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Apêndice III: plano da segunda aula
Ano letivo: 2015/2016 8 de março de 2016 Ano: 11.º
Disciplina: Matemática Duração: 90 minutos
Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções racionais e com radicais. Taxa de Variação e Derivada Tópicos:
Composição de funções no contexto do estudo de funções racionais, envolvendo polinómios do 2.º e 3.º grau.
Objetivos do foro do conhecimento:
• Aperfeiçoar o cálculo em ℝ e operar com expressões racionais, com radicais e trigonométricas;
• Interpretar fenómenos e resolver problemas recorrendo a funções e seus gráficos, por via intuitiva e analítica.
Objetivos do foro das atitudes:
• Manifestar persistência na procura de soluções para uma situação nova. Objetivos do foro das capacidades:
• Interpretar e criticar resultados no contexto do problema;
• Descobrir relações entre conceitos de Matemática;
• Formular generalizações a partir das experiências;
• Comunicar conceitos, raciocínios e ideias, por escrito, com clareza e progressivo rigor lógico.
Conteúdos:
• Identificar, dadas funções : ), → e : )*→ , a «função composta de com » como a função : )*E, → , tal que )*E, { ∈ ),: ∈ )*} e ∀ ∈\]^_,
e designá-la também por « composta com », « após » ou « seguida de ».
Apêndices
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i. Redação do sumário: Sumário:
• Formalização da composição de funções;
• Resolução de tarefas. Conhecimentos prévios:
Função, gráfico e representação gráfica;
Funções trigonométricas e círculo trigonométrico; Domínio e contradomínio de uma função.
Recursos/Instrumentos auxiliares:
• Ficha de tarefas;
• Folha e caneta.
Estrutura geral (por ordem cronológica): i. Redação do sumário ii. Recolha do trabalho de casa
iii. Formalização dos conhecimentos presentes no guião da aula anterior
tempo previsto: 20 minutos
iv. Formalização do conceito de composição de funções
tempo previsto: 10 minutos
v. Correção do trabalho de casa
tempo previsto: 5 minutos
vi. Realização de tarefas
tempo previsto: 40 minutos
vii. Recolha de tarefas
viii. Preenchimento de questionários
Apêndices
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ii. Recolha do trabalho de casa:
Neste momento da aula, recolher-se-á a resolução de cada aluno da tarefa 7, da página 109 do manual. Esta tarefa foi requerida como trabalho de casa, tendo sido pedido aos alunos que a sua resolução fosse feita numa folha à parte.
iii. Formalização dos conhecimentos presentes no guião da aula anterior: tempo previsto: 20 minutos
Neste momento da aula, irei discutir no quadro com os alunos a aula anterior. Pretendo, sucintamente, retomar cada enunciado e resolver no quadro as tarefas (do guião aplicado na aula anterior) com a ajuda dos alunos. Assim sendo, este momento irá ser feito, essencialmente, referindo cada enunciado e colocando questões pertinentes aos alunos.
Tarefa 1
cos e √ , , isto é, , cos
, , isto é, , √ 1.1
, cos √ , T não está definido para valores negativos de .
Nota: B não está definido quando a sua abcissa toma valores negativos.
Expressão: cos √
Domínio: )* ℝ67⇒ ), * ℝ67 1.2
, cos , R apenas está definido quando cos toma valores não negativos. Como cos toma valores pertencentes ao intervalo [-1,1], o ponto R apenas está definido quando a abcissa ( ) tem imagem por f pertencente ao intervalo [0,1]. Ou seja, R não está definido ∀ ∈ℝ, "1 ≤ cos < 0.
Recorrendo ao círculo trigonométrico, a solução da inequação anterior é o conjunto {%T0+
Apêndices
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Assim sendo, R apenas está definido quando a sua abcissa pertence ao conjunto ℝ\{%T0+
ML,0L + ML%, M ∈ ℤ}
Expressão: cos
Domínio: )* , ℝ\{%T0+ ML,0L + ML%, M ∈ ℤ}.
1.3
As duas representações gráficas não são iguais e, inclusivamente, têm domínios diferentes.
Tarefa 2
ℎ e
, , isto é, ,c
, ℎ , isto é, , 2.1
,c , T não está definido é zero, pois 6 é uma indeterminação.
Expressão: ℎ d
Domínio: )e ℝ\{0} ⇒ )f e ℝ\{0} 2.2
,a1
Logo a expressão e o domínio são iguais à alínea anterior.
2.3
As duas representações gráficas são iguais e têm domínios iguais.
iv. Formalização do conceito de Composição de funções: tempo previsto: 10 minutos
Apêndices
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Neste momento de aula, irei formalizar o conceito de composição de funções, em discussão com os alunos, registando-o no quadro.
v. Realização de tarefas:
tempo previsto: 40 minutos
Primeiramente, as resoluções irão ser recolhidas. Por isso, ir-se-á avisar os alunos para resolverem a ficha no próprio documento que lhes vai ser entregue. A realização pode ser feita em grupos de, no máximo, quatro elementos. Pretendo, também, colocá-los ao corrente deste facto.
Proceder-se-á à realização da ficha, sendo que irei ajudar os alunos ao longo da mesma. Quanto à complexidade de cada tarefa da ficha e às dúvidas que podem surgir, sintetizo a tabela seguinte:
Tarefa Resolução
1 Por uma questão de complexidade de linguagem, os alunos podem não entender de que forma é que a função composta pode ser aplicada. Como possível solução, para que cada aluno compreenda o que corresponde a cada elemento por imagem de cada função, posso optar por desenhar no quadro o diagrama seguinte:
Função composta:
Dadas as funções : ),→ e : )* → , a composta de por é a função que se representa por : )*E, → e se define por
% !
tal que
)*E, { ∈ ℝ: ∈ ), ∧ ∈ )*}.
Apêndices
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2 Caso existam dúvidas de interpretação, pretendo desenhar no quadro o seguinte diagrama:
3 Qualquer que seja a dúvida que possa surgir, basta explicar ao aluno que deve de aplicar diretamente a definição de função composta (uma vez que
naturalmente não há problemas com o domínio ou contradomínio). Assim sendo, o aluno apenas tem de ser encaminhado a perceber que tem de determinar "2 , ou seja, tem de chegar à conclusão que "2 0
"4.
4 A maior dificuldade que os alunos terão nesta tarefa será a determinação do domínio e do contradomínio de cada uma das funções compostas.
5 A maior dificuldade para os alunos nesta tarefa será a de perceber que para resolver esta tarefa basta determinar o domínio da composta.
vi. Recolha das tarefas:
Neste momento da aula, decorrerá a recolha da ficha de tarefas de cada aluno.
vii. Preenchimento do questionário:
tempo previsto: 15 minutos