALUNOS
A sala já estará organizada para o momento de trabalho a pares, de forma a facilitar a entrada dos alunos e o início do momento de trabalho autónomo. A professora recordará os alunos do trabalho que será desenvolvido durante esta aula, tendo em vista a melhoria das suas produções escritas.
Para que os alunos tomem conhecimento daquilo que irá acontecer ao longo da aula, o sumário já estará escrito no quadro, de forma a que os alunos o possam passar para os cadernos para, depois, dar início à aula planeada.
Uma vez que antes da aula de Matemática, os alunos têm aula de Educação Física, optou- se por deixar mais tempo reservado para a entrada dos alunos, prevendo algum atraso na sua chegada à sala de aula.
2. DISTRIBUIÇÃO DAS PRODUÇÕES ESCRITAS DA TAREFA 3
A professora distribuirá as produções escritas comentadas, aproveitando para esclarecer alguma dúvida sobre a tarefa que tenha surgido desde a aula anterior.
3. TRABALHO AUTÓNOMO
No início do momento de trabalho autónomo, a professora explicará como os alunos deverão proceder à continuação da produção escrita. No final do momento de trabalho
autónomo, os alunos deverão entregar uma versão melhorada da sua produção escrita, numa nova folha.
Durante este momento, os alunos poderão ainda apresentar algumas das dificuldades previstas e registas no plano da aula anterior. Para além disso, prevê-se que os alunos possam ter algumas dificuldades em compreender e utilizar o feedback. Nesse caso, a professora complementará os comentários escritos com feedback oral.
No caso de os alunos terminarem de melhorar a tarefa antes do tempo estipulado, ser- lhes-á indicado um conjunto de exercícios de consolidação das aprendizagens realizadas ao longo de todo o domínio das funções exponenciais e logarítmicas, uma vez que terão um momento de avaliação por domínios na semana seguinte ao final da intervenção letiva.
4. DISCUSSÃO EM TURMA
A discussão irá ocorrer em turma e sob a orientação da professora, que deve promover a participação dos diferentes grupos e dos seus elementos.
Na pergunta 1, e de acordo com a observação que fez do trabalho desenvolvido em aula e da apreciação das produções escritas realizadas na aula anterior, a professora deverá selecionar um grupo para explicar a estratégia escolhida. Caso se verifiquem grupos que não tenham completado a sua resolução, a professora poderá começar por esses grupos, pedindo aos colegas que complementem a sua resolução.
Assim, e promovendo a participação dos vários grupos e a valorização do seu trabalho, a professora poderá dividir a resolução desta pergunta em diferentes passos, questionando diferentes grupos.
EQUACIONAR O ENUNCIADO
A partir do enunciado, a professora poderá pedir a um grupo que explique a forma como traduziu o enunciado para uma expressão matemática:
𝑇′(𝑡) = 𝑘 ⋅ (𝑇
𝑎− 𝑇(𝑡)), 𝑘 ∈ ℝ
DEFINIÇÃO DA NOVA FUNÇÃO
A professora poderá pedir a um dos grupos que explique como surgiu a ideia de definir a função 𝑓, formulando, em seguida, a nova equação:
𝑓(𝑡) = 𝑇𝑎− 𝑇(𝑡) Como 𝑓′(𝑡) = (𝑇 𝑎− 𝑇(𝑡)) ′ = −𝑇′(𝑡) Então, temos que
𝑓′(𝑡) = −𝑘 ⋅ 𝑓(𝑡)
Sendo um dos passos mais desafiantes da resolução da tarefa, importa que a professora garanta que todos os alunos ficam com as suas dúvidas esclarecidas.
EXPONENCIAL COMO SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
A partir da discussão realizada no âmbito da Tarefa 2, a professora poderá pedir um grupo distinto que fundamente que
Uma vez que inicialmente se tinha definido
𝑎𝑒−𝑘𝑡 = 𝑇𝑎− 𝑇(𝑡)
Então podemos obter
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎− 𝑎𝑒−𝑘𝑡
DETERMINAÇÃO DO PARÂMETRO
𝑎
É possível que nem todos os grupos compreendam que podem determinar o valor deste parâmetro. Nesse caso, e questionando um grupo específico, a professora poderá perguntar-lhes se consideram que é possível conhecer mais alguma coisa da expressão já obtida.
Em seguida, e chamando à atenção das constantes introduzidas no enunciado, a professora poderá pedir-lhes que reescrevam a expressão obtida em função dessas constantes dadas. Nesse caso, e como 𝑇(0) = 𝑇0,
𝑇(0) = 𝑇𝑎− 𝑎𝑒−𝑘×0
⇔ 𝑇(0) = 𝑇𝑎− 𝑎
⇔ 𝑇0= 𝑇𝑎− 𝑎
⇔ 𝑎 = 𝑇𝑎− 𝑇0
Logo, é possível obter
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎− (𝑇𝑎− 𝑇0) ⋅ 𝑒−𝑘𝑡
Na pergunta 2.1., de acordo com a observação de acordo com a observação que fez do trabalho desenvolvido em aula e da apreciação das produções escritas realizadas na aula anterior, a professora poderá pedir a um elemento de um grupo que responda à pergunta e, caso tenha efetuado cálculos, que os demonstre no quadro.
A professora deverá realçar as diferentes estratégias possíveis, ainda que todos os grupos tenham optado por uma única.
Na pergunta 2.2., de acordo com a observação de acordo com a observação que fez do trabalho desenvolvido em aula e da apreciação das produções escritas realizadas na aula anterior, a professora poderá pedir a um elemento de um grupo que equacione o problema e que o resolva no quadro.
No final, deve garantir junto dos colegas que todos obtiveram o mesmo resultado, pedindo ao aluno que esclareça as dúvidas que surjam da sua resolução.
Na pergunta 2.3., a professora poderá começar por sondar toda a turma sobre as opiniões relativas à afirmação. Havendo opiniões diferentes, poderá selecionar grupos com opiniões contrárias e dar espaço para que cada um argumente de acordo com o trabalho realizado. Depois disso, deverá questionar os restantes grupos sobre diferentes estratégias possíveis para a fundamentação da resposta. Ainda que algumas estratégias não sejam escolhidas por nenhum grupo, a professora poderá referi-las, de forma a que os alunos se apercebam da diversidade de caminhos possíveis.
Na pergunta 2.4., de acordo com a observação de acordo com a observação que fez do trabalho desenvolvido em aula e da apreciação das produções escritas realizadas na aula anterior, a professora pedirá a um dos grupos que apresenta a sua resposta e a forma como a fundamentou. Havendo grupos que tenham escolhido diferentes estratégias, a professora dará espaço para que estes as expliquem. No fim, poderá, ainda, sugerir alguma estratégia
que não tenha sido escolhida por nenhum dos grupos. Sendo a pergunta com maior ligação ao contexto real, a professora deverá garantir que todos os alunos compreendem a interpretação necessária e a conclusão de que a temperatura para a qual o café irá tender é a temperatura da pastelaria.
No fim, a professora deverá explicitar que, mesmo sem realizando cálculos, a partir do trabalho realizado na primeira pergunta, os alunos poderiam conhecer, à partida, diferentes aspetos relativos à evolução da temperatura do café.
5. CONCLUSÃO
Para concluir a aula, a professora deverá recolher as versões melhoradas das produções escritas realizadas pelos alunos.
Para além disso, a professora informará que na aula do dia seguinte os alunos terão oportunidade de melhorar os exercícios dos trabalhos enviados para casa, pedindo-lhes que tragam esses documentos caso não os tenham entregue já. Como poderão acabar esse trabalho antes do empo, a professora deverá realçar a importância de trazerem o manual para a aula, a fim de realizarem trabalho de consolidação. Para além disso realizarão um questionário que finalizará a intervenção letiva.
AVALIAÇÃO
A avaliação, de caráter essencialmente regulador, será feita através da
• Observação direta do desempenho e da capacidade de comunicação dos alunos, durante os momentos de trabalho autónomo e discussão em turma;