Pré-escolar

A atividade levada a cabo no Pré-escolar, foi realizada no Centro Social Nossa Senhora de Fátima, no dia 21 de julho, em Macedo de Cavaleiros. A grupo alvo era constituída por 18 alunos com idades compreendidas entre os 4 e 5 anos.

A atividade, neste nível de ensino, foi muito básica. Os conhecimentos que possuíam de Geometria eram apenas a identificação do quadrado, do círculo, do triângulo, do retângulo e do losango. A atividade dividiu-se em dois momentos. No primeiro momento realizamos uma atividade de investigação e no segundo momento, uma atividade lúdica de pintura. Eram crianças bastante curiosas e atentas. Queriam saber tudo a meu respeito e após cinco minutos de ser questionada, comecei a minha intervenção. Sentamo-nos em círculo, o que permitia que todas as crianças me observassem bem e eu a elas. Repararam que tinha alguma coisa nas mãos e um

41 menino perguntou logo: “ O que é isso que tens aí?”. Aproveitei a deixa e mostrei um quadrado. O mesmo menino disse prontamente: “ É um quadrado!”. Todos os colegas, de imediato, concordaram com ele, dizendo ao mesmo tempo: “ Pois é, é um quadrado”. E eu questionei: “ Têm a certeza? Porque é um quadrado?”. Não sabiam concretamente porque era um quadrado, mas a educadora destas crianças começou a cantar uma música das figuras geométricas, que tinham aprendido no primeiro período, e desde logo relembraram que “o quadrado tem os lados todos iguais”. Seguidamente, mostrei o triângulo. Todos ao mesmo tempo disseram que era um triângulo. Perguntei porque era um triângulo e a educadora disse-lhes para relembrarem novamente a canção. Então uma menina respondeu rapidamente: “Eu sei, eu sei, tem três lados”. Os restantes acenavam afirmativamente com a cabeça e respondiam: “Pois é!”. Então eu perguntei: “Este triângulo tem os lados todos iguais?”. Fez-se um momento de pausa. Observaram bem o triângulo mexendo nele, colocando-o na vertical (de pé), na horizontal (deitado) e na diagonal (inclinado). Foram tirando as suas próprias conclusões. Uns diziam que os lados eram todos iguais e outros disseram logo que os lados eram todos diferentes. Para tirar todas as dúvidas, utilizei três fitas, cada uma correspondente a um lado do triângulo. Posteriormente, coloquei as fitas alinhadas e a partir daí, todas as dúvidas ficaram clarificadas. Todos concordaram que o triângulo tinha os três lados diferentes porque: “O tamanho das fitas são diferentes”. Em seguida mostrei os restantes dois quadrados. Identificaram-nos sem problema dizendo mesmo: “São quadrados, iguais ao outro”. Seguidamente, coloquei os três quadrados no chão aleatoriamente e os alunos foram convidados a ordena-los por tamanho. Então sugeri: “Imaginem que cada quadrado é um tapete de atividades, em qual deles vocês queriam brincar?”. Sem qualquer dúvida nem hesitação responderam: “ No grande, claro, tem mais espaço para brincadeiras!”. Foram solicitados em seguida para dizerem qual o quadrado que teria menos espaço de brincadeiras. Sem terem qualquer noção de área, estes alunos já sabem assim identificar o quadrado que ocupa mais espaço, ou seja, qual o quadrado que tem maior área.

42 Aos três quadrados juntei o triângulo (Figura 35). Todos muito atentos, esperavam novas ordens. Coloquei então a seguinte questão: “ Este triângulo, como vocês já disseram, tem três lados diferentes. Também já me disseram que estes três quadrados são todos de tamanho diferente. Vamos ver melhor os lados do quadrado grande. Será que o triângulo tem algum lado igual a este?”. Apontei para o lado do quadrado. Para meu espanto, um aluno pegou no triângulo e no quadrado e estabeleceu a correspondência entre a hipotenusa e um dos lados do quadrado grande. Foi o “clique” para as restantes crianças. A maioria queria já estabelecer as restantes correspondências.

Após a organização das figuras, figura 36, as crianças conseguiram tirar a conclusão que “o lado maior do triângulo é o que está colado ao quadrado grande, o lado médio é o que tem o quadrado médio e o lado mais pequeno do triângulo é o que tem o quadrado mais pequeno colado”.

Figura 36- Demonstração do Teorema de Pitágoras no Pré-Escolar

Os alunos estavam a aprender o Teorema de Pitágoras sem o saberem. Ainda lhes disse que o lado maior do triângulo se chamava Hipotenusa, mas, claro está que deram uma grande risada e disseram: “ O quê?”. Tudo tem o seu tempo…

Em seguida as crianças deslocaram-se para as suas mesas de trabalho, onde puderam colorir uma representação da Demonstração do Teorema de Pitágoras do Leonardo da Vinci. Obtiveram-se trabalhos muito bonitos (Figura 37).

43 Figura 37- Trabalhos dos alunos do Pré-Escolar

Após a realização da atividade e fazendo uma pequena avaliação, é de realçar a prestação tão positiva destas crianças expostas a situações novas. A sua capacidade de argumentação, os seus discursos e as suas conclusões deixaram antever que é uma turma que “capta” facilmente a informação que a Educadora / Professora lhes transmite.

2. 1.º Ciclo do Ensino Básico

A tarefa realizada no 1.º Ciclo, foi idêntica à realizada no Pré-Escolar. Pedi a colaboração no dia 23 de julho, a 14 alunos que estavam a frequentar as férias desportivas “Macedo Mexe”, promovidas pela Câmara Municipal de Macedo de Cavaleiros. Foi solicitado aos alunos que se organizassem em grupos. Rapidamente as meninas juntaram-se num grupo de cinco elementos e os rapazes dividiram-se conforme as suas amizades. O Grupo 1, constituído por quatro elementos (um do 4.º ano, dois do 3.º ano e um do 2.º ano); o Grupo 2 com cinco elementos (um de 3.º ano, dois de 2.º ano e dois de 1.º ano) e por último o Grupo 3 formado por cinco elementos (quatro de 3.º ano e um de 2.º ano). A cada grupo foi fornecido um conjunto de três quadrados de dimensões e cores diferentes e um triângulo retângulo. Todos os elementos, sem exceção, conseguiram identificar as figuras geométricas, mas no momento de as caracterizar já se começou a verificar a diferença no nível de escolaridade que frequentam. O Grupo 1, constituído por rapazes, caracterizou-as corretamente, afirmando, o aluno de 4.º ano: “ um quadrado tem os lados todos iguais e quatro ângulos retos e o triângulo tem três lados e três ângulos.”. O grupo 2 apenas

44 respondeu “ o quadrado tem os lados todos iguais”. Foi solicitado aos grupos que ordenassem, por ordem crescente, os quadrados em relação à área. Todos os grupos souberam organizar os quadrados, mas verificou-se que no grupo 2 apenas o aluno de 3.º ano é que sabia a noção de área. Após a explicação de área, dada no Pré-Escolar, os restantes alunos do grupo entenderam o que era pedido e ordenaram, com satisfação os quadrados. De seguida foi colocada a questão: “ E em relação ao triângulo, algum grupo sabe classifica-lo em relação ao comprimento dos lados?”. Uma menina do grupo 3 respondeu de imediato: “ temos que medir os lados e só depois é que podemos classificar”, já um aluno do grupo 1, contra argumentou: “ não é necessário, basta olhar para ele e vemos perfeitamente que o triângulo é escaleno, tem os três lados diferentes e mais, professora tem um ângulo reto, logo é retângulo!”. Alguns alunos, menos confiantes, utilizaram a régua para classificarem o triângulo, chegando à conclusão que era escaleno. Quase todos entenderam que se tratava de um triângulo retângulo, mas não abordaram o conceito, uma vez que a classificação dos triângulos em relação à amplitude dos ângulos internos só é dada no 5.º ano de escolaridade.

Após a caracterização das figuras geométricas, os alunos foram questionados sobre uma possível hipótese de estabelecer a correspondência entre os lados dos quadrados e os lados do triângulo. Todos os grupos refletiram e depois de várias tentativas o grupo 1 foi o primeiro a terminar, seguido, em simultâneo, pelos dois outros grupos. Foi com facilidade que estabeleceram a correspondência entre os lados. (Figura 38)

Figura 38- Demonstração do Teorema de Pitágoras no 1º Ciclo

Foi-lhes ainda pedido uma pequena conclusão do que acabaram de observar. Mais uma vez, o aluno do 4.º ano do grupo 1 colocou o braço no ar e respondeu: “ Nós concluímos que o lado maior do triângulo corresponde ao lado do quadrado de maior área; o lado menor do

45 triângulo corresponde ao lado do quadrado de menor área e por último o outro lado do triângulo, corresponde ao outro quadrado.”.

Esclareci-os que acabaram de colocar em prática um teorema muito importante que irão dar no 8.º ano, o Teorema de Pitágoras, mas pode ser já abordado nestas idades através de puzzles, Tangrams, Geoplanos, entre outros.

Foram distribuídos folhas com a demonstração do teorema de Pitágoras para serem coloridas da forma que quisessem. Os trabalhos finais estão expostos na figura abaixo.

Figura 39- Trabalhos dos alunos do 1º Ciclo

3. 2.º Ciclo do Ensino Básico

A atividade desenvolvida no 2.º Ciclo foi realizada no dia 14 de maio de 2015, na minha turma de 5.º ano do Colégio Ultramarino de Nossa Senhora da Paz, em Chacim- Macedo de Cavaleiros. É uma turma constituída por 26 alunos, com idades compreendidas entre os 9 e os 11 anos. São alunos bastante participativos, empenhados e trabalhadores, demonstrando uma grande abertura para novos desafios.

Os alunos foram divididos em cinco grupos, ficando um grupo com seis elementos e os outros quatro com cinco. A cada um dos grupos foram distribuídos dois Tangrams e um triângulo isósceles retângulo em cartolina, (Figura 40). Procedemos à caracterização de todas as figuras geométricas que constituem o Tangram, aproveitando assim para rever conteúdos já lecionados.

46 Figura 40- Material fornecido aos alunos

A maioria dos alunos já tinha manuseado o Tangram durante o 1.º Ciclo e apenas um grupo restrito é que estava a ter contacto pela primeira vez com este material didático.

Foi pedido aos alunos que construíssem quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa do triângulo isósceles retângulo, utilizando todas as peças dos dois Tangrams.

No início, todos os alunos se mostravam confusos com o manuseamento das peças, não sabendo como as colocar para formar os quadrados. Apenas um grupo verificou que o lado da hipotenusa do triângulo em papel era igual ao quadrado formado pelo Tangram e começou a distribuir as peças do outro Tangram pelos catetos. Os restantes grupos, não tão perspicazes, tentavam colocar peças, tirar peças, rodar peças, dizendo “é impossível”. A experimentação ainda durou algum tempo, até que por fim todos os grupos construíram corretamente os quadrados sobre os lados do triângulo.

47 Figura 41- Várias tentativas

Posteriormente, foi-lhes pedido que refletissem um pouco sobre o que acabaram de construir e que tirassem alguma conclusão. Após um pequeno debate dentro dos próprios grupos, os alunos começaram a expor as suas conclusões. Todos os grupos chegaram à conclusão que “o quadrado construído sobre a hipotenusa é um Tangram completo” e ainda “as peças utilizadas nos outros dois quadrados formam um Tangram”. Concordei com as afirmações e apenas sugeri que tirassem as conclusões em termos de áreas obtidas. Facilmente afirmaram “a soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos deste triângulo é igual à área do quadrado, construída sobre a hipotenusa” (Figura 42).

48 Assim, de forma dinâmica e lúdica, os alunos demonstraram o Teorema de Pitágoras sem ainda terem qualquer conhecimento acerca do teorema.

4. 3.º Ciclo do Ensino Básico

No 3.º Ciclo optei por realizar uma atividade que envolvesse a validação do Teorema de Pitágoras utilizando Dobras e Recortes5.

Para a sua realização, tive a colaboração de 12 jovens que frequentaram, neste ano letivo 2014/2015, o 7.º, 8.º e 9.º anos. A atividade, realizada na Biblioteca Municipal de Macedo de Cavaleiros, teve início à hora marcada e é de louvar a participação e colaboração destes jovens, que perderam uma tarde de férias, para se dedicarem de livre vontade a esta atividade.

O grupo era constituído por três alunos de 9.º ano, seis alunos de 8.º ano e três alunas de 7.º ano. Foi-lhes pedido que levassem tesoura, lápis, régua e borracha. Para as alunas de 7.º ano, a realização da atividade iria ser uma novidade uma vez que ainda não abordaram o teorema. Para os restantes jovens, notou-se um ligeiro sorriso e alívio quando souberam o que iriam fazer e qual o tema.

A atividade tinha como objetivo mostrar que partindo de um quadrado é possível dividi- lo em três peças, que reorganizadas formam dois quadrados novos. Assim, podemos comprovar a veracidade do Teorema de Pitágoras recorrendo a métodos intuitivos e não dedutivos, estimulando a compreensão dos alunos através da visualização.

A demonstração foi feita individualmente pelos alunos mas sempre orientados.

Foi fornecido a cada aluno uma folha branca, em papel com a forma de um quadrado (Figura 43). Foi-lhes pedido que atribuíssem a letra a como medida de cada lado, respondendo de imediato: “Então a área é .” Posteriormente, foi solicitado que escolhessem um vértice e, a partir dele, fizessem uma dobra de modo a formar um triângulo qualquer. Em seguida, dobraram

49 novamente para formar um segundo triângulo, partindo do vértice onde se encontra o ângulo reto do primeiro triângulo, de modo que a dobra anterior coincida com a segunda dobra. (Figura 44)

Figura 43 - Quadrado inicial Figura 44 - Construção dos triângulos

Seguidamente foi-lhes solicitado que fizessem uma terceira dobra, partindo do vértice reto do segundo triângulo até tocar na dobra anterior.

Concluída a primeira parte das dobragens, foi-lhes solicitado que cortassem as figuras de modo a obterem dois triângulos semelhantes (Figura 45). Foi atribuída a letra b para a medida do lado menor dos triângulos retângulos, a letra a para a hipotenusa (atribuída no inicio ao lado do quadrado) e a letra c para o restante lado do triângulo.

Figura 45 - Recorte dos triângulos semelhantes

Após todos os alunos recortarem os triângulos retângulos, foi-lhes pedido que dispusessem os triângulos na posição adequada de forma a obter dois quadrados de área diferentes, situados um ao lado do outro, mais pequenos que o quadrado inicial.

50 Depois de várias as tentativas (Figura 46), conseguiram terminar a atividade corretamente (Figura. 47).

Os alunos não queriam acreditar no que estavam a observar, dizendo mesmo: “ é magia!”; “Como é possível? O quadrado aumentou!”. Confrontados com o que acabaram de observar, uma aluna de 8.º ano afirmou: “ Obtivemos dois quadrados com áreas diferentes, mas as duas áreas juntas dão a área do quadrado inicial!”. Os alunos ficaram surpreendidos, pois verificaram que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos dois quadrados formados pelo quadrado maior (Figura 48). Um aluno de 9.º acrescentou: “Então, assim se conclui a fórmula para o Teorema de Pitágoras : .”

Figura 47 - Confirmação do Teorema de Pitágoras pelos alunos Figura 46 - Várias tentativas para a validação do teorema de Pitágoras

51 Figura 48 - Demonstração do Teorema de Pitágoras por Dobragem e Corte

As alunas de 7.º ano foram as que, ao longo da atividade, tiveram maior dificuldade em cumprir os procedimentos, no entanto, com ajuda, conseguiram chegar ao fim da atividade com êxito. Todos os alunos demonstraram bastante interesse, curiosidade e disponibilidade para aprender.

É muito gratificante olhar para o entusiasmo destes jovens após assimilarem este conteúdo por experimentação, chegando mesmo alguns a afirmar: “agora sim, percebi o teorema, era assim que deveria ser dado!”.

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Conclusão

O conhecimento matemático construído de forma prazerosa favorece ao aluno a estruturação do pensamento, desenvolvimento do raciocínio lógico e a capacidade expressiva.

Neste trabalho, foram apresentadas quatro tarefas diferentes realizadas por alunos do Pré- Escolar e Ensino Básico. Todas elas envolveram o aluno de forma a se sentir encorajado a refletir, sem medo de aprender a pensar, a explorar e a descobrir. Em todas as atividades experimentais, os alunos conseguiram chegar ao final da tarefa proposta. Apesar de este relatório final de estágio ser destinado ao Ensino da Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e Secundário, não pude deixar de fazer uma análise de como pode ser “abordado” o Teorema de Pitágoras no Pré-Escolar, 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico. Os resultados foram surpreendentes, como relatados no capítulo III.

A atividade experimental realizada com alunos do 3.º Ciclo, é a prova que a demonstração do Teorema de Pitágoras através da manipulação e experimentação de objetos geométricos, se torna mais interessante para os alunos, facilitando assim a sua compreensão. São eles próprios a comprovar o teorema.

Como já foi referido anteriormente, a atividade experimental da demonstração por semelhança de triângulos no Ensino Secundário não foi desenvolvida, contudo, no decorrer do estágio que realizei na turma de 10.º ano, pude observar a correta aplicação do teorema, como cálculo auxiliar de inúmeros exercícios.

O fascínio por este Teorema, permitiu-me aprofundar os meus conhecimentos científicos e refletir sobre o seu ensino e a sua aprendizagem nos diferentes níveis de ensino.

Este trabalho é fruto de um longo caminho, revelou-se uma experiência enriquecedora que me valorizou a nível pessoal e profissional.

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Anexo I- Aulas de 7.º Ano