Pré-requisitos conceituais 2 - Conjunto e…ciente

2.1 Conjunto e…ciente

2.2.1 Pré-requisitos conceituais 2

Distribuição elíptica multivariada Segundo Bonomo et al. (2004, p. 24), ao ado-

tar o procedimento de estimação do modelo CAPM da versão Sharpe-Lintner18 _assumindo

normalidade multivariada, estamos estimando uma matriz de covariâncias dos estimadores

de forma incorreta. Isso cria um viés nas estatísticas dos testes de hipóteses. Mackinlay e Richardson (1991) quanti…cam o viés e mostram que, ao assumir a hipótese de normali-

dade multivariada, com retornos de ações IID, em detrimento da hipótese de distribuição t de Student multivariada, com retornos de ações IID, estaremos rejeitando a hipótese nula de validade do modelo mais freqüentemente do que deveríamos. Os autores declaram que o

viés é reexo do fato de que a variância condicional dos erros no modelo, que assume nor-

malidade, não é mais independente do retorno do portfólio de mercado. ellner (1971 apud

Dvção oô o oo APM ão-oo 29

MACKILAY & ICHADSO, 1991, p. 51) chega ao seguinte resultado para o caso da

t multivariada: ar( j m) = 2 1 1 + (m m) 2 ( 2)! 2 m (2.46) sendo que: ar( j

m) é a vari"ncia condicional dos erros no modelo CAPM.

m representa o excesso de retorno do portfólio de mercado # no instante$% representa o número de graus de liberdade da distribuição t multivariada.

m representa a média do excesso de retorno do portfólio #% !

m representa a vari"ncia não-condicionada do excesso de retorno do portfólio # %

representa a matriz de covari"ncias do termo de erro

Segundo Campbell ' . (199(, p. 210), a distribuição t multivariada

19 _{para os retornos}

de ações pode ser motivada tanto empiricamente quanto teoricamente. Hamada e Valdez (2004) derivaram o modelo CAPM, na versão Sharpe-Lintner, sob a consideração de que o vetor (Ri; Rm) pertença ) classe das distribuições elípticas (e.g. distribuição t multivariada

e distribuição normal multivariada).

Hu¤er e Park (2005) construíram um teste a …m de avaliar a hipótese de distribuição elíptica simétrica multivariada. Este teste não pode ser aplicado no nosso contexto de retornos de ações, pois há a suposição de que as* observações provenientes dos vetores aleatórios * 1

sejam IID20_{. Portanto, admitiremos a plausibilidade da t multivariada conforme argumentos}

passados.

De…nição: Um vetor aleatório X = (X1;X2;%% %+X ,)

tem uma distribuição elíptica com par"metros

, 1

, ,

se a função característica21 _{puder ser expressa da seguinte forma:}

/ h eitTX i = exp 0t T g 1 t T t (2.4()

19_{A utilização da distribuição t multivariada em retornos de ações implica consistência entre a análise retorno esperado-} vari3ncia e a maximização da utilidade esperada. Ver Ingersoll Jr (194 5, p. 104).

9o próximo capítulo, concluímos pela rejeição da hipótese IID em uma amostra signi…cativa de ativos com alta

liquidez.

30 ;< =>?@BGH?IoJ IHLOQSoJ

sendo queU W(

[) é uma função escalar conhecida como geradora de densidade

22_{, t}\ = (t1; t2] [[ [ ^t _) e é dado por: = AA\ (2.4`)

para alguma matriz A

_ m [

Se a variável aleatória b apresenta distribuição elíptica, então a representação poderá ser

expressa do seguinte modo:

b f

W( ; ; U

Uma função de densidade de probabilidades (f.d.p.) elíptica será obtida pela seguinte ex- pressão: h j( x) = k W (det[ ])1q2 U W (x ) \ 1 (x ) (2.49) sendo que k

W é a constante de normalização obtida por Landsman e Valdez (2002 Bw>@

HAMADA yVALDEz, 2004, p. {) de acordo com a expressão

[Wq2] | p=2 R₁ 0 x W q2 1 U W( x)} x 1 ;

~é o parmetro de locação e é a matriz de covarincias.

Para a distribuição t multivariada, a funçãoU

W será igual a: U W( x) = 1 + x ( +p) 2 (2.50) Substituindo (2.50) em (2.49), tem-se que:

h j(x) = [W q2] | p=2 R₁ 0 x W q2 1 1 + ( +p) 2 } x 1 det[ ]1q2 1 + (x ) \ 1 (x ) ( +p) 2 = W+ 2 2 [()] Wq2 det[ ]1q2 1 + (x ) \ 1 (x ) ( +p) 2 (2.51) Podemos também expressar (2.51) da seguinte forma:

22_{As condições necessárias e su…cientes para que uma função escalar seja um geradora de densidade se encontram em} Fang (1990 HAMADA VALDE, 2004).

o o o oo ¡¢ o£oo 31 ¤ ¥( ¦) = (§) ¨©2 ª+¨ 2 ¨ 2 « ª©2 det[ ]1©2 (x )¬ 1 (x ) +§ ( +p) 2 _; ¦2 R (2.52)

Chou (2000, p. 40) diz que as distribuições elípticas podem servir para a validade da

estrutura de e…ciência média-vari®ncia devido as mesmas serem, parcialmente ou totalmente

(e.g. dist. normal), caracterizadas pela média e pela vari®ncia.

A classe de distribuições elípticas possui a propriedade de lineariedade que é muito ¯til na

teoria de portfólios, ou seja, se assumirmos que os retornos de ativos possuem distribuição elíptica, então o retorno do portfólio destes ativos terá distribuição elíptica. Matematica- mente, se° ± ²1( ± ; 2 ±

;³1) com ´= 1;µµ µ ¶·;então a soma S =°1+°2+µµ µ+°

¸ terá a seguinte distribuição: S ² ¸( ¬ ; ¬ ;³1) (2.53)

Um resultado crucial a ser utilizado na derivação do modelo CAPM é o Lemma de Stein para distribuições elípticas. Sendo assim:

Lemma de Stein Seja um vetor bivariado (°;¹) ²2( ; ;³2) com gerador de densidade

denotado por³2, = º ¥ º » e = ¼ 2 ¥ ¼ ¥» ¼ »¥ ¼ 2 »

µ Se½ é uma função diferenciável de °,

então: ¾¿À[½(°);¹] = Á ~ Á ¾¿ À[°;¹] ²[½Â( ~°)] (2.54) sendo que ~° ²1 º ¥ ¶¼ 2 ¥ ; R ³2 e ~Á é a constante de normalização de ~°µ

É importante notar que não há a necessidade de que as variáveis° e¹ devam ser IID a …m

de se obter o resultado mostrado em (2.54). A classe de distribuições elípticas (e.g. t multivariada) proporciona uma maiorÃexibilidade para a modelagem das caudas da distribuição

com a possibilidade de que os retornos dos ativos possuam valores extremos com probabilidades signi…cantes. A estrutura de dependência dos retornos será captada pela matriz de covari®ncias e pela função geradora de densidade.

Equação básica para a preci…cação de ativos Esta revisão de conceitos se encontra na obra de Cochrane (2001, p. Ä-Å). O comportamento dos investidores é modelado pela

32 ÆÇ ÈÊËÌÍÎÏËÐoÑ ÐÏÒÓÔÕoÑ

função utilidadeÖ(× Ø;

Ø+1) na qual é de…nida sobre valores de consumo atual e futuros,

Ö(× Ø; × Ø+1) = Ù(× Ø) + ÚÛ Ø[ Ù(× Ø+1)] (2.55) sendo que×

Ø denota o consumo na data

Ü Ý FreqÞentemente utiliza-se de uma função utilidade

potência, cuja expressão é dada por:

Ù(× Ø) = 1 1 ß × 1 á Ø (2.5 ä) O limite quandoß ! 1 é Ù(×) = ln(×) (2.5å)

A expressão (2.5å) é denominada de função utilidade logarítmica. æa função utilidade log-

arítmica, o consumo do investidor é proporcional a sua riqueza. A função utilidade captura o desejo fundamental por mais consumo, ao invés do desejo por objetivos intermediários tais como a média e a variència do portfólio. A função utilidade Ù( ) é crecente, reéetindo um

desejo por mais consumo, e côncava, reéetindo um declínio do valor marginal do consumo.

Assume-se que os investidores podem livremente comprar ou vender o êÍëo¤ ì Ø+1

23 _con-

forme o desejo deles ao preço í Ø

îuanto eles deveriam comprar ou venderï Para encontrar

a solução desta resposta, denota-se por eØ o nível de riqueza em t, e

ð a quantidade de ativos

que ele escolhe comprar. Então, o problema será: max fñg fÙ(× Ø) + Û Ø[ ÚÙ(× Ø+1)]g (2.5 ò)

Ou seja, qual é a cesta de ativos que maximiza (2.5ò), considerando o desejo de consumo do

investidor em t (hoje) e o valor presente do seu desejo de consumir em×

Ø+1 descontado pela

taxa de impaciência ao consumo Ú característica do investidor.

sujeitoõs restrições × Ø= eØ í Ø ð (2.59) 23

öão se deve confundir o conceito de÷øùo¤ em xt+1 com o conceito de lucro ou retorno; o÷øùo¤ em xt+1equivale ao

ûý û þÿrivação ÿconômica do modÿlo CAPM não-condicional 33 t+1 = et+1+ x t+1 (2.60) Substituindo (2.59) e (2.60) em (2.58), obtemos: max fg fu(e t p t ) +E t[ u(e t+1+ x t+1 )]g (2.61)

Derivando (2.61) com respeito a e igualando a zero, obtemos

p t u´( t) = E t[ u´( t+1) x t+1 (2. 62) ou p t = E t u´( t+1) u´( t) x t+1 (2. 63)

O investidor compra mais ou menos do ativo até que a validade da condição de primeira ordem expressa em (2.63) seja satisfeita.

Sendo que será denominado de fator de desconto estocástico (ou taxa de substituição

marginal). Assim, t+1 = u´( t+1) u´( t) (2.64)

Se não houvesse incerteza, poderíamos expressar os preços via a equação padrão do valor presente: p t = 1 rf x t+1 (2. 65)

sendo que rf é a taxa bruta livre de risco.

Portanto, (2.63) se tornará: p t= E t[ t+1 x t+1] (2. 66) ou p=E[x] (2.67)

34 2. Feos eó os

Para ações, o yo¤

+1 será igual ao preço

+1 mais o dividendo d+1

: Freqüentemente,

divide-se o yo¤

+1 pelo preço

a …m de obter o retorno bruto

r+1 = +1 (2.)

Aplicando log( ) em (2.), obtemos o retorno composto continuamente R +1; R+1 = ln +1 (2.9)

Supondo a existência de um retorno R como um yo¤ de preço unitário. Se você pagar um

real hoje, o retorno será a quantidade de reais ou de unidades de consumo que você obterá amanhã. Dessa forma,

1 = [ ] (2.0)

Como o ativo livre de risco R é independente do fator ,

R = 1

=[] (2.1)

Somente o risco sistemático gera uma correção de risco ao preço. A …m de dar signi…cado a esta frase, podemos decompor um yo¤ em uma parte correlacionada como o fator e

uma outra parte idiossincrática não correlacionada com o fator

= proj(j) + (2.2)

Então, o preço do resíduo ou do risco idiossincrático é zero, e o preço de é o mesmo que o

preço de sua projeção em : A projeção de em é a parte de no qual é perfeitamente

correlacionada com : O componente idiossincrático de qualquer yo¤ é a parte não-

correlacionada com: Projeção signi…ca uma regressão linear sem constante,

proj(j ) =

[] [

2_] (2.3)

O preço da proj(j) resultará em:

(proj(j)) = [] [ 2_] = [] [ 2_] 2 ₌ () = () (2.4)

D !"#o $o%&'$! (o 'o()o *+,/ %#o0$o%($o%!) 35

Sendo assim, os ativos que se encontram na fronteira e…ciente são perfeitamente correlaciona- dos uns com os outros e com o fator 13 Pode-se construir um fator de desconto 1 a partir

de qualquer retorno da fronteira e…ciente (exceto R4) (COCH

RANE, 2001, p. 20).

Cochrane (2001, p. 20-21), declara a seguinte propriedade para a fronteira e…ciente:

I Cada ponto da fronteira e…ciente apresenta correlação negativa perfeita com o fator de desconto estocático1(e correlação positiva perfeita com o consumo), portanto, em um

modelo uniperiódico, pode-se escolher constantes a e b tal que:

1= a +b5

9; (2.

<5)

sendo que R9; é qualquer portfólio de fronteira. Para o caso do modelo CAPM não-

condicional uniperiódico, R9; será …xado como sendo o portfólio de mercado (ou portfólio

de riqueza) Rm (COCHRANE, 2001, p. 152)3 O fator de desconto 1 será denotado por 1 ;

1 = a +

b5m (2.<>)

Para o modelo CAPM zero-beta, o retorno do portfólio zero-beta Ro? associado com o

portfólio de mercado (ver Figura 2.4) terá a seguinte propriedade:

@B G[1 ; R o?] = 0 (2. <<) Dessa forma, H[R o?] = 1 IH[1 ] (2.<J)

Como @BG[KLO] = H[K O] H[K]H[O]; para quaisquer G3Q3 K e O; a equação (2.<0) pode

ser escrita da seguinte forma:

1 =H[ 1 ] H[Ri] + @BG[1 ; Ri] (2. <9) Substituindo (2.<1) em (2.<9), obtemos: H[Ri] R 4 = R4 @B G[1 ; Ri] (2.J0)

3S TU VWXYZ[\X]o^ ]\_`gho^ j[Ri] j[R kq] = j[R km] wz{[| ; Ri] (2.}1)

Substituindo Ri por Rm em (2.}0), obtemos:

j[Rm] R

~ = R~

wz{[| ; Rm] (2.}2)

Dividindo (2.}0) por (2.}2), teremos:

j[Ri] R ~ j[Rm] R ~ = wz{[| ; Ri] wz{[| ; Rm] (2.}3) earrajando (2.}3), obtemos: j[Ri] = R ~ + wz{[| ; Ri] wz{[| ; Rm] (j[Rm R ~) = R~ + im(j[Rm R ~) (2. }4)

sendo que o componente

im é não-observável, pois não conhecemos explicitamente o fator

Para que a condição de lineariedade em (2.}4) seja satisfeita, devemos supor algum tipo de

função utilidade para| (e.g. logarítmica) e/ou alguma distribuição de probabilidades para

o par (Ri; Rm) Supondo que o par (Ri; Rm) tenha uma distribuição elíptica bivariada (e.g.

distribuição t bivariada), podemos utilizar o Lemma de Stein para distribuições elípticas declarado em (2.54). Sendo assim, utilizando-se de (2.54), (2.S) e (2.S4),im resultará em:

im = wz {[| ; Ri] wz{[| ; Rm] = (~) wz{[a + m; Ri] j h (~t+1) (~t) i (~) wz{[a + m; Rm] j h (~t+1) (~t) i (2.}5) Como wz {[+;w] = wz{[w] + wz{[;w] e wz{[] = wz{[ ] (a 2 R); para quaisquer { e w;obtemos: im = wz{[a; Ri] + wz{[Rm; Ri] wz{[a; Rm] + wz{[Rm; Rm] = wz{[Rm; Ri] ar[Rm] =im (2.}S)

A derivação econômica mostrada acima não supõe a condição de que os retornos de ações sejam IID. Além do mais, o Lemma de Stein em (2.}5) nos possibilita a utilização da função

oo oá ¡¢ 3£

utilidade logarítmica24_{. Cochrane (2001, p. 152-1}

¤0), ao contrário, derivou o CAPM de

Sharpe-Lintner via suposições de algumas funções de utilidade (e.g. exponencial, quadrática e a logarítmica). ¥o caso da função logarítmica, Cochrane mostrou que a hipótese de nor-

malidade multivariada e a da conjectura IID podem ser relaxadas.

Analogamente ao que foi realizado em (2.¦5), pode-se derivar o modelo CAPM zero-beta,

utilizando-se de (2.¦1) ao invés de (2.¦0).

2.3 CAPM e Informação Contábil

Segundo Iudícibus ¢. (2004, p. 91), o CAPM faz a conexão entre as taxas de retornos re-

queridas para uma ação (título) e as informações contábeis. A taxa de retorno requerida para uma ação, dada pelo CAPM, é utilizada como taxa de juros para cálculo do valor presente de um título, pois o valor corrente do título é expresso pelo valor presente dos§uxos de caixa

futuros. A ligação entre os dados contábeis e o CAPM é muito simples: a Contabilidade fornece dados passados sobre os diversos §uxos de caixa, lucros, dividendos e outras infor-

mações, que podem ser utilizadas como parâmetros de avaliação da empresa, principalmente

aquelas informações que possibilitam a projeção de dados futuros. Ou seja, se as informações contábeis fornecem evidências de comportamentos de §uxos de caixa futuros, estas são uti-

lizadas como determinantes do valor de uma empresa. ¥o caso de avaliação de entidades,

o lucro é uma das principais …guras contábeis utilizadas como substituto do §uxo de caixa.

Portanto, os lucros passados podem ser grandes fontes de informação sobre lucros futuros, e indiretamente, dos §uxos de caixa futuros. Mais especi…camente, as informações contábeis

que são divulgadas possuem a característica de poder ou não alterar as expectativas do mercado com relação ao valor da entidade. O CAPM, fornecendo um dos principais dados para avaliação de ativos, adicionado às informações contábeis disponíveis para o mercado, com-

põe uma parcela das ferramentas empíricas para se testar a relevância da informação contábil

na avaliação de ativos, mais especi…camente entidades e suas ações. Em outras palavras, o valor de uma entidade (ou de suas ações) é igual ao valor presente dos §uxos de caixa fu-

3« ¬ ®¯°±²³µ°¶o· ¶µ¸¹º»o·

turos, dado pelas taxas de retorno requeridas para a entidade (expressas pelo CAPM). Caso informações contábeis alterem expectativas sobre o futuro da entidade, as taxas de retorno requeridas também estarão sendo alteradas, implicando alterações de preços correntes. Por- tanto, o CAPM pode ser utilizado para a veri…cação da relev¼ncia ou não das informações

contábeis para o mercado de capitais, através do estabelecimento de relações entre alterações de informações contábeis e alterações de preços (de taxas de retorno requeridas).

Outro aspecto relevante da relação entre o CAPM e as informações contábeis são as possíveis indicações de risco que essas informações podem possuir. Por exemplo, se as alterações (ou novidades) de informações contábeis (e.g. lucro) estiverem relacionadas com alterações de risco (e.g. ½utuações da vari¼ncia esperada de½uxos de caixa futuros), a informação contábil

pode estar sendo relevante na indicação do risco da entidade, o que altera a taxa de retorno requerida (portanto, altera os níveis de preços). Caso isso não ocorra, a informação tanto pode não ser relevante, como somente pode estar con…rmando expectativas de mercado (¾¿º±.,

p. 92).

O beta das empresas é uma medida da sensibilidade dos retornos de um título ou de um portfólioÀvariabilidade dos retornos do portfólio de mercado e pode ser calculado mediante

regressão linear dos retornos das ações de uma determinada empresa, em oposição aos retornos dos índices do mercado acionário, conforme equação do modelo de mercado. Entretanto, di…culdades para utilização do beta de mercado podem surgir em ambientes nos quais o mercado acionário não é tão representativo de sua economia ou em casos em que a entidade não possua suas ações negociadas no mercado, por exemplo. Áesses ambientes, o beta contábil

pode ser um substituto do beta de mercado, pois medianteÂuma regressão do poder de lucro

básico (LAJIR25_{=Ativos T otais) de uma empresa, com o passar do tempo, em oposição ao}

poder de lucro básico médio de uma grande amostragem de empresasÂ, pode-se estimar o

risco de determinada empresa comparativamente Às demais empresas daquele mercado. A

denominação beta contábil é conseqÃência dos dados inputados no modelo, pois, no lugar

de dados obtidos do mercado acionário, o investidor utiliza dados provenientes das demons- trações contábeis, sendo utilizadas as médias e vari¼ncias de índices (de retorno contábil,

geralmente) como estimação do risco da empresa. Ou seja, pode-se realizar uma regressão

ÄÅÆ ÇÈÉÊ Ë ÌÍÎoÏÐÑÒÓo ÇoÍÔÕÖ×Ø 39

dos retornos contábeis de ativos especí…cos da entidade (ou da entidade em sua totalidade) contra o retorno contábil médio dos ativos de uma grande amostra de empresas (ÌÖ×ÙÚ p. 93).

Ûormalmente, a literatura de análise de balanço apresenta a fórmula da rentabilidade do ativo

como o quociente entre o lucro líquido (LL) e o total de ativos. Ûo caso da formulação do beta

contábil, ajusta-se aquele índice de rentabilidade, alterando-se o numerador em função das despesas …nanceiras e da carga tributária incidente sobre o lucro. Portanto, substitui-se o LL pelo LAJIÜ. A substituição do LL pelo LAJIÜé necessária por motivos óbvios, a…nal, o beta

contábil trabalha com a regressão do índice de rentabilidade do ativo de uma empresa em oposiçãoÝquele índice de diversas outras empresas, durante determinado período de tempo.

Como empresas diferentes têm estruturas de …nanciamento diferentes, incorrem em despesas …nanceiras signi…cativamente distintas. Por outro lado, nós sabemos que a carga tributária é alterada ao longo do tempo, o que pode causar impactos signi…cativos no lucro das empresas ao se analisar uma série de tempo. Daí por que somar ao lucro líquido as despesas …nanceiras e o Imposto de Üenda (ÌÖ×ÙÚ p. 93).

Segundo Watts e Þimmerman (19ßä, p. 11å-120 ÑæèÙ IUDéCIBUS ËÔ ÑØ., 2004, p. 93), se

os lucros contábeis forem aproximadores dos êuxos de caixa, um beta contábil (dado pela

covariëncia entre os lucros da entidade e os lucros do mercado, dividido pela variëncia dos

lucros do mercado) poderia ser também um aproximador do beta da entidade. E mais, haveria a possibilidade de que os lucros contábeis fossem utilizados para obter estimativas do beta da entidade. Ûão só os lucros podem ser utilizados como fonte de estimativa do

beta da entidade. Outras …guras contábeis também podem ser utilizadas, assim como dados contábeis das dívidas, das despesas …nanceiras, entre outros. Dessa forma, estes modelos construídos para se calcular o beta contábil podem ser validados estatisticamente via os testes econométricos mostrados neste trabalho.

Capítulo 3

Métodos econométricos

No documento Avaliação empírica do modelo CAPM no mercado de capitais brasileiro via método dos... (páginas 34-47)