Positividade definida estrita no caso l = 2

a demonstração acima não funciona quando Md _{é uma esfera? A resposta reside no simples}

fato de que no caso esférico, P_k(b,(d 2)/2)(1) = P_k((d 2)/2,b)(1), k = 0,1,..., e a última soma da equação chave na demonstração, isto é,

( 1)kP (b,(d 2)/2) k (1) P_k((d 2)/2,b)(1) i6= j

Â

|xixj|=2p Bt_iAkBj Bt_i0AkBi₀

não pode mais ser controlada quando k ! •.

Recentemente, o caso esférico foi devidamente resolvido em [23].

Como uma aplicação óbvia do Teorema, é fácil ver que os núcleos positivos definidos descritos na Proposição 2.1.1nunca serão estritamente positivos definidos. A construção de exemplos concretos de classes de funções que possuem a representação oriunda do teorema anterior não foi possível neste momento, nem mesmo no caso em que l = 1.

Vale observar que o Teorema2.1.3e o Teorema acima podem ser adaptados para a esfera de Hilbert real S•. Optamos por não colocar esses resultados, pois eles destoam do assunto geral.

2.5 Positividade definida estrita no caso l = 2

Nesta seção, fornecemos uma caraterização alternativa para núcleos contínuos, isotró- picos e estritamente positivos definidos sobre Md_{, ainda no caso em que tal espaço não é uma}

esfera, e com a restrição l = 2. Já que os elementos da diagonal principal, na representação matricial de um núcleo positivo definido, são núcleos positivos definidos usuais, a idéia básica por trás desta seção está numa tentativa de classificar os núcleos estritamente positivos definidos através de alguma condição envolvendo estes elementos da diagonal.

A seguinte classe de núcleos surgiu naturalmente durante nossa análise.

Definição 2.5.1. (l = 2) Um núcleo contínuo, isotrópico e positivo definido F sobre Md _{é dito}

ser Schoenberg-singular se a sua parte isotrópica possui uma representação na forma F_r2(t) =

Â

k2K1 Ak+A •

Â

k=0 ak ! P_k((d 2)/2,b)(t), t 2 [ 1,1]

onde K1é um conjunto finito, A é uma matriz (simétrica) definida não negativa de M2(R), A ⇧ 0,

cada aké um número real não negativo e•k=0akP_k((d 2)/2,b)(1) <•.

Sejam x1,x2, . . . ,xnpontos distintos de Md. Como a matriz A na representação de um

núcleo Schoenberg-singular é definida não negativa, mas não é positiva definida, ela não tem posto máximo, ou seja, suas linhas são linearmente dependentes. Logo, é fácil ver que a matriz em blocos, de ordem 2n, " A

Â

• k=0 akP_k(d 2)/2,b(cos(|xixj|/2)) #n i, j=1

42 Capítulo 2. Núcleos estritamente positivos definidos sobre espaços 2-homogêneos

tem posto não superior a n. Como a primeira soma de f é finita, segue da demonstração do Lema

2.3.1que, para n suficientemente grande, a matriz de ordem 2n, "

Â

k2K1 AkP_k(d 2)/2,b(cos(|xixj|/2)) #n i, j=1

também tem posto menor que n. Assim, concluímos que a matriz [F_r2(cos(|xixj|/2))]ni, j=1

não tem posto máximo, ou seja, não é positiva definida. Portanto, um núcleo positivo definido Schoenberg-singular não é estritamente positivo definido.

O Teorema a seguir descreve o passo inicial e técnico na direção da caracterização que pretendemos apresentar.

Teorema 2.5.2. Seja F : Md_{⇥ M}d_{! M}

2(R) um núcleo contínuo, isotrópico e positivo definido.

Considere a sua representação matricial F = [ f_µn]l_µ,n=1e também a representação fornecida pelo Teorema2.1.3_{. Suponha que M}d não é uma esfera e que F não é Schoenberg-singular. Para que F seja estritamente positivo definido, é suficiente que, ambas as condições Ak⇧ 0 e

A11_k A12_k A_k21A22_k >0 valham simultaneamente para infinitos inteiros k em J_F2.

Demonstração. Sejam x1,x2, . . . ,xn pontos distintos em Md e B1,B2, . . . ,Bn vetores em R2.

Tendo em vista o Lema 2.2.3, vamos demonstrar que se Ak ⇧ 0 e A11_k A_k12A21_k A22_k >0 valem

simultaneamente para infinitos inteiros k em J2

F, então a única solução da equação chave 2

Â

µ=1 " _n

Â

i=1 Bµ_i P_k((d 2)/2,b)(cos(|xix|/2)) # aµ_k =0, x 2 Md, k 2 J_F2\ {k : Ak⇧ 0}, onde {a1

k,a2k} é um conjunto de Gram para Ak, é a trivial, ou seja, B1=B2=··· = Bn=0.

Se k 2 J2

F\ {k : Ak⇧ 0}, então o conjunto de Gram para Ak é linearmente dependente. Logo,

para cada k neste conjunto, existelk2 R tal que a1_k=lka2_k. Mas se A11_k A12_k A21_k A22_k >0, temos

quelk6= 0 e a2_k 6= 0. Substituindo o valor de a1_k na equação chave e dividindo a equação por

P_k((d 2)/2,b)(1) obtemos

n

Â

i=1

(lkB1i +B2i)R((d 2)/2,b)k (cos(|xix|/2)) = 0, x 2 Md, k 2 JF2\ {k : Ak⇧ 0}.

Como cada Aké definida não negativa, sabemos que 2|Aµn_k |  A11_k +A22_k ,µ,n = 1,2, e daí |lk|  1

ou |lk| 1. Vamos considerar três possibilidades para a sequência (lk).

Caso 1: Se a sequência (lk) é limitada, fixemos g 2 {1,2,...,n} e introduzimos x = xg na

equação chave. Obtemos, então, lkB1_g+B2_g+

Â

i6=g

2.5. Positividade definida estrita no caso l = 2 43

quando cos(|xixg|/2) 6= 1,i 6= g e, caso contrário,

lkB1g + B2g+ ( 1)kP (b,(d 2)/2) k (1) P_k((d 2)/2,b)(1)xi

Â

2Vxg (lkB1i +B2i) +

Â

xi2V/ xg[{xg} lkB1i +B2i R((d 2)/2,b)k (cos(|xixg|/2)) = 0,

para k 2 JF2\ {k : Ak ⇧ 0}. Neste caso, fazendo k ! • concluímos, via o Lema 1.2.2, que

a sequência (lkB1g) converge para B2g. Em particular, se Bg1 =0, temos Bg2=0. Como g é

arbitrário temos duas possibilidades: B1

i =B2i =0, para todo i, ou B1i 6= 0, para algum i e, neste

caso, a sequência (lk)converge. Observe que se a segunda possibilidade ocorrer temos

LB1_i +B2_i =0, i 2 {g : B1_{g 6= 0},}

onde L é o limite da sequência (lk). Daí, LB1i +B2i =0, para todo i, e podemos escrever n

Â

i=1

(LB1_i +B2_i)P_k((d 2)/2,b)(cos(|xix|/2)) = 0, x 2 Md, k 2 JF2\ {k : Ak⇧ 0}.

Fazendo a diferença entre a equação acima e a equação chave obtemos: (L lk)

n

Â

i=1

B1_iP_k((d 2)/2,b)(cos(|xix|/2)) = 0, x 2 Md, k 2 JF2\ {k : Ak⇧ 0}.

Como F não é Schoenberg-singular, a sequência (lk) não é eventualmente constante. Logo,

considerando uma subsequência se necessário, podemos assumir quelk6= L para todo k. Conse-

quentemente,

n

Â

i=1

B1_iP_k((d 2)/2,b)(cos(|xix|/2)) = 0, x 2 Md, k 2 JF2\ {k : Ak⇧ 0}.

Dadog 2 {1,2,...,n} e fazendo x = xg na equação acima obtemos

B1_g+

Â

i6=g

B1_iR((d 2)/2,b)_k (cos(|xixg|/2)) = 0, k 2 JF2\ {k : Ak⇧ 0},

quando cos(|xixg|/2) 6= 1,i 6= g e, caso contrário,

B1_g+ ( 1)kP (b,(d 2)/2) k (1) P_k((d 2)/2,b)(1)xi

Â

2Vxg B1_i +

Â

xi2V/ xg[{xg} B1_iR((d 2)/2,b)_k (cos(|xixg|/2)) = 0,

para k 2 JF2\ {k : Ak⇧ 0}. Fazendo k ! • em ambos os casos obtemos, via Lema1.2.2, que

B1_g =0, ou seja, B1_i =0 para todo i, uma contradição.

Caso 2: Se a sequência (1/lk)é limitada, como a1k =lka2k e a1k6= 0, temos a2k=lk 1a1k. Rees-

crevendo a equação chave obtemos:

n

Â

i=1

44 Capítulo 2. Núcleos estritamente positivos definidos sobre espaços 2-homogêneos

Basta agora repetir o processo acima para provar que B1=B2=0.

Caso 3: Se (lk)é uma união disjunta de duas sequências (lkr)[ (lks), onde (lkr)e (lks1)são

limitadas, usando os mesmos argumentos deduzimos que, para cada i, (B1_ilkr)converge para

B2_i e (B2_i/lks)converge para B1i. Portanto B1i =0 se, e somente se, B2i =0, para cada i. Para

completar os argumentos, vamos demonstrar que não pode ocorrer B1

i 6= 0, para algum i. De fato,

se este fosse o caso, teríamos

L1B1i +B2i =Bi1+L2B2i =0, i 2 {g : B1g6= 0},

onde L1 é o limite de (lkr) e L2 é o limite de (lks1). Dessa última igualdade teríamos que

L2L1B1i +L2B2i =0, e, por conseguinte, (L2L1 1)B1i =0, i 2 {g : B1g6= 0}. Mas, se L1L26= 1,

então B1_i =B2_i =0 para todo i 2 {g : B1_g6= 0}, uma contradição. Se L1L2=1, toda a sequência

(lk)é limitada e assim retornamos ao primeiro caso considerado. Em particular, B1=B2=0,

novamente uma contradição.

O principal resultado dessa seção é o teorema seguinte. Teorema 2.5.3. Seja F : Md_{⇥ M}d_{! M}

2(R) um núcleo contínuo, isotrópico e positivo definido.

Considere ambas, a sua representação matricial F = [ f_µn]l_µ,n=1e a representação fornecida pelo Teorema2.1.3_{. Suponha que M}d_{não é uma esfera e que F não é Schoenberg-singular. Para}

que F seja estritamente positivo definido, é necessário e suficiente, que os núcleos usuais f11 e

f22sejam estritamente positivos definidos.

Demonstração. A parte necessária é consequência do Lema2.1.2 (iii). No que segue, suponha que f11e f22 são estritamente positivos definidos. Se Ak>0 para infinitos inteiros k, o Teorema 2.2.4implica que F é estritamente positivo definido. Então, podemos assumir que Ak>0 apenas

para uma quantidade finita de inteiros k. Para prosseguir, vamos considerar a função definida por F1(x,y) = F(x,y)

Â

k:Ak>0

AkP_k(d 2)/2,b(cos(|xy|/2)), (x,y) 2 Md

e também os conjuntos infinitos J1={k 2 JF21: Ak⇧ 0;A

11

k >0} and J2={k 2 JF21 : Ak⇧ 0;A

22 k >0}.

Temos duas possibilidades a analisar:

(i) J1\ J2é finito: neste caso, J1\J2e J2\J1são infinitos e disjuntos. Em particular, os conjuntos

{k 2 JF21: Ak⇧ 0;A

µµ

k >0;Aµnk =Annk =0, µ 6= n}, µ = 1,2,

são infinitos e o Teorema2.2.6implica que F1é estritamente positivo definido.

(ii) J1\ J2é infinito: aqui precisamos considerar alguns subcasos.

(a) J1\ J2é finito e J2\ J1é infinito: tome I = {1} e observe que os conjuntos {k : Ak(I) > 0}

e {k 2 J2

2.5. Positividade definida estrita no caso l = 2 45

que F1é estritamente positivo definido.

(b) J1\ J2é infinito mas J2\ J1é finito: o processo é análogo ao subcaso anterior e, da mesma

forma, F1é estritamente positivo definido.

(c) J1\ J2e J2\ J1são finitos: aqui temos que Ak⇧ 0 e Ak11A12k A21k A22k >0 para infinitos inteiros

k em J2

F1. Como o conjunto {k : Ak>0} é finito e F1não é Schoenberg-singular, o Teorema2.5.2

implica que F1é estritamente positivo definido.

Para finalizar, se F1é estritamente positivo definido, o mesmo acontece com o núcleo F. Portanto

a demonstração está completa.

Não conseguimos provar uma versão do teorema acima no caso l 3. Uma tentativa de adaptar sua demonstração, a fim de incluir o caso em que os espaços compactos 2-homogêneos são as esferas, também não funcionou. Além de um problema técnico, semelhante ao mencionado depois do Teorema2.4.2, uma adaptação da demonstração acima para o caso esférico produz vários subcasos, alguns deles difíceis de serem tratados.

47

CAPÍTULO

3

PRODUTOS DE NÚCLEOS POSITIVOS

DEFINIDOS USUAIS SOBRE VARIEDADES

Neste capítulo, consideramos tão somente núcleos usuais sobre Md. Dados dois núcleos contínuos, isotrópicos e positivos definidos sobre Md_{, o produto deles tem as mesmas proprieda-}

des. Neste capítulo obtemos condições necessárias e suficientes sobre os núcleos de modo que o seu produto seja estritamente positivo definido. Posteriormente, resolvemos o mesmo problema para núcleos positivos definidos sobre G ⇥ Sd_{, onde G é um grupo localmente compacto, S}d

é a esfera unitária em Rd+1 _{e ambos os núcleos são contínuos e isotrópicos com respeito à}

componente de Sd_.

Sejam F e G dois núcleos contínuos, isotrópicos e positivos definidos sobre Md_{. A desi-}

gualdade de Oppenheim ([26, p.480]) revela que se um deles é não nulo e o outro é estritamente positivo definido sobre Md_{, então o produto FG é estritamente positivo definido sobre M}d_{. Por}

outro lado, o produto de dois núcleos que são positivos definidos mas não estritamente positivos definidos sobre Md, pode ser estritamente positivo definido. De fato, se Md=Sd, d 2, tome F com parte isotrópica definida pelos coeficientes

ad,b₀ =ad,b₁ =1, ad,b_k =0, k 6= 0,1, e G com parte isotrópica definida pelos coeficientes

ad,b_2k+1=3 2k 1, ad,b_2k =0, k = 0,1,....

Então, a parte isotrópica de FG se encaixa no contexto do Teorem1.2.3-(ii), ou seja, FG é estri- tamente positivo definido. Este exemplo justifica plenamente que o problema que consideramos neste capítulo é relevante e não trivial.

A análise do problema descrito acima não pode ser feita de maneira universal dentro da categoria dos espaços compactos 2-homogêneos. Devemos respeitar o desmembramento imposto pelo Teorema1.2.3.

48 Capítulo 3. Produtos de núcleos positivos definidos usuais sobre variedades

No documento Núcleos isotrópicos e positivos definidos sobre espaços 2-homogêneos (páginas 43-50)