Um olhar sobre o Teorema de Pitágoras

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Um olhar sobre o Teorema de Pitágoras

Relatório Final de Estágio em

Ensino da Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e Secundário

Ana Luísa Sardinha Cabeceiro Almendra

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Um olhar sobre o Teorema de Pitágoras

Relatório Final de Estágio em Ensino da Matemática no 3.º

Ciclo do Ensino Básico e Secundário

Ana Luísa Sardinha Cabeceiro Almendra

Orientadora: Professora Doutora Ana Paula Florêncio Aires

Composição do Jurí:

_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________

I Relatório Final, correspondente ao estágio de natureza profissional/prática de ensino supervisionada, elaborado para a obtenção do grau de mestre em Ensino da Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e Secundário, de acordo com o Decretos-Lei nº74/2006 (com as alterações introduzidas pelo Decreto-Lei n.º 107/2008, de 25 de junho), o Decreto-Lei n.º 24 de março e n.º 43/2007 de 22 de fevereiro, bem como o Regulamento n.º470/2011, de 27 de julho, na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.

II

"A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. 0 primeiro, pode ser comparado a uma medida de ouro; ao segundo podemos chamar joia preciosa"

Kepler

III

Agradecimentos

Foram muitas as pessoas que durante este percurso contribuíram, de alguma forma, para a concretização deste trabalho.

Ao Professor Doutor Joaquim Escola, por toda a dedicação e apoio.

À Professora Doutora Ana Paula Florêncio Aires, não só pela orientação deste trabalho, como por toda a disponibilidade, apoio, dedicação, simpatia e encorajamento que me transmitiu ao longo deste longo processo.

À Professora Cooperante Maria Cândida Brás pela amizade, confiança, dedicação e partilha de conhecimentos.

Aos meus quatro colegas de curso, por todo o apoio, amizade, companheirismo e persistência.

Aos meus colegas de trabalho: Ângela, Maria e Ricardo, por toda a vossa amizade e companheirismo.

À minha amiga Raquel, pela paciência que demonstrou ter sempre comigo.

E em especial, à minha família que partilharam comigo todos os bons e maus momentos, pelo seu amor, encorajamento e disponibilidade. Em particular, aos meus pais pelo apoio incondicional, ao meu marido, pela paciência e compreensão e claro, às minhas duas filhas, pela falta de paciência e pelo tempo que não passamos juntas.

A todos, o meu muito, obrigada.

IV

Resumo

Os conteúdos relacionados com Geometria, exigem do aluno um elevado nível de concentração e de raciocínio, para além de estimular esse interesse pela descoberta ao explorar e utilizar variados recursos pedagógicos.

Neste trabalho, propusemo-nos fazer uma exploração do Teorema de Pitágoras e apresentar diferentes abordagens deste conteúdo no ensino Pré-Escolar e Básico, assente em atividades experimentais e de acordo com as Orientações Curriculares para a Educação Pré-Escolar e o Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico.

Todas as atividades experimentais realizadas, tiveram como base: a demonstração do teorema de Pitágoras efetuada por Leonardo da Vinci, utilizada no Pré-Escolar e 1.º Ciclo do Ensino Básico; o uso do Tangram no 2.º Ciclo do Ensino Básico e a demonstração por Dobragem e Corte realizada no 3.º Ciclo do Ensino Básico.

Palavras-chave: Teorema de Pitágoras; Programa e Metas Curriculares de Matemática no Ensino Básico; Atividades experimentais.

V

Abstract

The contents concerning Geometry demand from students a high degree of focus and reasoning, in addition to stimulating the interest for discovery by exploring and using various pedagogical resources.

In this work, we set out to explore the Pythagorean Theorem and to present an approach of such content in the Pre-school and Basic Education, based on experimental activities in accordance to the Curricular Orientations for the Education in Pre-School and to the Curricular Program and Goals for Mathematics in Basic Education

All the conducted experimental activities were based on: the Leonardo da Vinci’s demonstration for the Pre-school and First Level, the Tangram for the Second Level and the Folding and Cutting for the Third Level.

Keywords: Pythagorean Theorem, Curricular Program and Goals for Mathematics in Basic Education, Experimental Activities.

VI

Índice

Índice de Gráficos... VIII Índice de Figuras ... IX

Introdução ... 1

CAPÍTULO I – Enquadramento Histórico e Curricular do Teorema de Pitágoras ... 3

1. Origem histórica do Teorema de Pitágoras ... 3

1.1. Um teorema explorado por muitos ... 3

1.2. Pitágoras da Ilha de Samos ... 5

1.3. Pitágoras e a criação do Teorema ... 8

2. Algumas Demonstrações do Teorema de Pitágoras ... 11

2.1. Demonstração de Leonardo da Vinci ... 11

2.2. Demonstração por Dobragem e Corte ... 16

2.3. Demonstração por Semelhança de Triângulos ... 20

3. O Teorema de Pitágoras no Ensino: Orientações e Programas Curriculares ... 22

CAPÍTULO II – Prática de Ensino Supervisionada ... 32

1. Caracterização da Escola ... 32

2. Caracterização das turmas ... 33

3. Atividades desenvolvidas na Prática de Ensino Supervisionada ... 37

CAPÍTULO III – Uma Experiência de Ensino no Pré-Escolar e Ensino Básico ... 40

1. Pré-escolar ... 40

2. 1.º Ciclo do Ensino Básico ... 43

3. 2.º Ciclo do Ensino Básico ... 45

4. 3.º Ciclo do Ensino Básico ... 48

VII

Bibliografia ... 53

WebBibliografia ... 55

Anexos ... 56

Anexo I- Aulas de 7.º Ano... 57

Dia 28-01-2014: ... 57

Plano de aula n.º 1 ... 57

Ficha de trabalho n.º 1 ... 57

PowerPoint n.º1 ... 57

Plano de Aula n.º 1- Sucessões ... 58

Plano de aula n.º 2 ... 63

Ficha de trabalho n.º 2 ... 63

PowerPoint n.º2 ... 63

Anexo II- Aulas de 10.º Ano ... 70

Plano de aula n.º 3 ... 70

Ficha de trabalho n.º 3 ... 70

PowerPoint n.º3 ... 70

Plano de aula n.º 4 ... 76

VIII

Índice de Gráficos

Gráfico 1- Disciplinas Preferidas dos Alunos 7.ºA ... 33

Gráfico 2- Disciplinas com Maior Dificuldades dos Alunos do 7.ºA ... 34

Gráfico 3- Habilitações Literárias dos Pais dos Alunos do 7.ºA ... 34

Gráfico 4- Disciplinas Preferidas dos Alunos 10.º A ... 35

Gráfico 5- Disciplinas com Maior Dificuldade dos Alunos 10.ºA ... 35

IX

Índice de Figuras

Fonte :https://books.google.pt/books?hl=pt-PT&lr=&id=Z5VoBGy3AoAC&oi=fnd&pg=PR9&dq=pythagorean+theorem&ots=SKKlAjyLfV&sig=r9n du4YEbnKeiJ-DNrzeaeONg-s#v=onepage&q=pythagorean%20theorem&f=false Figura 3- Retrato de Pitágoras ... 6

Fonte: http://caosnosistema.com/pitagoras-reencarnacao-numero/ Figura 4- Medição da pirâmide de Quéops por Tales de Mileto ... 7

Fonte:http://matematicaferafacitec.blogspot.pt/2011/08/tales-de-mileto-piramide-e-o-teorema.html Figura 5- Prova Euclidiana do Teorema de Pitágoras ... 9

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem Figura 6- Corda utilizada pelos arquitetos egípcios para medir ângulos... 9

Fonte:https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96613/Fernando.pdf?sequence=1 Figura 7- Demonstração do Teorema de Pitágoras por Leonardo da Vinci ... 11

Figura 8 - Triângulos congruentes ... 12

Figura 9 – Quadriláteros... 13

Figura 10- Hexágonos... 14

Figura 11- Soma das áreas menores é igual à área do quadrado maior ... 15

Figura 12- Dois quadrados congruentes ... 16

Figura 13 - Primeira dobra ... 16

Figura 14 - Segunda dobra ... 17

Figura 15- Terceira Dobra ... 17

Figura 16- Medidas definidas pelas dobras... 18

Figura 17- Os dois triângulos a cortar ... 18

Figura 18- Nova disposição dos elementos da figura ... 19 Figura 19- Área do quadrado maior igual à soma das área dos quadrados menores 19

X

Figura 20- Divisão do triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes ... 20

Figura 21- Triângulos retângulos semelhantes com lados anotados... 20

Figura 22- Tangram ... 22

Figura 23- Exemplo de figuras construídas com o Tangram ... 23

Figura 24- Demonstração do Teorema de Pitágoras com Tangram ... 23

Figura 25 - Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico no domínio da Geometria e Medida GM8- Teorema de Pitágoras ... 25

Figura 26- Descritor 1.1 do Teorema de Pitágoras ... 26

Figura 27- Descritor 1.2 do Teorema de Pitágoras ... 27

Figura 28- Descritor 1.3 do Teorema de Pitágoras ... 27

Figura 29 - Triângulo retângulo ... 28

Figura 30 - Dedução Fórmula Fundamental Trigonometria pelo Teorema de Pitágoras ... 28

Figura 31 - Determinação da componente horizontal de um vetor ... 29

Figura 32 - Cálculo da equação do plano de interseção pelo Teorema de Pitágoras . 29 Figura 33 - Cálculo da tangente de alfa pelo Teorema de Pitágoras ... 30

Figura 34- Secções no Cubo ... 38

Figura 35- Quadrados ordenados ... 41

Figura 36- Demonstração do Teorema de Pitágoras no Pré-Escolar ... 42

Figura 37- Trabalhos dos alunos do Pré-Escolar ... 43

Figura 38- Demonstração do Teorema de Pitágoras no 1.º Ciclo ... 44

Figura 39- Trabalhos dos alunos do 1.º Ciclo ... 45

Figura 40- Material fornecido aos alunos ... 46

Figura 41- Várias tentativas ... 47

Figura 42-Construção final ... 47

Figura 43 - Quadrado inicial ... 49

Figura 44 - Construção dos triângulos ... 49

Figura 45 - Recorte dos triângulos semelhantes ... 49

Figura 46 - Várias tentativas para a validação do teorema de Pitágoras ... 50

Figura 47 - Confirmação do Teorema de Pitágoras pelos alunos ... 50

1

Introdução

“A Caminho de Siracusa disse Pitágoras a seus netos: o quadrado da hipotenusa é igual

à soma dos quadrados dos catetos”.

Foi com esta mnemónica que muitos estudantes, incluindo-me, aprenderam a fórmula do Teorema de Pitágoras. É, muito provavelmente, o teorema matemático mais conhecido. A simplicidade do resultado torna-o de fácil memorização e aplicação, sendo apresentado de diversas formas, ao longo dos vários níveis de ensino.

Com este trabalho, procurou-se fazer um estudo sobre o Teorema a nível histórico, uma vez, que já era do conhecimento de alguns matemáticos filósofos da Grécia Antiga, que o teorema só se aplicava a um só tipo de triângulos. Mas atribui-se a Pitágoras a descoberta, uma vez que foi ele o primeiro a conseguir prová-lo. Vai-se também estudar o impacto do teorema de Pitágoras nos diferentes níveis de ensino, fazendo-se referência a várias partes do Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico.

Para a demonstração da aplicabilidade do Teorema de Pitágoras nos diferentes níveis de ensino, foram realizados trabalhos experimentais com alunos do Pré-Escolar e do Ensino Básico. O trabalho está dividido em três capítulos. No primeiro capítulo, apresentamos uma breve referência à Origem Histórica do Teorema de Pitágoras seguida de três demonstrações utilizadas para o desenvolvimento do nosso trabalho experimental. No término deste capítulo, é levada a cabo uma pequena análise do teorema no Ensino da Matemática em Portugal.

No segundo capítulo é feita uma descrição de toda a atividade desenvolvida durante a Prática de Ensino Supervisionada no 3.º Ciclo do Ensino Básico e Secundário.

O terceiro capítulo, relata os trabalhos experimentais realizados com os alunos do Pré-Escolar e Ensino Básico.

É de referir que este trabalho experimental não foi executado durante o ano de estágio (2013-2014), o que implica que as atividades experimentais tenham sido realizadas com alunos a

2 frequentar Atividades de Tempos Livres (A.T.L) e dois colégios privados, o Colégio Ultramarino Nossa Senhora da Paz e o Centro Social Nossa Senhora de Fátima.

3

CAPÍTULO

I

– Enquadramento Histórico e

Curricular do Teorema de Pitágoras

1. Origem histórica do Teorema de Pitágoras

1.1. Um teorema explorado por muitos

O Teorema de Pitágoras é conhecido por vários nomes, desde o mais genérico e referencial Euclides I 47, até ao mais comum Teorema da Hipotenusa ou de Pitágoras. A sua origem foi atribuída a Pitágoras, há mais de 2500 anos, ainda que essa versão seja puramente geométrica e sem qualquer ligação à expressão algébrica que se vulgarizou na matemática moderna (cerca de 1600 d.C.), presente em várias fases de ensino e aprendizagem.

Na realidade, é aceite como facto que o teorema em si seja mais antigo que Pitágoras (cerca de 500 a.C.), existindo numerosas referências, do mesmo, anteriores à Grécia Antiga. No entanto, é atribuída a Pitágoras a primeira prova formal do teorema, seguindo uma abordagem geométrica “Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos

quadrados dos catetos”. Obviamente que este é o enunciado mais conhecido e mais repetido

pelos nossos alunos, mas muito pouco rigoroso em termos de linguagem matemática. De facto, quando dizemos que “num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”, queremos dizer, matematicamente, que num triângulo retângulo o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos. Isto é, dado um triângulo retângulo de medida de comprimento da hipotenusa c e medidas de comprimento dos catetos a e b, respetivamente, então tem-se

Outras civilizações, como a Babilónia, Mesopotâmia, China e Índia, descobriram e provaram o teorema de forma independente, ainda que com aplicações diferentes.

4 Talvez o mais interessante artefacto ligado ao teorema de Pitágoras seja a placa Babilónica YBC 7289 (Figura 1), placa 7298 da Coleção da Babilónia da Universidade de Yale, cuja data precede Pitágoras em mais de 1000 anos (1800 a.C. – 1600 a.C.), e que ilustra o teorema de Pitágoras aplicado à diagonal de um quadrado.

Figura 1-YBC 7298

Considerando que os Babilónios usavam um sistema numérico de base 60, o que torna difícil a interpretação e explicação da imagem é a sua escrita. Foi longo o processo de descodificação das inscrições no lado do quadrado, bem como na diagonal. A realidade é que a placa não só calcula a diagonal para um quadrado de lado 30, como também o generaliza para todos os quadrados possíveis (Figura 2). Ou seja, os Babilónios conseguiram calcular com uma precisão incrível (até à sexta casa decimal: 1,414213), e a placa propõe multiplicar o lado do quadrado por para obter a sua diagonal.

Figura 2- Diagonal de um quadrado de lado a.

5 Podemos assim dizer que os Babilónias conheciam a aplicação do Teorema de Pitágoras, aplicado à diagonal de um quadrado. Mais relevante é talvez a descoberta da placa Plimpton 322 (placa 322 na coleção G. A. Plimpton da Universidade de Colômbia) que lista em coluna ternos de Pitágoras, relacionados pela expressão , e remete a uma exploração do teorema aplicada à Trigonometria, mas dado tratar-se de uma placa incompleta, as conclusões sobre a mesma continuam pendentes. Em ambos os casos, não resta dúvida que o Teorema de Pitágoras era não só do conhecimento dos Babilónios, mas também um objeto de estudo e exploração.

Pensa-se que os Mesopotâmios e os Egípcios (2500 a.C.) também tenham utilizado e aplicado o teorema de Pitágoras, no entanto e ao contrário dos Babilónios, a sua história não foi gravada em pedra e portanto muito poderá ser ter perdido e degradado com o passar dos milénios.

1.2. Pitágoras da Ilha de Samos

A Grécia Antiga, cuja origem se conta em cerca de 2000 a.C., foi uma civilização nascida no Mediterrâneo, e juntou tribos nómadas indo-europeias. Inicialmente bastante diversificada, é a criação das cidades estado no século VIII a.C. que revoluciona a sua existência e permitiu o nascer do império.

As inovações políticas dos Gregos são notáveis e consideradas o berço da Democracia, mas na realidade a política era apenas uma das ciências veneradas pelos Gregos. Igualmente importantes e consideradas nobres, com estatuto quase divino, eram a música, a filosofia, a religião e as artes militares.

Pitágoras, filósofo e matemático, nasceu na ilha de Samos (cerca 570 a.C.), no mar Egeu, e teve acesso a uma educação privilegiada e diversificada, graças ao seu pai, um joalheiro rico que financiou os seus estudos e explorações. Não existe uma imagem fidedigna de Pitágoras, mas as descrições ilustram um homem magro e alto, com longa barba (Figura 3) e possuidor de uma voz carismática e marcante. Será talvez esta a característica que mais dificulta o estudo dos seus ensinamentos dado que transmitia os seu conhecimentos oralmente, e não deixou obra escrita de relevância.

6

Figura 3- Retrato de Pitágoras

Foi discípulo de grandes mestres, filósofos e matemáticos, tendo começado o seu desenvolvimento intelectual na sua terra natal com o Mestre Hermodamas de Samos considerado um Sábio na ilha. Mais tarde, tornou-se discípulo de Ferécides de Siro1, um autodidata da ilha de Siro, dedicado ao estudo da teologia e com conhecimentos do Oriente, e que transmitiu a Pitágoras ensinamentos sobre reencarnação e a imortalidade da alma. Daí seguiu para a ilha de Creta, tendo frequentado a caverna de Ida, em Cnossos, um lugar considerado místico onde Epimênides, filósofo, curandeiro e profeta, lhe terá transmitido os seus ensinamentos sagrados, focados na família e ordem social.

Mas terá sido apenas com Tales de Mileto2 (624 a.C. – 546 a.C.), o primeiro filósofo oriental de que se tem memória que Pitágoras se virou verdadeiramente para a Geometria. Nenhuma obra de Tales foi encontrada, mas relatos de filósofos seus contemporâneos, como Aristóteles3 e Simplício4, descrevem-no um homem dedicado ao poder do conhecimento.

De maior relevância para a influência que teve sobre Pitágoras foi certamente a longa viagem de Tales ao Egipto. Tales, terá medido a altura da pirâmide de Quéops apenas com a

1 _{Ferécides de Siro era um filósofo grego, pré-socrático, nascido em Siro, Grécia. Descrito por Aristóteles como}

teólogo que misturava filosofia e mitologia. Faleceu no ano 520 a.C..

2 _{Tales de Mileto foi um filósofo, matemático, engenheiro, homem de negócios e astrónomo da Grécia Antiga} 3

Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) filósofo grego, aluno de Platão e professor de Alexandre o Grande.

7 ajuda de um bastão de madeira e da sombra projetada da pirâmide (Figura 4). Terá sido estes conhecimentos, entre outros de Geometria, que Tales aprendeu no Egipto e introduziu na Grécia.

Figura 4- Medição da pirâmide de Quéops por Tales de Mileto.

Foi após a aprendizagem com Tales que Pitágoras iniciou uma viagem em busca de conhecimento sobre o mundo e o universo. Por carta de recomendação de Polícrates, soberano de Samos, Pitágoras chegou ao Egipto onde permaneceu cerca de 20 anos a estudar com os sacerdotes de Mênfis.

Após a invasão do Egipto pelos Persas, Pitágoras tornou-se prisioneiro de guerra, mas tal serviu apenas para o levar para a Babilónia, onde encontrou novas culturas, e diferentes filosofias como o Kabbalahdos Hebréus e o Zoroastrismo teológico dos Persas. Regressou à Grécia já com mais de 56 anos, mas sentindo-se perseguido rumou a Itália onde verdadeiramente viria a construir o seu legado.

Não é surpreendente, portanto, que Pitágoras tenha começado com um objetivo de reformar a religião, introduzindo o raciocínio lógico. Acreditava no Karma e na Reencarnação, ou mais particularmente, na metempsicose ou transmigração da alma. E foi na pesquisa da origem de todas as coisas, originalmente teológica, que encontrou os números.

Em Itália, cerca 532 a.C., formou a Escola Pitagórica em Crotona, uma colónia grega. Aí dedicou-se ao ensino da Filosofia e Matemática, onde os números tomaram uma vertente quase

8 mística, venerativa. Pitágoras considerava que, visto ser possível regular o funcionamento das coisas por equações matemáticas, então seria de esperar que os números fossem a essência de todas as coisas.

Pensa-se que Pitágoras terá falecido entre 510 a.C. e 480 a.C., sendo impossível concluir as circunstâncias da sua morte. Alguns afirmam que sucumbiu juntamente com os seus discípulos no incêndio do seu Instituto, ateado pelos Democratas que a ele se opunham, outros que terá escapado e continuado a liderar a sociedade Pitagórica, que continuou na clandestinidade até finalmente ser aniquilada durante o massacre do Metaponto em 496 a.C..

1.3. Pitágoras e a criação do Teorema

A prova do teorema feita por Pitágoras é obtida por mera troca de posição dos triângulos (Figura 5), tratando-se de uma prova geométrica e não algébrica. De facto, a prova algébrica nem sequer foi tentada pela superstição dos Gregos Antigos com números e a sua significância. A descoberta da irracionalidade de √2 levou a atrasos milenares, dada a relutância de trabalhar com tais números.

Pitágoras terá recorrido a uma figura semelhante à ilustrada na Figura 5. Como se pode observar o quadrado da esquerda é constituído por quatro triângulos congruentes, com catetos a e

b, respetivamente, e hipotenusa c. Os triângulos delimitam no centro, um outro quadrado de lado c, e área c2, representado a branco.

Observou que se retirasse os quatro triângulos e os agrupasse dois a dois como ilustrado no quadrado à direita, obtinha dois quadrados de lado a e b, respetivamente, mais pequenos que o de lado c, mas cuja área total seria igual a c2, representada a branco. Daí conclui que a soma das áreas dos quadrados menores é equivalente à área do quadrado maior, ou seja, , e o teorema fica provado.

9 Figura 5- Prova Euclidiana do Teorema de Pitágoras

São obscuras as referências e relatos de quando e como exatamente Pitágoras formulou a sua prova, até porque ao regressar do Egipto, à sua terra natal de Samos, deparou-se com um ambiente político hostil, acabando por formar a sua escola Pitagórica apenas quando abandonou a cidade e rumou a Itália. O facto de a maioria dos registos ter sido feita em papiro, extremamente suscetível à degradação, conduziu a relatos contraditórios e difíceis de interpretar.

Atualmente, pensa-se que Pitágoras terá encontrado inspiração para a prova geométrica na sua viagem ao Egipto onde estudou as pirâmides. Os Egípcios utilizavam nós marcados em corda com intervalos regulares (Figura 6), nomeadamente com as medidas 3, 4, e 5, o que constitui um terno de Pitágoras, especificando os catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Estas medidas eram utilizadas para construir ângulos.

10 Independentemente dos relatos que tomemos como fidedignos, é atribuída a Pitágoras a prova geométrica do Teorema, de forma simples, mas brilhante. E foi na sua escola que nasceram as sementes da Geometria como a entendemos atualmente.

11

2. Algumas Demonstrações do Teorema de Pitágoras

São inúmeras as demonstrações do Teorema de Pitágoras, essencialmente divididas em geométricas e algébricas. Não é objetivo deste relatório proceder-se a um estudo exaustivo dessas demonstrações, mas antes, focar-nos nas que podem ser abordadas com crianças de diferentes faixas etárias, e em diferentes níveis de ensino.

2.1. Demonstração de Leonardo da Vinci

A demonstração do teorema elaborada por Leonardo da Vinci baseia-se na construção e medida de áreas, sendo portanto uma demonstração geométrica. Assenta numa figura geométrica obtida a partir de um triângulo retângulo, (Figura 7).

12 Com esta demonstração, Leonardo da Vinci pretende provar que os quadriláteros [ ] [ ] [ ] [ ] são congruentes. Mas como se prova que são realmente congruentes? Seguidamente, procedemos a esse estudo.

1. Os [ ] [ ] [ ] são congruentes;

A vermelho, assinalados na figura 8, estão os três triângulos congruentes, ou seja de igual área e dimensões.

13 2. Os quadriláteros [ ] [ ] [ ] [ ] são congruentes;

Na figura 9 encontram-se assinalados os quadriláteros acima indicados, respetivamente, a amarelo [ ], a vermelho [ ], a verde [ ] e a azul [ ]. Todos os quadriláteros apresentam dimensões e áreas iguais.

14 3. Os hexágonos [ ] [ ] têm a mesma área;

Na figura 10 estão assinalados os hexágonos indicados, respetivamente a azul [ ] e a vermelho[ ]. Os hexágonos apesar de não estarem na mesma posição, têm a mesma área, pois são formados por dois quadriláteros geometricamente iguais, como já mencionados anteriormente na demonstração 2.

15 4. A área do quadrado [ ] é igual à soma das áreas do quadrado [ ] e do quadrado [ ] Retirando dois triângulos, respetivamente, em cada um dos hexágonos, retira-se uma porção de área igual e portanto a área que resta será igual. Logo, a área do quadrado vermelho é igual à soma das áreas dos quadrados azul e verde. Fica provado que .

16

2.2. Demonstração por Dobragem e Corte

É possível demonstrar o teorema de Pitágoras por dobragem e corte de triângulos num quadrado, de uma forma semelhante à prova realizada por Pitágoras. Através do rearranjo de triângulos retângulos, e por comparação de áreas, prova-se geometricamente o teorema. De seguida apresentamos os vários passos que devem ser considerados para se obter a demonstração do teorema de Pitágoras por dobragem e corte.

1. Cortar duas folhas quadradas de papel, com a mesma dimensão. (Figura 12), conservar uma intacta e trabalhar com a outra.

Figura 12- Dois quadrados congruentes

2. Dobrar um triângulo a partir do vértice superior esquerdo, como ilustrado na Figura 13 usando apenas uma das folhas quadriculares.

17 3. Dobrar outro triângulo a partir do vértice inferior esquerdo de modo a alinhar com a

dobra anterior. (Figura 14)

Figura 14 - Segunda dobra

4. Dobrar um terceiro triângulo a partir do vértice inferior direito, novamente, alinhando com as dobras anteriores.

18 5. As marcas das dobras definem as medidas assinaladas na figura 16.

.

Figura 16- Medidas definidas pelas dobras

6. Cortar os dois triângulos congruentes delimitados pelas marcas de dobragem (Figura 17).

19 7. Proceder ao rearranjo dos triângulos e da secção truncada como ilustrado na figura 18.

Figura 18- Nova disposição dos elementos da figura

8. Colocar lado a lado com a folha quadrada preservada sem alterações, e concluir que efetivamente a área do quadrado inicial, a verde, é a soma das áreas dos dois quadrados obtidos por dobragem e corte, a vermelho e azul. Prova-se portanto o Teorema de Pitágoras, isto é, prova-se a relação .

20

2.3. Demonstração por Semelhança de Triângulos

A demonstração por semelhança de triângulos é analítica mas bastante simples. Baseia-se no facto de ser possível, a partir de um triângulo retângulo, obter dois triângulos semelhantes, como ilustrado na figura 20.

Figura 20- Divisão do triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes

Pelo critério de semelhança Ângulo (AA), os triângulos [ ] [ ] [ ], são semelhantes:

 [AD] é a altura do triângulo [ABC] relativamente à hipotenusa;  os três triângulos são retângulos: ̂ ̂ ̂

 as amplitudes dos ângulos agudos de cada um dos triângulos são – , respetivamente.

É possível desenhar os três triângulos com a mesma orientação e estabelecer algumas relações entre os lados correspondentes, de acordo com a figura 21.

21 1. Considerando os triângulos [ ] [ ]: ⇔ 2. Considerando os triângulos [ ] [ ]: ⇔ 3. Considerando o lado [CB]:

4. Multiplicando ambos os membros por a, e desenvolvendo, fica provado o Teorema de Pitágoras:

⇔ Substituindo (1) e (2)

22

3. O Teorema de Pitágoras no Ensino: Orientações e Programas

Curriculares

De acordo com o Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (Bivar, Grosso, Oliveira, & Timóteo, 2013) o Teorema de Pitágoras é lecionado, pela primeira vez, no 8.º ano de escolaridade. Mas este, ainda que implicitamente, está presente em todos os níveis de ensino, desde o Pré- Escolar até ao Secundário.

Seguidamente, vai ser feita uma pequena análise de onde podemos “encontrar” o Teorema de Pitágoras nos vários níveis de ensino em Portugal.

No Ensino Pré- Escolar, em todas as creches e infantários, encontramos variadíssimos materiais didáticos de construção que podem ser usados para trabalhar a matemática. Como nos é referido nas Orientações Curriculares para o Ensino Pré-Escolar:

“Nestes materiais de construção podem distinguir-se aqueles que dão uma grande liberdade de realização, sendo os mais habituais, cubos, “legos” e similares e os materiais que supõem uma utilização determinada. (…) Todos estes jogos são um recurso para a criança se relacionar com o espaço e que poderão fundamentar aprendizagens matemáticas, como por exemplo: comparação e nomeação de tamanhos e formas, designação de formas geométricas, distinção entre formas planas e em volume e ainda, comparação entre formas geométricas puras e objetos da vida corrente.(…) Há ainda outros materiais utilizados na educação pré-escolar que permitem desenvolver noções matemáticas (…) como o geoplano. ( Ministério da Educação, 1997, p.76).

Um dos materiais didáticos, mais utilizado para abordar conteúdos da Geometria é o Tangram (Figura 22).É um material construído normalmente em madeira, constituído por sete peças de diferentes formas e tamanhos (dois triângulos grandes, um médio e dois pequenos, um quadrado e um paralelogramo).

23 Um das tarefas que pode ser proposta às crianças desta faixa etária é, utilizando todas as peças sem nunca as sobrepor, construir figuras, como estas ilustradas na Figura 23.

Figura 23- Exemplo de figuras construídas com o Tangram

No 1.º Ciclo do Ensino Básico, o Tangram também é fundamental para dar os Domínios da Geometria, nomeadamente, as figuras geométricas, as áreas, medidas de comprimento, localização e orientação espacial.

Tanto no Pré-Escolar como no 1.ºCiclo, os educadores/professores, poderão realizar variadíssimos jogos com o Tangram. Um exemplo desses jogos é a demonstração do Teorema de Pitágoras. Através de um triângulo retângulo isósceles e dois Tangrams, os alunos conseguem formar quadrados cujos lados correspondem aos lados do triângulo. Os alunos aplicam assim o Teorema sem o saberem ( Figura 24).

24 Sem dúvida que realizar esta demonstração, no Pré-Escolar e no 1.º Ciclo, é uma tarefa bastante ambiciosa, visto que exige do aluno um grau de abstração, concentração e raciocinio bastante elevado.

No 2.º Ciclo do Ensino Básico, os alunos ainda não têm qualquer contacto com o Teorema. No entanto, em Geometria, são introduzidos novos conceitos e propriedades, envolvendo as noções de paralelismo e ângulo, com aplicações simples em polígonos. É neste nível de ensino, que os alunos aprendem: a construir triângulos dados os comprimentos de lados e/ou as amplitudes de ângulos interno; a classificar triângulos em relação ao comprimento dos lados e à amplitude dos ângulos internos; os critérios de igualdade de triângulos (Lado, Lado, Lado (LLL), Lado, Ângulo, Lado (LAL) e Ângulo, Lado, Ângulo (ALA)); a distinguir os lados de um triângulo retângulo como catetos e hipotenusa e a desigualdade triangular, fundamental para que se possa enunciar o Teorema de Pitágoras.

A este respeito é dito no Programa de Matemática

“Tratando-se de uma etapa indispensável ao estudo sério e rigoroso da Geometria nos Ciclos posteriores, os alunos deverão saber relacionar as diferentes propriedades estudadas com aquelas que já conhecem e que são pertinentes em cada situação. É também pedida aos alunos a realização de diversas tarefas que envolvem a utilização de instrumentos de medida e desenho (régua, esquadro, compasso e transferidor, programas de geometria dinâmica), sendo desejável que adquiram destreza na execução de construções rigorosas e reconheçam alguns dos resultados matemáticos por detrás dos diferentes procedimentos” ( Bivar, Grosso, Oliveira & Timóteo, 2013, p. 14).

É já no 3.º Ciclo do ensino Básico, mais propriamente no 8.º ano, que o Teorema de Pitágoras é enunciado. Embora em 2013 o Programa de Matemática do Ensino Básico tenha sido reformulado, o teorema continua a ser lecionado no mesmo ano, apenas sofreu uma alteração na ordem e no método de ensino. O novo programa defende que a aquisição dos conceitos, devem ser adquiridos mediante um processo de descoberta e de realização de tarefas experimentais, recorrendo aos mais diversos materiais, tais como o Programa Informático, Geogebra, quadros Interativos, entre outros. No Programa de Matemática para o Ensino Básico (2007), o Teorema de Pitágoras era lecionado após o estudo dos sólidos geométricos, figuras no plano e das relações de congruência. Atualmente, é lecionado após a Decomposição de um triângulo retângulo pela altura relativa à hipotenusa.

25 Na figura 25, podemos observar, no Domínio da Geometria e Medida do 8.º ano (GM8) o Subdomínio Teorema de Pitágoras. O Objetivo Geral é Relacionar o teorema de Pitágoras com a semelhança de triângulos e posteriormente, são apresentados os descritores 1.1, 1.2 e 1.3. ( Bivar, Grosso, Oliveira & Timóteo, Metas Curriculares do Ensino Básico, 2013, p .62).

Figura 25 - Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico no domínio da Geometria e Medida GM8- Teorema de Pitágoras

Os Caderno de Apoio para o 1.º, 2.º e 3.º Ciclos do Ensino Básico,, elaborados pela equipa do Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (Bivar, Grosso, Oliveira & Timóteo, 2013), implementado no ano letivo 2014/2015, incentivam a que os conceitos, os resultados e os métodos utilizados sejam adquiridos através de um processo de descoberta. Trata-se de um complemento ao documento Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico, que apresenta várias sugestões de exercícios, problemas e atividades, com propostas de resolução. Inclui também textos de apoio para os professores, de modo a esclarecer questões de índole científica que fundamentam os conteúdos a lecionar. É exatamente no Caderno de Apoio do 3.º Ciclo que se encontram os descritores com exemplos ilustrativos do Teorema de Pitágoras apresentados nas figuras seguintes (Figuras 26, 27, 28), (Bivar, Grosso, Oliveira & Timóteo, 2013, pp. 66-67).

26 Figura 26- Descritor 1.1 do Teorema de Pitágoras

27 Figura 27- Descritor 1.2 do Teorema de Pitágoras

28 A abordagem ao Teorema é, numa fase inicial, puramente geométrica (Figura 29) e, como tal, apenas se consideram valores positivos, associados a medidas dos lados do triângulo. Os alunos são instruídos a eliminarem sempre a solução negativa da equação de segundo grau resultante da aplicação do Teorema de Pitágoras:

Figura 29 - Triângulo retângulo

No 9.º ano é estabelecida a associação do Teorema de Pitágoras à Trigonometria, nomeadamente para a dedução da fórmula fundamental da Trigonometria (Figura 30).

Figura 30 - Dedução Fórmula Fundamental Trigonometria pelo Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras torna-se assim, uma ferramenta poderosa na Geometria de 10.º ano. Passa a ter perspetiva em três dimensões, obrigando a projeções e é frequente o cálculo secundário de expressões analíticas de esferas, círculos e vetores. É notória a dificuldade dos alunos conseguirem visualizar no espaço ficando presos ao triângulo no plano. Seria talvez vantajoso se houvesse uma maior coordenação/articulação entre os programas da disciplina de Educação Visual e Tecnológica e da disciplina de Matemática, de modo a que os alunos possam

29 adquirir a capacidade de desenhar em perspectiva, ganhando uma maior versatilidade nas representações espaciais.

É no 10.º ano que o Teorema passa a ser aplicado a coordenadas, tornando-se relevante o sinal, mas a maioria dos alunos tende a calcular o valor absoluto, transportando depois o sinal para a abcissa ou ordenada. Um exemplo comum é o da norma de um vetor, que corresponde ao Teorema de Pitágoras, mas em que os catetos são componentes do vetor, respetivamente horizontal e vertical, e cujo sinal define o sentido do vetor.

Figura 31 - Determinação da componente horizontal de um vetor

Na figura 32 apresenta-se um exemplo da aplicação do Teorema de Pitágoras na unidade de Geometria de 10.º ano.

30 É apenas no 11.º ano, com a introdução do círculo trigonométrico, que se apresenta uma visão mais alargada da Trigonometria e, consequentemente, do Teorema de Pitágoras. As soluções da equação de segundo grau, associadas ao Teorema de Pitágoras, passam a ter verdadeiramente dois valores correspondentes a quadrantes específicos, como podemos verificar no exemplo da figura 33.

Figura 33 - Cálculo da tangente de alfa pelo Teorema de Pitágoras

A Geometria passa a ter sinal, e medidas deixam de ser valores absolutos. Os cálculos vetoriais, como a fórmula do produto interno entre dois vetores, introduzem uma nova perspetiva sobre agudo e obtuso, paralelo e perpendicular. O que antes existia confinado a um quadrante, é agora apresentado como infinito, e os sinais antes meramente algébricos, passam a ter sentidos e significados geométricos.

31 E esta transição é deveras difícil para os alunos. Muitos esquecem a solução negativa da equação fundamental da Trigonometria, presos ainda ao conceito do lado sempre positivo, do cateto que não é ordenada nem abcissa. Lamentavelmente, são poucos os professores que insistem neste pormenor - não deixar cair o sinal de menos no teorema de Pitágoras-, criando-se assim hábitos difíceis de mudar em anos mais avançados.

No 12.º ano, com a introdução dos Números Complexos surge uma nova aplicação do Teorema de Pitágoras. Seja para cálculo de módulos, raízes ou deduções, na forma cartesiana ou trigonométrica, os complexos exigem uma mestria bastante elevada do Teorema de Pitágoras, pela própria natureza da sua representação vetorial em plano Complexo.

Espera-se que os alunos tenham adquirido ferramentas e uma visão alargada do Teorema de Pitágoras em anos anteriores, no entanto, por experiência observa-se que o salto do ensino Básico para o Secundário falha com frequência e fica aquém do desejável. Na grande maioria, os alunos compreendem o triângulo e o Teorema na sua forma elementar, mas não chegam verdadeiramente a assimilar as formas mais avançadas de aplicação deste Teorema.

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CAPÍTULO II – Prática de Ensino Supervisionada

1. Caracterização da Escola

A prática de ensino supervisionada foi realizada no Agrupamento Vertical de Escolas de Macedo de Cavaleiros, durante o ano letivo 2013/ 2014.

O Agrupamento Vertical de Escolas de Macedo de Cavaleiros, foi criado em julho de 2007. Abrange toda a área do concelho, de características predominantemente rurais. É formado por cinco jardins-de-infância, quatro escolas básicas do 1.º Ciclo (Polo 1 e Polo 2 na cidade e duas em meio rural, nas aldeias de Chacim e Morais) e a Escola Básica e Secundária (Polo 3). No edifício do Polo 2 funcionam em simultâneo o 1.º Ciclo (3.º e 4.º anos) e o 2.º Ciclo (5.º e 6.º anos). No edifício ainda denominado de Escola Secundária de Macedo de Cavaleiros, funciona o 3.º Ciclo e secundário.

A Escola Secundária é composta por salas de aula devidamente equipadas com quadros interativos, computador e projetores multimédia. Existem salas próprias para as diferentes disciplinas, nomeadamente: laboratórios de Química, Física e Ciências, salas de Matemática, salas de Informática, salas de Línguas e salas de Educação Visual. De salientar que todas estas salas estão ainda equipadas com materiais específicos a cada disciplina. Possui também um gimnodesportivo, auditório, sala de professores, biblioteca escolar, refeitório, Buffet, sala de Diretores de Turma, Secretaria, Reprografia, Gabinete de Psicologia e Gabinete de Saúde. Os alunos têm ao seu dispor uma grande sala de convívio e um vasto recinto de lazer que envolve toda a escola.

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2. Caracterização das turmas

A prática de ensino supervisionada, Estágio I e Estágio II, foi realizada na turma A do 7.º ano e na turma A do 10.º ano do curso Científico-Tecnológico, durante o ano letivo de 2013-2014.

Todos os dados relativos à caracterização das turmas foram disponibilizados pelos respetivos Diretores de Turma.

Os alunos que constituíam a turma de 7.º ano eram bastante simpáticos, prestáveis e participativos, contudo, demonstravam uma grande falta de empenho e estudo em casa.

A turma do 7.º ano era constituída por vinte e dois alunos, doze do sexo masculino e dez do sexo feminino. A média de idades destes alunos era 12 anos. Dezassete alunos desta turma residiam fora da cidade, em meios rurais, deslocando-se diariamente das suas aldeias para a escola em transportes públicos

Nove destes vinte e dois alunos apresentavam retenções no seu percurso escolar, dos quais cinco, com retenção no 7.º ano. É de salientar que nove alunos da turma tinham obtido nível negativo a Matemática no ano letivo anterior.

Matemática foi uma das disciplinas referida como preferida por quatro alunos e por treze alunos, como sendo uma das disciplinas aonde têm maior dificuldade (Gráfico 1 e Gráfico 2 respetivamente).

Gráfico 1- Disciplinas Preferidas dos Alunos 7.ºA

0 2 4 6 8 10 12 Turma do 7º A Série1

34 Gráfico 2- Disciplinas com Maior Dificuldades dos Alunos do 7.ºA

Dos 22 alunos, apenas quatro viviam com os avós e os restantes com o pai e mãe. As habilitações literárias dos pais/encarregados de educação, eram variadas, como podemos observar no Gráfico 3.

Gráfico 3- Habilitações Literárias dos Pais dos Alunos do 7.ºA

A turma de 10.º ano era uma turma bastante heterogénea. Nela encontrávamos alunos bastante empenhados e participativos, com um elevado interesse em aprenderem. Contudo, também havia, ainda que num número reduzido, alunos com pouco empenho e motivação quer na sala de aula, quer no trabalho realizado em casa.

0 2 4 6 8 10 12 14 Turma 7º A

Disciplinas com maior dificuldade 0 2 4 6 8 10

1º Ciclo 2º Ciclo 3º Ciclo Secundário Licenciatura

Habilitações Literárias Pais do 7º A

Mãe Pai

35 Esta turma era constituída por 29 alunos, dos quais, catorze do sexo feminino e quinze do sexo masculino, cuja média de idades era 15 anos. Dezasseis destes alunos residiam na cidade de Macedo de Cavaleiros, existindo nove alunos provenientes das aldeias do concelho.

Apenas 4 alunos possuíam retenções no seu percurso escolar, dos quais 3 alunos com retenção no 10.º ano. Contudo, 8 alunos tinham obtido nível negativo a Matemática no ano letivo anterior. Matemática foi uma das disciplinas referida, pelos alunos, como a que tinham maior dificuldade e identificada como uma das preferida por 6 alunos, conforme podemos constatar nos Gráfico 5 e Gráfico 4, respetivamente.

Gráfico 4- Disciplinas Preferidas dos Alunos 10.º A

Gráfico 5- Disciplinas com Maior Dificuldade dos Alunos 10.ºA

0 2 4 6 8 Turma 10ºA Disciplinas Preferidas 0 1 2 3 4 5 Matemática F.Q. História Turma 10º A

Disciplinas com mais dificuldades

36 A maioria dos alunos vivia com os pais, apenas 4 alunos eram de família monoparental e 1 aluna estava institucionalizada. As habilitações literárias dos pais/encarregados de educação, era variada, predominando o Secundário como nível de ensino mais frequente.

Gráfico 6- Habilitações Literárias dos Pais dos Alunos 10ºA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Habilitações Literárias dos Pais

Mãe Pai

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3. Atividades desenvolvidas na Prática de Ensino Supervisionada

A Professora Cooperante da Prática de Ensino Supervisionada foi a Doutora Maria Cândida Duque Moita Fernandes Brás, docente dos quadros do Agrupamento Vertical de Escolas de Macedo de Cavaleiros. O professor Doutor José Luís Cardoso e o Professor Doutor Luís Filipe Roçadas, docentes do Departamento de Matemática da da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, foram, respetivamente, o orientador científico do Estágio 1 e Estágio 2.

Ao longo da Prática de Ensino Supervisionada, assisti a todas as aulas do 7.º A e do 10.ºA, bem como às aulas de apoio. Ultrapassei o limite das aulas assistidas, mas foi-me dada esta possibilidade e eu aceitei. Aprendi imenso com a elevada experiência pedagógica da minha Professora Cooperante, não só profissionalmente mas também na sensibilidade que devemos ter para com o nosso público-alvo.

Realizei o meu estágio sem par, visto que me foi autorizado realizá-lo na minha localidade de residência. Assim, consegui conciliar o horário das aulas de estágio com o meu horário de docente no Colégio Ultramarino de Nossa Senhora da Paz- Chacim.

Iniciei o meu estágio dia 3 de outubro de 2013. Todas as terças feiras, das 14.00 horas até às 15:30 horas, tinha reunião com a Professora Cooperante. Nessas reuniões, eram planificadas semanalmente todas as aulas lecionadas e avaliadas as da semana anterior.

As planificações foram elaboradas de acordo com o Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico (Bivar, Grosso, Oliveira & Timóteo, 2013) e do Ensino Secundário (Silva, Fonseca, Martins, Fonseca & Lopes, 2002 a). Houve sempre a preocupação de serem planificadas respeitando os conhecimentos prévios, metodologias adequadas e sobretudo direcioná-las para as reais necessidades, interesses e possibilidades dos alunos. Foram utilizados variados meios e recursos didáticos, incluindo equipamento tecnológico, materiais existentes e ainda outros construídos, como por exemplo uma esponja verde dos arranjos florais (Figura 34) para lecionar o tema Secções no Cubo (matéria de Geometria no Plano e no Espaço I de 10.º ano). Com esta tarefa pretendíamos identificar o tipo de polígono resultante da secção obtida pelo corte. Os lados dos polígonos resultam das intersecções da superfície “do corte” com as faces do cubo.

38 Figura 34- Secções no Cubo

O manual escolar adoptado, Novo Espaço – Matemática A 10.º Ano (Costa & Rodrigues, 2010) e o caderno de atividades eram regularmente utilizados, principalmente para a resolução de exercícios. Todos os registos eram feitos no caderno diário, por cada aluno. Sempre que pertinente, eram disponibilizadas, aos alunos fichas formativas e fichas de trabalho individuais ou em grupo, para uma melhor consolidação dos conteúdos adquiridos. Relativamente ao equipamento tecnológico, utilizou-se o programa de Geometria Geogebra, vídeos e apresentações da Escola Virtual e o software de apresentação PowerPoint.

A avaliação dos conhecimentos adquiridos, pelos alunos, foi feita por observação direta do seu desempenho e pelos resultados obtidos nas fichas de avaliação sumativa. Sempre que me foi possível, tendo em conta a não coincidência de horários com as minhas reuniões do Colégio onde leciono, estive presente nas reuniões de Conselhos de Turma, nas Reuniões de Área Disciplinar e nas reuniões de Departamento de Matemática.

Entre outras atividades destacamos também a participação com os alunos selecionados de ambas as turmas no concurso RedMat – Bragança. Este concurso consiste em responder a 20 perguntas, apresentadas em computador, em 20 minutos. Em cada nível, de um total de 4 respostas, o par tem que escolher a resposta certa.

A Prática de Ensino Supervisionada foi dividida em Estágio I, referente ao primeiro semestre e Estágio II, referente ao segundo semestre. No Estágio I tive duas aulas assistidas pelo Professor Doutor José Luís Cardoso: uma aula de 10.º ano, no dia 13 de janeiro de 2014, na qual foi desenvolvido o tópico Declive de uma Reta, pertencente à unidade didática Geometria I e a

39 outra no dia 28 de janeiro, na turma de 7.º ano, na qual foi lecionado o conteúdo programático das Sucessões do domínio das Funções, Sucessões e Sequencias (FSS7).

O Estágio II, tal como já dissemos, foi supervisionado pelo Professor Doutor Luís Roçadas que esteve presente no dia 22 de maio, na turma de 7.º A, na qual foi abordado a

Resolução de Problemas, do domínio da Álgebra (Alg7) e no dia 29 de maio na turma do 10.ºA,

tendo sido lecionado o tópico Medidas de Tendência Central, pertencente à unidade didática

Estatística.

No final de cada aula assistida, era sempre feita uma avaliação do desempenho, tanto a nível pedagógico, como a nível de conhecimentos aplicados.

As planificações destas quatro aulas assistidas encontram-se em anexo I.

Para além destas quatro aulas supervisionadas, fiz a regência em mais 19 aulas de 90 minutos, repartidas pelo 7.º e 10.º anos, ao longo do Estágio I e Estágio II.

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CAPÍTULO III – Uma Experiência de Ensino no

Pré-Escolar e Ensino Básico

Os conteúdos que estejam relacionados com a Geometria exigem da parte do aluno um elevado nível de concentração e raciocínio, despertando o interesse pela descoberta quando explora conteúdos estudados recorrendo a variados recursos pedagógicos. O uso de materiais didáticos proporciona uma melhor aprendizagem, não só apenas quando utilizado no Pré-Escolar ou 1.º Ciclo, mas também em qualquer nível escolar.

No capítulo anterior, foi feita a análise do novo Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico até ao Secundário sobre o tema em questão. Neste capítulo vamos expor possíveis abordagens ao Teorema de Pitágoras desde o Pré-escolar até ao 3.º Ciclo.

Não foi possível realizar a tarefa no Ensino Secundário, por incompatibilidade de horários e disponibilidade dos alunos. Estes trabalhos experimentais foram realizados no mês de junho e julho, em escolas e instituições diversas, em período escolar (Pré-Escolar e 2.º Ciclo) e de férias escolares (1.º e 3.º Ciclos).

1. Pré-escolar

A atividade levada a cabo no Pré-escolar, foi realizada no Centro Social Nossa Senhora de Fátima, no dia 21 de julho, em Macedo de Cavaleiros. A grupo alvo era constituída por 18 alunos com idades compreendidas entre os 4 e 5 anos.

A atividade, neste nível de ensino, foi muito básica. Os conhecimentos que possuíam de Geometria eram apenas a identificação do quadrado, do círculo, do triângulo, do retângulo e do losango. A atividade dividiu-se em dois momentos. No primeiro momento realizamos uma atividade de investigação e no segundo momento, uma atividade lúdica de pintura. Eram crianças bastante curiosas e atentas. Queriam saber tudo a meu respeito e após cinco minutos de ser questionada, comecei a minha intervenção. Sentamo-nos em círculo, o que permitia que todas as crianças me observassem bem e eu a elas. Repararam que tinha alguma coisa nas mãos e um

41 menino perguntou logo: “ O que é isso que tens aí?”. Aproveitei a deixa e mostrei um quadrado. O mesmo menino disse prontamente: “ É um quadrado!”. Todos os colegas, de imediato, concordaram com ele, dizendo ao mesmo tempo: “ Pois é, é um quadrado”. E eu questionei: “ Têm a certeza? Porque é um quadrado?”. Não sabiam concretamente porque era um quadrado, mas a educadora destas crianças começou a cantar uma música das figuras geométricas, que tinham aprendido no primeiro período, e desde logo relembraram que “o quadrado tem os lados todos iguais”. Seguidamente, mostrei o triângulo. Todos ao mesmo tempo disseram que era um triângulo. Perguntei porque era um triângulo e a educadora disse-lhes para relembrarem novamente a canção. Então uma menina respondeu rapidamente: “Eu sei, eu sei, tem três lados”. Os restantes acenavam afirmativamente com a cabeça e respondiam: “Pois é!”. Então eu perguntei: “Este triângulo tem os lados todos iguais?”. Fez-se um momento de pausa. Observaram bem o triângulo mexendo nele, colocando-o na vertical (de pé), na horizontal (deitado) e na diagonal (inclinado). Foram tirando as suas próprias conclusões. Uns diziam que os lados eram todos iguais e outros disseram logo que os lados eram todos diferentes. Para tirar todas as dúvidas, utilizei três fitas, cada uma correspondente a um lado do triângulo. Posteriormente, coloquei as fitas alinhadas e a partir daí, todas as dúvidas ficaram clarificadas. Todos concordaram que o triângulo tinha os três lados diferentes porque: “O tamanho das fitas são diferentes”. Em seguida mostrei os restantes dois quadrados. Identificaram-nos sem problema dizendo mesmo: “São quadrados, iguais ao outro”. Seguidamente, coloquei os três quadrados no chão aleatoriamente e os alunos foram convidados a ordena-los por tamanho. Então sugeri: “Imaginem que cada quadrado é um tapete de atividades, em qual deles vocês queriam brincar?”. Sem qualquer dúvida nem hesitação responderam: “ No grande, claro, tem mais espaço para brincadeiras!”. Foram solicitados em seguida para dizerem qual o quadrado que teria menos espaço de brincadeiras. Sem terem qualquer noção de área, estes alunos já sabem assim identificar o quadrado que ocupa mais espaço, ou seja, qual o quadrado que tem maior área.

42 Aos três quadrados juntei o triângulo (Figura 35). Todos muito atentos, esperavam novas ordens. Coloquei então a seguinte questão: “ Este triângulo, como vocês já disseram, tem três lados diferentes. Também já me disseram que estes três quadrados são todos de tamanho diferente. Vamos ver melhor os lados do quadrado grande. Será que o triângulo tem algum lado igual a este?”. Apontei para o lado do quadrado. Para meu espanto, um aluno pegou no triângulo e no quadrado e estabeleceu a correspondência entre a hipotenusa e um dos lados do quadrado grande. Foi o “clique” para as restantes crianças. A maioria queria já estabelecer as restantes correspondências.

Após a organização das figuras, figura 36, as crianças conseguiram tirar a conclusão que “o lado maior do triângulo é o que está colado ao quadrado grande, o lado médio é o que tem o quadrado médio e o lado mais pequeno do triângulo é o que tem o quadrado mais pequeno colado”.

Figura 36- Demonstração do Teorema de Pitágoras no Pré-Escolar

Os alunos estavam a aprender o Teorema de Pitágoras sem o saberem. Ainda lhes disse que o lado maior do triângulo se chamava Hipotenusa, mas, claro está que deram uma grande risada e disseram: “ O quê?”. Tudo tem o seu tempo…

Em seguida as crianças deslocaram-se para as suas mesas de trabalho, onde puderam colorir uma representação da Demonstração do Teorema de Pitágoras do Leonardo da Vinci. Obtiveram-se trabalhos muito bonitos (Figura 37).

43 Figura 37- Trabalhos dos alunos do Pré-Escolar

Após a realização da atividade e fazendo uma pequena avaliação, é de realçar a prestação tão positiva destas crianças expostas a situações novas. A sua capacidade de argumentação, os seus discursos e as suas conclusões deixaram antever que é uma turma que “capta” facilmente a informação que a Educadora / Professora lhes transmite.

2. 1.º Ciclo do Ensino Básico

A tarefa realizada no 1.º Ciclo, foi idêntica à realizada no Pré-Escolar. Pedi a colaboração no dia 23 de julho, a 14 alunos que estavam a frequentar as férias desportivas “Macedo Mexe”, promovidas pela Câmara Municipal de Macedo de Cavaleiros. Foi solicitado aos alunos que se organizassem em grupos. Rapidamente as meninas juntaram-se num grupo de cinco elementos e os rapazes dividiram-se conforme as suas amizades. O Grupo 1, constituído por quatro elementos (um do 4.º ano, dois do 3.º ano e um do 2.º ano); o Grupo 2 com cinco elementos (um de 3.º ano, dois de 2.º ano e dois de 1.º ano) e por último o Grupo 3 formado por cinco elementos (quatro de 3.º ano e um de 2.º ano). A cada grupo foi fornecido um conjunto de três quadrados de dimensões e cores diferentes e um triângulo retângulo. Todos os elementos, sem exceção, conseguiram identificar as figuras geométricas, mas no momento de as caracterizar já se começou a verificar a diferença no nível de escolaridade que frequentam. O Grupo 1, constituído por rapazes, caracterizou-as corretamente, afirmando, o aluno de 4.º ano: “ um quadrado tem os lados todos iguais e quatro ângulos retos e o triângulo tem três lados e três ângulos.”. O grupo 2 apenas

44 respondeu “ o quadrado tem os lados todos iguais”. Foi solicitado aos grupos que ordenassem, por ordem crescente, os quadrados em relação à área. Todos os grupos souberam organizar os quadrados, mas verificou-se que no grupo 2 apenas o aluno de 3.º ano é que sabia a noção de área. Após a explicação de área, dada no Pré-Escolar, os restantes alunos do grupo entenderam o que era pedido e ordenaram, com satisfação os quadrados. De seguida foi colocada a questão: “ E em relação ao triângulo, algum grupo sabe classifica-lo em relação ao comprimento dos lados?”. Uma menina do grupo 3 respondeu de imediato: “ temos que medir os lados e só depois é que podemos classificar”, já um aluno do grupo 1, contra argumentou: “ não é necessário, basta olhar para ele e vemos perfeitamente que o triângulo é escaleno, tem os três lados diferentes e mais, professora tem um ângulo reto, logo é retângulo!”. Alguns alunos, menos confiantes, utilizaram a régua para classificarem o triângulo, chegando à conclusão que era escaleno. Quase todos entenderam que se tratava de um triângulo retângulo, mas não abordaram o conceito, uma vez que a classificação dos triângulos em relação à amplitude dos ângulos internos só é dada no 5.º ano de escolaridade.

Após a caracterização das figuras geométricas, os alunos foram questionados sobre uma possível hipótese de estabelecer a correspondência entre os lados dos quadrados e os lados do triângulo. Todos os grupos refletiram e depois de várias tentativas o grupo 1 foi o primeiro a terminar, seguido, em simultâneo, pelos dois outros grupos. Foi com facilidade que estabeleceram a correspondência entre os lados. (Figura 38)

Figura 38- Demonstração do Teorema de Pitágoras no 1º Ciclo

Foi-lhes ainda pedido uma pequena conclusão do que acabaram de observar. Mais uma vez, o aluno do 4.º ano do grupo 1 colocou o braço no ar e respondeu: “ Nós concluímos que o lado maior do triângulo corresponde ao lado do quadrado de maior área; o lado menor do

45 triângulo corresponde ao lado do quadrado de menor área e por último o outro lado do triângulo, corresponde ao outro quadrado.”.

Esclareci-os que acabaram de colocar em prática um teorema muito importante que irão dar no 8.º ano, o Teorema de Pitágoras, mas pode ser já abordado nestas idades através de puzzles, Tangrams, Geoplanos, entre outros.

Foram distribuídos folhas com a demonstração do teorema de Pitágoras para serem coloridas da forma que quisessem. Os trabalhos finais estão expostos na figura abaixo.

Figura 39- Trabalhos dos alunos do 1º Ciclo

3. 2.º Ciclo do Ensino Básico

A atividade desenvolvida no 2.º Ciclo foi realizada no dia 14 de maio de 2015, na minha turma de 5.º ano do Colégio Ultramarino de Nossa Senhora da Paz, em Chacim- Macedo de Cavaleiros. É uma turma constituída por 26 alunos, com idades compreendidas entre os 9 e os 11 anos. São alunos bastante participativos, empenhados e trabalhadores, demonstrando uma grande abertura para novos desafios.

Os alunos foram divididos em cinco grupos, ficando um grupo com seis elementos e os outros quatro com cinco. A cada um dos grupos foram distribuídos dois Tangrams e um triângulo isósceles retângulo em cartolina, (Figura 40). Procedemos à caracterização de todas as figuras geométricas que constituem o Tangram, aproveitando assim para rever conteúdos já lecionados.

46 Figura 40- Material fornecido aos alunos

A maioria dos alunos já tinha manuseado o Tangram durante o 1.º Ciclo e apenas um grupo restrito é que estava a ter contacto pela primeira vez com este material didático.

Foi pedido aos alunos que construíssem quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa do triângulo isósceles retângulo, utilizando todas as peças dos dois Tangrams.

No início, todos os alunos se mostravam confusos com o manuseamento das peças, não sabendo como as colocar para formar os quadrados. Apenas um grupo verificou que o lado da hipotenusa do triângulo em papel era igual ao quadrado formado pelo Tangram e começou a distribuir as peças do outro Tangram pelos catetos. Os restantes grupos, não tão perspicazes, tentavam colocar peças, tirar peças, rodar peças, dizendo “é impossível”. A experimentação ainda durou algum tempo, até que por fim todos os grupos construíram corretamente os quadrados sobre os lados do triângulo.

47 Figura 41- Várias tentativas

Posteriormente, foi-lhes pedido que refletissem um pouco sobre o que acabaram de construir e que tirassem alguma conclusão. Após um pequeno debate dentro dos próprios grupos, os alunos começaram a expor as suas conclusões. Todos os grupos chegaram à conclusão que “o quadrado construído sobre a hipotenusa é um Tangram completo” e ainda “as peças utilizadas nos outros dois quadrados formam um Tangram”. Concordei com as afirmações e apenas sugeri que tirassem as conclusões em termos de áreas obtidas. Facilmente afirmaram “a soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos deste triângulo é igual à área do quadrado, construída sobre a hipotenusa” (Figura 42).

48 Assim, de forma dinâmica e lúdica, os alunos demonstraram o Teorema de Pitágoras sem ainda terem qualquer conhecimento acerca do teorema.

4. 3.º Ciclo do Ensino Básico

No 3.º Ciclo optei por realizar uma atividade que envolvesse a validação do Teorema de Pitágoras utilizando Dobras e Recortes5.

Para a sua realização, tive a colaboração de 12 jovens que frequentaram, neste ano letivo 2014/2015, o 7.º, 8.º e 9.º anos. A atividade, realizada na Biblioteca Municipal de Macedo de Cavaleiros, teve início à hora marcada e é de louvar a participação e colaboração destes jovens, que perderam uma tarde de férias, para se dedicarem de livre vontade a esta atividade.

O grupo era constituído por três alunos de 9.º ano, seis alunos de 8.º ano e três alunas de 7.º ano. Foi-lhes pedido que levassem tesoura, lápis, régua e borracha. Para as alunas de 7.º ano, a realização da atividade iria ser uma novidade uma vez que ainda não abordaram o teorema. Para os restantes jovens, notou-se um ligeiro sorriso e alívio quando souberam o que iriam fazer e qual o tema.

A atividade tinha como objetivo mostrar que partindo de um quadrado é possível dividi-lo em três peças, que reorganizadas formam dois quadrados novos. Assim, podemos comprovar a veracidade do Teorema de Pitágoras recorrendo a métodos intuitivos e não dedutivos, estimulando a compreensão dos alunos através da visualização.

A demonstração foi feita individualmente pelos alunos mas sempre orientados.

Foi fornecido a cada aluno uma folha branca, em papel com a forma de um quadrado (Figura 43). Foi-lhes pedido que atribuíssem a letra a como medida de cada lado, respondendo de imediato: “Então a área é .” Posteriormente, foi solicitado que escolhessem um vértice e, a partir dele, fizessem uma dobra de modo a formar um triângulo qualquer. Em seguida, dobraram

49 novamente para formar um segundo triângulo, partindo do vértice onde se encontra o ângulo reto do primeiro triângulo, de modo que a dobra anterior coincida com a segunda dobra. (Figura 44)

Figura 43 - Quadrado inicial Figura 44 - Construção dos triângulos

Seguidamente foi-lhes solicitado que fizessem uma terceira dobra, partindo do vértice reto do segundo triângulo até tocar na dobra anterior.

Concluída a primeira parte das dobragens, foi-lhes solicitado que cortassem as figuras de modo a obterem dois triângulos semelhantes (Figura 45). Foi atribuída a letra b para a medida do lado menor dos triângulos retângulos, a letra a para a hipotenusa (atribuída no inicio ao lado do quadrado) e a letra c para o restante lado do triângulo.

Figura 45 - Recorte dos triângulos semelhantes

Após todos os alunos recortarem os triângulos retângulos, foi-lhes pedido que dispusessem os triângulos na posição adequada de forma a obter dois quadrados de área diferentes, situados um ao lado do outro, mais pequenos que o quadrado inicial.