Pontos de Equilíbrio Reais na Presença de Colisões Cruzadas

Agora que conhecemos bem a localização dos pontos de equilíbrio em função do parâmetro χ, que basicamente representa a energia de autocolisão por partícula em unidades da freqüência de tunela- mento Ω, passamos a procurar pelas correções existentes devido à modificação da taxa de tunelamento efetiva, causada pela presença das colisões cruzadas. De acordo com a condição |κ|  |Λ|, não espera- mos que o terceiro termo da Hamiltoniana (5.1.7) seja responsável pelo surgimento de novos pontos fixos ou novos regimes dinâmicos no sistema. Contudo, podemos supor que a presença de Λ(N − 1), dentro de Ω0, provoque deslocamentos consideráveis nos parâmetros críticos do sistema, quando comparados aos valores obtidos considerando somente a autocolisão.

De maneira análoga à definição do parâmetro reduzido χ, definimos agora o parâmetro reduzido de colisão cruzada: µ ≡ Λ(N − 1) Ω = κε32(N − 1) Ω = ε 3 2χ; (5.3.21)

onde usamos o resultado (3.1.22.c’) para relacionar κ e Λ por meio do parâmetro perturbativo ε  1. Observamos em (5.3.21) que devemos analisar o comportamento do sistema apenas sob a restrição |µ|  |χ|, respeitando as hipóteses do modelo.

Igualando ˙w1 a zero em (5.2.5) e fazendo o mesmo para ˙w2 em equação análoga, obtemos o seguinte

de onda coletivas para a localização dos pontos fixos conhecidos:

(

(w1− 1)(w1+ w2+ 1)(w12+ w22+ 1) = 2χw1(w21− 1) − 2µ(w14− w23+ 3w1w2− 3w21w2+ w1w23− 1);

(w2− 1)(w1+ w2+ 1)(w12+ w22+ 1) = 2χw2(w22− 1) − 2µ(w24− w13+ 3w1w2− 3w22w1+ w2w13− 1).

(5.3.22)

Claramente os pontos dados em (5.3.13.a)-(5.3.13.c) ainda são pontos fixos simples do sistema, independentes de χ e µ.

Agora vamos procurar equações semelhantes a (5.3.15) e (5.3.17), supondo a localização de pontos de equilíbrio sob as condições w₁ = w2, w1 = 1 e w2 = 1. Colocando w1 = w2 em (5.3.22), temos que

as duas igualdades se tornam idênticas, novamente exibindo acordo com a equivalência dos três poços. Então, obtemos uma única equação real para apenas uma variável:

4(1 + µ)w4₁− 2(1 + χ + 4µ)w₁3+ 6µw₁2+ (2χ − 1)w1− (1 + 2µ) = 0. (5.3.23)

Excluindo a raiz já conhecida w₁ = 1, dividindo o polinômio por 4(1 + µ)(w1− 1), obtemos uma

equação cúbica para os pontos fixos dependentes de χ e µ. Não precisamos nos importar com a possível divergência em µ = −1, pois trabalharemos com |χ| da ordem das unidades, de maneira que |µ| não deve ultrapassar valores da ordem de décimos, devido à restrição |χ|  |µ|. Também devemos lembrar que apesar de utilizarmos χ e µ como parâmetros independentes, sabemos que eles estão relacionados em (5.3.21) por ε32 > 0. Logo, a liberdade em |µ| é uma conseqüência da possível variação de ε causada pelo ajuste dos parâmetros do potencial de aprisionamento. Contudo, os sinais de µ e χ devem ser iguais, ambos negativos (positivos) para interações repulsivas (atrativas) entre os bósons condensados. Então, a equação cúbica obtida é:

w3₁+(1 − χ − 2µ) 2(1 + µ) w 2 1+ (1 − χ + µ) 2(1 + µ) w1+ (1 + 2µ) 4(1 + µ) = 0. (5.3.24)

A segunda condição para pontos de equilíbrio é encontrada fazendo w2 = 1 em (5.3.22), deste modo

temos que a segunda equação deste sistema se anula identicamente, enquanto a primeira fornece:

(1 + 2µ)w4₁+ (1 − 2χ)w₁3− 6µw2

1 + 2(1 + χ + 4µ)w1− 4(1 + µ) = 0. (5.3.25)

Novamente, no intuito de excluir a raiz w₁ = 1 já conhecida, dividimos a igualdade por (1+2µ)(w1−

1). Também não nos preocupamos com a possível divergência em µ = −1₂, devido à imposição |µ|  |χ|. A cúbica resultante de (5.3.25) é: w₁3+2(1 − χ + µ) (1 + 2µ) w 2 1 + 2(1 − χ − 2µ) (1 + 2µ) w1+ 4(1 + µ) (1 + 2µ) = 0. (5.3.26)

Lembramos que os pontos fixos sobre a reta w1 = 1 também são dados pela equação acima, mas

trocando w1 por w2.

Com o propósito de obter os valores dos parâmetros de transição χ± em termos da taxa de colisão

cruzada, calculamos os discriminantes dos polinômios de (5.3.24) e (5.3.26) em função das taxas χ e µ. Os novos discriminantes para (5.3.24) e (5.3.26) são respectivamente ∆0₁ e ∆0₂:

∆0₁ = − 1

1728(1+µ)4 χ4+ 2(3 + 7µ)χ3+ (−6 + 33µ2)χ2+ 2(−5 − 12µ + 18µ2+ 52µ3)χ −2(9 + 76µ + 228µ2_{+ 264µ}3_{+ 76µ}4₎

= 27(1+2µ)₄ 4_1728(1+µ)1 4∆0₂.

(5.3.27)

Como esperado, ∆0₁ = 0 e ∆0₂ = 0 possuem as mesmas raízes em χ, tomando µ ainda como um parâmetro; ou seja, desta vez as raízes reais χ±(µ) dependem da taxa de colisão cruzada. No entanto,

devemos lembrar que o sinal de µ não é independente, devendo ser o mesmo de χ. Desta forma, daqui em diante tratamos os sistemas com χ > 0 e χ < 0 separadamente, pois suas correções devem ser dadas por µ > 0 e µ < 0, respectivamente. Portanto, conceitualmente devemos dividir os gráficos dados nas figuras 5.3.2 e 5.3.3 em χ = 0, devido às diferentes correções presentes nos dois domínios de parâmetros, causadas pelas interações cruzadas.

As correções nos parâmetros de bifurcação χ± são dadas pelas raízes reais do seguinte polinômio

quártico:

∆ = −χ4_{− 2(3 + 7µ)χ}3_{+ 3(2 − 11µ}2_)χ2_{+ 2(5 + 12µ − 18µ}2_{− 52µ}3_)χ

+2(9 + 76µ + 228µ2+ 264µ3+ 76µ4).

(5.3.28)

Somente a raiz real positiva (negativa) de ∆ = 0 é útil se µ > 0 (µ < 0), quando representa o parâmetro de bifurcação χ+(µ) (χ−(µ)). Não vamos exibir a solução analítica para as raízes do

polinômio (5.3.28), devido à complexidade de sua dependência em µ, que de nenhuma forma nos possibilitaria melhor compreensão do problema. No entanto, podemos observar o comportamento de χ± em função de µ na figura 5.3.4.

Figura 5.3.4: Comportamento dos parâmetros de bifurcação χ±com a taxa de colisão cruzada µ.

Apesar de as colisões cruzadas representarem um efeito de menor grandeza sobre a dinâmica do condensado em poço triplo, temos que pequenos valores de µ podem alterar significantemente o regime do sistema. Na figura 5.3.4 vemos que um pequeno intervalo de variação em µ pode deslocar sensi- velmente o parâmetro de bifurcação, significando que muitas órbitas do sistema tiveram sua dinâmica profundamente alterada.

Para χ > 0, temos que |χ+| cresce com o aumento de |µ|, indicando que acréscimo das interações

cruzadas ao tunelamento efetivo retarda a ocorrência da bifurcação dinâmica. Ou seja, µ favorece as famílias de trajetórias presentes antes da bifurcação, ao passo que valores crescentes de χ, associados à intensidade da autocolisão, são responsáveis pela existência dos regimes dinâmicos provenientes da bifurcação.

De maneira distinta, observamos que |χ−| diminui com o aumento de |µ|, quando κ e Ω têm sinais

opostos. Ou seja, as colisões cruzadas favorecem a bifurcação e o aparecimento de novos regimes dinâmicos na presença de colisões repulsivas. Também vemos que a variação relativa de χ− em função

de µ < 0 é muito mais intensa que no caso de χ+ para µ > 0.

Então, vamos entender a razão destas variações dinâmicas mais intensas provocadas pelas coli- sões cruzadas no regime de espalhamento repulsivo. Segundo a definição (3.1.26’), observamos que o tunelamento efetivo pode se anular quando Ω e Λ têm sinais opostos, visto que Λ = ε32κ e ε > 0:

Ω0= 0 → Ω + 2Λ(N − 1) = Ω(1 + 2µ) = 0 ∴ µ = −1

2. (5.3.29)

Portanto, o tunelamento efetivo se anula em µ = −1₂, caso somente possível quando Ωκ < 0. Esta inequação somente é satisfeita para bósons interagindo repulsivamente, pois as hipóteses do modelo geralmente garantem que Ω < 0. Logo, a quase anulação do tunelamento explica a variação brusca de comportamento do sistema quando µ se aproxima de −1₂. De maneira semelhante justificamos o aparecimento precoce da bifurcação para −1₂ < µ < 0, pois temos que |Ω0| decresce neste intervalo, favorecendo a autocolisão e seus regimes dinâmicos associados.

Na equação (5.3.29), observamos que Ω0 aumenta em uma unidade de Ω para cada meia unidade de µ > 0 acrescida ao sistema. Então, concluímos novamente que os efeitos da colisão cruzada não devem ser ignorados, tendo em vista também a presença bastante significativa do fator linear em N na definição (5.3.21).

Resumimos os resultados desta subseção na figura 5.3.5, onde exibimos o número de pontos de equilíbrio sobre cada uma das retas w1 = w2, w1 = 1, w2 = 1, em função dos parâmetros de colisão

χ e µ. Note que também mostramos os resultados nos quadrantes inacessíveis fisicamente, tais que χµ < 0, de modo a relacionar continuamente as soluções nos quadrantes de interesse.

As retas tracejadas horizontais representam os valores de µ onde as equações (5.3.24) e (5.3.26) não podem ser utilizadas corretamente, devido à presença nos denominadores dos monômios (1 + µ) e (1 + 2µ). Portanto, para estes valores da taxa de colisão cruzada, devemos retornar às igualdades (5.3.23) e (5.3.25).

Entretanto, observamos que para µ = −1 (µ = −1₂) obtemos apenas uma equação cúbica para a localização dos pontos fixos sobre a reta w1 = w2 (w2 = 1), enquanto a equação equivalente para

w2 = 1 (w1 = w2) continua a apresentar comportamento quártico em w1. Este fato parece contradizer

a equivalência entre os pontos de equilíbrio fornecidos pelas duas equações, pois indica que o número máximo de raízes reais é diferente em cada uma delas.

No entanto, a aparente contradição acontece porque os estados clássicos com ocupação média nula no terceiro modo local não possuem coordenadas finitas nas variáveis w1 e w2. Portanto, a solução

“oculta” sobre a reta w₁ = w2 (w2 = 1) representa um ponto fixo com o terceiro poço vazio, cujas

coordenadas divergem na parametrização utilizada do espaço de fase, ao passo que ponto de equilíbrio equivalente sobre w2 = 1 (w1 = w2) apresenta a desocupação no primeiro modo, cujas coordenadas

são finitas.

Resumindo, a equação (5.3.23) exibe uma raiz real finita a mais que (5.3.25) quando µ = −1₂, mas esta situação é invertida em µ = −1. Porém, não estudaremos mais profundamente este caso, que

Figura 5.3.5: Diagrama indicando o número de pontos de equilíbrio em função dos parâmetros de colisão sobre cada uma das retas w1 = w2, w1 = 1, w2 = 1, considerando as variáveis w1 e w2 restritas aos reais. Os quadrantes onde

χµ < 0 não são acessíveis fisicamente, mas exibimos os resultados nestas regiões em cores diferenciadas para relacionar de maneira contínua as soluções nos quadrantes de interesse. A linha horizontal tracejada em µ = −1 (µ = −0, 5) indica a região onde a reta w1= w2(w1= 1 ou w2= 1) apresenta uma solução divergente.

geralmente não estará presente em nossas análises do modelo devido à condição |χ|  |µ|.