112 Apêndices
Apêndice I: plano da primeira aula
Ano letivo: 2015/2016 4 março de 2016
Ano: 11.º
Disciplina: Matemática Duração: 90
minutos
Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções racionais e com radicais. Taxa de Variação e Derivada Tópicos:
Composição de funções no contexto do estudo de funções, envolvendo polinómios do 3.º grau, a função trigonométrica cosseno, a função √ e a função
.
Objetivos do foro do conhecimento:
• Aperfeiçoar o cálculo em ℝ e operar com expressões racionais, com radicais e trigonométricas;
• Resolver problemas recorrendo a funções e suas representações gráficas. Objetivos do foro das atitudes:
• Manifestar persistência na procura de soluções para uma situação nova;
• Colaborar em trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades;
• Respeitar a opinião dos outros e aceitar as diferenças. Objetivos do foro das capacidades:
• Interpretar e criticar resultados;
• Descobrir relações entre conceitos de Matemática;
• Formular generalizações a partir de experiências;
• Desenvolver a visualização no plano através do GeoGebra;
• Comunicar conceitos, raciocínios e ideias, oralmente e por escrito, com clareza e progressivo rigor lógico.
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i. Redação do sumário: Sumário:
• Composição de funções com recurso ao GeoGebra;
• Resolução de tarefas. Conteúdos:
• Função resultante da composição de duas funções, respetiva expressão algébrica e domínio;
• A composição de funções não é uma operação comutativa. Conhecimentos prévios:
Função, gráfico e representação gráfica; Domínio e contradomínio de uma função.
Recursos/Instrumentos auxiliares:
• Vários computadores providos do software GeoGebra e projetor;
• Guião de tarefas;
• Caneta.
Estrutura geral (por ordem cronológica): i. Redação do sumário
ii. Preparação para a realização de tarefas
tempo previsto: 10 minutos
iii. Realização de tarefas
tempo previsto: 60 minutos
iv. Recolha de documentos
tempo previsto: 5 minutos
v. Síntese de ideias principais
tempo previsto: 15 minutos
vi. Trabalho de casa
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ii. Preparação para a realização de tarefas: tempo previsto: 10 minutos
Neste momento da aula, pretendo esclarecer os alunos como esta aula deve decorrer, explicando-lhes que irão trabalhar a pares com recurso ao computador. A escolha de pares é realizada ao critério dos alunos. Também explicarei que irão preencher um guião, sendo que este será entregue individualmente, e que devem abrir o GeoGebra no início da aula e começar de imediato a guardar os documentos, que posteriormente serão recolhidos.
Também pretendo no início desta aula, após todos os grupos terem o software aberto em cada computador, explicitar como se introduz um ‘seletor’. Ilustrarei este processo com o meu computador pessoal e por recurso a projeção.
iii. Realização de tarefas:
tempo previsto: 60 minutos
O guião entregue aos alunos contém tarefas de natureza exploratória. Este guião foi desenhado com o intuito de servir de base a uma exploração mais formal deste tópico.
Os pontos que são explorados especificamente no guião são o domínio da função resultante da composição de duas funções, a sua expressão algébrica e o facto de a operação de composição de duas funções não ser comutativa.
Tarefa Ponto Alínea Objetivos
1 1.1 a) Observar o comportamento da função composta através da manipulação da variável ‘a’ de um seletor criado no
GeoGebra e descrever o que se verifica, em particular para o caso em que ‘a’ é negativo.
b) Determinar imagens de ‘a’ por f, por g e pela composta e registar os valores numa tabela.
c) Determinar a expressão algébrica da função composta. d) Identificar o domínio da função composta.
1.2 a) Observar o comportamento da função composta através da manipulação da variável ‘a’ e descrever o que se verifica, em particular quando ‘a’ varia num intervalo indicado. Determinar outros intervalos em relação aos quais se verifique idêntico comportamento.
b) Determinar imagens de ‘a’ por g, por f e pela composta e registar os valores numa tabela.
c) Determinar a expressão algébrica da função composta. d) Identificar o domínio da função composta.
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1.3 Observar e concluir que a composição de funções não é uma operação comutativa.
Tarefa Ponto Alínea Objetivos
2 2.1 a) Observar o comportamento da função composta ℎ através da manipulação variável ‘a’ de um seletor criado no GeoGebra e descrever o que se verifica, em particular para o caso em que ‘a’ é zero.
b) Determinar imagens de ‘a’ por h, por l e pela composta ℎ e registar os valores numa tabela
c) Determinar a expressão algébrica da função composta. d) Identificar o domínio da função composta.
2.2 a) Observar o comportamento da função composta ℎ através da manipulação variável ‘a’ de um seletor criado no GeoGebra e descrever o que se verifica, em particular para o caso em que ‘a’ é zero.
b) Determinar imagens de ‘a’ por l, por h e pela composta ℎ e registar os valores numa tabela.
c) Determinar a expressão algébrica da função composta. d) Identificar o domínio da função composta.
2.3 Observar e concluir que a composição de funções pode ser uma operação comutativa.
Caso eu observe que vários grupos repetem o mesmo erro ou têm a mesma dificuldade que não os permite avançar (por exemplo, relacionada com as entradas das expressões das funções no GeoGebra e com a criação de novos pontos, como no caso em que é necessário introduzir um ponto cuja ordenada corresponde à imagem por f da imagem de a por g), pretendo ter um computador pessoal ligado a um projetor, de modo a esclarecer dúvidas que possam surgir. Contudo, como todas as tarefas são de cariz exploratório, pretendo dar espaço ao aluno para pensar e tentar resolver as dúvidas do próprio grupo.
iv. Recolha de documentos:
tempo previsto: 5 minutos
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v. Síntese de ideias principais:
tempo previsto: 15 minutos
Neste momento, decorrerá uma discussão e síntese das ideias principais com a turma.
vi. Trabalho de casa:
Neste momento, informo os alunos que terão como trabalho de casa a realização da tarefa 7, que se encontra na página 109 do manual. Informando, ainda, que terão de realizá-la numa folha à parte para que possa ser recolhida na aula seguinte. Esta tarefa foi escolhida para que os alunos possam ter contacto com problemas do quotidiano, cuja resolução pode envolver a composição de funções.