Pureza de su(2) e Transição de Fase Quântica

Na seção anterior vimos que a quantidade P_su(2) é extremamente útil como medida de decoerência, delocalização e correlações quânticas de um determinado estado em relação ao espaço de fase clás- sico generalizado. Podemos aproveitar estas qualidades para caracterizar um propriedade bastante interessante de muitos sistemas quânticos: a transição de fase quântica.

A transição de fase quântica é uma não analiticidade na energia do estado fundamental de um sistema, quando tomada como função de algum parâmetro real contínuo do Hamiltoniano, caracterizada apenas à temperatura zero e no limite termodinâmico N → ∞.

Geralmente, a energia do estado fundamental em um sistema finito é uma função analítica do parâmetro do Hamiltoniano e somente exibe a não analiticidade, relacionada a um cruzamento evitado de níveis, quando N → ∞. Contudo, ainda podemos observar a escalabilidade das propriedades do sistema para N crescente e decidir se ocorre ou não a transição no limite termodinâmico.

Trabalhos recentes mostram que medidas de emaranhamento bipartite podem ser usadas para “sinalizar” a presença de uma transição de fase [WSL04, Hin05]. Entre as medidas para estados puros podemos citar a pureza usual2.6, da qual advém o nome de nossa generalização. Devido as propriedades já citadas de nossa pureza generalizada, esperamos que ela também contenha alguma informação indicando a transição.

Em nosso tratamento semiclássico do modelo do condensado em poço duplo, vimos que o sistema sofre uma mudança drástica em sua dinâmica quando a taxa de autocolisão assume seu valor crítico κc = _2NΩ , para N  1 e colisões cruzadas desconsideradas. Da maneira como tratamos nosso modelo,

com Ω, κ > 0, esta transição de regime não acontece no estado fundamental do sistema, mas sim no estado de maior energia, induzida pela bifurcação no espaço de fase.

Embora o estado fundamental de nosso modelo não apresente mudança crítica de regime, podemos ainda tratar formalmente a transição no estado estacionário de energia máxima da mesma forma que uma transição de fase convencional2.7no intuito de verificar as propriedades de P_su(2). Devemos lembrar sempre que a transição de fase somente é caracterizada no limite N → ∞, portanto nossa mudança de regime, mesmo se ocorresse no estado fundamental, só poderia ser considerada uma transição no limite clássico exato.

Na figura 2.1.14, temos a distribuição Husimi para o auto-estado de maior energia do espectro de ˆ

H para vários valores dos parâmetros κ e η. No gráfico 2.1.14.a temos simplesmente a representação 2.6_{Empregamos o adjetivo “usual” para distinguir a utilização já consagrada da pureza em sistemas bipartites de nossa}

pureza generalizada Psu(2).

2.7_{Afinal, o estado de máxima energia pode ser levado ao estado fundamental pela transformação ˆH → − ˆH ou,}

Figura 2.1.14: Distribuição Q para o estado de maior energia do espectro de ˆH para vários valores dos parâmetros κ e η. Considerando o número de partículas N = 100 e Ω = 1, temos os seguintes valores das taxas de colisão: (a) κ = η = 0, (b) κ = _2NΩ , η = 0, (c) κ =0,55Ω_N , η = 0, (d) κ = _NΩ, η = 0, (e) κ = 2Ω_N, η = ₁₀₀κ e (f ) κ =2Ω_N, η = ₁₀κ.

do estado coerente |θ = π, φi = |J, J iz, que é o auto-estado de energia máxima exato para o caso não

interagente κ = η = 0, como podemos ver facilmente na equação (2.1.28). Portanto, na ausência de colisões, o nível mais energético é produzido por um estado de máxima localização no espaço de fase, tal que P_su(2)(|ψi) = 1.

Aumentando o valor de κ, mas ainda desconsiderando as colisões cruzadas, vemos um crescente alargamento da função Q ao longo do eixo x e, conseqüentemente, esperamos o decrescimento da pureza. Para exatamente κ = κ_c, como mostrado no gráfico 2.1.14.b, o estado encontra-se bastante alongado, mas ainda não apresenta bifurcação; ou seja, a formação de dois máximos em sua distribuição. Este comportamento já era esperado para N finito, pois o parâmetro de transição de regime quântico κqc(N )

é ligeiramente diferente do valor de transição κ_c encontrado no limite clássico.

No gráfico 2.1.14.c, para κ = 0,55Ω_N , já há formação de dois máximos na distribuição, os quais passam a se afastar ao longo do eixo x para κ crescente, como vemos na figura 2.1.14.d com κ = _NΩ.

Como esperado, o aumento da taxa de colisão cruzada tem efeito oposto à autocolisão. Para η crescente vemos os dois máximos da função Q se aproximarem, como exemplificado nas figuras 2.1.14.e e 2.1.14.f , onde escolhemos respectivamente κ = 2Ω_N, η = ₁₀₀κ e κ = 2Ω_N, η = ₁₀κ.

Nossos resultados para a distribuição no espaço de fase do estado de máxima energia são confirmados quando analisamos o comportamento da pureza generalizada em função da taxa de autocolisão e do número de partículas, como mostrado na figura 2.1.15, desconsiderando as colisões cruzadas. A pureza

Figura 2.1.15: Pureza generalizada de su(2) calculada no auto-estado de energia mais elevada em função do parâmetro de autocolisão normalizado e do número de partículas, desconsiderando o efeito das colisões cruzadas.

inicialmente decresce lentamente comκN_Ω crescente, independentemente do valor de N , correspondendo a região onde as distribuições na figura 2.1.16 apenas se alongam sobre o eixo x. No entanto, próximo a κN_Ω = 1₂, a pureza começa a decrescer rapidamente e, embora suave, a queda de seu valor é mais íngreme à medida que N cresce. Este comportamento de P_su(2) nos sugere uma dependência forte entre a derivada da pureza em κN_Ω e o número de partículas.

Na figura 2.1.16 mostramos a derivada da pureza em relação à taxa de autocolisão normalizada

κN

Ω para vários valores de N . Para um número crescente de partículas, vemos se deslocar à esquerda

o mínimo da derivada de P_su(2), que também se torna cada vez mais acentuado. Definimos o valor do parâmetro de autocolisão para o mínimo da derivada da pureza como o valor crítico de transição da dinâmica quântica κq_c(N ).

Já é claro que valor de κqc(N ) se aproxima do valor de transição clássico κc = _2NΩ para N crescente,

mas ainda precisamos identificar como ocorre esta aproximação. Na figura 2.1.17 temos os valores de LnhN (κqc−κc)

Ω

i

, calculados numericamente nas cinco curvas do gráfico 2.1.16, em função de Ln(N ). É nítido que estes cinco pontos sugerem uma lei de potência entre (κqc− κc) e N . Realizando um ajuste

linear nos dados, obtemos:

κq_c − κ_c= Ω Ne

0,31±0,05_N−0,657±0,009_{∝ N}−1,657±0,009_{. (2.1.57)}

É evidente na equação (2.1.57) que κqc → κc quando N → ∞. Assim, concluímos que a pureza

generalizada é uma boa medida indicativa de transições de fase quânticas. Quando um estado sofre modificações fundamentais decorrentes de uma transição, sua pureza deve acompanhar seu comporta- mento, pois contém toda sua informação de coerência e grau de localização sobre o espaço de fase.

Figura 2.1.16: Derivada da pureza generalizada do auto-estado de maior energia em relação à taxa de autocolisão normalizada κN

Ω para vários valores do número total de partículas partículas N . A reta vertical tracejada representa o

valor do parâmetro de transição clássico κcN

Ω =

1

2. Note que todas as curvas para sistemas finitos se cruzam justamente

neste valor crítico clássico.

Figura 2.1.17: Gráfico de LnhN (κqc−κc)

Ω

i

em função de Ln(N ) para os cinco valores encontrados na figura 2.1.16. O ajuste linear sobre estes dados nos fornece uma lei de potência entre (κqc− κc) e N .